5. 极限与余极限

代数拓扑中的许多构造由万有性质的语言描述, 其中包括极限和余极限两种互相对偶的重要构造. 我们将在本节中简要讨论它们.

设 $\mathcal{I}$ 是小范畴 (即它的对象构成集合), $\mathcal{C}$ 是范畴. 在 1.27 中我们定义了函子范畴 $\mathsf{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C})$, 它的对象是 $\mathcal{I}$ 到 $\mathcal{C}$ 的函子, 态射是函子间的自然变换. 函子范畴也记作$${\mathcal{C}}^{\mathcal{I}}:=\mathsf{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C}).$$

下面给出的函子会在极限和余极限的定义中出现.

定义 5.1. 对角函子是函子$$\Delta :\mathcal{C}\to \mathsf{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C}),$$它把 $\mathcal{C}$ 中对象 $X$ 映至把 $\mathcal{I}$ 中所有对象均映至 $X$, 所有态射均映至恒等态射的函子.

图表

令 $\mathcal{I}$ 为由顶点与箭头所组成的图表. 我们可以仍用记号 $\mathcal{I}$ 来定义以下范畴:¹

•	$\mathrm{Obj}(\mathcal{I})=$ 图表 $\mathcal{I}$ 中的顶点.
•	态射为全体给定的箭头的任意复合与一个额外的 “恒等箭头”(效果类似恒等映射).

例 5.2. 以下图表定义出了一个由三个对象 $\bullet$, $\circ$ 以及 $\star$ 所构成的范畴. 其间从 $\bullet$ 到 $\circ$, $\circ$ 到 $\star$ 都只有一个态射, 从 $\bullet$ 到 $\star$ 也只有一个态射且为前两者的复合.

给定对象 $A\in \mathcal{C}$, 对角函子 $\Delta (A):\mathcal{I}\to \mathcal{C}$ 可以被表示为以下资料

例 5.3. 以下图表定义出了一个由三个对象 $\bullet$, $\circ$ 以及 $\star$ 所构成的范畴. 其间从 $\bullet$ 到 $\circ$, 从 $\circ$ 到 $\star$ 都只有一个态射, 但是从 $\bullet$ 到 $\star$ 有两个态射, 其中一个为前两者的复合, 还有一个为图中所给出的态射.

例 5.4. 以下图表定义出了一个由两个对象 $\bullet$ 与 $\circ$ 所构成的范畴. 其中从 $\bullet$ 到 $\bullet$ 的态射包括: 恒等态射 $1_{\bullet }$, $\bullet \to \circ$ 与 $\circ \to \bullet$ 的复合, 以此类推 ².

给定图表 $\mathcal{I}$, 函子 $F:\mathcal{I}\to \mathcal{C}$ 通过将顶点与箭头分别对应到 $\mathcal{C}$ 中的对象与态射上所确定. 比方说, 以下资料定义了一个由 $\bullet \to \circ \leftarrow \star$ 到 $\mathcal{C}$ 的函子. 这样的资料也被称为 $\mathcal{C}$ 中的 $\mathcal{I}$-形图表.

极限

定义 5.5 (极限). 令 $F:\mathcal{I}\to \mathcal{C}$ 为函子. $F$ 的一个极限是指 $\mathcal{C}$ 中的对象 $P$ 以及一个自然变换$$\tau :\Delta (P)\Rightarrow F$$使得对于 $\mathcal{C}$ 中的任意对象 $Q$ 以及任意自然变换 $\eta :\Delta (Q)\Rightarrow F$, 存在唯一的态射 $f:Q\to P$ 使得 $\tau \circ \Delta (f)=\eta$. 换句话说, 有交换图表

比方说, 考虑 $\mathcal{C}$ 中的以下 $\mathcal{I}$-形图表, 它表示了一个函子 $F:\mathcal{I}\to \mathcal{C}$则其极限为 $\mathcal{C}$ 中使得下述图表交换的对象 $P$此外对于 $\mathcal{C}$ 中使以上图表交换的任意对象 $Q$, 都存在唯一的 $f:Q\to P$ 使得

命题 5.6. 令 $F:\mathcal{I}\to \mathcal{C}$ 为函子, 且 $P_1$, $P_2$ 为 $F$ 的极限, 它们分别带有两个自然变换 ${\tau }_i:\Delta (A_i)\to F$ . 则 $\mathcal{C}$ 中存在唯一的同构 $P_1\to P_2$ 使得下述图表交换这相当于在说 $F$ 的极限在至多相差一个同构的意义下是唯一确定的.

