5. 凝聚态生象

生象是英文 anima 的翻译, 意为空间, 即无穷群胚. 用此词是因为「空间」歧义太大, 而「无穷群胚」音节太多. 英文重新造词也可能是 space 一词与代数拓扑中同样常见的 spectrum 即谱的头两个字母重复, 不好缩写所致. 将无穷群胚称作 anima, 其范畴记作 $\mathsf{A}\mathsf{n}\mathsf{i}$, 似为 Beilinson 首倡.

本节是将之前所做推广到无穷范畴语境下, 故需要读者对无穷范畴理论有基本的熟悉.

定义 5.1. 设 $\mathcal{C}$ 是可表现无穷范畴. $\mathcal{C}$ 的凝聚态对象指的是 $\mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}$ 上的超完备的 $\mathcal{C}$ 值层. 它们组成的范畴记作 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}(\mathcal{C})$. $\mathcal{C}=\mathsf{A}\mathsf{n}\mathsf{i},\mathsf{S}\mathsf{p}$ 时称作凝聚态生象、凝聚态谱, 记作 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{A}\mathsf{n}\mathsf{i}$, $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}$. $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}(\mathcal{C})$ 自然地是 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{A}\mathsf{n}\mathsf{i}$-充实、幂、余幂的, 当 $\mathcal{C}$ 稳定时自然地是 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}$-充实、幂、余幂的.

由于 $\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}\subset \mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}$ 是基, 这也相当于 $\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}$ 上的超完备层. 由于 $\mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}$ 中对象能被 $\mathsf{E}\mathsf{x}\mathsf{D}\mathsf{i}\mathsf{s}\mathsf{c}$ 中的超覆盖, 而后者的覆盖条件尤其简单, 故仍有

定理 5.2. $$\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}(\mathcal{C})=\{\mathcal{F}:{\mathsf{E}\mathsf{x}\mathsf{D}\mathsf{i}\mathsf{s}\mathsf{c}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\to \mathcal{C}\mid \mathcal{F}(\varnothing )=\ast ,\mathcal{F}(S\bigsqcup S^{\prime })=\mathcal{F}(S)\times \mathcal{F}(S^{\prime })\}.$$

于是

推论 5.3. 滤余极限可以在逐个 $S\in \mathsf{E}\mathsf{x}\mathsf{D}\mathsf{i}\mathsf{s}\mathsf{c}$ 上取. ${\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{A}\mathsf{n}\mathsf{i}}_{\ast }$ 的环路空间函子 $\Omega$ 保持极限, 甚至可以在逐个 $S\in \mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}$ 上取, 而悬挂函子 $\Sigma$ 则需层化.

由同伦群保持有限乘积有从 ${\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{A}\mathsf{n}\mathsf{i}}_{\ast }$ 或 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}$ 到 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}$ 的同伦群函子 ${\pi }_i$. 具体写出即对带基点凝聚态生象或者凝聚态谱 $X$, 极不连通空间 $S$, $({\pi }_{i}X)(S)={\pi }_i(X(S))$. 故而如果 $X$ 的各阶同伦群均平凡, 则对每个极不连通空间 $S$, $X(S)$ 都零伦, 故 $X$ 作为带基点凝聚态生象或者凝聚态谱也是单点. 所以验证映射是同构只需在各阶同伦群上验证.

类似地由截断保持有限乘积, 可对极不连通的 $S$ 定义 $({\tau }_{\le n}X)(S)={\tau }_{\le n}(X(S))$, $({\tau }_{\ge n}X)(S)={\tau }_{\ge n}(X(S))$; 逐 $S$ 验证可得 $X={\lim }_n{\tau }_{\le n}X={\mathrm{colim}}_n{\tau }_{\ge -n}X$.

