6. Seifert-van Kampen 定理

Seifert-van Kampen 定理

定理 6.1 (Seifert-van Kampen 定理, 群胚版本). 令 $X=U\cup V$, 其中 $U,V\subset X$ 是开集. 则如下图表是群胚范畴中的推出.

证明. 令群胚 $\mathcal{C}$ 使得下图交换则我们需要证明

唯一性:	令 $\gamma :I\to X$ 为 $X$ 中的道路, 记 $x_t=\gamma (t)$. 我们 (根据紧性) 将 $I$ 划分为$$0=t_0<t_1<\cdots <t_m=1$$使得 ${\gamma }_i:=\gamma (t_{i-1},t_i)$ 完全落在 $U$ 或 $V$ 中. 则$$F([\gamma ])=F([{\gamma }_m])\cdots F([{\gamma }_1])$$由于每项在 $\mathcal{C}$ 中被唯一确定, 故也唯一.
存在性:	给定道路 $\gamma$, 我们可根据 $I$ (或 $\gamma$) 的划分定义 $F([\gamma ])$, 且结果不依赖于划分的选取. 我们需要证明这关于同伦类是良好定义的. 这可以从 $I\times I$ 的加细双重划分得到, 如下图所示.

每个正方形代表着完全落在 $U$ 或 $V$ 中的同伦, 将它们结合起来就给出了所需的同伦. $$F({\gamma }_1)\simeq F({\gamma }_1\star i_{x_0})\simeq F(i_{x_1}\star {\gamma }_2)\simeq F({\gamma }_2)$$$\square$

定理 6.2 (Seifert-van Kampen 定理, 群版本). 令 $X=U\cup V$, 其中 $U,V\subset X$ 是开集, 且 $U$, $V$, $U\cap V$ 道路连通. 令 $x_0\in U\cap V$. 则如下图表是群范畴中的推出.

证明. 记 $\underline{G}$ 为由群 $G$ 得到的单对象群胚.

对于任意 $x\in X$, 我们固定选取 $[{\gamma }_x]\in \mathrm{Hom}(x_0,x)$ 使得 $x\in U$ 时, ${\gamma }_x$ 完全落在 $U$ 中; $x\in V$ 时, ${\gamma }_x$ 完全落在 $V$ 中. 注意到由此 $x\in U\cap V$ 时, ${\gamma }_x$ 完全落在 $U\cap V$ 中. 由于 $U$, $V$, $U\cap V$ 均道路连通, 这样的选取是存在的. 考虑下列函子$$\begin{array}{rl}{\Pi }_1(U)& \to \underline{{\pi }_1(U,x_0)}\\ {\Pi }_1(V)& \to \underline{{\pi }_1(V,x_0)}\\ {\Pi }_1(U\cap V)& \to \underline{{\pi }_1(U\cap V,x_0)}\\ \gamma & \mapsto {\gamma }_{x_2}^{-1}\star \gamma \star {\gamma }_{x_1},\gamma \in \mathrm{Hom}(x_1,x_2)\end{array}$$这些函子均为群胚范畴中的收缩, 换言之, 下列复合$$\begin{array}{rl}\underline{{\pi }_1(U,x_0)}& \to {\Pi }_1(U)\to \underline{{\pi }_1(U,x_0)}\\ \underline{{\pi }_1(V,x_0)}& \to {\Pi }_1(V)\to \underline{{\pi }_1(V,x_0)}\\ \underline{{\pi }_1(U\cap V,x_0)}& \to {\Pi }_1(U\cap V)\to \underline{{\pi }_1(U\cap V,x_0)}\end{array}$$均为恒等函子.

设群 $G$ 使得下列图表交换: 由定理 6.1, 我们有如下态射 $F$ 因此我们有态射$$\underline{{\pi }_1(X,x_0)}\hookrightarrow {\Pi }_1(X)\stackrel{F}{\to }\underline{G}$$使得如下图表交换由于群范畴是群胚范畴的全子范畴 ¹, 定理成立.

$\square$

我们也有如上定理的相对版本.

定义 6.3. 令 $A\subset X$, 我们定义 ${\Pi }_1(X,A)$ 为 ${\Pi }_1(X)$ 的由 $A$ 中对象构成的全子范畴.

