7. 极限与伴随

在无穷范畴中, 同伦等价的对象应该被视作 “相同” 的对象. 因此, 无穷范畴中的 (余) 极限应该做到不受同伦等价影响, 也就是当我们把图表换成一个与之前同伦等价的图表后, (余) 极限的结果并不改变. 这种 (余) 极限的概念是同伦 (余) 极限.

同伦 (余) 极限与普通 (余) 极限的结果可能是不同的. 例如, 图表$$\{\ast ,\ast \}\{\ast \}\{\ast \}{S}^1┘$$是拓扑空间的同伦推出, 其中 $\{\ast ,\ast \}$ 代表两个点构成的离散空间. 经过同伦等价, 上述图表可以变成一个拓扑空间的普通推出图表:$$\{0,1\}[0,1][0,1]S^1┘$$

同伦 (余) 极限并没有明显的计算方式. 但在模型范畴中, 模型结构会给计算同伦 (余) 极限提供帮助. 例如, 将上述第一个图表变成第二个图表而求普通余极限, 就计算出了第一个图表的同伦余极限. 这个计算方法见下面命题 7.14.

余极限与极限

最简单的余极限就是空的余极限, 即范畴的始对象.

在普通范畴中, 始对象由以下性质刻画: 它到任何别的对象都有唯一的态射. 在无穷范畴中, “唯一” 应该翻译成, 所有选择构成的空间是可缩的.

定义 7.1. 设 $\mathsf{C}$ 是拟范畴. 对象 $x\in \mathsf{C}$ 称为 $\mathsf{C}$ 的始对象, 如果对任意 $y\in \mathsf{C}$, 态射空间 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(x,y)$ 是可缩的.

其中, ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(x,y)$ 可以指下列的任一个:$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}^{⊲}(x,y),{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}^{⊳}(x,y),{\mathrm{Hom}}_{\mathfrak{C}\mathsf{C}}(x,y),\text{等等,}$$它们全都是同伦等价的 (定理 5.18).

注 7.2. $\mathsf{C}$ 的始对象等价于 $\mathsf{hCW}$-充实范畴 $h\mathsf{C}$ 的始对象. 本节以下定义的很多概念也都等价于 $\mathsf{hCW}$-充实范畴中的对应概念.

可以猜到, 如果始对象存在, 则一定唯一. 但如之前所说, 唯一的意思是构成一个可缩空间.

引理 7.3. 设 $\mathsf{C}$ 是拟范畴, 设 $x\in \mathsf{C}$. 则映射$${\mathsf{C}}_{x/}\to \mathsf{C}\text{和}{\mathsf{C}}_{/x}\to \mathsf{C}$$分别是左纤维化和右纤维化.

证明. 留给读者.

$\square$

命题 7.4. 设 $\mathsf{C}$ 是拟范畴.

•	对象 $x\in \mathsf{C}$ 是始对象, 当且仅当左纤维化$${\mathsf{C}}_{x/}\to \mathsf{C}$$是平凡纤维化.
•	由 $\mathsf{C}$ 的所有始对象张成的满子范畴要么是空的, 要么是一个可缩 Kan 复形.

证明. 先证明第一条. 注意到 $x$ 是始对象等价于映射 ${\mathsf{C}}_{x/}\to \mathsf{C}$ 的纤维全都可缩. 但左纤维化的纤维可缩当且仅当它是平凡纤维化, 这是一个标准事实 [HTT, Lemma 2.1.3.4].

再证明第二条. 设映射 $f:\partial \Delta [n]\to \mathsf{C}$ 把所有顶点都映到始对象, 其中 $n>0$. 我们要证明它可以延拓成 $\Delta [n]\to \mathsf{C}$ 的映射. 在图表$$\partial \Delta [n-1]{\mathsf{C}}_{f(0)/}\Delta [n-1]\mathsf{C}\mathsf{Cof}\ni f{|}_{{\Lambda }_0[n]}\in \mathsf{Fib}\cap \mathsf{W}f{|}_{1,\dots ,n}$$中做提升, 就能得到想要的延拓.

$\square$

下面, 我们来研究一般的余极限. 但余极限其实就是仰范畴的始对象.

定义 7.5. 设 $\mathsf{C}$ 是拟范畴, $K$ 是单纯集, $f:K\to \mathsf{C}$ 是 $\mathsf{C}$ 中的图表. 则 $f$ 的余极限就是仰范畴 ${\mathsf{C}}_{K/}$ 的始对象.

我们立刻得到以下结论.