所以 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}$ 自然具有 $t$ 结构, 即$${\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}}_{\ge 0}=\{X\in \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}\mid \forall S\in \mathsf{E}\mathsf{x}\mathsf{D}\mathsf{i}\mathsf{s}\mathsf{c},X(S)\in {\mathsf{S}\mathsf{p}}_{\ge 0}\},{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}}_{\le 0}=\{X\in \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}\mid \forall S\in \mathsf{E}\mathsf{x}\mathsf{D}\mathsf{i}\mathsf{s}\mathsf{c},X(S)\in {\mathsf{S}\mathsf{p}}_{\le 0}\},$$其心为 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{A}\mathsf{b}$. 在此 $t$ 结构下 $\underline{\mathrm{Hom}}$, $\mathrm{Hom}$ 为左正合, $\otimes$ 为右正合.

之前的忘却函子和自由交换群在此成为

定理 5.4. 有自然的伴随对$$({\Sigma }^{\infty },{\Omega }^{\infty }):{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{A}\mathsf{n}\mathsf{i}}_{\ast }\rightleftarrows \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p};({\Sigma }_{+}^{\infty },{\Omega }^{\infty }):\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{A}\mathsf{n}\mathsf{i}\rightleftarrows \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}.$$常将 ${\Sigma }_{+}^{\infty }$ 记为 $\mathbb{S}[-]$, 而将 ${\Omega }^{\infty }$ 认为是一种忘却. ${\Omega }^{\infty }{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}}_{<0}=\ast$, 故 ${\Sigma }^{\infty }$ 的像含于 ${\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}}_{\ge 0}$. 和在 $\mathsf{A}\mathsf{n}\mathsf{i}$ 和 $\mathsf{S}\mathsf{p}$ 中一样, 将其称为无穷悬挂和无穷环路空间.

证明. ${\Omega }^{\infty }$ 逐开集取即可. 然后有伴随函子定理, 或和 $\mathbb{Z}[-]$ 一样的直接构造. 由 ${\Omega }^{\infty }$ 与 ${\pi }_i$, $i\ge 0$ 交换可得 ${\Omega }^{\infty }{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}}_{<0}$ 中对象各阶同伦群平凡, 故为单点.

$\square$

习题 5.5. 对 $X,Y\in \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{A}\mathsf{n}\mathsf{i}$, 证明$$\mathbb{S}[X\bigsqcup Y]=\mathbb{S}[X]\oplus \mathbb{S}[Y],\mathbb{S}[X\times Y]=\mathbb{S}[X]\otimes \mathbb{S}[Y].$$

记号 5.6. 称子范畴 $\mathsf{A}\mathsf{n}\mathsf{i}\subset \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{A}\mathsf{n}\mathsf{i}$ 中对象为离散 (即不凝聚态), 子范畴 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\subset \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{A}\mathsf{n}\mathsf{i}$ 中对象为静止 (即不生动). $\mathsf{A}\mathsf{n}\mathsf{i}\cap \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}=\mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t}$.

以下命题刻画了离散对象.

命题 5.7. $X\in \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{A}\mathsf{n}\mathsf{i}$ 离散当且仅当对任意 $S\in \mathsf{E}\mathsf{x}\mathsf{D}\mathsf{i}\mathsf{s}\mathsf{c}$, $s\in S$, $$\underset{V\ni s紧邻域}{\mathrm{colim}}X(V)=X(\{s\}).$$

证明. 如已知 $X$ 离散, 即它是 $\mathsf{E}\mathsf{x}\mathsf{D}\mathsf{i}\mathsf{s}\mathsf{c}$ 上常预层的层化, 则由于景 $\mathsf{E}\mathsf{x}\mathsf{D}\mathsf{i}\mathsf{s}\mathsf{c}$ 中的覆盖只有无交并 $S_1\bigsqcup \cdots \bigsqcup S_n\cong S$, 有$$X(S)=\underset{S=S_1\bigsqcup \cdots \bigsqcup S_n}{\mathrm{colim}}{X}^n=\{S\text{ 到 }X\text{ 的局部常值函数}\},$$立得$$\underset{V\ni s紧邻域}{\mathrm{colim}}X(V)=\underset{V\ni s开闭邻域}{\mathrm{colim}}X(V)=X(\{s\}).$$反过来如条件成立, 以 $X^{\prime }$ 记取值为 $X(\ast )$ 的离散对象, 则有自然映射 $X^{\prime }\to X$. 对任意 $S\in \mathsf{D}\mathsf{i}\mathsf{s}\mathsf{c}$, 该映射诱导 $X^{\prime }$ 与 $X$ 作为 $S$ 的通常拓扑层的同构, 因为条件说这是逐茎同构; 取整体截面即得 $X^{\prime }(S)=X(S)$. 即 $X^{\prime }=X$, $X$ 离散.

