3. 覆叠与纤维化

覆叠与提升

定义 3.1. 令 $p:E\to B$ 是 $\mathsf{Top}$ 中的态射. 态射 $p$ 在开集 $U\subset B$ 上的一个平凡化是指一个 $U$ 上的同胚 $\phi :p^{-1}(U)\to U\times F$, 即要让下图交换如果存在 $B$ 的开覆盖 $\mathcal{U}$ 使 $p$ 在每个开集 $U\in \mathcal{U}$ 上均有平凡化, 就说 $p$ 是局部平凡的. 这样的 $p$ 就叫纤维丛, $F$ 叫做纤维, $B$ 叫做底空间. 只要在上下文中不引起歧义, 我们就将它记为$$F\to E\to B.$$如果我们可以找到整个 $B$ 上的平凡化 $p$, 那么 $E$ 就同胚于 $F\times B$, 称 $p$ 是平凡纤维丛.

例子 3.2. 投影映射$$\begin{array}{c}\begin{array}{rcl}{\mathbb{R}}^{m+n}& \to & {\mathbb{R}}^n,\\ (x_1,\cdots ,x_n,\cdots ,x_{n+m})& \mapsto & (x_1,\cdots ,x_n)\end{array}\end{array}$$是以 ${\mathbb{R}}^m$ 为纤维的平凡纤维丛.

例子 3.3. 流形上秩为 $n$ 的实向量丛是一个以 ${\mathbb{R}}^n$ 为纤维的纤维丛.

例子 3.4. 我们视 $S^{2n+1}$ 为 ${\mathbb{C}}^{n+1}$ 中的单位球, 以如下方式参数化:$$S^{2n+1}=\{z_0,z_1,\cdots ,z_n\in {\mathbb{C}}^{n+1}||z_0{|}^2+|z_1{|}^2+\cdots +|z_n{|}^2=1\}.$$$S^1$ 在 $S^{2n+1}$ 上有一个自然的作用, 由下式给出:$$e^{i\theta }:(z_0,\cdots ,z_n)\mapsto (e^{i\theta }{z}_0,\cdots ,e^{i\theta }{z}_n),e^{i\theta }\in S^1.$$该作用是自由的, 其轨道空间可以视为 $n$-维复射影空间 $\mathbb{C}{\mathbb{P}}^n$$$S^{2n+1}/S^1\cong \mathbb{C}{\mathbb{P}}^n=({\mathbb{C}}^{n+1}-\{0\})/{\mathbb{C}}^{\ast }.$$这时, 投影映射 $S^{2n+1}\to \mathbb{C}{\mathbb{P}}^n$ 就是一个以 $S^1$ 为纤维的纤维丛. 一个不平凡的事实是, 这样的纤维丛并不平凡. $n=1$ 的情况给出了饶富趣味的 Hopf 纤维化$$S^1\to S^3\stackrel{p}{\to }{S}^2=\mathbb{C}{\mathbb{P}}^1.$$

在这一情况下, 投影映射将 $(z_0,z_1)\in S^3\subset {\mathbb{C}}^2$ 映至 $z_0/z_1\in S^2=\mathbb{C}\cup \{\infty \}$. 在极坐标下我们有$$r_0^2+r_1^2=1\text{且}p(z_0,z_1)=(r_0/r_1)e^{\mathbf{i}({\theta }_0-{\theta }_1)}$$其中 $z_j=r_j{e}^{\mathbf{i}{\theta }_j}$. 对于固定的 $\rho =r_0/r_1$, 我们得到 $S^3$ 中的一个环面 $T_{\rho }$.

当我们将 $S^3$ 等同于 ${\mathbb{R}}^3$ 的紧化 (或者考虑 $S^3\to {\mathbb{R}}^3$ 的球极投影) 时, 我们便可直观看到 (图 1) ${\mathbb{R}}^3$ 上由 $T_{\rho }$ 构成的叶状结构 (foliation), 其中 $T_0$ 退化为 ${\mathbb{R}}^3$ 中 $xy$-平面上的单位圆, $T_{\infty }$ 退化为 $z$-轴. 每个 $S^1$-纤维均是一个环面 $T_{\rho }$ 上斜率为 1 的简单闭曲线, 而投影映射的象恰好是 ${\mathbb{R}}^3$ 中 (对固定的 $\varphi \in \mathbb{R}$) 任意半平面$$\{(r\cos (\phi ),r\sin (\phi ),z)\mid r>0,z\in \mathbb{R}\}$$的紧化 $S^2$.

