2.4. 题外话: 公理化定义的无穷范畴

本节是课外阅读章节, 除却前文使用模型来定义 $(\infty ,1)$-范畴外, 我们还有一种直接地通过公理化的方式来定义的 $(\infty ,1)$-范畴. 虽然与我们的主题无关, 但是我认为适当了解一些公理化定义是有益无害的. 合适的参考文献是 [](不过本节的参考文献主要是 [??, Chapter 1]). 公理化的指导思想是以下基本原则:

同伦论的基本原则: 当描述两个实体是相等的时候, 我们必须始终通过提供它们之间的同构来具体说明其相等方式. 所有有效的数学结构都应该保持这些同构.

在对于高阶范畴论的公理化中, 往往需要复杂的公理来全面地描绘出高阶范畴的结构. 所以它不会像集合论的公理一般简洁明了. 反而更像是发展了一套工具.

对于这些公理的介绍主要分为三个部分:

•	$(\infty ,1)$-范畴论
•	$(\infty ,1)$-范畴上的操作
•	拉回/推出纤维化

在本节中, 我们仅介绍第一部分, 至于后面两个部分将留到介绍完其对应操作后介绍.

注 2.4.0.1. 我个人认为公理化是一种很不错的直觉塑造方式, 这可以让你的直觉上的东西更接近于 $(\infty ,1)$-范畴.

2.4.1$(\infty ,1)$-范畴的定义

本节的内容是公理化的解决一个问题: $(\infty ,1)$-范畴是什么?

$(\infty ,1)$-范畴

首先给出我们要描述的数学对象

公理 (A.1).

0.	存在名为 $(\infty ,1)$-范畴的数学对象 $\mathcal{C},\mathcal{D},\mathcal{E},\cdots$;
1.	给定 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{D}$, 可以论及它们之间的函子 $f:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$. 每个 $(\infty ,1)$-范畴都具有恒等函子 ${\mathrm{id}}_{\mathcal{C}}:\mathcal{C}\to \mathcal{C}$. 给定两个函子 $f:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 以及 $g:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$, 存在复合函子 $g\circ f:\mathcal{C}\to \mathcal{E}$;
2.	给定两个函子 $f,f^{\prime }:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$, 可以论及自然同构 (亦或称为 $2$-同构) $\alpha :f\simeq f^{\prime }$. 使用 2-胞腔可表作每个函子 $f$ 都有恒等同构 ${\mathrm{id}}_f:f\simeq f$. 每个自然同构 $\alpha$ 都存在一个逆同构 ${\alpha }^{-1}:f^{\prime }\simeq f$. 给定两个自然同构 $\alpha :f\simeq f^{\prime }$ 以及 $\beta :f^{\prime }\simeq f^{\prime \prime }$, 存在纵合成同构 $\beta \circ \alpha :f\simeq f^{\prime \prime }$;
3.	给定两个自然同构 $\alpha ,{\alpha }^{\prime }:f\simeq f^{\prime }$, 可以论及自然同构间的同构 (亦或称为 $3$-同构) $\alpha \simeq {\alpha }^{\prime }$. 此外可以论及恒等 $3$-同构, 纵合成 $3$-同构以及逆 $3$-同构;
4+.	以此类推, 对于每两个 $n$-同构之间都可以论及 $(n+1)$-同构及恒等, 合成, 逆.

根据基本原则, 应当将两个函子之间的自然同构 $f\simeq f^{\prime }$ 视为表达 $f$ 与 $f^{\prime }$ “相等” 这件事. 同理, 应当将两个 $n$-同构之间的 $(n+1)$-同构视为表达它们 “相等” 这件事.

公理 (A.2). 函子的复合是满足单位律并且在同构意义下的结合律: 给定函子 $f:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ , $g:\mathcal{D}\to \mathcal{E}$ 以及 $h:\mathcal{E}\to \mathcal{F}$, 有自然同构$${\lambda }_f:{\mathrm{id}}_{\mathcal{D}}\circ f\simeq f,{\rho }_f:f\circ {\mathrm{id}}_{\mathcal{C}}\simeq f,{\alpha }_{f,g,h}:(h\circ g)\circ f\simeq h\circ (g\circ f).$$在具体使用中常常省略掉 ${\lambda }_f$ 等同构名称, 这里只是想表达这一条公理确实可以给出同构. 类似地, 高阶同构的复合也满足单位律与同构意义下的结合律, 并且它们也有同构意义下的逆元.

