应用: Suslin 定理

Suslin 定理指的是

定理 1. 复数的代数 $K$ 理论 $K(\mathbb{C})$ 到复向量丛的 $K$ 理论 $\mathrm{k}\mathrm{u}$ 有自然映射, 对所有正整数 $n$ 诱导同构 $K(\mathbb{C})/n\cong \mathrm{k}\mathrm{u}/n$.

本节假设以下 Suslin 刚性定理, 证明 Suslin 定理. 这个定理的证明参见 [Ga92].

定理 2. 对 Hensel 对 $(A,I)$, 正整数 $n\in A^{\times }$, 有 $K(A,I)/n=0$, 即自然映射 $K(A)\to K(A/I)$ 模 $n$ 之后为同构.

先解释定理中的概念.

定义 3. 环 $R$ 的代数 $K$ 理论指 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群生象 $(\mathsf{c}\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{j}(R),\oplus )$ 的群化, 其中 $\mathsf{c}\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{j}(R)$ 即有限生成投射 $R$ 模的群胚, 视为生象. 一般记作 $K(R)\in {\mathsf{G}\mathsf{r}\mathsf{p}}_{{\mathbb{E}}_{\infty }}(\mathsf{A}\mathsf{n}\mathsf{i})={\mathsf{S}\mathsf{p}}_{\ge 0}$.

定义 4. 复向量丛的拓扑 $K$ 理论指 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群生象 $({\mathsf{V}\mathsf{e}\mathsf{c}\mathsf{t}}_{\mathbb{C}},\oplus )$ 的群化, 其中 ${\mathsf{V}\mathsf{e}\mathsf{c}\mathsf{t}}_{\mathbb{C}}$ 指有限维复向量空间组成的拓扑群胚. 即考虑对象为自然数集 $\mathbb{N}$, 不同对象之间没有映射, 对象 $n$ 的自同态幺半群为 ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{C})$ 的拓扑范畴, 将其视为无穷群胚. $\oplus$ 为线性空间直和, 即 ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{C})\times {\mathrm{G}\mathrm{L}}_m(\mathbb{C})$ 对角嵌入 ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_{n+m}(\mathbb{C})$. 由于 ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{C})\simeq \mathrm{U}(n)$, 它也是有限维复内积空间群胚关于正交直和的群化. 一般记作 $\mathrm{k}\mathrm{u}\in {\mathsf{G}\mathsf{r}\mathsf{p}}_{{\mathbb{E}}_{\infty }}(\mathsf{A}\mathsf{n}\mathsf{i})={\mathsf{S}\mathsf{p}}_{\ge 0}$.

熟悉经典定义的读者可验证这与经典定义一致, 即 ${\pi }_0\mathrm{Hom}(X,\mathrm{k}\mathrm{u})=({\mathsf{B}\mathsf{u}\mathsf{n}}_{\mathbb{C}}(X),\oplus {)}^{\mathrm{g}\mathrm{p}}$. 由于以下 Bott 周期律, $\mathrm{k}\mathrm{u}$ 的结构比较简单:

定理 5. $$\mathrm{k}\mathrm{u}={\tau }_{\ge 0}{\Omega }^2\mathrm{k}\mathrm{u};\forall n\in \mathbb{N},{\pi }_{2n}\mathrm{k}\mathrm{u}=\mathbb{Z},{\pi }_{2n+1}\mathrm{k}\mathrm{u}=0.$$

故 Suslin 定理相当于联系了复杂的 $K(\mathbb{C})$ 和简单的 $\mathrm{k}\mathrm{u}$. 为证明此定理, 我们要将代数 $K$ 理论定义到凝聚态环上.

定义 6. 对 $R\in \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{R}\mathsf{i}\mathsf{n}\mathsf{g}$, 定义$$K(R)=(\mathsf{E}\mathsf{x}\mathsf{D}\mathsf{i}\mathsf{s}\mathsf{c}\ni S\mapsto K(R(S)))\in {\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}}_{\ge 0}.$$由于 $K(R(\varnothing ))=K(0)=0$, $K(R(S\bigsqcup T))=K(R(S)\times R(T))=K(R(S))\oplus K(R(T))$, 这确实是个凝聚态谱. 如记$$\mathsf{c}\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{j}(R)=(\mathsf{E}\mathsf{x}\mathsf{D}\mathsf{i}\mathsf{s}\mathsf{c}\ni S\mapsto \mathsf{c}\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{j}(R(S)))\in {\mathsf{M}\mathsf{o}\mathsf{n}}_{{\mathbb{E}}_{\infty }}(\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{A}\mathsf{n}\mathsf{i}),$$则 $K(R)=\mathsf{c}\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{j}(R{)}^{\mathrm{g}\mathrm{p}}$ 为其群化.