证明. 只需要观察到极限为相应逗号范畴的终对象即可.

$\square$

定义 5.7. 对于函子 $F:\mathcal{I}\to \mathcal{C}$, 若其极限存在则记为 $\mathbf{lim}F$.

不难看出极限的泛性质给出以下伴随$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C})}(\Delta (X),F)={\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,\mathbf{lim}F)$$这就引出以下定理.

定理 5.8. 令 $\mathcal{C}$ 为范畴. 则以下条件等价

1.	每个 $F:\mathcal{I}\to \mathcal{C}$ 都有极限.
2.	对角函子 $\Delta :\mathcal{C}\to \mathsf{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C})$ 有右伴随. $$\Delta :\mathcal{C}\rightleftarrows \mathsf{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C}):\mathbf{lim}.$$

此时, 对角函子的右伴随为极限.

例 5.9 (拉回). 图表 $X\stackrel{f}{\to }Y\stackrel{g}{\leftarrow }Z$ 的极限给出以下交换图称这一极限为 拉回.

在范畴 $\mathsf{Set}$ 中, 拉回总是存在并且为 $X\times Y$ 的子集, 显式写出即为$$P=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\}\subset X\times Y.$$

例 5.10 (塔与逆向极限). 让我们考虑以下范畴 $\mathbb{N}$:

•	$\mathbb{N}$ 中的对象为正整数.
•	给定 $m$, $n\in \mathbb{N}$, 则 $\mathrm{Hom}$ 集 ${\mathrm{Hom}}_{\mathbb{N}}(m,n)$ 在 $m>n$ 时为空集, 而在 $m\le n$ 时为单点.

令 ${\mathbb{N}}^{\mathrm{op}}$ 为 $\mathbb{N}$ 的反范畴. 函子 $F:{\mathbb{N}}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{C}$ 被塔形图表$$\cdots \to X_{n+1}\to X_n\to \cdots \to X_2\to X_1,$$所表示. 塔形图表的极限也被称为塔的逆向极限, 简记为 $\underleftarrow{\lim }{X}_i$. 其泛性质图解为

定理 5.11. 令 $L:\mathcal{C}\rightleftarrows \mathcal{D}:R$ 为一对伴随函子. 假设 $F:\mathcal{I}\to \mathcal{D}$ 的极限存在. 则 $R\circ F:\mathcal{I}\to \mathcal{C}$ 的极限也存在, 且$$\mathbf{lim}(R\circ F)=R(\mathbf{lim}F).$$换句话说, 右伴随保极限.

证明. 令 $A\in \mathcal{C}$. 假设有自然变换$$\tau :\Delta (A)\Rightarrow R\circ F.$$由伴随性可知其等价于自然变换 $\Delta (L(A))\Rightarrow F$.
根据极限的泛性质, 存在唯一的态射 $L(A)\to \mathbf{lim}F$ 对于 $\Delta (L(A))\Rightarrow F$ 进行分解, 即$$\Delta (L(A))\Rightarrow \mathbf{lim}F\Rightarrow F.$$再根据伴随性, 这等价于存在自然变换$$\Delta (A)\Rightarrow R(\mathbf{lim}F)\Rightarrow R\circ F.$$由此推知 $R(\mathbf{lim}F)$ 为 $R\circ F$ 的余极限.

$\square$

注 5.12. 若一个函子保持所有的极限, 则称它是连续的 ³. 上述定理表明若一个函子具有左伴随, 则它是连续的. 在一定条件 (伴随函子定理) 之下, 其逆也成立.

推论 5.13. 遗忘函子 $\mathrm{Forget}:\mathsf{Top}\to \mathsf{Set}$ 保极限.

证明. 不难发现 $\mathrm{Forget}:\mathsf{Top}\to \mathsf{Set}$ 有左伴随$$\mathrm{Discrete}:\mathsf{Set}\rightleftarrows \mathsf{Top}:\mathrm{Forget},$$此处 $\mathrm{Discrete}$ 表示给集合 $X$ 赋予离散拓扑的函子.