$\square$

固态化理论也可以推广到这. 为运用上一节结果, 要先证个引理.

引理 5.8. $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}$ 中, ${\mathbb{S}}^I{\otimes }_{\mathbb{S}}\mathbb{Z}={\mathbb{Z}}^I$, 其中 $I$ 为任意集合.

证明. 本质是伪凝聚性. 显然对 $M\in \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}$, 都有自然映射 ${\mathbb{S}}^I{\otimes }_{\mathbb{S}}M\to M^I$, 且 $M=\mathbb{S}$ 时这是同构, 故当 $M$ 为 $\mathbb{S}$ 的有限极限时这也是同构. 而谱 $\mathbb{Z}$ 的每个维数上都只有有限个胞腔, 换言之对任意正整数 $n$, 存在 $\mathbb{S}$ 的有限极限 $M_n$ 以及映射 $M_n\to \mathbb{Z}$, 其余纤维 $Q_n$ 只有大于 $n$ 阶的同伦群. 于是由 ${\mathbb{S}}^I{\otimes }_{\mathbb{S}}{M}_n=M_n^I$, 有$$\mathrm{cofib}({\mathbb{S}}^I{\otimes }_{\mathbb{S}}\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}^I)=\mathrm{cofib}({\mathbb{S}}^I{\otimes }_{\mathbb{S}}{Q}_n\to Q_n^I)$$只有大于 $n$ 阶的同伦群. 这对任意正整数 $n$ 成立, 从而 $\mathrm{cofib}({\mathbb{S}}^I{\otimes }_{\mathbb{S}}\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}^I)=0$, 即欲证.

$\square$

我们来固态化.

定义 5.9. 对 $\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}\ni S=\lim S_i$, $S_i\in \mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}$, 定义固态自由谱$$\mathbb{S}[S{]}^{■}=\lim \mathbb{S}[S_i].$$

命题 5.10. 记号如上. 存在集合 $I$, $\Gamma (S,\mathbb{S})=\mathrm{colim}\Gamma (S_i,\mathbb{S})={\mathbb{S}}^{\oplus I}$, $\mathbb{S}[S{]}^{■}={\mathbb{S}}^I$.

证明. 命题 4.2 的证明给出映射 ${\mathbb{S}}^{\oplus I}\to \mathrm{colim}\Gamma (S_i,\mathbb{S})$. 这是下有界谱之间的映射, 张量积 $\mathbb{Z}$ 之后为同构, 故它本来就是同构, 因为余纤维张量积 $\mathbb{Z}$ 将得到 $0$, 而张量积 $\mathbb{Z}$ 不改变最低阶同伦群, 故余纤维本来就是 $0$. 于是$$\mathbb{S}[S{]}^{■}=\lim \mathbb{S}[S_i]=\lim \underline{\mathrm{Hom}}(\Gamma (S_i,\mathbb{S}),\mathbb{S})=\underline{\mathrm{Hom}}(\mathrm{colim}\Gamma (S_i,\mathbb{S}),\mathbb{S})=\underline{\mathrm{Hom}}({\mathbb{S}}^{\oplus I},\mathbb{S})={\mathbb{S}}^I.$$