由于我们认为同构是 “相等”, 因此我们需要确保所有的构造都被同构所保持. 这件事情大概可以被重载为

同构原则: 范畴论中任何有效的陈述或者构造都要被同构所保持.

公理 (A.3). 函子的复合保持自然同构: 即给定 $f,f^{\prime }:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 间的自然同构 $\alpha :f\simeq f^{\prime }$ 以及 $g,g^{\prime }:\mathcal{D}\to \mathcal{E}$ 间的自然同构 $\beta :g\simeq g^{\prime }$. 可以得到一个 $g\circ f,g^{\prime }\circ f^{\prime }:\mathcal{C}\to \mathcal{E}$ 的自然同构 $\beta \ast \alpha :g\circ f\simeq g^{\prime }\circ f^{\prime }$, 称为横合成同构. 若给定 $3$-同构 $\alpha \simeq {\alpha }^{\prime }$ 以及 $\beta \simeq {\beta }^{\prime }$, 则可以给出 $3$-同构 $\beta \circ \alpha \simeq {\beta }^{\prime }\circ {\alpha }^{\prime }$, 以此类推给出更高阶情况. 此外, 横合成同构也需相容于单位律与结合律.

而后可定义范畴等价

定义 2.4.1.1. 称函子 $f:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为等价是指存在 $g:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 使得有自然同构 ${\mathrm{id}}_{\mathcal{C}}\simeq g\circ f$ 以及 ${\mathrm{id}}_{\mathcal{D}}\simeq f\circ g$. 此时称 $g$ 为 $f$ 的逆. 等价常常写为 $f:\mathcal{C}\stackrel{\sim }{\to }\mathcal{D}$ 或 $\mathcal{C}\simeq \mathcal{D}$.

请读者验证:

•	等价的两个逆直接具有自然同构;
•	等价满足 3 选 2 条件 (其实其还满足 6 选 2 条件);

对象, 态射以及交换图

为了更加快速的构建公理化的 $(\infty ,1)$-范畴论, 我们将引入一条比 [] 中出现的 Axiom C 更强的公理.

公理 (C). 每个经典的范畴均可被视为 $(\infty ,1)$-范畴. 每个经典的函子均可被视为 $(\infty ,1)$-范畴间的函子. 每个经典的自然同构 (注意并非自然变换) 均可被视为 $(\infty ,1)$-范畴间的自然同构. 并且这一过程保持函子以及自然同构的复合.

这样就可以方便的论及 $(\infty ,1)$-范畴中的对象, 态射以及交换图.

定义 2.4.1.2. 令 $\mathcal{C}$ 为 $(\infty ,1)$-范畴.

•	$\mathcal{C}$ 中的对象是指函子 $x:[0]\to \mathcal{C}$, 对象间的同构由视同函子的自然同构给出;
•	$\mathcal{C}$ 中的态射是指函子 $f:[1]\to \mathcal{C}$. 记 $f(0):[0]\stackrel{{\mathrm{d}}^1}{\to }[1]\stackrel{f}{\to }\mathcal{C}$ 为 $f$ 的来源, $f(1):[0]\stackrel{{\mathrm{d}}^0}{\to }[1]\stackrel{f}{\to }\mathcal{C}$ 为 $f$ 的去向, 当函子 $x\simeq f(0)$ 以及 $y\simeq f(1)$ 时, 可将 $f$ 表作 $f:x\to y$;
•	$\mathcal{C}$ 中的交换三角是指函子 $\sigma :[2]\to \mathcal{C}$, 记 $f=\sigma \circ {\mathrm{d}}^2:x\to y$, $g=\sigma \circ {\mathrm{d}}^0:y\to z$ 以及 $h=\sigma \circ {\mathrm{d}}^1:x\to z$, 则可将 $\sigma$ 表为$$\sigma =yxzgfh$$这个三角形的中间应当是被填充的, 不过为了方便起见我不进行填充.