$\square$

例 5.14. 考虑 $\mathsf{Top}$ 中的以下图表现在我们想要考虑上述图表在 $\mathsf{Top}$ 中的拉回. 根据例 5.9 以及推论 5.13, 我们知道 $P$ (若存在) 的底层集合为$$\mathrm{Forget}(P)=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\}\subset X\times Y.$$不难发现若给 $P$ 赋予 $X\times Y$ 的子空间拓扑, 则 $P$ 确实就是 $\mathsf{Top}$ 中的拉回. 特别地, $\mathsf{Top}$ 中存在拉回, 且纤维化在拉回下稳定.

命题 5.15. 令 $p:Y\to Z$ 为纤维化, 且 $f:X\to Z$ 为连续映射. 考虑拉回图表则 $q:Q\to X$ 也是纤维化. 换句话说, 纤维化在拉回下稳定.

余极限

极限的对偶构造便为余极限.

定义 5.16 (余极限). 令 $F:\mathcal{I}\to \mathcal{C}$ 为函子. $F$ 的一个余极限是指 $\mathcal{C}$ 中的对象 $P$ 以及一个自然变换$$\tau :F\Rightarrow \Delta (P)$$使得对于 $\mathcal{C}$ 中任意对象 $Q$ 以及任意自然变换 $\eta :F\Rightarrow \Delta (Q)$, 存在唯一的态射 $f:P\to Q$ 使得 $\Delta (f)\circ \tau =\eta$. 换句话说, 有交换图表

与极限一般, 不难发现余极限若存在则在至多相差一个同构的意义下是唯一确定的, 并且简记为 $\mathbf{colim}F$.

定理 5.17. 令 $L:\mathcal{C}\rightleftarrows \mathcal{D}:R$ 为一对伴随函子. 假设 $F:\mathcal{I}\to \mathcal{C}$ 的余极限存在. 则 $L\circ F:\mathcal{I}\to \mathcal{D}$ 的余极限存在且$$\mathbf{colim}(L\circ F)=L(\mathbf{colim}F).$$换句话说, 左伴随保余极限.

注 5.18. 若一个函子保持所有余极限, 则称它是余连续的. 上述定理表明若一个函子具有右伴随, 则它是余连续的. 在一定条件 (伴随函子定理) 之下, 其逆也成立.

推论 5.19. 遗忘函子 $\mathrm{Forget}:\mathsf{Top}\to \mathsf{Set}$ 保余极限.

证明. 不难发现遗忘函子 $\mathrm{Forget}:\mathsf{Top}\to \mathsf{Set}$ 有右伴随$$\mathrm{Forget}:\mathsf{Top}\rightleftarrows \mathsf{Set}:\mathrm{Triv},$$其中 $\mathrm{Triv}$ 赋予 $X$ 平凡拓扑.

$\square$

例 5.20 (推出). 图表 $X\leftarrow Y\to Z$ 的余极限给出交换图表该余极限称为推出. 它是拉回的对偶构造. 其泛性质为接下来给出一些例子:

•	令 $j_1:X_0\to X_1$, $j_2:X_0\to X_2$ 为 $\mathsf{Top}$ 中的态射. 它们的推出为无交并 $X_1\bigsqcup X_2$ 关于由 $j_1(y)\sim j_2(y)$, $y\in X_0$ 所生成的等价关系的商. 它将 $X_1$ 和 $X_2$ 沿着 $j_1$ 和 $j_2$ 在 $X_0$ 下的像粘接起来. 比如:
•	令 ${\rho }_1:H\to G_1$, ${\rho }_2:H\to G_2$ 为 $\mathsf{Group}$ 中的态射, 则它们的推出为$$G_1\underset{H}{\ast }{G}_2=(G_1\ast G_2)/N,$$其中 $G_1\ast G_2$ 为群的自由积且 $N$ 为由 ${\rho }_1(h){\rho }_2^{-1}(h)$, $h\in H$ 所生成的正规子群, 上述构造也称为融合 (自由) 积.