命题 4.2 的证明还给出对 $M\in \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}$ 自然的映射 $M^{\oplus I}\to \Gamma (S,M)$, 对 $M=\mathbb{Z}$ 是同构. 由于两边都正合, 所以对有限个 $\mathbb{Z}$ 的扩张这也是同构. 而 $\mathbb{S}={\lim }_n{\tau }_{\le n}\mathbb{S}$, 后者是有限个 $\mathbb{Z}$ 的扩张, 故$$\Gamma (S,\mathbb{S})=\underset{n}{\lim }\Gamma (S,{\tau }_{\le n}\mathbb{S})=\underset{n}{\lim }({\tau }_{\le n}\mathbb{S}{)}^{\oplus I};$$由于取同伦群和直和交换, ${\mathbb{S}}^{\oplus I}\to ({\tau }_{\le n}\mathbb{S}{)}^{\oplus I}$ 在 $\le n$ 阶同伦群为同构, 且后者没有 $>n$ 阶同伦群, 所以 $({\tau }_{\le n}\mathbb{S}{)}^{\oplus I}={\tau }_{\le n}({\mathbb{S}}^{\oplus I})$, 故上式右边就是 ${\lim }_n{\tau }_{\le n}({\mathbb{S}}^{\oplus I})={\mathbb{S}}^{\oplus I}$.

$\square$

所以 $\mathbb{S}[S{]}^{■}\otimes \mathbb{Z}=\mathbb{Z}[S{]}^{■}$.

定理 5.11. 定义固态谱范畴$$\mathsf{S}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}=\{X\in \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}\mid \forall S\in \mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n},\mathrm{Hom}(\mathbb{S}[S],X)=\mathrm{Hom}(\mathbb{S}[S{]}^{■},X)\},$$为 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}$ 的满子范畴. 则固态自由谱都是固态谱, 且一个凝聚态谱为固态谱当且仅当其每阶同伦群固态. 子范畴 $\mathsf{S}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}$ 对极限、余极限、扩张皆封闭, 且含入函子 $\mathsf{S}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}\subset \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}$ 有左伴随, 称为固态化. $\mathsf{S}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}$ 从 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}$ 自然继承 $t$ 结构, 其心为 $\mathsf{S}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{d}$. 固态谱的 $\underline{\mathrm{Hom}}$ 仍固态, 且 $\underline{\mathrm{Hom}}$ 的左伴随为 $-{\otimes }^{■}-:=(-\otimes -{)}^{■}$.

证明. 先证固态自由谱都是固态谱. 由于 $\mathbb{S}[S{]}^{■}={\mathbb{S}}^I$, 而乘积可以提到 $\mathrm{Hom}$ 外面, 所以只需证 $\mathbb{S}$ 固态, 即$$\mathrm{Hom}(\mathbb{S}[S],\mathbb{S})=\mathrm{Hom}(\mathbb{S}[S{]}^{■},\mathbb{S}).$$左边即 $\Gamma (S,\mathbb{S})$, 之前已经算过, 为 ${\mathbb{S}}^{\oplus I}$. 要证 $\mathrm{Hom}({\mathbb{S}}^I,\mathbb{S})={\mathbb{S}}^{\oplus I}$. 为此考虑对 $M\in \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}$ 自然的映射 $M^{\oplus I}\to \mathrm{Hom}({\mathbb{S}}^I,M)$. $M=\mathbb{Z}$ 时由前$$\mathrm{Hom}({\mathbb{S}}^I,\mathbb{Z})={\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}({\mathbb{S}}^I\otimes \mathbb{Z},\mathbb{Z})={\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}({\mathbb{Z}}^I,\mathbb{Z})={\mathbb{Z}}^{\oplus I}.$$故 $M$ 为有限个 $\mathbb{Z}$ 的扩张时它也是同构. 所以$$\mathrm{Hom}({\mathbb{S}}^I,\mathbb{S})=\underset{n}{\lim }\mathrm{Hom}({\mathbb{S}}^I,{\tau }_{\le n}\mathbb{S})=\underset{n}{\lim }({\tau }_{\le n}\mathbb{S}{)}^{\oplus I}={\mathbb{S}}^{\oplus I}.$$