以下 $\mathbb{C}$ 不再表示复数域, 而将其视为凝聚态环. $K(\mathbb{C})$ 表示其 $K$ 理论, 为凝聚态谱. 显然 $K(\mathbb{C})(\ast )$ 就是复数的代数 $K$ 理论. 以下定理联系 $K(\mathbb{C})$ 和 $\mathrm{k}\mathrm{u}$, 表明后者是前者的「非 Archimedes」部分.

定理 7. $\mathsf{c}\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{j}(\mathbb{C})={⨆}_{n=0}^{\infty }B{\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{C})$, 其中右边指 ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{C})$ 作为凝聚态群的分类空间. 所以自然映射 ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{C})\to \mathrm{h}({\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{C}))$ 给出 $\mathsf{c}\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{j}(\mathbb{C})\to {⨆}_{n=0}^{\infty }B(\mathrm{h}({\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{C})))={\mathsf{V}\mathsf{e}\mathsf{c}\mathsf{t}}_{\mathbb{C}}$, 群化之后给出映射 $K(\mathbb{C})\to \mathrm{k}\mathrm{u}$. 该映射固态化之后为同构, 即 $K(\mathbb{C}{)}^{■}=\mathrm{k}\mathrm{u}$.

证明之前先回忆杠构造.

回忆. 对幺半群 $G$, 其杠构造为单纯集 $B_{\bullet }G$, 定义为 $B_{n}G=G^n$, $$d_i(g_1,\dots ,g_n)=\{\begin{array}{ll}(g_2,\dots ,g_n),& i=0,\\ (g_1,\dots ,g_i{g}_{i+1},\dots ,g_n),& 0<i<n,\\ (g_1,\dots ,g_{n-1}),& i=n,\end{array}$$$s_i(g_1,\dots ,g_n)=(g_1,\dots ,1,\dots ,g_n)$, 即在第 $i+1$ 个位置插一个 $1$. 以 $BG$ 记其几何实现, 即余极限. 对 ${\mathbb{E}}_k$-幺半群 $G$, $1\le k\le \infty$, 其群化由 $\Omega BG$ 给出, 参见 [HA], 5.2.6.10.

证明. 对极不连通空间 $S$, $\mathsf{c}\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{j}(\mathbb{C})(S)$ 是 $S$ 上复值连续函数环 $\mathbb{C}(S)$ 的有限生成投射模的群胚. 投射模的秩局部常, 而秩 $n$ 处相当于凝聚态群 ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{C})$ 的主丛, 由引理 5.14 即知 $\mathsf{c}\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{j}(\mathbb{C})={⨆}_{n=0}^{\infty }B{\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{C})$. 由定理 5.13, $\mathbb{S}[{\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{C}){]}^{■}=\mathbb{S}[\mathrm{h}({\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{C}))]$, 故由以上 $BG$ 的具体构造以及 $\mathbb{S}[-{]}^{■}$ 与余极限交换有$$\mathbb{S}[B{\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{C}){]}^{■}=\mathbb{S}[B(\mathrm{h}({\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{C})))];$$再用以下引理即得结论.

$\square$

引理 8. 如 ${\mathsf{M}\mathsf{o}\mathsf{n}}_{{\mathbb{E}}_{\infty }}(\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{A}\mathsf{n}\mathsf{i})$ 中映射 $X\to Y$ 诱导同构 $\mathbb{S}[X{]}^{■}\cong \mathbb{S}[Y{]}^{■}$, 则其诱导同构 $(X^{\mathrm{g}\mathrm{p}}{)}^{■}\cong (Y^{\mathrm{g}\mathrm{p}}{)}^{■}$.

证明. 由以上 $BX$ 的具体形式知 $\mathbb{S}[BX{]}^{■}\cong \mathbb{S}[BY{]}^{■}$. 而 $X^{\mathrm{g}\mathrm{p}}=\Omega BX$, 故这相当于 $\mathbb{S}[{\Omega }^{\infty }(X^{\mathrm{g}\mathrm{p}}[1]){]}^{■}\cong \mathbb{S}[{\Omega }^{\infty }(Y^{\mathrm{g}\mathrm{p}}[1]){]}^{■}$. 于是只需证: 如 ${\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}}_{\ge 0}$ 中映射 $M\to N$ 诱导同构 $\mathbb{S}[{\Omega }^{\infty }M{]}^{■}\cong \mathbb{S}[{\Omega }^{\infty }N{]}^{■}$, 则其诱导同构 $M^{■}\cong N^{■}$.