例 5.21 (望远镜 ⁴与正向极限). 函子 $F:\mathbb{N}\to \mathcal{C}$ 被望远镜图表$$X_1\to X_2\to \cdots \to X_n\to X_{n+1}\to \cdots .$$所表示. 望远镜图表的极限也称为望远镜的正向极限, 简记为 $\underrightarrow{\lim }{X}_i$. 其泛性质图解为

积

定义 5.22. 令 $\mathcal{C}$ 为范畴, $\{A_{\alpha }{\}}_{\alpha \in I}$ 为 $\mathcal{C}$ 中的一族对象. 它们的积定义为 $\mathcal{C}$ 中的对象 $A$ 以及一族态射 ${\pi }_{\alpha }:A\to A_{\alpha }$ 使其满足以下泛性质: 对于任意 $\mathcal{C}$ 中对象 $X$ 以及态射 $f_{\alpha }:X\to A_{\alpha }$, 存在唯一的态射 $f:X\to A$ 使得下述图表交换

对于两个对象的乘积, 我们有以下交换图表乘积是极限. 事实上, 若给定指标集 $I$ 一个范畴结构 (态射只有恒等态射)⁵. 则资料 $\{A_{\alpha }{\}}_{\alpha \in I}$ 可以等同于函子 $F:I\to \mathcal{C}$. 它们的乘积即为 $\mathbf{lim}F$. 特别地, 乘积若存在则在至多相差一个同构的意义下是唯一确定的. 简记为$$\prod _{\alpha \in I}{A}_{\alpha }.$$一个有用的结论是, 乘积被右伴随函子 (比如遗忘函子) 所保持.

例 5.23.

•	令 $S_{\alpha }\in \mathsf{Set}$. 则 ${\prod }_{\alpha }{S}_{\alpha }=\{(s_{\alpha })|s_{\alpha }\in S_{\alpha }\}$ 为 Cartesian 积.
•	令 $X_{\alpha }\in \mathsf{Top}$. 则 ${\prod }_{\alpha }{X}_{\alpha }$ 为 Cartesian 积配上诱导的乘积拓扑. 即, $X\stackrel{f}{\to }{\prod }_{\alpha }{X}_{\alpha }$ 连续当且仅当 $X\stackrel{f_{\alpha }}{\to }{X}_{\alpha }$ 对于任意 $\alpha$ 都是连续的.
•	令 $G_{\alpha }\in \mathsf{Group}$. 则 ${\prod }_{\alpha }{G}_{\alpha }$ 为 Cartesian 积配上诱导的群结构, 即$$\prod _{\alpha }{G}_{\alpha }=\{(g_{\alpha })|g_{\alpha }\in G_{\alpha }\}$$且 $(g_{\alpha })\cdot (g_{\alpha }^{\prime })=(g_{\alpha }\cdot g_{\alpha }^{\prime })$.

余积

定义 5.24. 令 $\mathcal{C}$ 为范畴, $\{A_{\alpha }{\}}_{\alpha \in I}$ 为 $\mathcal{C}$ 中的一族对象. 它们的余积定义为 $\mathcal{C}$ 中的对象 $A$ 以及一族态射 $i_{\alpha }:A_{\alpha }\to A$ 使其满足以下泛性质: 对于 $\mathcal{C}$ 中的对象 $X$ 以及态射 $f_{\alpha }:A_{\alpha }\to X$, 存在唯一的态射 $f:A\to X$ 使得下述图表交换

余积是余极限. 如同乘积一般, 资料 $\{A_{\alpha }{\}}_{\alpha \in I}$ 定义出函子 $F:I\to \mathcal{C}$. 它们的余积即为 $\mathbf{colim}F$. 特别地, 余积若存在则在至多相差一个同构的意义下是唯一确定的. 简记为$$\coprod _{\alpha \in I}{A}_{\alpha }.$$一个有用的结论是余积被左伴随函子 (比如说自由构造) 所保持.

例 5.25.

