2. 切向量, 切向量场

定义 2.0.1 (切向量). 设 $M$ 是光滑流形, $p\in M$, 记 $C_p^{\infty }(M)$ 为在 $p$ 的某一个开邻域内光滑的函数全体, 一个 $p$ 点处发出的切向量指的是一个满足如下两款的 $C_p^{\infty }(M)\to \mathbb{R}$ 的算子

•	线性性质: 对于任意 $f,g\in C_p^{\infty }(M)$ 及 $c\in \mathbb{R}$, 有 $v(f+cg)=v(f)+cv(g)$.
•	Leibniz 法则: 对于任意 $f,g\in C_p^{\infty }(M)$ 有 $v(fg)=v(f)g(p)+v(g)f(p)$.

满足这些性质的算子全体按实值算子的逐点加法, 数乘构成线性空间, 称为 $M$ 在 $p$ 点处的 切空间, 记作 $T_{p}M$.

定义 2.0.2 (自然基向量). 设 $M$ 是光滑流形, $p\in M$, $(U,\phi ;x^1,\cdots ,x^n)$ 是 $M$ 的一个光滑区图, 使得 $p\in U$. 记$${\frac{\partial }{\partial x^i}|}_p:C_p^{\infty }\to \mathbb{R},f\mapsto \frac{\partial (f\circ {\phi }^{-1})}{\partial x^i}(\phi (x)),$$(2.1)则 ${\frac{\partial }{\partial x^1}|}_p,{\frac{\partial }{\partial x^2}|}_p,\cdots ,{\frac{\partial }{\partial x^n}|}_p\in T_{p}M$. 它们称为 $M$ 在 $p\in M$ 坐标系 $(U,\phi ;x^1,\cdots ,x^n)$ 诱导的 $p$ 点处的基向量.

定理 2.0.3 (切空间的结构). 定义 (2.0.2) 中给出的 $n$ 个基向量 ${\frac{\partial }{\partial x^1}|}_p,{\frac{\partial }{\partial x^2}|}_p,\cdots ,{\frac{\partial }{\partial x^n}|}_p$ 构成 $T_{p}M$ 的一组基底, 从而 $T_{p}M$ 是一个维数与 $M$ 相等的有限维线性空间.

命题 2.0.4 (切空间基底之间的转换). 设 $M$ 是光滑流形, $p\in M$, $(U,\phi ;x^1,\cdots ,x^n)$, $(V,\psi ;y^1,\cdots ,y^n)$ 是 $M$ 的一个光滑区图, 使得 $p\in U\cap V$. 则$${\frac{\partial }{\partial y^j}|}_p={\frac{\partial x^i}{\partial y^j}|}_p{\frac{\partial }{\partial x^i}|}_p,{\frac{\partial }{\partial x^i}|}_p={\frac{\partial y^j}{\partial x^i}|}_p{\frac{\partial }{\partial y^j}|}_p,$$(2.2)从而如果一个 $v\in T_{p}M$ 可以表示为$$v=v_x^i{\frac{\partial }{\partial x^i}|}_p=v_y^j{\frac{\partial }{\partial y^j}|}_p,$$(2.3)则系数组 $v_x^i$ 和 $v_x^j$ 之间的转换关系为$$v_x^i=v_y^j{\frac{\partial x^i}{\partial y^j}|}_p,v_y^j=v_x^i{\frac{\partial y^j}{\partial x^i}|}_p$$(2.4)

注 2.0.5. 在 (2.2) $\sim$ (2.4) 中, 我们都使用到了爱因斯坦求和约定, 即单项式中出现相同指标, 则表达式的含义是对该指标遍历其可能范围所得的多项式. 比方说 (2.2), 其含义应被理解为$${\frac{\partial }{\partial y^j}|}_p=\sum _{i=1}^n{\frac{\partial x^i}{\partial y^j}|}_p{\frac{\partial }{\partial x^i}|}_p,{\frac{\partial }{\partial x^i}|}_p=\sum _{j=1}^n{\frac{\partial y^j}{\partial x^i}|}_p{\frac{\partial }{\partial y^j}|}_p.$$

注 2.0.6. ${\frac{\partial x^i}{\partial y^j}|}_p$ 应被理解为 $J_{\phi \circ {\psi }^{-1}}(\psi (p))$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列; ${\frac{\partial y^j}{\partial x^i}|}_p$ 应被理解为 $J_{\psi \circ {\phi }^{-1}}(\phi (p))$ 的第 $j$ 行第 $i$ 列.

注 2.0.7. 如果不强调点 $p$ (比方说对于切向量场而言), 那么转换关系 (2.2) 就可以写成$$\frac{\partial }{\partial y^j}=\frac{\partial x^i}{\partial y^j}\frac{\partial }{\partial x^i},\frac{\partial }{\partial x^i}=\frac{\partial y^j}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial y^j},$$形式上就是多元微积分中的链式求导法则 (本质上也是由链式求导法则推导出来的).

