1. 光滑流形, 光滑映射

定义 1.1 (光滑流形). 设 $M$ 是一个集合, $n$ 是正整数, 我们称形如 $(U,\phi )$ 的有序对为 $M$ 上的一个 $n$ 维区图或 $n$ 维局部坐标系, 其中 $U\subseteq M$ (称为坐标区域), $\phi$ 是 $U\to {\mathbb{R}}^n$ 的映射 (称为坐标映射), 使得 $\phi (U)$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的开集. 区图 $(U,\phi )$ 通常也可以写作 $(U;x^1,\cdots ,x^n)$ 的形式, 其中 $x^i$ 是 $\phi$ 的第 $i$ 个分量函数 (即 $x^i(p)=\phi (p{)}^i$. $x^1,\cdots ,x^n$ 称为这个区图的 $n$ 个坐标函数). 若一个 $n$ 维区图的集合 $\mathcal{A}$ 满足如下性质

1.	任意两个区图 $C^{\infty }$ 相容, 即 $\forall$ $(U,\phi )$, $(V,\psi )\in \mathcal{A}$, $\phi \circ {\psi }^{-1}$ 及 $\psi \circ {\phi }^{-1}$ 限制在 $U\cap V$ 上都是 $C^{\infty }$ 映射 (任意分量的任意阶偏导数存在且连续),
2.	$\mathcal{A}$ 构成 $M$ 的坐标覆盖, 即 ${\bigcup }_{(U,\phi )\in \mathcal{A}}U=M$,

则称 $\mathcal{A}$ 为 $M$ 的一个 ${\mathbf{C}}^{\infty }$ 图册. 进一步地, 如果 $\mathcal{A}$ 还满足

•	极大性: $M$ 中上若存在一个区图 $(V,\psi )$ 使得每一个 $\mathcal{A}$ 里的区图 $(U,\phi )$ 都与 $(V,\psi )$ 是 $C^{\infty }$ 相容的, 则 $(V,\psi )\in \mathcal{A}$.

则称 $\mathcal{A}$ 是 $M$ 上的一个光滑结构, 称有序对 $(M,\mathcal{A})$ 为一个 $n$ 维光滑流形 (或 $M$ 关于 $\mathcal{A}$ 构成光滑流形). $\mathcal{A}$ 中的区图称为这个光滑流形上的光滑区图或光滑坐标系.

注 1.2. 给定一个 $C^{\infty }$ 图册 $\mathcal{A}$, 存在唯一光滑结构 $\overline{\mathcal{A}}$ 使得 $\mathcal{A}\subseteq \overline{\mathcal{A}}$. 正因如此, 我们构造光滑流形的时候, 只需要把光滑结构给出即可.

注 1.3. 通常的光滑结构还需要满足如下两条技术性假设

•	Hausdorff 可分性: 任意 $p,q\in M$, 存在区图 $(U,\phi ),(V,\psi )\in \mathcal{A}$, 使得 $p\in U,q\in V$, 且 $U\cap V=\varnothing$,
•	第二可数性: 存在 $C^{\infty }$ 图册 ${\mathcal{A}}_0\in \mathcal{A}$, 使得 ${\mathcal{A}}_0$ 是有限集或可数集,

这可以保证流形总能光滑嵌入到有限维欧氏空间当中 (Whitney 嵌入定理).

例 1.4. ${\mathbb{R}}^n$ 本身构成 $n$ 维光滑流形, 其光滑结构由单个区图组成的 $C^{\infty }$ 图册 $\{({\mathbb{R}}^n,{\mathrm{id}}_{{\mathbb{R}}^n})\}$ 极大化扩充而得. ${\mathbb{R}}^n$ 上的任意开集也是如是.