•	令 $S_{\alpha }\in \mathsf{Set}$. 则 ${\coprod }_{\alpha \in I}{S}_{\alpha }=\{(s,\alpha )\in ({\bigcup }_{\alpha \in I}{S}_{\alpha })\times I\left|s\in S_{\alpha }\right\}$ 为集合的无交并.
•	令 $X_{\alpha }\in \mathsf{Top}$. 则 ${\coprod }_{\alpha }{X}_{\alpha }$ 为拓扑空间的无交并. 不难发现连续映射 $\left\{X_{\alpha }\stackrel{f_{\alpha }}{\to }Y\right\}$ 可以唯一地延拓为 ${\coprod }_{\alpha }{X}_{\alpha }\to Y$.
•	令 $G_{\alpha }\in \mathsf{Group}$. 则 ${\coprod }_{\alpha }{G}_{\alpha }$ 为群的自由积. 更精确地说, 我们有$$\coprod _{\alpha }{G}_{\alpha }:=\left\{\text{有限长度的字:}{x}_1{x}_2\cdots x_n|x_i\in G_{{\alpha }_i}\right\}/\sim ,$$其中若 $x_i$, $x_{i+1}\in G_{\alpha }$ 且 $(x_i\cdot x_{i+1})$ 为 $G_{\alpha }$ 中的乘积, 则$$x_1\cdots x_i{x}_{i+1}\cdots x_n\sim x_1\cdots (x_i\cdot x_{i+1})\cdots x_n$$${\coprod }_{\alpha }{G}_{\alpha }$ 的群结构为$$(x_1\cdots x_n)\cdot (y_1\cdots y_m):=x_1\cdots x_n{y}_1\cdots y_m.$$给定群同态 $G_{\alpha }\stackrel{f_{\alpha }}{\to }H$, 它唯一确定了一个群同态$$\begin{array}{rl}f:\coprod _{\alpha }{G}_{\alpha }& \to H\\ x_1\cdots x_n& \mapsto f_{{\alpha }_1}(x_1)\cdots f_{{\alpha }_n}(x_n)\end{array}$$其中 $f_{{\alpha }_i}$ 为字母 $x_i$ 所在的群 $G_{{\alpha }_i}$. 它显然满足余积的泛性质. 若只有有限多个 $G_{\alpha }$, 我们将其记为$$G_1\star G_2\cdots \star G_n:=\coprod _{\alpha }{G}_{\alpha }.$$

一点并与缩积

定义 5.26. 定义带点拓扑空间范畴 ${\mathsf{Top}}_{\star }$ 如下:

•	对象为带点空间 $(X,x_0)$, 即拓扑空间 $X$ 以及一个基点 $x_0$.
•	态射为保持基点的连续映射.

给定空间 $X$, 可以通过增加一个基点来将其变为带点空间, 即$$X_{+}=X\bigsqcup \star ,\text{带有基点 }\star .$$这给出函子$$(-{)}_{+}:\mathsf{Top}\to {\mathsf{Top}}_{\star }$$另一方面, 通过遗忘带点空间的基点可以给出遗忘函子$$\mathrm{Forget}:{\mathsf{Top}}_{\star }\to \mathsf{Top}.$$它们构成伴随对$$(-{)}_{+}:\mathsf{Top}\rightleftarrows {\mathsf{Top}}_{\star }:\mathrm{Forget}$$由此推知 ${\mathsf{Top}}_{\star }$ 中的极限为 $\mathsf{Top}$ 中的极限. 特别地, ${\mathsf{Top}}_{\star }$ 中带点空间 $\{(X_i,x_i)\}$ 的乘积刻画为拓扑乘积$$\prod _i{X}_i,\text{且有基点 }\{x_i\}.$$在 ${\mathsf{Top}}_{\star }$ 中, 两个带点空间 $X$, $Y$ 的余积定义为 楔和 (或称一点并, 楔积)⁶$\vee$. 即$$X\vee Y=X\bigsqcup Y/\sim$$其中 $x_0\sim y_0$ , $x_0$ 和 $y_0$ 分别为 $X$ 和 $Y$ 的基点, 由商所粘为一点的部分为新的基点. 一般来说, 我们有$$\underset{i\in I}{\bigvee }{X}_i=\coprod _{i\in I}{X}_i/\sim$$此处 $\sim$ 亦为全体 $X_i$ 的基点. 换句话说, $\bigvee$ 为空间在一点上的并.

例 5.27. 例 3.9 所展现的 8-字形可以被实现为 $S^1\vee S^1$.

在 ${\mathsf{Top}}_{\star }$ 中, 还有另外一种操作, 称作缩积 $\wedge$, 它具有伴随性 ⁷, 并且在同伦论中具有重要地位. 具体而言,$$X\wedge Y=X\times Y/\sim$$其中 $(x,y_0)\sim (x_0,y)$ 对于所有 $x\in X$ 与 $y\in Y$ 成立. 被商掉的部分作为 $X\wedge Y$ 的基点. 注意到我们可以将其写为商$$X\wedge Y=X\times Y/X\vee Y.$$

图 1. Smash product of circles

例 5.28. 有自然同胚$$S^1\wedge S^n\cong S^{n+1}.$$这可以推出 $S^n\wedge S^m\cong S^{n+m}$. 例如, 图 1 表示 $n=1$ 的情况. 在此时, 通过在环面中切去绿色/紫色的圈 (这样我们得到一个方形) 然后将它们粘 (即将方形的边界粘) 为一点就能得到商 $S^2$.

