公理化

公理化是数学中一种思想方法, 即对某个 (可能来源于直观或者其它理论的) 研究对象, 找出其中的一些基本对象并列举出想让这些对象满足的一些关系. 这些关系称为公理, 对象和关系全体称为公理系统. 之后在建立理论时, 不去管这些公理为何成立, 且只使用这些公理而不借助于其它理论来推导.

数学中许多理论都用到了公理化的思想, 现列举如下:

•	整个数学基础就是一种公理化, 例如 ZFC 集合论中集合以及属于关系是未定义的. 而只用一阶语言 (以及自然语言) 说这些语句.

•	在代数学中, ∘ 群、环、域等概念即是把对称、矩阵、数等数学对象的运算, 以及这些运算满足的性质 (如交换律、结合律) 等提取出来, 成为带有一些运算的集合, 并要求这些运算满足一定条件. 群论、环论、域论等理论即是只研究这些抽象的结构, 而不去管具体的数. ∘ Peano 公理是一套描述自然数的公理系统, 只是在 ZFC 集合论中它被无穷公理覆盖.

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在几何学和拓扑学中, ∘ Euclid 几何中的纯几何方法是公理化思想在数学中最早的体现, 最早由 Euclid 提出, 现代的公理化方法有 Hilbert 公理等, 它把点、直线等几何对象看成抽象的对象, 并满足若干性质. 这与坐标几何把点、直线视为 Euclid 空间中的元素或子集相对立. ∘ 广义上同调即是公理化的上同调理论, 它为每个拓扑空间赋予任意一个 Abel 群, 并要求一些上同调理论应满足的性质 (例如同伦不变性、同调长正合列、切除定理等) 作为公理, 以研究上同调理论. 而不是像奇异上同调理论一样, 直接把上同调用代数手段表示出来. ∘ 模型范畴、无穷范畴、同伦类型论等理论抽象出代数拓扑的一些构造. 把 CW 复形理解成一个抽象的范畴中的对象, 而不是基于 Euclid 空间等其它的数学结构.

•	分析学中, ∘ 实数有一种公理化描述, 虽然也可以使用 Dedekind 分割等手段来构造. ∘ 在泛函分析中, 人们提取了各种函数空间满足的性质, 从而把对具体的函数空间的研究转化为对抽象的拓扑向量空间的研究.

•	许多物理理论中都有公理化的思想, 只是在物理学中作为普遍约定、实验事实或不严格的定理而出现, 如 ∘ 物理理论中需要设定一个全空间, 例如经典力学和相对论中的时空, 以及量子力学中的 Hilbert 空间, 而一个物理状态则落在整个空间中. ∘ 物理定律, 例如最小作用量原理、Schrödinger 方程等可以理解为数学上的公理. ∘ 量子场论中经常会使用路径积分来进行推导, 是不严格的, 在数学上则会把一些推导出的结果当成公理, 例如共形场论可以使用顶点代数来描述. 虽然一般的量子场论还没有好的公理化.

术语翻译

公理化 • 英文 axiomatization • 德文 Axiomatisierung (f) • 法文 axiomatisation (f) • 拉丁文 axiomatizatio (f) • 古希腊文 ἀξιωματισμός (m)

公理 • 英文 axiom • 德文 Axiom (n) • 法文 axiome (m) • 拉丁文 axioma (n) • 古希腊文 ἀξίωμα (n)

公理系统 • 英文 axiomatic system • 德文 Axiomensystem (n) • 法文 système axiomatique (m) • 拉丁文 systema axiomaticum (n) • 古希腊文 ἀξιωματικὸν σύστημα (n)