例 1.5. 球面 $S^n=\{(x^1,x^2,\cdots ,x^{n+1}):{\sum }_{i=1}^n(x^i{)}^2=1\}$ 是一个 $n$ 维光滑流形, 其光滑结构是由 $C^{\infty }$ 图册 $\{(U,\phi ),(V,\psi )\}$ 极大化扩充而得的. 其中$$U=S^n\backslash \{(0,\cdots ,0,1)\},\phi (x^1,x^2,\cdots ,x^{n+1})=\left(\frac{x^1}{1-x^{n+1}},\frac{x^2}{1-x^{n+1}},\cdots ,\frac{x^n}{1-x^{n+1}}\right)$$$$V=S^n\backslash \{(0,\cdots ,0,-1)\},\psi (x^1,x^2,\cdots ,x^{n+1})=\left(\frac{x^1}{1+x^{n+1}},\frac{x^2}{1+x^{n+1}},\cdots ,\frac{x^n}{1+x^{n+1}}\right)$$是这个球面的两个球极投影映射.

例 1.6 (开子流形). $M$ 是 $n$ 维光滑流形, $W\subset M$ 若满足: 对于 $M$ 中的任意光滑区图 $(U,\phi )$, $\phi (U\cap W)$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的开集, 则称 $W$ 是光滑流形 $M$ 的开集. 若 $W$ 是 $M$ 的开集, 则$$\{(U\cap W,\phi {|}_{U\cap W}):(U,\phi )\in {\mathcal{A}}_M,U\cap W\ne \varnothing \}$$构成 $W$ 的光滑结构, 使 $M$ 构成一个 $n$ 维光滑流形, 称为 $M$ 的 开子流形.

注 1.7. 可以证明, 所有开集构成 $M$ 的一个拓扑. 因此光滑流形自然地是一个拓扑空间. 这个拓扑里包含了 $M$ 上所有光滑坐标系的坐标区域, 并且由于坐标映射的存在, 这个拓扑空间是一个拓扑流形.

例 1.8 (积流形). 如果 $M,N$ 是两个光滑流形, 则 $M\times N$ 也是光滑流形. 其光滑结构由 $\{(U\times V,\phi \otimes \psi ):(U,\phi )\in {\mathcal{A}}_M,(V,\psi )\in {\mathcal{A}}_N\}$ 极大化扩充而得. 这里的 ${\mathcal{A}}_M,{\mathcal{A}}_N$ 分别是 $M,N$ 的光滑结构; $\phi \otimes \psi$ 定义为$$\phi \otimes \psi (p,q)=(\phi (p),\psi (q)),p\in M,q\in N.$$

例 1.9 (平面上的所有直线). 设 $L$ 为平面 $R^2$ 上所有直线组成的集合. 我们取其上两个坐标系 $(U,\phi )$, $(V,\psi )$, 其中$$U\text{是全体不平行于}y\text{轴的直线},\phi :\text{“}y=kx+b\text{”}\mapsto (k,b),$$$$V\text{是全体不平行于}x\text{轴的直线},\psi :\text{“}x=\kappa y+\beta \text{”}\mapsto (\kappa ,\beta ),$$则对于 $U\cap V$ 中的元素, 即不平行于任何坐标轴的直线而言, $(k,b)$ 到 $(\kappa ,\beta )$ 之间有转换关$$(k,b)=\phi \circ {\psi }^{-1}(\kappa ,\beta )=\left(\frac{1}{\kappa },-\frac{\beta }{\kappa }\right),(\kappa ,\beta )=\psi \circ {\phi }^{-1}(k,b)=\left(\frac{1}{k},-\frac{b}{k}\right),$$故 $\phi \circ {\psi }^{-1}(\kappa ,\beta ),\psi \circ {\phi }^{-1}$ 都是光滑映射, 从而 $(U,\phi )$, $(V,\psi )$ 是 $C^{\infty }$ 相容的. 此外直线不可能同时平行于两个坐标轴, 从而 $U\cup V=L$, 故 $\{(U,\phi ),(V,\psi )\}$ 构成 $L$ 的 $C^{\infty }$ 图册, 其极大化扩充是 $L$ 上的光滑结构, 使之构成一个 $2$ 维的光滑流形.

注 1.10. 这个光滑流形同胚于射影平面 $\mathbb{R}{P}^2$, 与 ${\mathbb{R}}^2$ 不同胚, 这可以一定程度上解释为什么两个参数的直线方程总是有一些直线不能表示.