完备与余完备

定义 5.29. 范畴 $\mathcal{C}$ 被称为是完备 (或 余完备) 若对于任意小范畴 $\mathcal{I}$ , 任意函子 $F\in \mathsf{Fun}(\mathcal{I},\mathcal{C})$ 的极限 (余极限) $\mathbf{lim}F$ ($\mathbf{colim}F$) 都存在.

例 5.30. $\mathsf{Set}$, $\mathsf{Ab}$, $\mathsf{Vect}$, $\mathsf{Top}$ 都是完备且余完备的.

举例来说, 在 $\mathsf{Set}$ 中, 函子 $F:I\to \mathsf{Set}$ 的极限为以下集合$$\mathbf{lim}F=\left\{(x_i{)}_{i\in I}\in \prod _{i\in I}F(i)|x_j=F(f)(x_i)\text{for any}i\stackrel{f}{\to }j\right\}\subset \prod _{i\in I}F(i),$$它是 ${\prod }_{i\in I}F(i)$ 的子集. 余极限为以下集合$$\mathbf{colim}F=\coprod _{i\in I}F(i)/\left\{x_i\sim F(f)(x_i)\text{for any}i\stackrel{f}{\to }j,x_i\in F(i)\right\},$$为 ${\coprod }_{i\in I}F(i)$ 的商集.
再举个例子, 考虑 $\mathsf{Top}$. 由于遗忘函子 $\mathsf{Top}\to \mathsf{Set}$ 既是左伴随又是右伴随, 它既保极限又保余极限. 给定 $F:I\to \mathsf{Top}$, 其极限 $\mathbf{lim}F$ 的底层集合即为 $\mathsf{Set}$ 中的极限, 而后配备对应的极限拓扑. 类似地, 余极限也是如此.

始对象与终对象

定义 5.31. 范畴 $\mathcal{C}$ 中的一个始对象 (或称泛对象) 是一个对象 $\star$ 使得对于 $\mathcal{C}$ 中所有对象 $X$, 都只存在且只存在一个态射 $\star \to X$.
对偶地, 一个终对象是一个对象 $\star$ 使得对于任意 $X\in \mathcal{C}$, 都存在且只存在一个态射 $X\to \star$.
若一个对象既是始对象又是终对象, 则称其为零对象.

例 5.32. 在范畴 $\mathsf{Set}$ 中, 空集 $\varnothing$ 是始对象, 单点集为终对象. 在 $\mathsf{Top}$ 中同样如此.

函子 $F:I\to \mathcal{C}$ 的极限可以视为以下范畴的终对象. 定义范畴 ${\mathcal{C}}_F$ 如下:

•	${\mathcal{C}}_f$ 中的对象为对象 $A\in \mathcal{C}$ 配上自然变换$$\Delta (A)\Rightarrow F$$
•	${\mathcal{C}}_f$ 中的态射为 $\mathcal{C}$ 中使得下述图表交换的态射 $f:A\to B$:

则 $F$ 可以视为 ${\mathcal{C}}_F$ 的终对象. 对偶构造告诉我们 $\mathbf{colim}F$ 也可以视为始对象.

译者注

1.	^ 译者更喜欢将其称为由图表生成的范畴
2.	^ 即继续复合
3.	^ 需要注意的是数学里有很多 “连续函子”, 比方说景之间就有连续函子, 但是与本文所述的连续函子是不一样的, 它是拓扑空间连续映射的原像的推广.
4.	^ 此处原文为 Telescope 没有合适翻译, 若有合适翻译请进行修改.
5.	^ 或者说, 给定集合 $I$ 对应的离散范畴结构.
6.	^ xiē hé.
7.	^ 确切来说, 在 $\underline{{\mathcal{T}}_{\star }}$ 中, 它可以作为幺半范畴的张量积函子, 它的右伴随即为 $\underline{{\mathcal{T}}_{\star }}$ 中的映射对象, 可以发现这使其成为闭幺半范畴.