图 1. Hopf 纤维化的直观表示

进一步, $S^1$ 中任意两个不同点处的纤维的不交并事实上称为 Hopf 链环, 如图 2 所示. 这样的链环并不平凡, 于是 Hopf 纤维化不是平凡纤维丛.

图 2. Hopf 链环

定义 3.5. 覆叠 (空间) 是带离散纤维 $F$ 的局部平凡映射 $p:E\to B$. 一个覆叠映射如果是平凡纤维丛, 便又称为平凡覆叠. 如果想明确纤维, 我们就称它是 $F$-覆叠. 如果纤维 $F$ 有 $n$ 个点, 我们也称它是 $\mathbf{n}$-重覆叠.

图 3. 平凡化 (左) 与覆叠 (右)

例子 3.6. 映射 $\exp :{\mathbb{R}}^1\to S^1,t\to e^{2\pi \mathbf{i}t}$ 是一个 $\mathbb{Z}$-覆叠.

图 4. $S^1$ 的 $\mathbb{Z}$-覆叠

如果 $U=S^1-\{-1\}$, 那么$${\exp }^{-1}(U)=\underset{n\in \mathbb{Z}}{⨆}(n-\frac{1}{2},n+\frac{1}{2}).$$

例子 3.7. 对任意 $n\in \mathbb{Z}-\{0\}$, 映射 $S^1\to S^1,e^{2\pi \mathbf{i}\theta }\mapsto e^{2\pi \mathbf{i}n\theta }$ 是一个 $|n|$-重覆叠.

例子 3.8. 映射 $\mathbb{C}\to \mathbb{C}$, $z\mapsto z^n$ 不是覆叠 (为什么?). 但

•	映射 ${\mathbb{C}}^{\ast }\to {\mathbb{C}}^{\ast }$, $z\mapsto z^n$, 是一个 $|n|$-重覆叠, 其中 ${\mathbb{C}}^{\ast }=\mathbb{C}-\{0\}$ 且 $n\in \mathbb{Z}-\{0\}$.
•	映射 $\exp :\mathbb{C}\to {\mathbb{C}}^{\ast }$, $z\mapsto e^{2\pi iz}$ 是一个 $\mathbb{Z}$-覆叠.

例子 3.9 (取自 Hatcher [??]). 8 字形有下面两种覆叠 (左为 $2$-重覆叠, 右为 $3$-重覆叠). 4-正则树 (regular tree) 是其万有覆叠 (单连通的覆叠), 见图 5.

图 5. 4-正则树

例子 3.10. 回忆洞的个数 (亏格) 和边界分支个数决定了紧有向拓扑曲面的同胚类. 令 $S_{g,b}$ 是亏格 $g$ 有 $b$ 个边界分支的曲面.

•	$S_{4,0}$ 有一个来自 $S_{22,0}$ 的 $7$-重覆叠, 参见图 6.
•	一般地, $S_{g,b}$ 有一个来自 $S_{mg-m+1,mb}$ 的 $m$-重覆叠. 图 6. 7-覆叠

例子 3.11. 记 $\mathbb{R}{\mathbb{P}}^n$ 为 $n$ 维实射影空间$$\mathbb{R}{\mathbb{P}}^n={\mathbb{R}}^{n+1}-\{0\}/(\underline{x}\sim t\underline{x}),\forall t\in \mathbb{R}-\{0\},\underline{x}\in {\mathbb{R}}^{n+1}-\{0\}.$$令 $S^n$ 是 $n$-维球面. 则有自然的二重覆叠 $S^n\to \mathbb{R}{\mathbb{P}}^n$.