定义 2.0.8 (切映射). 设 $M,N$ 是光滑流形, $f:M\to N$ 是光滑映射, 对于任意 $p\in M$ 及 $v\in T_{p}M$, 定义 $f_{\ast p}v\in T_{f(p)}N$ 为如下 $C_{f(p)}^{\infty }(N)\to \mathbb{R}$ 的算子: $$f_{\ast p}v(h)=v(h\circ f),\forall h\in C_{f(p)}^{\infty }(N)$$(2.5)上式定义的 $f_{\ast p}$ 构成 $T_{p}M\to T_{f(p)}N$ 的线性映射, 称为 $f$ 在 $p$ 点诱导的 $T_{p}M\to T_{f(p)}N$ 的切映射.

命题 2.0.9. 设 $M,N$ 是光滑流形, $f:M\to N$ 是光滑映射, 则 $f$ 在 $p$ 点处的秩就是 $f_{\ast p}$ 作为线性映射的秩, 并且任取 $M$ 上的光滑坐标系 $(U,\phi ;x^1,\cdots ,x^n)$, $N$ 上的光滑坐标系 $(V,\psi ;y^1,\cdots ,x^m)$, 使得 $p\in U$, $f(U)\subseteq V$, 则 $f_{\ast p}$ 在基底 $\frac{\partial }{\partial x^1}{|}_p$, $\cdots$, $\frac{\partial }{\partial x^m}{|}_p$ 和基底 $\frac{\partial }{\partial y^1}{|}_p$, $\cdots$, $\frac{\partial }{\partial y^n}{|}_p$ 下的矩阵恰为 Jacobi 矩阵 ${\left(\frac{\partial y^i}{\partial x^j}{|}_p\right)}_{n\times n}=J_{\psi \circ f\circ {\phi }^{-1}}(\phi (p))$.

定义 2.0.10. 设 $M$ 是光滑流形, 记 $TM={\bigcup }_{p\in M}{T}_{p}M$, 一个切向量场指的是 $M\to TM$ 的映射 $X$, 使得对于每一个 $p\in M$, 有 $X(p)\in T_{p}M$. $X(p)$ 也记作 $X_p$.

例 2.0.11. 设 $M$ 是光滑流形, $(U,\phi ;x^1,\cdots ,x^n)$ 是其上光滑坐标系, 则$$\frac{\partial }{\partial x^i}:U\to TU,p\mapsto {\frac{\partial }{\partial x^i}|}_p$$(2.6)是开子流形 $U$ 上的切向量场.

切向量场上有这样一些运算:

•	逐点相加与数乘: $X+cY$ 即 $M\to TM,p\mapsto X(p)+cY(p)$
•	与实值函数的乘法: 假设 $f:M\to \mathbb{R}$, 则 $fX$ 即 $M\to TM,p\mapsto f(p)X(p)$.
•	在光滑函数上的作用: 假设 $f\in C^{\infty }(M)$, 则 $Xf$ 即 $M\to \mathbb{R},p\mapsto X_p(f)$, 即 $Xf$ 在 $p$ 点处的取值应等于 $X(p)$ 这个 $T_{p}M$ 中的切向量作用在函数 $f$ 上的结果.

设 $X$ 是光滑流形 $M$ 上的切向量场, $(U;x^1,\cdots ,x^n)$ 是其一光滑坐标系. 则对于任意 $p\in U$, $X_p$ 可以在基底 ${\frac{\partial }{\partial x^1}|}_p,{\frac{\partial }{\partial x^2}|}_p,\cdots ,{\frac{\partial }{\partial x^n}|}_p$ 下展开为$$X_p=X_p^i{\frac{\partial }{\partial x^i}|}_p,$$(2.7)如果我们定义 $X^i:p\mapsto X_p^i$ 为 $U\to \mathbb{R}$ 的函数, 那么 (2.7) 其实就可以写作$$X=X^i\frac{\partial }{\partial x^i},$$(2.8)这就是 $U$ 上的函数与向量场的乘积了, 这被称为 $X$ 在坐标系 $(U;x^1,\cdots ,x^n)$ 的展开, 函数 $X^1,X^2,\cdots ,X^n$ 称为展开系数.

定义 2.0.12 (光滑向量场). 若光滑流形 $M$ 上的一个向量场 $X$ 在任何光滑坐标系 $(U;x^1,\cdots ,x^n)$ 下的 $n$ 个展开系数都是坐标区域 $U$ 上的光滑函数, 则称 $X$ 是 $M$ 上的光滑向量场. $M$ 上的全体光滑切向量场组成的集合记作 $\mathfrak{X}(M)$.

定义 2.0.13 (Lie 括号). 设 $M$ 是光滑流形, $X,Y$ 是其上光滑向量场, 则 $M$ 上存在唯一光滑向量场 $[X,Y]$, 使得对于任意光滑函数 $f$, 有$$[X,Y]f:X(Yf)-Y(Xf),$$(2.9)称为 $X,Y$ 的 Lie 括号.

在单个局部坐标系 $(U;x^1,x^2,\cdots ,x^n)$ 下, 若$$X=X^i\frac{\partial }{\partial x^i},Y=Y^j\frac{\partial }{\partial x^j},$$则直接计算可以得到$$[X,Y]=\left(X^i\frac{\partial Y^j}{\partial x^i}-Y^i\frac{\partial X^j}{\partial x^i}\right)\frac{\partial }{\partial x^j}.$$