定义 1.11 (光滑函数). 设 $M$ 是光滑流形, $f$ 是 $M\to \mathbb{R}$ 的函数, $p\in M$, 若 $M$ 上存在一个光滑坐标系 $(U,\phi )$, 使得 $p\in U$, 且 $f\circ {\phi }^{-1}:\phi (U)\to \mathbb{R}$ 在点 $\phi (x)$ 处光滑, 则称 $f$ 在点 $\mathbf{p}$ 处光滑. 如果 $f$ 在 $M$ 的每个点处都是光滑的, 则称 $f$ 是 $M$ 上的光滑函数.

注 1.12. 利用光滑结构中光滑坐标系的相容性, 可以证明: $f$ 在 $x$ 处光滑当且仅当形对于 $M$ 任意一个光滑坐标系 $(U,\phi )$, 只要 $x\in U$, $f\circ {\phi }^{-1}:\phi (U)\to \mathbb{R}$ 就一定在点 $\phi (x)$ 处光滑, 类似的结论对下述光滑映射亦成立.

定义 1.13 (光滑映射). 设 $M,N$ 是光滑流形, $f$ 是 $M\to N$ 的映射, $p\in M$, 若 $M$ 上存在一个光滑坐标系 $(U,\phi )$, $N$ 上存在一个光滑坐标系 $(V,\psi )$, 使得 $p\in U$, $f(U)\subseteq V$, 且 $\psi \circ f\circ {\phi }^{-1}:\phi (U)\to \psi (V)$ 在点 $\phi (x)$ 处光滑, 则称 $f$ 在点 $\mathbf{p}$ 处光滑. 如果 $f$ 在 $M$ 的每个点处都是光滑的, 则称 $f$ 是 $M\to N$ 的光滑映射.

注 1.14. 光滑函数可以看作是光滑映射在 $N=\mathbb{R}$ 时的特例. 此外, 如果 $M$ 是 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{R}$ 上的开区间, 则我们就得到了光滑曲线的定义.

注 1.15. 将上述定义中的 “光滑” 改成 “连续”, “可微”, “$r$ 阶可微”, 则可相应得到 “连续映射”, “可微映射”, “$r$ 阶可微映射” 的定义.

定义 1.16 (光滑映射的秩). 设 $M,N$ 是光滑流形, $f:M\to N$ 是光滑映射, $p\in M$, 任取 $M$ 上的一个光滑坐标系 $(U,\phi )$, $N$ 上存在一个光滑坐标系 $(V,\psi )$, 使得 $p\in U$, $f(U)\subseteq V$, 我们称 Jacobi 矩阵 $J_{\psi \circ f\circ {\phi }^{-1}}(\phi (x))$ 的秩为 $M\to N$ 的秩.

注 1.17. 利用光滑坐标系之间的 $C^{\infty }$ 相容性可以证明上述秩的定义与 $(U,\phi )$, $(V,\psi )$ 的选取方式无关; 此外, 我们其实只需要 $f$ 在 $p$ 点处可微即可定义上述秩的概念.

定义 1.18 (光滑同胚). 设 $M,N$ 是光滑流形, $f:M\to N$ 是光滑映射, 如果 $f$ 是双射, 且 $f^{-1}$ 是 $N\to M$ 的光滑映射, 则称 $f$ 是 $M\to N$ 的光滑同胚. 有时我们会考虑 $M$ 的一个开子流形与 $N$ 的一个开子流形之间的同胚, 这称为 $M\to N$ 的局部光滑同胚.

定义 1.19 (光滑浸入, 光滑嵌入). 设 $M,N$ 是光滑流形, $f:M\to N$ 是光滑映射, 如果 $f$ 在任意一点处的秩都等于 $M$ 的维数, 则称 $f$ 是一个光滑浸入. 如果 $f$ 作为拓扑空间 $M\to N$ 的映射是嵌入映射, 则称 $f$ 是 $M\to N$ 的一个 光滑嵌入.

定义 1.20 (光滑嵌入子流形). 设 $M$ 是光滑流形, $N\subseteq M$, 如果 $N$ 上定义有一个光滑结构, 使得恒同嵌入映射 ${\mathrm{id}}_N:N\to M$ 是光滑嵌入, 则称 $N$ 是 $M$ 的光滑嵌入子流形, 简称光滑子流形.