推论 7.6. 设 $\mathsf{C}$ 是拟范畴, $K$ 是单纯集, $f:K\to \mathsf{C}$ 是 $\mathsf{C}$ 中的图表.

•	映射 $\bar{f}:K^{⊳}\to \mathsf{C}$ 是 $f$ 的余极限, 当且仅当它诱导的左纤维化$${\mathsf{C}}_{K^{⊳}/}\to {\mathsf{C}}_{K/}$$是平凡纤维化.
•	由 $f$ 的所有余极限构成的范畴要么是空的, 要么是可缩 Kan 复形.

证明. 我们有单纯集的同构$${\mathsf{C}}_{K^{⊳}/}\simeq ({\mathsf{C}}_{K/}{)}_{x/},$$其中 $x$ 是 $K^{⊳}$ 的顶点的像. 其余都是显然的.

$\square$

注 7.7. 自然的映射$${\mathsf{C}}_{K^{⊳}/}\to {\mathsf{C}}_{x/}$$一定是平凡纤维化, 这可以通过验证提升性质, 并对 $K$ 的单形个数用超限归纳法来证明. 细节留给读者.

然而, 这样定义出的余极限完全无法计算. 下面, 我们来推导一些性质, 以使得我们能够计算一些例子.

命题 7.8. 设 $\mathsf{C}$ 是拟范畴, $\{x_{\alpha }{\}}_{\alpha \in A}$ 是 $\mathsf{C}$ 中一族对象. 则对象 $x\in \mathsf{C}$ 为这些 $x_{\alpha }$ 的余积, 当且仅当对任意 $y\in \mathsf{C}$, 诱导的映射$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(x,y)\to \prod _{\alpha }{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(x_{\alpha },y)$$都是同伦等价.

证明. 我们有一个映射 $A\to \mathsf{C}$, $\alpha \mapsto x_{\alpha }$. 命题中映射的右边等价于$$\prod _{\alpha }({\mathsf{C}}_{x_{\alpha }/}{)}_y\simeq ({\mathsf{C}}_{A/}{)}_y,$$其中下标 $y$ 表示取到 $\mathsf{C}$ 的映射的纤维. 左边等价于$$({\mathsf{C}}_{x/}{)}_y\simeq (({\mathsf{C}}_{A/}{)}_{x/}{)}_y,$$这是由注 7.7. 然后, 观察到 $x$ 是余积当且仅当左纤维化$$({\mathsf{C}}_{A/}{)}_{x/}\to {\mathsf{C}}_{A/}$$是平凡纤维化, 当且仅当其纤维都可缩, 当且仅当所有的左纤维化$$(({\mathsf{C}}_{A/}{)}_{x/}{)}_y\to ({\mathsf{C}}_{A/}{)}_y$$都是平凡纤维化.

$\square$

上述关于余积的结论其实有更一般的版本, 我们下面来解释这件事.

设 $\mathsf{K}$ 是充实于 Kan 复形的范畴. 则单纯充实函子构成的范畴$${\mathrm{Fun}}_{\mathsf{sSet}}(\mathsf{K},\mathsf{sSet})$$带有两种模型结构:

•	投射模型结构, 其弱等价和纤维化是逐点定义的, 而余纤维化由提升性质定义.
•	内射模型结构, 其弱等价和余纤维化是逐点定义的, 而纤维化由提升性质定义.

常值函子$$\mathrm{const}:\mathsf{sSet}\to {\mathrm{Fun}}_{\mathsf{sSet}}(\mathsf{K},\mathsf{sSet})$$关于投射模型结构是右 Quillen 的, 而关于内射模型结构是左 Quillen 的. 因此, 余极限函子$$\mathrm{colim}:{\mathrm{Fun}}_{\mathsf{sSet}}(\mathsf{K},\mathsf{sSet})\to \mathsf{sSet}$$关于投射模型结构是左 Quillen 的, 因为它是常值函子的左伴随; 极限函子$$\lim :{\mathrm{Fun}}_{\mathsf{sSet}}(\mathsf{K},\mathsf{sSet})\to \mathsf{sSet}$$关于内射模型结构是右 Quillen 的, 因为它是常值函子的右伴随.

定义 7.9 (单纯集的同伦 (余) 极限). 设 $\mathsf{K}$ 是充实于 Kan 复形的范畴.