显然 $\mathsf{S}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}$ 对极限、扩张封闭. 暂以 ${\mathsf{S}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}}^{\prime }$ 记 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}$ 中各阶同伦群固态的东西的满子范畴. 先证 ${\mathsf{S}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}}^{\prime }\subseteq \mathsf{S}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}$. 取 $X\in {\mathsf{S}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}}^{\prime }$, 要证 $X\in \mathsf{S}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}$. 由 $X={\lim }_n{\tau }_{\le n}X$ 可设 $X$ 上有界. 由于 $\mathbb{S}[S],\mathbb{S}[S{]}^{■}\in {\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}}_{\ge 0}$, 当 $X\in {\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}}_{<-n}$ 时有$$\mathrm{Hom}(\mathbb{S}[S],X),\mathrm{Hom}(\mathbb{S}[S{]}^{■},X)\in {\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}}_{<-n},$$所以由于 $\mathsf{S}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}$ 定义条件可逐阶同伦群验证, 可设 $X$ 下有界. 现在 $X$ 有界, 是有限个固态交换群的平移的扩张, 故可设 $X\in \mathsf{S}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{d}$. 此时$$\mathrm{Hom}(\mathbb{S}[S],X)={\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}[S],X)={\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}[S{]}^{■},X)=\mathrm{Hom}(\mathbb{S}[S{]}^{■},X).$$

再证 $\mathsf{S}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}\subseteq {\mathsf{S}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}}^{\prime }$ 以及剩下的命题. 由同伦群长正合列以及 $\mathsf{S}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{d}$ 对核、余核、扩张封闭立得 ${\mathsf{S}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}}^{\prime }$ 对扩张封闭. 由于一般的余极限可分为有限余极限与滤余极限两步, 而稳定无穷范畴中有限余极限由有限直和与纤维列组成, 取同伦群又与滤余极限交换, 可得 ${\mathsf{S}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}}^{\prime }$ 对余极限封闭.

现取一般的 $X\in \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}$. 由抽象废话, 层是米田层的余极限, 谱是无穷悬挂谱的平移的余极限, 故 $X$ 可写成余极限 $X={\mathrm{colim}}_{c\in \mathcal{C}}\mathbb{S}[S_c][-n_c]$, $\mathcal{C}$ 为指标范畴, 各 $S_c$ 投射有限. 记$$X^{■}=\underset{c\in \mathcal{C}}{\mathrm{colim}}\mathbb{S}[S_c{]}^{■}[-n_c],$$则由于 ${\mathsf{S}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}}^{\prime }$ 对余极限封闭以及 $\mathbb{S}[S{]}^{■}={\mathbb{S}}^I\in {\mathsf{S}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}}^{\prime }$, $X^{■}\in {\mathsf{S}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}}^{\prime }\subseteq \mathsf{S}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}$. 由 $\mathsf{S}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}$ 定义条件可得 $\mathrm{Hom}(X,-)$ 与 $\mathrm{Hom}(X^{■},-)$ 作为其上的函子自然同构, 即含入函子 $\mathsf{S}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}\subset \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}$ 有左伴随, 其像在 ${\mathsf{S}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}}^{\prime }$ 中. 这样也就得到 $\mathsf{S}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}\subseteq {\mathsf{S}\mathsf{o}\mathsf{l}\mathsf{i}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}}^{\prime }$. 剩下的事情显然.

$\square$

接下来计算一些固态化.

记号 5.12. 设 $X$ 为 CW 复形. 则它作为拓扑空间可以当成凝聚态集, 之前已经将其也记作 $X$. 但它的伦型还能看成生象, 如果这再记作 $X$ 将导致混淆. 现将其记作 $\mathrm{h}X$.

以下定理沟通了拓扑空间与其伦型.