例子 3.12 (分歧二重覆叠). 图 7 展示了圆盘的一个分歧二重覆叠:$$\iota :{\Sigma }_n\to D^2,\text{在 n 个点处分歧.}$$

图 7. Birman-Hilden 通过扭曲的曲面实现的二重覆叠

置言之, 如果从从 ${\Sigma }_n$ 和 $D^2$ 中将这 $n$ 个 (红) 点 (记为 $\Delta$) 移除, 我们就得到一个二重覆叠:$$\iota :{\Sigma }_n\backslash \Delta \stackrel{2:1}{\to }{D}^2\backslash \Delta$$和一个 $\Delta$ 的双射 $\iota :\Delta \to \Delta$. 这可以用来证明图 ?? 中的同胚 (图 7 是 $n=3$ 时的特殊情况. 一般地, 它的亏格为 $g=\lfloor \frac{n}{2}\rfloor -1$, 有 $b=n-2g$ 个边界连通分支.)

图 8. 穿孔圆盘的分歧二重覆叠的法向视图

定义 3.13. 令 $p:E\to B,f:X\to B$. $f$ 沿着 $p$ 的一个提升是一个映射 $F:X\to E$ 使得 $p\circ F=f$

引理 3.14. 令 $p:E\to B$ 为覆叠. 令$$\begin{array}{rl}D& =\{(x,x)\in E\times E|x\in E\}\\ Z& =\{(x,y)\in E\times E|p(x)=p(y)\}.\end{array}$$则 $D\subset Z$ 既开又闭.

证明. 留作练习.

$\square$

定理 3.15 (提升的唯一性). 令 $p:E\to B$ 是一个覆叠. 令 $F_0,F_1:X\to E$ 是 $f:X\to B$ 的两个提升. 假设 $X$ 连通, $F_0,F_1$ 在某处相等. 则 $F_0=F_1$.

证明. 令 $D,Z$ 如引理 3.14 中所定义. 考虑映射 $\tilde{F}=(F_0,F_1):X\to Z\subset E\times E$. 由假设, $\tilde{F}(X)\cap D\ne \varnothing$. 更进一步, 引理 3.14 告诉我们 ${\tilde{F}}^{-1}(D)$ 既开又闭. 因 $X$ 连通, 我们知道 ${\tilde{F}}^{-1}(D)=X$, 这等价于说 $F_0=F_1$.

$\square$

纤维化

定义 3.16. 称映射 $p:E\to B$ 关于 $X$ 有 同伦提升性质 (HLP), 如果对于任意映射 $\tilde{f}:X\to E$ 及 $F:X\times I\to B$ 使得 $p\circ \tilde{f}=F{|}_{X\times \{0\}}$, 存在 $F$ 沿着 $p$ 的提升 $\tilde{F}$ 使得 $\tilde{F}{|}_{X\times \{0\}}=\tilde{f}$, 即下述图表交换

定义 3.17. 映射 $p:E\to B$ 称为 纤维化 (或 Hurewicz 纤维化), 如果 $p$ 对任意空间都有同伦提升性质.¹

定理 3.18. 覆叠是纤维化.

证明. 令 $p:E\to B,f:X\to B,\tilde{f}:X\to E,F:X\times I\to B$ 如定义 3.16 中资料. 我们只需证明给定任意 $x\in X$, 其邻域 $N_x$ 上存在 ${\tilde{F}}_x$.实际上, 对于任意两个这样的邻域 $N_x$ 和 $N_y$, 且 $N_x\cap N_y=N_0\ne \varnothing$, 我们有 ${\tilde{F}}_x{\mid }_{N_0}$ 和 ${\tilde{F}}_y{\mid }_{N_0}$ 在某点处和 $\tilde{f}{\mid }_{N_0}$ 相等, 因此根据提升的唯一性 (定理 3.15) 在 $N_0$ 中处处相等. 故 $\{{\tilde{F}}_x\mid x\in X\}$ 可粘贴成所需的提升 $\tilde{F}$.

