3. 张量, 张量场

张量, 张量场

对于一个有限维实线性空间 $V$, 其对偶空间 $V^{\ast }$ 定义为全体 $V\to \mathbb{R}$ 的线性函数按照逐点加法和数乘组成的线性空间. 对偶空间的维数总是与原空间一致, 并且假设 $V$ 有一组基底 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$, 则在对偶空间中会相应存在唯一一组基底 $e^1,e^2,\cdots ,e^n$, 使得$$e^i(e_j)={\delta }_j^i=\{\begin{array}{ll}1& i=j\\ 0& i\ne j.\end{array}$$(3.1)$e^1,e^2,\cdots ,e^n$ 被称为 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$ 的对偶基底. 此外, 人们规定$$v(\alpha )=\alpha (v),v\in V,\alpha \in V^{\ast }$$(3.2)在此意义下, $V^{\ast \ast }=V$.

定义 3.0.1 (余切向量). 设 $M$ 是光滑流形, $p\in M$, 我们称切空间 $T_{p}M$ 的对偶空间为 $M$ 在 $p$ 点处的余切空间, 记作 $T_p^{\ast }M$, 其中的向量称为余切向量.

例 3.0.2 (函数微分). 设 $M$ 是光滑流形, $p\in M$, $f$ 是 $M$ 上的实值函数, 在 $p$ 附近光滑, 那么我们考虑算子 $\mathrm{d}f{|}_p:T_{p}M\to \mathbb{R}$, 使得对于任意 $v\in T_{p}M$, 有$$\mathrm{d}f{|}_p(v)=v(f),$$则很容易验证 $\mathrm{d}f{|}_p$ 是 $T_{p}M\to \mathbb{R}$ 的线性算子, 从而它是 $T_p^{\ast }M$ 中的元素.

命题 3.0.3. 设 $M$ 是光滑流形, $p\in M$, $(U,\phi ;x^1,\cdots ,x^n)$ 是 $M$ 的一个光滑坐标系, 使得 $p\in U$, 则 $\mathrm{d}{x}^1{|}_p,\mathrm{d}{x}^2{|}_p,\cdots ,\mathrm{d}{x}^n{|}_p$ 构成 $T_p^{\ast }M$ 的一组基底, 它是 $T_{p}M$ 的基底 ${\frac{\partial }{\partial x^1}|}_p,{\frac{\partial }{\partial x^2}|}_p,\cdots ,{\frac{\partial }{\partial x^n}|}_p$ 的对偶基底, 从而有$$\mathrm{d}f{|}_p={\frac{\partial f}{\partial x^i}|}_p\mathrm{d}{x}^i{|}_p,$$(3.3)其中 ${\frac{\partial f}{\partial x^i}|}_p=\frac{\partial f\circ {\phi }^{-1}}{\partial x^i}(\phi (p))$.

我们可以用与定义切向量场完全一样的方式来定义余切向量场, 从而一个张量场在光滑坐标系 $(U;$ $x^1,$ $x^2,$ $\cdots ,$ $x^n)$ 下可以表示为$$\alpha ={\alpha }_i\mathrm{d}{x}^i,$$(3.4)的形式, 其中 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 都是 $U$ 上的函数. 如果对于任意 $(U;$ $x^1,$ $x^2,$ $\cdots ,$ $x^n)$, 这些函数都是光滑的, 则称 $\alpha$ 是光滑余切向量场, 它们的全体记作 ${\mathfrak{X}}^{\ast }(M)$. 此外, (3.3) 这种表达式就可以直接写作$$\mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial x^i}\mathrm{d}{x}^i,$$(3.5)与微积分中常见的微分表达式的形式完全一致. 显然, 如果 $f$ 是光滑的, 那么 $\mathrm{d}f$ 也是光滑的. 余切向量场的运算, 除了加减, 数乘, 与实值函数相乘以外, 还有一个是

•	在切向量场上的作用: 设 $\alpha$ 是余切向量场, $X$ 是切向量场, 则 $\alpha (X)$ 是实值函数 $p\mapsto {\alpha }_p(X_p)$.

对于一个线性空间 $V$, 我们可以定义 $\mathbf{k}$ 重线性函数, 即一个 $V^k\to \mathbb{R}$ 的函数 $f$, 使得 $f(v_1,\cdots ,v_n)$ 对于每一个 $v_i$ 都是线性函数. $V$ 上的一个 $k$ 重线性函数也称为 $V$ 上的一个 $k$ 阶协变张量. 比方说对偶空间中的向量就是一个 1 阶协变张量.

张量作为一个实值函数, 其有自然定义的逐点加法和数乘, 此外我们可以通过张量积利用低阶的协变张量构造高阶的协变张量. 设 $\alpha ,\beta$ 分别是 $k$, $\ell$ 阶协变张量, 它们的张量积定义为$$\alpha \otimes \beta (v_1,\cdots ,v_k,v_{k+1},\cdots ,v_{k+\ell })=\alpha (v_1,\cdots ,v_k)\beta (v_{k+1},\cdots ,v_{k+\ell }).$$(3.6)这样定义的 $\alpha \otimes \beta$ 是一个 $k+\ell$ 阶协变张量. 我们还可以类似地定义三个及以上协变张量的张量积.