由叠计划 08N8, 伴随对 $(\mathbb{S}[-],{\Omega }^{\infty })$ 给出自然的增广单纯对象 $M_{\bullet }\to M$, 其中 $M_n=({\Sigma }_{+}^{\infty }{\Omega }^{\infty }{)}^{n+1}M$. 注意 ${\Omega }^{\infty }(M_{\bullet })\to {\Omega }^{\infty }M$ 分裂, 故自然映射 ${\mathrm{colim}}_{{\Delta }^{\mathrm{o}\mathrm{p}}}{M}_{\bullet }\to M$ 在 ${\Omega }^{\infty }$ 之后为同构, 所以其本来就是同构, 即 $M={\mathrm{colim}}_{{\Delta }^{\mathrm{o}\mathrm{p}}}{M}_{\bullet }$. 而条件 $\mathbb{S}[{\Omega }^{\infty }M{]}^{■}\cong \mathbb{S}[{\Omega }^{\infty }N{]}^{■}$ 推出单纯对象 $M_{\bullet }$ 与 $N_{\bullet }$ 各项在固态化之后同构, 故其余极限 $M$ 与 $N$ 固态化之后也同构.

$\square$

只剩证明 $K(\mathbb{C})/n=K(\mathbb{C}{)}^{■}/n$. 由于商 $n$ 和固态化交换, 相当于证明 $K(\mathbb{C})/n$ 固态. 我们证明更强的

命题 9. $K(\mathbb{C})/n$ 离散.

证明. 由命题 5.7, 只需证对任意 $S\in \mathsf{E}\mathsf{x}\mathsf{D}\mathsf{i}\mathsf{s}\mathsf{c}$, $s\in S$, $$\underset{V\ni s为紧邻域}{\mathrm{colim}}(K(\mathbb{C})/n)(V)=(K(\mathbb{C})/n)(\{s\}).$$由 $\mathsf{c}\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{j}(-)$ 与滤余极限交换得 $K(-)$ 与滤余极限交换, 所以上式左边即 $K(\mathbb{C}(S,s))$, 其中 $\mathbb{C}(S,s)$ 表示连续函数芽环. 这是局部环, 极大理想为 ${\mathfrak{m}}_s=\{a\in \mathbb{C}(S,s)\mid a(s)=0\}$, 剩余域为复数. 用定理 2, 只需验证这是 Hensel 局部环, 即证任意形如$$f(x)=x^n(x-1)+a_n{x}^n+\cdots +a_0,a_0(s)=\cdots =a_n(s)=0$$的多项式都在 $1+{\mathfrak{m}}_s$ 上有根. 注意 $f(x)$ 的根即映射 $x\mapsto 1-a_n-a_{n-1}{x}^{-1}-\cdots -a_0{x}^{-n}$ 的不动点, 而$$(1-a_n-a_{n-1}{x}^{-1}-\cdots -a_0{x}^{-n})-(1-a_n-a_{n-1}{y}^{-1}-\cdots -a_0{y}^{-n})=(x-y)\sum _{i=1}^n{a}_{n-i}\frac{x^{i-1}+x^{i-2}y+\cdots +y^{i-1}}{x^i{y}^i},$$故由 $a_0(s)=\cdots =a_n(s)=0$, 取 $s$ 的足够小的紧邻域 $V$ 可设上述映射为函数空间 $\{a\in \mathbb{C}(V)\mid a(s)=1,\Vert a-1{\Vert }_{\infty }\le 1/2\}$ 上的压缩映射, 有不动点, 即 $f$ 有在 $s$ 取值 $1$ 的根.

$\square$

这样就证完了定理 1.

注 10. $K(\mathbb{C})$, $K({\mathbb{Q}}_p)$ 之类的凝聚态谱大而无章, 因为其同伦群中有形如 ${\mathbb{C}}^{\times }{\otimes }_{\mathbb{Z}}{\mathbb{C}}^{\times }$, ${\mathbb{Q}}_p^{\times }{\otimes }_{\mathbb{Z}}{\mathbb{Q}}_p^{\times }$ 的东西. Clausen 在 [Copenhagen] 中说, 这种东西到「合理」对象的映射之中应有初始者. 对非 Archimedes 的 ${\mathbb{Q}}_p$ 这应为 $K({\mathbb{Q}}_p{)}^{■}$, 而对 $\mathbb{C}$ 他猜测$${\pi }_{n}K(\mathbb{C}{)}^{合理}=\{\begin{array}{ll}\mathbb{Z},& n=0;\\ \mathbb{C}/(2\pi \mathrm{i}{)}^k\mathbb{Z},& n=2k-1>0;\\ 0,& n=2k>0.\end{array}$$