由于 $I$ 是紧集, 给定 $x\in X$, 我们可以找到邻域 $N_x$ 和分划$$0=t_0<t_1<\cdots <t_m=1$$使得 $p$ 在开集 $U_i\supset F(N_x\times [t_i,t_{i+1}])$ 上有平凡化. 现在我们通过对 $1\le k\le m$ 归纳, 在 $N_x\times [t_0,t_k]$ 上构造 ${\tilde{F}}_x.$

•	对于 $k=1$, $N_x\times [t_0,t_1]$ 上映至 $p^{-1}(U_1)$ 一支的提升 ${\tilde{F}}_x$ 由 $\tilde{f}{\mid }_{N_x\times \{0\}}$ 决定:
•	假设对于某个 $k$, 我们已经在 $N_x\times [t_0,t_k]$ 上构造了 ${\tilde{F}}_x$. 现在 $N_x\times [t_k,t_{k+1}]$ 上映至 $p^{-1}(U_k)$ 一支的提升 ${\tilde{F}}_x$ 由 $\tilde{f}{\mid }_{N_x\times \{0\}}$ 决定, 再次由于提升的唯一性, 它可以和 $N_x\times [t_0,t_k]$ 上的提升粘贴. 这就完成了归纳.

我们就得到了所需的 $F$ 在 $N_x\times I$ 上的一个提升 ${\tilde{F}}_x$.

$\square$

推论 3.19. 令 $p:E\to B$ 是覆叠. 则对于任意道路 $\gamma :I\to B$ 和 $e\in E$ 使得 $p(e)=\gamma (0)$, 存在唯一的道路 $\tilde{\gamma }:I\to E$ 提升 $\gamma$, 并且 $\tilde{\gamma }(0)=e$.

证明. 对 $X=\mathrm{pt}$ 用同伦提升性质.

$\square$

推论 3.20. 令 $p:E\to B$ 是覆叠. 则 ${\Pi }_1(E)\to {\Pi }_1(B)$ 是忠实函子. 特别地, 诱导映射 ${\pi }_1(E,e)\to {\pi }_1(B,p(e))$ 是单射.

证明. 令 ${\tilde{\gamma }}_i:I\to E$ 为两条道路, 且 $[{\tilde{\gamma }}_i]\in {\mathrm{Hom}}_{{\Pi }_1(E)}(e_1,e_2)$. 令 ${\gamma }_i=p\circ {\tilde{\gamma }}_i$. 假设 $[{\gamma }_1]=[{\gamma }_2]$, 我们需要证明 $[{\tilde{\gamma }}_1]=[{\tilde{\gamma }}_2]$.

令 $F:{\gamma }_1\simeq {\gamma }_2$ 是同伦. 考虑如下带有根据同伦提升性质得到的提升 $\tilde{F}$ 的交换图表则提升的唯一性蕴含了 $\tilde{F}{\mid }_{I\times \{1\}}={\tilde{\gamma }}_2$. 故 $\tilde{F}:{\tilde{\gamma }}_1\simeq {\tilde{\gamma }}_2$.

$\square$

传输函子

令 $p:E\to B$ 是覆叠. 令 $\gamma :I\to B$ 是 $B$ 中从 $b_0$ 到 $b_1$ 的道路. 它定义了一个映射$$\begin{array}{rl}{T}_{\gamma }:p^{-1}(b_0)& \to p^{-1}(b_1)\\ e_0& \mapsto e_1=\tilde{\gamma }(1)\end{array}$$其中 $\tilde{\gamma }$ 是 $\gamma$ 的一个初始条件为 $\tilde{\gamma }(0)=e_0$ 的提升.

图 9. 传输

假设在 $B$ 中 $[{\gamma }_1]=[{\gamma }_2]$. 同伦提升性质蕴含了 $T_{{\gamma }_1}=T_{{\gamma }_2}$. 我们得到了一个良定义的映射:$$\begin{array}{rl}T:{\mathrm{Hom}}_{{\Pi }_1(B)}(b_1,b_2)& \to {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Set}}(p^{-1}(b_1),p^{-1}(b_2))\\ [\gamma ]& \mapsto T_{[\gamma ]}.\end{array}$$

这就引向了下述定义 (验证函子性质!).