命题 3.0.4. 设 $V$ 是线性空间, 维数为 $n$, 记 $V^{\otimes k,0}$ 为其全体 $k$ 阶协变张量按逐点加法和数乘组成的线性空间, 则 $V$ 是一个 $n^r$ 维线性空间, 且对于 $V$ 中的任意一组基底 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$, 全体形如$$e^{i_1}\otimes e^{i_2}\otimes \cdots \otimes e^{i_k},i_{\lambda }=1,2,\cdots ,n;\lambda =1,2,\cdots ,k.$$的张量构成 $V^{\otimes k,0}$ 的一组基底, 其中 $e^1,e^2,\cdots ,e^n$ 为 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$ 的对偶基, 从而任意 $\tau \in V^{\otimes k,0}$ 都可以表示为$$\tau ={\tau }_{i_1,\cdots ,i_k}{e}^{i_1}\otimes e^{i_2}\otimes \cdots \otimes e^{i_k}$$的形式.

$V^{\ast }$ 上的 $\ell$ 重线性函数称为 $V$ 上的一个 $k$ 阶反变张量, 它们全体构成的集合记作 $V^{\otimes 0,\ell }$. 特别地, 按照 (3.2), $V$ 本身就是 $V^{\ast }$ 上的全体线性函数组成的空间 $V$ 上全体 $1$ 阶反变张量组成的空间. 类似命题 3.0.4, 我们有

命题 3.0.5. 设 $V$ 是线性空间, 维数为 $n$, 记 $V^{\otimes 0,\ell }$ 为其全体 $\ell$ 阶协变张量按逐点加法和数乘组成的线性空间, 则 $V$ 是一个 $n^{\ell }$ 维线性空间, 且对于 $V$ 中的任意一组基底 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$, 全体形如$$e_{i_1}\otimes e_{i_2}\otimes \cdots \otimes e_{i_r},i_{\lambda }=1,2,\cdots ,n;\lambda =1,2,\cdots ,\ell .$$的张量构成 $V^{\otimes k,0}$ 的一组基底, 从而任意 $\tau \in V^{\otimes k,0}$ 都可以表示为$$\tau ={\tau }^{i_1,\cdots ,i_{\ell }}{e}_{i_1}\otimes e_{i_2}\otimes \cdots \otimes e_{i_{\ell }}$$的形式.

一般的张量可以既有协变分量也有反变分量, 即它是 $V^k\times (V^{\ast }{)}^{\ell }\to \mathbb{R}$ 的多重线性函数, 它的前 $k$ 个分量称为协变分量, 后 $\ell$ 个分量称为反变分量. 这样的一个张量称为一个 $\mathbf{k}$ 阶协变, $\mathbf{\ell }$ 阶反变的张量, 全体 $k$ 阶协变, $\ell$ 阶反变的张量记作 $V^{\otimes k,\ell }$. 一个 $V^{\otimes k,\ell }$ 中的张量在基底 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$ 下具有$$\tau ={{\tau }_{i_1,\cdots ,i_k}}^{j_1,\cdots ,j_{\ell }}{e}^{i_1}\otimes e^{i_2}\otimes \cdots \otimes e^{i_k}\otimes e_{i_1}\otimes e_{i_2}\otimes \cdots \otimes e_{i_{\ell }}$$的形式.

更一般来讲, 协变与反变分量不一定要按照上述顺序, 即 $V$ 上更一般的张量是一个 $V^{(1)}\times V^{(2)}\times \cdots \times V^{(m)}\to \mathbb{R}$ 的多重线性函数, 其中 $V^{(1)},V^{(2)},\cdots ,V^{(m)}$ 或为 $V$, 或为 $V^{\ast }$; 为 $V^{\ast }$ 的分量称为协变分量, 为 $V$ 的分量称为反变分量. 如果一个张量总共有 $k$ 个协变分量和 $\ell$ 个反变分量, 则称之为一个 $k$ 阶协变, $\ell$ 阶反变的张量. 全体 $k$ 阶协变, $\ell$ 阶反变的张量. 比方说一个 $2$ 阶协变, $1$ 阶反变的张量可能是一个 $V\times V^{\ast }\times V\to \mathbb{R}$ 的三重线性函数, 具有$${{{\tau }_{i_1}}^{i_2}}_{i_3}{e}^{i_1}\otimes e_{i_2}\otimes e^{i_3}$$的形式. 此外, 一个 $V^k\to V$ 的线性映射 $f$ 也可以看作是一个 $k$ 阶协变, 1 阶反变的张量场, 这是因为我们可以自然地规定$$f(v_1,v_2,\cdots ,v_k,\alpha )=\alpha (f(v_1,v_2,\cdots ,v_k)).$$

定义 3.0.6. 设 $M$ 是一个光滑流形, 在每一个 $p\in M$ 处指定一个 $T_{p}M$ 上的 $k$ 阶协变, $\ell$ 阶反变张量 ${\tau }_p$ 得到的 $\tau$ 称为 $M$ 上的一个 $k$ 阶协变, $\ell$ 阶反变的张量场.

