2.3. 模型范畴

虽然在上一节中我们已经说明了两件事:

•	有范畴等价 $\mathsf{hKan}\simeq \mathsf{hCW}$;
•	局部 Kan 的单纯范畴的同伦脉是拟范畴.

但是我们并没有一套理论来说明如果我们只关心同伦, 就可以将以上两件事情真正表述为:

•	拓扑空间的同伦信息与单纯集的同伦信息是一样的 (换句话说是同伦假设);
•	两种描述 $(\infty ,1)$-范畴的方式实际上是一样的.

为了说明这些事情, 我们需要使用模型范畴 (不过讲义中各种定义都会优先避免模型范畴, 我主要想告诉你该如何去看待模型范畴并将其转化为拟范畴关于弱等价的局部化).

2.3.1模型范畴

当然, 我觉得这部分也可以看讲义: 同伦代数与同调代数/模型范畴.

想法

模型范畴是用来研究关于弱等价进行局部化的理论.

定义 2.3.1.1. 带有弱等价的范畴是指二元组 $(\mathcal{C},W)$, 其中:

•	$\mathcal{C}$ 是范畴;
•	$W$ 为其内一族态射, 满足以下性质: ∘ $\mathcal{C}$ 中所有同构均在 $W$ 内; ∘ $W$ 满足 3 选 2 性质, 即对于 $\mathcal{C}$ 中任意图表$$\bullet \bullet \bullet$$若其内任意两个态射在 $W$ 内, 则第三个态射也在 $W$ 内.

注 2.3.1.2. 在一些教材中, 会要求 $W$ 满足 6 选 2 性质, 即给定 $\mathcal{C}$ 中的态射链$$x\stackrel{f}{\to }y\stackrel{g}{\to }z\stackrel{h}{\to }w$$以及它们之间所有可能的复合, 如果 $g\circ f$ 和 $h\circ g$ 在 $W$ 中, 则 $f,g,h,h\circ g\circ f$ 均在 $W$ 中. 不难发现由此可以推出 3 选 2 性质, 只需选取一些态射为 $\mathrm{id}$.

我们期望将弱等价的东西变为同构, 换句话说, 我们希望构造 $\mathcal{C}$ 关于 $W$ 的局部化.

当然, 应该先给出一些带有弱等价的范畴的例子

例 2.3.1.3.

•	令 $\mathcal{C}=\mathsf{Top}$, 则同伦等价 $\mathsf{HoEq}$ 以及弱同伦等价 $\mathsf{WHoEq}$ 均构成弱等价;
•	令 $\mathcal{A}$ 为 Abel 范畴, $\mathcal{C}={\mathsf{Ch}}_{\ast }(\mathcal{A})$ 为链复形范畴, 则链同伦等价 $\mathsf{CHoEq}$ 与拟同构 $\mathsf{qis}$ 均构成弱等价.

在例 2.3.1.3 中, 关于同伦等价以及链同伦等价的局部化是简单的, 我们所得到的不过是拓扑空间同伦范畴 $\mathsf{hTop}$ 与链复形同伦范畴 $K(\mathcal{A})$. 但是关于弱同伦等价以及拟同构的局部化却并不简单.

不过幸运的是, 在 $\mathsf{Top}$ (或 ${\mathsf{Ch}}_{\ast }(\mathcal{A})$) 中有一些比较好的对象 (比如在拓扑空间中是 CW 复形), 在它们之间弱同伦等价 (或拟同构) 即为同伦等价 (或链同伦等价), 并且对于任意的对象 $X\in \mathsf{Top}$ (或 $C_{\ast }\in {\mathsf{Ch}}_{\ast }(\mathcal{A})$), 它可以弱同伦等价 (或拟同构) 于这些比较好的对象 (具体操作是在拓扑空间中取 CW 逼近, 在链复形范畴中取同伦内射消解, 不过此时要求 $\mathcal{A}$ 是 Grothendieck Abel 范畴). 将这些对象所构成的全子范畴记作 ${\mathcal{C}}^{\circ }$.

这个时候, 我们就可以将 $\mathcal{C}$ 关于 $W$ 的局部化转为其限制到 ${\mathcal{C}}^{\circ }$ 上再对于 $W$(也限制到 ${\mathcal{C}}^{\circ }$ 上) 进行局部化, 那这就只是关于同伦等价的局部化, 可以刻画为在态射集上商去同伦关系.

模型范畴的想法就是: 我们引入一些额外的信息, 使得对于 $(\mathcal{C},W)$, 都可以形式化的得到这些比较好的对象, 从而简单地刻画出局部化 $\mathcal{C}[W^{-1}]$.

模型范畴的定义

同伦

2.3.2Quillen 等价

导出函子的刻画

模型范畴间的等价