定义 3.21. 如下资料$$\begin{array}{rl}T:{\Pi }_1(B)& \to \mathsf{Set}\\ b& \to p^{-1}(b)\\ [\gamma ]& \mapsto T_{[\gamma ]}\end{array}$$定义了一个函子, 称为传输函子. 特别地, 我们有良定义的映射$${\pi }_1(B,b)={\mathrm{Aut}}_{{\Pi }_q(B)}(b)\to {\mathrm{Aut}}_{\mathsf{Set}}(p^{-1}(b)).$$这里对于 $S\in \mathrm{Obj}(\mathsf{Set}),{\mathrm{Aut}}_{\mathsf{Set}}(S)$ 由 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Set}}(S,S)$ 中所有的同构组成.

例子 3.22. 考虑覆叠映射$$\mathbb{Z}\to {\mathbb{R}}^1\stackrel{\exp }{\to }{S}^1.$$考虑如下 ${\pi }_1(S^1)$ 中元素的道路代表元$${\gamma }_n:I\to S^1,t\to \exp (nt)=e^{2\pi int},n\in \mathbb{Z}.$$从纤维中任意点 $m\in \mathbb{Z}$ 出发, ${\gamma }_n$ 被提升为一个映至 ${\mathbb{R}}^1$ 的映射$${\tilde{\gamma }}_n:I\to R^1,t\mapsto m+nt.$$我们得到 $T_{[{\gamma }_n]}(m)=\tilde{\gamma }(1)=m+n$. 因此 $T_{[{\gamma }_n]}\in {\mathrm{Aut}}_{\mathsf{Set}}(\mathbb{Z})$ 为$$T_{[{\gamma }_n]}:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z},m\mapsto m+n.$$

命题 3.23. 令 $p:E\to B$ 为覆叠, $E$ 道路连通. 令 $e\in E,b=p(e)\in B$. 则 ${\pi }_1(B,b)$ 在 $p^{-1}(b)$ 上的作用可迁, 其在 $e$ 处的稳定化子 ${\mathrm{Stab}}_e({\pi }_1(B,b))$ 是 ${\pi }_1(E,e)$. 换言之,$$p^{-1}(b)\cong {\pi }_1(B,b)/{\pi }_1(E,e)$$作为配集空间同构, 即我们有如下短正合列$$\begin{array}{rl}1\to {\pi }_1(E,e)\to {\pi }_1(B,b)& \stackrel{{\partial }_e}{\to }{p}^{-1}(b)\to 1.\\ [\gamma ]& \mapsto T_{\gamma }(e)\end{array}$$

证明. 对于任意点 $e^{\prime }\in p^{-1}(b)$, 令 $\tilde{\gamma }:e\to e^{\prime }$ 是 $E$ 中的道路, 且 $\gamma =p\circ \tilde{\gamma }$. 则 $e^{\prime }={\partial }_e([\gamma ])$. 这给出了 ${\partial }_e$ 的满射性.

同伦提升性质蕴含了 $p_{\ast }:{\pi }_1(E,e)\to {\pi }_1(B,b)$ 是单射, 并且我们可视 ${\pi }_1(E,e)$ 为 ${\pi }_1(B,b)$ 的子群. 由定义, 对于 $\tilde{\gamma }\in {\pi }_1(E,e)$, 我们有 ${\partial }_e([p\circ \tilde{\gamma }])=\tilde{\gamma }(1)=e$, 即 ${\pi }_1(E,e)\subset {\mathrm{Stab}}_e({\pi }_1(B,b))$. 另一方面, 如果 $T_{\gamma }(e)=e$, 则 $\gamma$ 的提升 $\tilde{\gamma }$ 是环路, 即 $\tilde{\gamma }\in {\pi }_1(E,e)$. 因此 ${\pi }_1(E,e)\supset {\mathrm{Stab}}_e({\pi }_1(B,b))$. 这蕴含 ${\pi }_1(E,e)={\mathrm{Stab}}_e({\pi }_1(B,b))$, 完成证明.