一个 $k$ 阶协变, $\ell$ 阶反变的张量场在一个光滑局部坐标系 $(U;x^1,x^2,\cdots ,x^n)$ 下的坐标表示具有$$\tau ={{\tau }_{i_1,\cdots ,i_k}}^{j_1,\cdots ,j_{\ell }}\mathrm{d}{x}^{i_1}\otimes \mathrm{d}{x}^{i_2}\otimes \cdots \otimes \mathrm{d}{x}^{i_k}\otimes \frac{\partial }{\partial x^{j_1}}\otimes \frac{\partial }{\partial x^{j_2}}\otimes \cdots \otimes \frac{\partial }{\partial x^{j_{\ell }}}$$(3.7)的形式. 如果在任何光滑坐标系下的每一个函数 ${{\tau }_{i_1,\cdots ,i_k}}^{j_1,\cdots ,j_{\ell }}$ 都是光滑的, 则称 $\tau$ 是光滑张量场.

一个 $k$ 阶协变, $\ell$ 阶反变的张量场可以看作是一个从 $k$ 个切向量场与 $\ell$ 个余切向量场到 $M$ 上光滑函数的映射. 假设 $X_{(1)},X_{(2)},\cdots ,X_{(k)}$ 是光滑切向量场, ${\omega }^{(1)},{\omega }^{(2)},\cdots ,{\omega }^{(\ell )}$ 是光滑余切向量场, 在光滑局部坐标系 $(U;x^1,x^2,\cdots ,x^n)$ 下的坐标表示为$$X_{(\kappa )}=X_{(\kappa )}^i\frac{\partial }{\partial x^i},{\omega }^{(\lambda )}={\omega }_j^{(\lambda )}\mathrm{d}{x}^j,$$(3.8)则上述 $\tau$ 作用在这些向量场上得到的光滑函数在 $U$ 下的表示为$$\tau (X_{(1)},X_{(2)},\cdots ,X_{(k)},{\omega }^{(1)},{\omega }^{(2)},\cdots ,{\omega }^{(\ell )})={{\tau }_{i_1,\cdots ,i_k}}^{i_1,\cdots ,i_{\ell }}{X}_{(1)}^{i_1}{X}_{(2)}^{i_2}\cdots X_{(k)}^{i_k}{\omega }_{j_1}^{(1)}{\omega }_{j_2}^{(2)}\cdots {\omega }_{j_{\ell }}^{(\ell )}.$$(3.9)更一般地, 如果我们有一个从 $k$ 个切向量场与 $\ell$ 个余切向量场到 $M$ 上光滑函数的映射$$\sigma :\mathfrak{X}(M{)}^k\times {\mathfrak{X}}^{\ast }(M{)}^{\ell }\to C^{\infty }(M),$$我们要想判断它是否定义了一个 $k$ 阶协变, $\ell$ 阶反变的张量场, 就要判断它是否是一个 “逐点运算”, 即 $\sigma (X^{(1)},\cdots ,X^{(k)},{\alpha }_{(1)},\cdots ,{\alpha }_{(\ell )})$ 在一点 $p$ 处的取值是否只与 $\sigma ,X^{(1)},\cdots ,X^{(k)},{\alpha }_{(1)},\cdots ,{\alpha }_{(\ell )}$ 各自在 $p$ 点的取值有关, 而不与它们在其它点的取值有关. 为此, 我们有一个简单的判据: 如果 $\sigma$ 对于每一个分量都是 “函数线性” 的, 即$$\sigma (\cdots ,f{X}^{(\kappa )},\cdots )=f\sigma (\cdots ,X^{(\kappa )},\cdots ),\sigma (\cdots ,f{\alpha }_{(\lambda )},\cdots )=f\sigma (\cdots ,{\alpha }_{(\lambda )},\cdots )$$(3.10)对每一个 $\kappa =1,2,\cdots ,k$, $\lambda =1,2,\cdots ,\ell$, $f\in C^{\infty }(M)$ 都成立, 那么 $\sigma$ 定义一个张量. 利用此方法也可以判断一个向量场到向量场的映射 $\rho :\mathfrak{X}(M{)}^k\to \mathfrak{X}(M)$ 是否定义 $k$ 阶协变, $1$ 阶反变张量.

例 3.0.7. Lie 括号不定义 $2$ 阶协变, $1$ 阶反变张量, 因为一般地, $$[X,fY]=(Xf)Y+f[X,Y]\ne f[X,Y].$$这也就是说, Lie 括号不能在单点处的切向量上定义.