泛性质

$(\infty ,1)$-范畴中自然具有诸多构造, 比如乘积, 拉回, 推出, 函子范畴等. 我们将使用它们的泛性质来公理化的定义它们. 为方便起见, 我们将一次性给出所有的公理.

公理 (B). 我们要求以下这些满足泛性质的 $(\infty ,1)$-范畴存在:

B.1.	终 $(\infty ,1)$-范畴 $\ast$ : 对于每个 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$, 都存在函子 $p_{\mathcal{C}}:\mathcal{C}\to \ast$, 并且对于任意两个函子 $f,g:\mathcal{C}\to \ast$ 都有自然同构 $f\simeq g$;
B.2.	始 $(\infty ,1)$-范畴 $\varnothing$ : 对于每个 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$, 都存在函子 $i_{\mathcal{C}}:\varnothing \to \mathcal{C}$, 并且对于任意两个函子 $f,g:\varnothing \to \mathcal{C}$ 都有自然同构 $f\simeq g$;
B.2’.	$\varnothing$ 严格始: 每个函子 $\mathcal{C}\to \varnothing$ 都是等价;
B.3.	对于任意两个 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$ 与 $\mathcal{D}$, 都存在积 $\mathcal{C}\times \mathcal{D}$ 配上两个函子 ${\mathbf{pr}}_{\mathcal{C}}:\mathcal{C}\times \mathcal{D}\to \mathcal{C}$, ${\mathbf{pr}}_{\mathcal{D}}:\mathcal{C}\times \mathcal{D}\to \mathcal{D}$ : 每个函子 $\mathcal{E}\to \mathcal{C}\times \mathcal{D}$ 都可以通过给定到两个分量的函子 $\mathcal{E}\to \mathcal{C}$ 以及 $\mathcal{E}\to \mathcal{D}$ 给出, 并且两个函子 $\mathcal{E}\to \mathcal{C}\times \mathcal{D}$ 间的自然同构也可通过打到分量上的函子间的自然同构给出;
B.4.	类似地, 存在余积 $\mathcal{C}\bigsqcup \mathcal{D}$ 配上两个函子 $i_{\mathcal{C}}:\mathcal{C}\to \mathcal{C}\bigsqcup \mathcal{D}$, $i_{\mathcal{D}}:\mathcal{D}\to \mathcal{C}\bigsqcup \mathcal{D}$: 函子 $\mathcal{C}\bigsqcup \mathcal{D}\to \mathcal{E}$ 都可以通过给定到两个分量的函子给出, 并且自然同构也可通过打到分量上的函子间的自然同构给出;
B.4’.	余积具有万有性: 每个函子 $\mathcal{E}\to \mathcal{C}\bigsqcup \mathcal{D}$ 都可以被本质唯一的写为两个函子 ${\mathcal{E}}_{\mathcal{C}}\to \mathcal{C}$ 和 ${\mathcal{E}}_{\mathcal{D}}\to \mathcal{D}$ 所诱导的函子 ${\mathcal{E}}_{\mathcal{C}}\bigsqcup {\mathcal{E}}_{\mathcal{D}}\to \mathcal{C}\bigsqcup \mathcal{D}$;
B.5.	给定函子 $f:\mathcal{C}\to \mathcal{E}$ 以及 $g:\mathcal{D}\to \mathcal{E}$, 存在拉回 $\mathcal{C}{\times }_{\mathcal{E}}\mathcal{D}$ 配上两个函子 ${\mathbf{pr}}_{\mathcal{C}}:\mathcal{C}{\times }_{\mathcal{E}}\mathcal{D}\to \mathcal{C}$, ${\mathbf{pr}}_{\mathcal{D}}:\mathcal{C}{\times }_{\mathcal{E}}\mathcal{D}\to \mathcal{D}$ 和自然同构 $f\circ {\mathbf{pr}}_{\mathcal{C}}\simeq g\circ {\mathbf{pr}}_{\mathcal{D}}$ : 每个函子 $\mathcal{T}\to \mathcal{C}{\times }_{\mathcal{E}}\mathcal{D}$ 都可以通过给定到两个分量的函子 $t:\mathcal{T}\to \mathcal{C}$, $s:\mathcal{T}\to \mathcal{D}$ 配上自然同构 $f\circ t\simeq g\circ s$ 给出. 类似地可说明两个函子 $\mathcal{T}\to \mathcal{C}{\times }_{\mathcal{E}}\mathcal{D}$ 该如何给出;
B.6.	对于 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C},\mathcal{D}$, 存在函子范畴 $\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D})$. 每个函子 $f:\mathcal{E}\times \mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 都可以进行 Curry 化得到函子 $f_c:\mathcal{E}\to \mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D})$. 反过来, 给定函子 $g:\mathcal{E}\to \mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D})$, 它都可以进行去 Curry 化得到函子 $g^u:\mathcal{E}\times \mathcal{C}\to \mathcal{D}$. 这些函子满足 $f\simeq (f_c{)}^u$ 以及 $g\simeq (g^u{)}_c$. Curry 化关于 $\mathcal{E}$ 具有函子性.