$\square$

提升判别准则

定理 3.24 (提升判别准则). 令 $p:E\to B$ 是覆叠. 考虑连续映射 $f:X\to B$, 其中 $X$ 连通且道路连通. 令 $e_0\in E,x_0\in X$ 使得 $f(x_0)=p(e_0)$. 则存在 $f$ 的提升 $F$ 满足 $F(x_0)=e_0$ 当且仅当$$f_{\ast }({\pi }_1(X,x_0))\subset p_{\ast }({\pi }_1(E,e_0)).$$

证明. 如果这样的 $F$ 存在, 则$$f_{\ast }({\pi }_1(X,x_0))=p_{\ast }(F_{\ast }({\pi }_1(X,x_0)))\subset p_{\ast }({\pi }_1(E,e_0)).$$反之, 令$$\tilde{E}=\{(x,e)\in X\times E\mid f(x)=p(e)\}\subset X\times E$$并考虑如下交换图表投影映射 $\tilde{p}$ 也是覆叠. 我们有诱导的函子间的交换图表这诱导了自然的群同态$${\pi }_1(X,x_0)\stackrel{f_{\ast }}{\to }{\pi }_1(B,b_0)\to \mathrm{Aut}(p^{-1}(b_0))=\mathrm{Aut}({\tilde{p}}^{-1}(x_0)),b_0=f(x_0)=p(e).$$令 ${\tilde{e}}_0=(x_0,e_0)\in \tilde{E}$. 条件 $f_{\ast }({\pi }_1(X,x_0))\subset p_{\ast }({\pi }_1(E,e_0))$ 说 ${\pi }_1(X,x_0)$ 稳定 ${\tilde{e}}_0$. 由命题 3.23, 这蕴含着我们有群同构$${\tilde{p}}_{\ast }:{\pi }_1(\tilde{E},{\tilde{e}}_0)\cong {\pi }_1(X,x_0).$$由于 $X$ 局部连通, $\tilde{E}$ 也局部连通. 那么 $\tilde{E}$ 的道路连通分支和连通分支相同. 令 $\tilde{X}$ 为 $\tilde{E}$ 的包含 ${\tilde{e}}_0$ 的 (道路) 连通分支, 则 ${\pi }_1(\tilde{E},\tilde{e})\cong {\pi }_1(X,x_0)$ 蕴含着 $\tilde{p}:\tilde{X}\to X$ 是纤维为单点的覆叠, 因此是同胚. 它的逆定义了连续映射 $X\to \tilde{E},$ 这个映射和 $\tilde{E}\to E$ 的复合给出了 $F$.

$\square$

$G$-主覆叠

定义 3.25. 令 $G$ 是离散群. 连续作用 $G\times X\to X$ 称为是纯不连续的, 如果对于任意的 $x\in X$, 存在 $x$ 的开邻域 $U$ 使得$$\begin{array}{c}g(U)\cap U=\varnothing ,\forall g\ne 1\in G.\end{array}$$我们定义轨道空间 $X/G=X/\sim$, 其中对于任意 $x\in X,g\in G,x\sim g(x)$.

命题 3.26. 假设 $G$ 纯不连续地作用在 $X$ 上, 则商映射 $X\to X/G$ 是覆叠.

证明. 对于任意 $x\in X$, 令 $U$ 为满足 $g(U)\cap U=\varnothing ,\forall g\ne 1\in G$ 的邻域. 则$$p^{-1}\left(p(U)\right)=\underset{g\in G}{⨆}gU$$是开集的无交并. 故 $p$ 局部平凡, 有离散纤维 $G$, 因此是覆叠.

$\square$

定义 3.27. 一个左 (右) $\mathbf{G}$-主覆叠指覆叠 $p:E\to B,$ 并带有 $E$ 上在如下交换图表意义下相容的左 (右) 纯不连续 $G$-作用使得诱导映射 $E/G\to B$ 是同胚.

例子 3.28. $\exp :{\mathbb{R}}^1\to S^1$ 是一个 $\mathbb{Z}$-主覆叠, 作用为 $n:t\to t+n,\forall n\in \mathbb{Z}$.

例子 3.29. $S^n\to \mathbb{R}{P}^n\cong S^n/{\mathbb{Z}}_2$ 是一个 ${\mathbb{Z}}_2$-主覆叠.