定理 5.13. 对 CW 复形 $X$, 在 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{A}\mathsf{n}\mathsf{i}$ 中有自然映射 $X\to \mathrm{h}X$, 为形如 $X\to Y$, $Y$ 离散的映射中初始者. 另外 $\mathbb{S}[X{]}^{■}=\mathbb{S}[\mathrm{h}X]$ 离散.

证明. 由例 1.5, $X$ 是其有限子复形的滤余极限, 从而是一些闭胞腔 $D^n$ 的余极限, 故只需对 $D^n$ 证, 即证对任意 $Y$ 离散, $\mathrm{Hom}(D^n,Y)=\mathrm{Hom}(\ast ,Y)=Y$, 以及 $\mathbb{S}[D^n{]}^{■}=\mathbb{S}$.

由于 $\mathrm{Hom}(D^n,Y)={\lim }_d\mathrm{Hom}(D^n,{\tau }_{\le d}Y)$, 只需证 $Y$ 同伦群集中在 $[0,d]$ 的情形. 由于检验映射是同构只需逐同伦群检验, 而 $\mathrm{Hom}(D^n,-)$ 把纤维列变为纤维列, 由同伦群长正合列, 可将 $Y$ 再拆解, 设其只有一个不平凡的同伦群, 设 ${\pi }_{d}Y$ 不平凡. 又由于 $\Omega$ 可逐开集取, 与 $\mathrm{Hom}(D^n,-)=\Gamma (D^n,-)$ 交换, 而 ${\pi }_i={\pi }_0{\Omega }^i$, 故只需验证$${\pi }_0\mathrm{Hom}(D^n,Y)={\pi }_{0}Y.$$$d=0$ 时 $Y\in \mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t}\subset \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}$, 依定义 ${\pi }_0\mathrm{Hom}(D^n,Y)={\mathrm{Hom}}_{\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}}(D^n,Y)=Y$. $d=1$ 时 $Y=BG$ 对 $G\in \mathsf{G}\mathsf{r}\mathsf{p}$. 由下面的引理 5.14, $${\pi }_0\mathrm{Hom}(D^n,BG)=\{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\text{ 拓扑下 }{D}^n\text{ 的 }G\text{ 覆叠空间同构类}\},$$用 $D^n$ 单连通即得结论. $d\ge 2$ 时 $Y=K(G,d)={\Omega }^{\infty -d}G$, $G\in \mathsf{A}\mathsf{b}\subset \mathsf{S}\mathsf{p}$, 此时由定理 2.5 知$$\mathrm{Hom}(D^n,{\Omega }^{\infty -d}G)={\Omega }^{\infty -d}\mathrm{Hom}(D^n,G)={\Omega }^{\infty -d}G.$$

由于 $\mathbb{S}[\mathrm{h}X]$ 为离散, 从而固态, 所以有下有界对象的自然映射 $\mathbb{S}[X{]}^{■}\to \mathbb{S}[\mathrm{h}X]$. 由命题 4.9, 该映射张量积 $\mathbb{Z}$ 之后为同构, 故它本来就是同构.

$\square$

引理 5.14. 对 $G\in \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{G}\mathsf{r}\mathsf{p}$, 作分类空间 $BG\in {\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{A}\mathsf{n}\mathsf{i}}_{\le 1}$, 即对极不连通的 $S$ 定义 $BG(S)=B(G(S))\in {\mathsf{A}\mathsf{n}\mathsf{i}}_{\le 1}$. 则对 $X\in \mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}$, $\Gamma (X,BG)\in {\mathsf{A}\mathsf{n}\mathsf{i}}_{\le 1}$ 为 $X$ 上 $G$ 主丛组成的群胚, 即范畴$$\{G\text{-}\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\ni E\to X\mid \exists U\in \mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s},U\twoheadrightarrow X,E{\times }_{X}U\cong G\times U\},$$其中 $G\text{-}\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}$ 表示带 $G$ 作用的凝聚态集范畴. 当 $G\in \mathsf{G}\mathsf{r}\mathsf{p}$ 为离散时, 这等价于拓扑 $G$ 主丛即 $G$ 覆叠空间的群胚.