例如, 当 $A=\{x_0\}$, 我们有$${\Pi }_1(X,x_0)={\pi }_1(X,x_0).$$

定理 6.4. 令 $X=U\cup V$, $U$, $V$ 是开集, 且 $A\subset X$ 和 $U$, $V$, $U\cap V$ 的每个道路连通分支相交. 则我们有推出

例子 6.5. 对于例子 3.9 中的 8 字形, 即 $S^1\vee S^1$. 它可以被分解为 $U$, $V$ 如下由于 $U$, $V$ 同伦等价于 $S^1$, 且 $U\cap V$ 同伦等价于单点, Seifert-van Kampen 定理得到$${\pi }_1(S^1\vee S^1)={\pi }_1(S^1)\star {\pi }_1(S^1)=\mathbb{Z}\star \mathbb{Z}.$$一般地, 我们有$${\pi }_1\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\bigvee }}{S}^1\right)=\underset{n}{\underbrace{\mathbb{Z}\star \cdots \star \mathbb{Z}}}.$$

例子 6.6. 考虑 $2$ 维球面 $S^2=D_1\cup D_2$, 其中 $D_1\cong D_2$ 是开圆盘, $D_0=D_1\cap D_2$ 是圆环. 这里对于 $i=0,1,2,D_i$ 是 $X_i$ 的开邻域. 由于 ${\pi }_1(D_1)={\pi }_1(D_2),{\pi }_1(D_0)={\pi }_1(S^1)=\mathbb{Z}$, 我们立即得到$${\pi }_1(S^2)=(1\star 1)/\mathbb{Z}=1.$$类似的论证可以得到$${\pi }_1(S^n)=1,n\ge 2.$$

例子 6.7. 我们将 $X=S^1$ 等同于 ${\mathbb{R}}^2$ 中的单位圆. 考虑$$U=\{(x,y)\in S^1|y>-1/2\},V=\{(x,y)\in S^1|y<1/2\}$$及 $A=\{(\pm 1,0)\}$. 则我们由定理 6.4 得到推出这又得到 ${\Pi }_1(S^1,A)$ 由以下资料组成: 两个对象 $a_1=(1,0),a_2=(-1,0)$ 及态射$$\begin{array}{rl}{\mathrm{Hom}}_{{\Pi }_1(S^1,A)}(a_1,a_1)& =\{({\gamma }_{-}{\gamma }_{+}{)}^n{\}}_{n\in \mathbb{Z}}\\ {\mathrm{Hom}}_{{\Pi }_1(S^1,A)}(a_1,a_2)& =\{({\gamma }_{+}{\gamma }_{-}{)}^n{\gamma }_{+}{\}}_{n\in \mathbb{Z}}\\ {\mathrm{Hom}}_{{\Pi }_1(S^1,A)}(a_2,a_1)& =\{({\gamma }_{-}{\gamma }_{+}{)}^n{\gamma }_{-}{\}}_{n\in \mathbb{Z}}\\ {\mathrm{Hom}}_{{\Pi }_1(S^1,A)}(a_2,a_2)& =\{({\gamma }_{+}{\gamma }_{-}{)}^n{\}}_{n\in \mathbb{Z}}.\end{array}$$这里 ${\gamma }_{+}$ 表示从 $(1,0)$ 到 $(-1,0)$ 的逆时针半圆, ${\gamma }_{-}$ 表示从 $(-1,0)$ 到 $(1,0)$ 的逆时针半圆.

例子 6.8. 考虑亏格为 $g$ 的闭曲面 ${\Sigma }_g$, 它的多边形表示为$$P=a_1{b}_1{a}_1^{-1}{b}_1^{-1}\cdots a_g{b}_g{a}_g^{-1}{b}_g^{-1}.$$下图为 $g=2$. 该多边形的边构成 $V_{2g}={\bigvee }_{i=1}^{2g}{S}^1$. 令 $U$ 为该多边形内部, $V$ 为 $V_{2g}$ 的小开邻域. 则 $U\cap V$ 为圆环, 且同伦等价于生成元为如上 $P$ 的 $S^1$. 因此$${\pi }_1({\Sigma }_g)=\left(\coprod _{i=1}^{2g}\mathbb{Z}\right)\star 0/\mathbb{Z}=⟨a_i,b_i|i=1,\cdots ,g⟩/\left(a_1{b}_1{a}_1^{-1}{b}_1^{-1}\cdots a_g{b}_g{a}_g^{-1}{b}_g^{-1}\right).$$

例子 6.9. 考虑多边形表示 $P=a^2$, 我们可以类似地计算 ${\pi }_1(\mathbb{R}{\mathbb{P}}^2)=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

Jordan 曲线定理

作为 Seifert-van Kampen 定理的一个应用, 我们证明 Jordan 曲线定理. 这是一个听起来直觉上完全显然, 但实际上十分难以严格证明的例子.

定义 6.10. 简单闭曲线是指 ${\mathbb{R}}^2$ (或 $S^2$) 中与 $S^1$ 同胚的子集.

定理 6.11 (Jordan 曲线定理). 令 $C$ 为球面 $S^2$ 中的简单闭曲线. 则 $C$ 的补集恰有两个连通分支.

证明. 我们在这里给出证明的概要. 由于 $S^2$ 局部道路连通, 我们不再区分连通与道路连通. 当谈到弧, 我们是指 $S^2$ 中和区间 $I$ 同胚的子集.