命题 3.30. 令 $p:E\to B$ 是 $G$-主覆叠. 则传输映射是 $G$-等变的, 即,$$T_{[\gamma ]}\circ g=g\circ T_{[\gamma ]},\forall g\in G,\gamma \text{a path in}B.$$

证明. 令 $\gamma :b_0\to b_1$ 及 $e_0\in p^{-1}(b_0)$. 则对于某个 $e_1\in p^{-1}(b_1)$, 有 $\tilde{\gamma }:e_0\to e_1=T_{[\gamma ]}(e_0)$. 若将变换 $g$ 作用于道路 $\tilde{\gamma }$, 我们会得到 $\gamma$ 的另一个提升, 但端点为 $g(e_0)$ 和 $g(e_1)$. 因此$$T_{[\gamma ]}(g(e_0))=g(e_1).$$进而 $T_{[\gamma ]}(g(e_0))=g(e_1)=g(T_{[\gamma ]}(e_0))$. 这就证明了命题.

图 10. 传输映射与 $G$-作用交换

$\square$

定理 3.31. 令 $p:E\to B$ 是 $G$-主覆叠, $E$ 道路连通, $e\in E,b=p(e)$. 则我们有群正合列$$1\to {\pi }_1(E,e)\to {\pi }_1(B,b)\to G\to 1.$$换言之, ${\pi }_1(E,e)$ 是 ${\pi }_1(B,b)$ 的正规子群, 且 $G={\pi }_1(B,b)/{\pi }_1(E,e)$.

证明. 令 $F=p^{-1}(b)$. 上面的命题蕴含了 $F$ 上的 ${\pi }_1(B,b)$-作用与 $G$-作用交换. 这诱导了一个 $F$ 上的 ${\pi }_1(B,b)\times G$-作用. 考虑这个作用在 $e$ 处的稳定化子和两个投影映射${\mathrm{pr}}_1$ 是同构, ${\mathrm{pr}}_2$ 是 $\ker ({\mathrm{pr}}_2)={\text{Stab}}_e({\pi }_1(B,b))={\pi }_1(E,e)$ 的满射.

$\square$

将这个定理应用在覆叠 $\exp :{\mathbb{R}}^1\to S^1$ 上, 我们有群同构$$\mathrm{deg}:{\pi }_1(S^1)\stackrel{\cong }{\to }\mathbb{Z}$$它称为度映射. 一个度数 $n$ 的映射的例子是$$S^1\to S^1,e^{i\theta }\mapsto e^{in\theta }.$$

应用

定义 3.32. 令 $i:A\subset X$ 为包含映射. 连续映射 $r:X\to A$ 称为收缩, 如果 $r\circ i=1_A$. 如果进一步我们有同伦 $i\circ r\simeq 1_X\mathrm{rel}A$, 称 $r$ 是形变收缩. 如果存在这样的 (形变) 收缩, 我们说 $A$ 是 $X$ 的 (形变) 收缩.

命题 3.33. 若 $i:A\subset X$ 是收缩, 则 $i_{\ast }:{\pi }_1(A)\to {\pi }_1(X)$ 是单射.

证明. 令 $r:X\to A$ 使得 $r\circ i=1_A$. 则复合$${\pi }_1(A)\stackrel{i_{\ast }}{\to }{\pi }_1(X)\stackrel{r_{\ast }}{\to }{\pi }_1(A)$$是恒等映射. 进而 $i_{\ast }:{\pi }_1(A)\to {\pi }_1(X)$ 是单射.

$\square$

推论 3.34. 令 $D^2$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 中的单位圆盘. 则它的边界 $S^1$ 不是 $D^2$ 的收缩.

证明. 由于 $D^2$ 可缩, 我们有 ${\pi }_1(D^2)=1$. 但 ${\pi }_1(S^1)=\mathbb{Z}$. 则根据上面的命题, 推论成立.

$\square$

定理 3.35 (Brouwer 不动点定理). 令 $f:D^2\to D^2$. 则存在 $x\in D^2$ 使得 $f(x)=x$.

证明. 设 $f$ 无不动点. 令 $l_x$ 为从 $f(x)$ 指向 $x$ 的射线. 则$$D^2\to S^1,x\mapsto l_x\cap \partial D^2$$是 $\partial D^2=S^1\subset D^2$ 的收缩. 矛盾.