不是所有的万有构造都值得一个公理, 由上述公理可以推导出其余的万有构造, 以下是一些例子:

定义 2.4.1.3 (纤维). 令 $f:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为函子. 对于 $\mathcal{D}$ 中对象 $x$, 定义 $f$ 在 $x$ 上的纤维为拉回$${\mathcal{C}}_x\mathcal{C}\ast \mathcal{D}.fx$$

定义 2.4.1.4. 令 $\mathcal{C}$ 为 $(\infty ,1)$-范畴, 则 $\mathcal{C}$ 中的交换方块是指函子 $[1]\times [1]\to \mathcal{C}$.

定义 2.4.1.5. 交换方块$$\mathcal{T}\mathcal{C}\mathcal{D}\mathcal{E},tsfg$$被称作是拉回方块是指其诱导等价 $(s,t):\mathcal{T}\stackrel{\sim }{\to }\mathcal{C}{\times }_{\mathcal{E}}\mathcal{D}$.

使用该定义可以对于余积的万有性进行重述:

公理 (B.4’.).

•

给定函子 $f:{\mathcal{C}}^{\prime }\to \mathcal{C}$ 以及 $g:{\mathcal{D}}^{\prime }\to \mathcal{D}$, 交换方块$${\mathcal{C}}^{\prime }{\mathcal{C}}^{\prime }\bigsqcup {\mathcal{D}}^{\prime }\mathcal{C}\mathcal{C}\bigsqcup \mathcal{D}f{i}_{{\mathcal{C}}^{\prime }}f\bigsqcup g{i}_{\mathcal{C}}\text{以及}{\mathcal{D}}^{\prime }{\mathcal{C}}^{\prime }\bigsqcup {\mathcal{D}}^{\prime }\mathcal{D}\mathcal{C}\bigsqcup \mathcal{D}g{i}_{{\mathcal{C}}^{\prime }}f\bigsqcup g{i}_{\mathcal{C}}$$均为拉回方块;

•

对于任意函子 $h:\mathcal{E}\to \mathcal{C}\bigsqcup \mathcal{D}$, 函子$$⟨{\mathbf{pr}}_{\mathcal{E}},{\mathbf{pr}}_{\mathcal{E}}⟩:(\mathcal{E}{\times }_{\mathcal{C}\bigsqcup \mathcal{D}}\mathcal{C})\bigsqcup (\mathcal{E}{\times }_{\mathcal{C}\bigsqcup \mathcal{D}}\mathcal{D})\to \mathcal{E}$$为等价.

而有了函子范畴, 就可以定义出态射生象. 鉴于我们暂且没有公理化的定义生象是什么东西, 读者目前可以将其只视为一个名词.

定义 2.4.1.6 (态射生象). 令 $\mathcal{C}$ 为 $(\infty ,1)$-范畴, 给定对象 $x,y\in \mathcal{C}$, 定义态射生象为拉回方块$${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(x,y)\mathsf{Fun}([1],\mathcal{C})\ast \mathcal{C}\times \mathcal{C}.({\mathrm{ev}}_0,{\mathrm{ev}}_1)(x,y)$$注意到态射生象中的对象为三元组 $(f,\alpha ,\beta )$, 其中 $f:x^{\prime }\to y^{\prime }$ 为 $\mathcal{C}$ 中态射, $\alpha :x^{\prime }\simeq x$ 以及 $\beta :y^{\prime }\simeq y$ 为 $\mathcal{C}$ 中同构.