我们首先证明: $$\text{若 }A\text{ 是 }{S}^2\text{ 中的弧, 则 }{S}^2\setminus A\text{ 连通.}$$实际上, 假设有两点 $\{a,b\}$ 在 $S^2\setminus A$ 中不连通. 我们利用同胚 $A\cong [0,1]$ 将 $A=A_1\cup A_2$ 划分为两个区间, 其中 $A_1=[0,1/2],A_2=[1/2,1]$. 我们证明 $a,b$ 在 $S^1\setminus A_1$ 或 $S^2\setminus A_2$ 中不连通. 我们选取集合 $D$ 包含 $S^2\setminus A$ 每个连通分支中的一点, 且 $\{a,b\}\subset D$. 对 $V_1=S^2\setminus A_1,V_2=S^2\setminus A_2,V_1\cap V_2=S^2\setminus A$ 应用 Seifert-van Kampen 定理, 我们得到群胚范畴中的推出这里 $Y=V_1\cup V_2$ 是 $S^2$ 中单点的补集. 若 $\{a,b\}$ 在 $V_1$ 和 $V_2$ 中均连通, 则该推出蕴含了由以下复合给出的非平凡态射$$a\stackrel{V_1\text{ 中}}{\to }b\stackrel{V_1\cap V_2\text{ 中}}{=}b\stackrel{V_2\text{ 中}}{\to }a.$$但由于 $Y$ 可缩, 这不可能. 故我们不妨设 $a,b$ 在 $V_1=S^2\setminus A_1$ 中不连通. 通过不断用 $A_1$ 替换 $A$ 并迭代以上过程, 我们最终在极限点处得到矛盾. 这就证明了我们以上关于弧的论断.

其次, 我们证明: $$C\text{ 在 }{S}^2\text{ 中的补集不连通}.$$否则, 假设 $S^2\setminus C$ 连通. 我们将 $C=A_1\cup A_2$ 划分为区间 $A_1,A_2$, 它们相交于端点 $\{a,b\}$. 令 $U_1=S^2\setminus A_1,U_2=S^2\setminus A_2,U_1\cap U_2=S^2\setminus C$ 及 $X=U_1\cup U_2=S^2\setminus \{a,b\}$. 由于 $U_1,U_2,U_1\cap U_2$ 均连通, Seifert-van Kampen 定理给出了群范畴中的推出注意到 ${\pi }_1(X)=\mathbb{Z}$. 我们证明同态 ${\pi }_1(U_i)\to {\pi }_1(X)$ 均平凡. 这将导出矛盾.

我们等同 $S^2={\mathbb{R}}^2\cup \{\infty \}$, 并设 $a=0,b=\infty$, 故 $A_1$ 由一条从 $0$ 到 $\infty$ 的道路 $\alpha$ 参数化. 令 $\gamma$ 为 $U_1$ 中任意的圈, 我们需要证明 $\gamma$ 在 $X$ 中平凡. 令 $R>0$ 足够大, 使得 $\gamma$ 包含于 ${\mathbb{R}}^2$ 中以原点为圆心, 半径为 $R$ 的圆中. 考虑同伦$$F(t,s)=\gamma (t)-\alpha (s),{\gamma }_s:=F(-,s).$$我们有 ${\gamma }_0=\gamma$. 设 $|\alpha (t_0)|>R$, 则 ${\gamma }_{t_0}$ 落在以 $-\alpha (t_0)$ 为圆心, 半径为 $R$ 的圆中, 该圆在 $X$ 中可缩. 因此 $\gamma$ 在 $X$ 中平凡. 关于 $A_2$ 的论证相同.

最后, 我们证明: $$C\text{ 在 }{S}^2\text{ 中的补集恰有两个连通分支}.$$令 $C=A_1\cup A_2,U_1,U_2$ 如上所述. 令集合 $D$ 恰好包含 $S^2\setminus C$ 每个连通分支中的一点. 我们有群胚范畴中的推出图表假设 $D$ 中至少有三点, 如 $c,d,e$. 因为 $U_1,U_2$ 均连通, 且 $D$ 中的点在 $U_1\cap U_2$ 中均不连通, 下面的两个复合$$c\stackrel{U_1\text{ 中}}{\to }d\stackrel{U_1\cap U_2\text{ 中}}{=}d\stackrel{U_2\text{ 中}}{\to }c\text{ 及 }c\stackrel{U_1\text{ 中}}{\to }e\stackrel{U_1\cap U_2\text{ 中}}{=}e\stackrel{U_2\text{ 中}}{\to }c$$给出了 ${\pi }_1(X,c)$ 中两个自由的生成元. 但 ${\pi }_1(X,c)=\mathbb{Z}$, 矛盾.

$\square$

译者注

1.	^ 只考虑 $1$-范畴.