证明. 对于一般命题, 只需注意到写出来的群胚显然能关于 $X$ 下降, 并且在极不连通空间上确实是分类空间. $G$ 离散时要证明凝聚态 $G$ 主丛都来自拓扑 $G$ 主丛.

先证 $E$ 来自拓扑空间. 取凝聚态主丛 $E\to X$ 及平凡化 $U\twoheadrightarrow X$, $E{\times }_{X}U\cong G\times U$. 令 $E^{\prime }$ 为 $E(\ast )$ 以第一节中方法赋予拓扑然后再视为凝聚态集, 则有自然映射 $E\to E^{\prime }$. 由于 $E{\times }_{X}U\cong G\times U$ 来自拓扑空间, 故 $E\to E^{\prime }$ 沿覆盖 $U\twoheadrightarrow X$ 基变换之后是同构, 所以 $E\cong E^{\prime }$ 来自拓扑空间. 事实上, $E=\mathrm{coeq}(E{\times }_{X}U{\times }_{X}U\rightrightarrows E{\times }_{X}U)$, 为局部紧空间 $E{\times }_{X}U\cong G\times U$ 商去紧合的等价关系, 也是局部紧拓扑空间.

现在相当于有带 $G$ 作用的局部紧拓扑空间 $E$ 以及映射 $p:E\to X$, 满足 $E{\times }_{X}U\cong G\times U$, 要证每个 $x\in X$ 都有邻域 $V$ 使得 $E{\times }_{X}V\cong G\times V$. 取 $x$ 一个原像 $e$. 由 $E{\times }_{X}U\cong G\times U$ 易得 $p^{-1}(x)=Ge$ 为 $E$ 的离散闭子集. 只需找到 $e$ 的邻域 $W$ 使得对任意非平凡元 $g\in G$, $gW\cap W=\varnothing$. 任取一紧邻域 $W^{\prime }\ni e$, 则 $Ge\cap W^{\prime }$ 有限, 因为它既紧又离散. 于是缩小 $W^{\prime }$, 可设 $Ge\cap W^{\prime }=\{e\}$. 取 $W=\{w\in W^{\prime }\mid W^{\prime }\cap Gw=\{w\}\}$, 则它显然包含 $e$; 拉回到 $U$ 上验证, 容易发现它开; 它的取法保证了对 $g\ne 1$, $gW\cap W=\varnothing$.

$\square$

命题 4.9 在这里也成立吗, 我不太知道.

猜想 5.15. 对 $X\in \mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}$, $$\mathbb{S}[X{]}^{■}=\underline{\mathrm{Hom}}(\Gamma (X,\mathbb{S}),\mathbb{S}).$$

4.10 倒是对的.

习题 5.16. 定义 ${\mathbb{S}}_p={\lim }_{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}}\mathrm{cofib}(p^n:\mathbb{S}\to \mathbb{S})$. 如用更 $\infty$-范畴的方式定义 ${\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}}_p$ 为稳定 $\infty$-范畴 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}$ 商去那些 $p:X\to X$ 是同构的 $X$ (相当于局部化对应的映射 $X\to 0$), 并用商函子的右伴随 ${\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}}_p\to \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}$ 将其视为 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{S}\mathsf{p}$ 的满子范畴, 将商函子本身称为「$p$ 完备化」, 则 ${\mathbb{S}}_p$ 为 $\mathbb{S}$ 的 $p$ 完备化. 证明$${\mathbb{S}}_p{\otimes }^{■}{\mathbb{S}}_p={\mathbb{S}}_p;{\mathbb{S}}_p{\otimes }^{■}{\mathbb{S}}_{\ell }=0.$$

术语翻译

凝聚态生象 • 英文 condensed anima

凝聚态谱 • 英文 condensed spectrum