定义 2.4.1.7. 令 $\mathcal{C}$ 与 $\mathcal{D}$ 为 $(\infty ,1)$-范畴, 定义 $\mathcal{C}$ 到 $\mathcal{D}$ 的函子间的自然变换为 $\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 中的态射. 使用 (反) Curry 化可将其视同函子 $[1]\times \mathcal{C}\to \mathcal{D}$.

最后, 可以恢复出推出概念:

定义 2.4.1.8 (推出方块). 称 $(\infty ,1)$-范畴间的交换方块$${\mathcal{C}}^{\prime }\mathcal{C}{\mathcal{D}}^{\prime }\mathcal{D}u{f}^{\prime }fv$$为推出方块是指对于每个 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{E}$, 都诱导拉回方块$$\mathsf{Fun}(\mathcal{D},\mathcal{E})\mathsf{Fun}({\mathcal{D}}^{\prime },\mathcal{C})\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{E})\mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\prime },\mathcal{E}).v^{\ast }{f}^{\ast }(f^{\prime }{)}^{\ast }{u}^{\ast }$$

交换方块, Segal 公理与 Rezk 公理

以下说明态射上的一些公理, 虽然在公理 C 中说了可以将经典范畴视作 $(\infty ,1)$-范畴, 但我们没说一般的 $(\infty ,1)$-范畴中态射是否能够复合, 复合是否本质唯一, 同构该如何定义等问题.

以下公理说明两个态射的复合如何同构:

公理 (D.). 交换方块公理: 给定 $\mathcal{C}$ 中交换方块 $[1]\times [1]\to \mathcal{C}$ 相当于给出两个交换三角 $[2]\to \mathcal{C}$ 使得它们在对角线上是一致的, 即以下两个图表是一致的$$xyzwfghk\leftrightsquigarrow xyzwfglhk.$$严格来说, 记 $j_0:=({\mathrm{s}}^0,{\mathrm{s}}^1):[2]\to [1]\times [1]$, $j_1:=({\mathrm{s}}^1,{\mathrm{s}}^0):[2]\to [1]\times [1]$, 有范畴等价$$(j_0^{\ast },j_1^{\ast }):\mathsf{Fun}([1]\times [1],\mathcal{C})\to \mathsf{Fun}([2],\mathcal{C}){\times }_{d_1,\mathsf{Fun}([1],\mathcal{C}),d_1}\mathsf{Fun}([2],\mathcal{C}).$$

以下公理说明态射复合是本质唯一的:

公理 (E.). Segal 公理: 给定两个可复合态射 $f:x\to y$ 以及 $g:y\to z$, 存在本质唯一的交换三角 $\sigma :[2]\to \mathcal{C}$ 可用图表表示为$$yxz.gfg\circ f$$严格来说, 是有等价$$({\mathrm{d}}^{2\ast },{\mathrm{d}}^{0\ast }):\mathsf{Fun}([2],\mathcal{C})\stackrel{\sim }{\to }\mathsf{Fun}([1],\mathcal{C}){\times }_{\mathcal{C}}\mathsf{Fun}([1],\mathcal{C}).$$

以下公理界定同构:

公理 (F.). Rezk 公理: 两个对象之间的同构 $x\simeq y$ 可等同于这样一件事, 存在两个态射 $f:x\to y$, $g:y\to x$ 使得 $g\circ f\simeq {\mathrm{id}}_x$, $f\circ g\simeq {\mathrm{id}}_y$. 严格来说, 我们将后者称为同构, 可通过下式定义出 $\mathcal{C}$ 中全体同构所构成的范畴 $\mathsf{Iso}(\mathcal{C})$: 其中每个方块都是拉回方块. 则 Rezk 公理相当于在说有等价 $\mathcal{C}\simeq \mathsf{Iso}(\mathcal{C})$.

与拟范畴之间的关系

可以说明拟范畴会满足上述公理

定理 2.4.1.9. 拟范畴满足公理 A-F.

验证留作习题. 因此我们可以将拟范畴称为 $(\infty ,1)$-范畴.