$\square$

定理 3.36 (代数基本定理). 令 $f(x)=x^n+c_1{x}^{n-1}+\cdots +c_n$ 为多项式, 其中 $c_i\in \mathbb{C},n>0$. 则存在 $a\in \mathbb{C}$ 使得 $f(a)=0$.

证明. 假设 $f$ 在 $\mathbb{C}$ 中无根. 定义从 $S^1$ 映至 $S^1$ 的映射间的同伦$$F:S^1\times I\to S^1,F(e^{i\theta },t)=\frac{f(\tan (\frac{\pi t}{2})e^{i\theta })}{\left|f(\tan (\frac{\pi t}{2})e^{i\theta })\right|}.$$根据构造, $\mathrm{deg}(F{|}_{S^1\times 0})=0$, 且 $\mathrm{deg}(F{|}_{S^1\times 1})=n$. 但它们同伦, 因此在 ${\pi }_1(S^1)$ 中代表相同的元素. 矛盾.

$\square$

命题 3.37 (对跖点). 令 $f:S^1\to S^1$ 保对跖点, 即 $f(-u)=-f(u)$. 则 $\mathrm{deg}(f)$ 是奇数. 特别地, $f$ 不零伦.

证明. 对于覆叠映射 $\exp :{\mathbb{R}}^1\to S^1$, 令 $F:{\mathbb{R}}^1\to {\mathbb{R}}^1$ 为 $f\circ \exp :{\mathbb{R}}^1\to S^1$ 的提升. 则$$\begin{array}{r}F(x+1)=F(x)+\mathrm{deg}(f).\end{array}$$由于 $f$ 保对跖点, 对于某个 $m\in \mathbb{Z}+1/2$, $F(x+1/2)=F(x)+m$. 故 $F(x+1)=F(x)+2m$, 这意味着 $\mathrm{deg}(f)=2m$ 是奇数.

$\square$

例子 3.38. 令 $\sigma :S^1\to S^1$ 是由 $\sigma (u)=-u$ 定义的对跖映射. 则 $\mathrm{deg}(\sigma )=1$.

定理 3.39 (Borsuk-Ulam). 令 $f:S^2\to {\mathbb{R}}^2$. 则存在 $x\in S^2$ 使得 $f(x)=f(-x)$.

证明. 假设 $f(x)\ne f(-x),\forall x\in S^2$. 定义$$\rho :S^2\to S^1,\rho (x)=\frac{f(x)-f(-x)}{\left|f(x)-f(-x)\right|}.$$令 $D^2$ 为 $S^2$ 的上半球面. 这就定义了一个常值映射与 $\rho {|}_{\partial D^2}:S^1\to S^1$ 之间的同伦, 因此 $\mathrm{deg}(\rho {|}_{\partial D^2})=0$. 另一方面, $\rho {|}_{\partial D^2}$ 保对跖点: $\rho {|}_{\partial D^2}(-x)=-\rho {|}_{\partial D^2}(x)$, 因此 $\mathrm{deg}(\rho {|}_{\partial D^2})$ 是奇数. 矛盾.

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定理 3.40 (火腿三明治定理). 令 $A_1,A_2$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 中两个有界正面积区域. 则存在一条直线将每个 $A_i$ 切割为面积相同的两半.

证明. 令 $A_1,A_2\subset {\mathbb{R}}^2\times \{1\}\subset {\mathbb{R}}^3$.

给定 $u\in S^2$, 令 $P_u$ 为过原点且垂直于单位向量 $u$ 的平面. 令 $A_i(u)=\{p\in A_i\mid p\cdot u\le 0\}.$ 定义连续映射$$f=(f_1,f_2):S^2\to {\mathbb{R}}^2,f_i(u)=\text{Area}(A_i(u)).$$由 Borsuk-Ulam 定理, $\exists u$ 使得 $f(u)=f(-u)$. 交集 ${\mathbb{R}}^2\times \{1\}\cap P_u$ 给出了所需的直线, 因为$$f(u)=f(-u)⟺f_i(u)=\frac{1}{2}\text{Area}(A_i).$$

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脚注

1.	^ 不难看出纤维化关于复合封闭.