•	同伦余极限函子$$\mathrm{hocolim}:\mathrm{Ho}({\mathrm{Fun}}_{\mathsf{sSet}}(\mathsf{K},\mathsf{sSet}))\to \mathrm{Ho}(\mathsf{sSet})$$定义为左 Quillen 函子$$\mathrm{colim}:{\mathrm{Fun}}_{\mathsf{sSet}}(\mathsf{K},\mathsf{sSet})\to \mathsf{sSet},$$的左导出函子, 其中 ${\mathrm{Fun}}_{\mathsf{sSet}}(\mathsf{K},\mathsf{sSet})$ 带有投射模型结构.
•	同伦极限函子$$\mathrm{holim}:\mathrm{Ho}({\mathrm{Fun}}_{\mathsf{sSet}}(\mathsf{K},\mathsf{sSet}))\to \mathrm{Ho}(\mathsf{sSet})$$定义为右 Quillen 函子$$\lim :{\mathrm{Fun}}_{\mathsf{sSet}}(\mathsf{K},\mathsf{sSet})\to \mathsf{sSet},$$的右导出函子, 其中 ${\mathrm{Fun}}_{\mathsf{sSet}}(\mathsf{K},\mathsf{sSet})$ 带有内射模型结构.

例 7.10. 如本节开头所说, 同伦推出$$\{\ast \}\bigsqcup _{\{\ast ,\ast \}}\{\ast \}$$的结果是 $S^1$ 的同伦类. 我们稍后再来证明这件事.

有了单纯集的同伦极限的概念, 我们可以用它来定义一般的 Kan 复形充实范畴中的同伦 (余) 极限.

对 Kan 复形充实范畴 $\mathsf{K}$, 记 ${\mathsf{K}}^{⊳}$ 为在 $\mathsf{K}$ 中添加一个终对象 $\infty$ 而得到的 Kan 复形充实范畴, 其中有$${\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{K}}^{⊳}}(x,\infty )=\{\ast \}(x\in {\mathsf{K}}^{⊳}),{\mathrm{Hom}}_{{\mathsf{K}}^{⊳}}(\infty ,x)=\varnothing (x\in \mathsf{K}).$$同理可定义 ${\mathsf{K}}^{⊲}$.

定义 7.11 (Kan 复形充实范畴中的同伦 (余) 极限). 设 $\mathsf{C}$ 和 $\mathsf{K}$ 是 Kan 复形充实范畴, $f:\mathsf{K}\to \mathsf{C}$ 是函子.

•	$f$ 的一个同伦余极限是指函子$$\bar{f}:{\mathsf{K}}^{⊳}\to \mathsf{C},$$满足 $\bar{f}{|}_{\mathsf{K}}=f$, 且对任意 $y\in \mathsf{C}$, 诱导的映射$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(\bar{f}(\infty ),y)\to \underset{k\in \mathsf{K}}{\mathrm{holim}}{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(f(k),y)$$都是弱同伦等价.
•	$f$ 的一个同伦极限是指函子$$\bar{f}:{\mathsf{K}}^{⊲}\to \mathsf{C},$$满足 $\bar{f}{|}_{\mathsf{K}}=f$, 且对任意 $y\in \mathsf{C}$, 诱导的映射$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(y,\bar{f}(\infty ))\to \underset{k\in \mathsf{K}}{\mathrm{holim}}{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(y,f(k))$$都是弱同伦等价.

上述定义可以看成是 $\infty$-范畴中 (余) 极限的定义在 Kan 复形充实范畴的模型中的明确形式. 下面的定理说明了这一点.

定理 7.12. 设 $\mathsf{C}$ 和 $\mathsf{K}$ 是 Kan 复形充实范畴, $f:\mathsf{K}\to \mathsf{C}$ 是函子. 则拟范畴间的函子$$\mathfrak{N}f:\mathfrak{N}\mathsf{K}\to \mathfrak{N}\mathsf{C}$$有 (余) 极限, 当且仅当 $f$ 有同伦 (余) 极限, 并且此时两种 (余) 极限的概念相同.

见 [HTT, Theorem 4.2.4.1].

这也说明, 对拟范畴间的函子 $f:\mathsf{K}\to \mathsf{C}$ 而言, 它的 (余) 极限可以通过 Kan 复形充实范畴间的函子$$R\mathfrak{C}f:R\mathfrak{C}\mathsf{K}\to R\mathfrak{C}\mathsf{C}$$的同伦 (余) 极限来计算, 这里 $R$ 是单纯集的纤维性替换. 这是因为范畴等价保持 (余) 极限.

例 7.13. 设 $\mathsf{K}={\Lambda }_0[2]$. 此时有同构 ${\mathsf{K}}^{⊳}\simeq \Delta [1]\times \Delta [1]$. 图表 $\mathsf{K}\to \mathsf{C}$ 的余极限就称为 (同伦) 推出, 它构成 $\mathsf{C}$ 里的一个方块, 即映射 $\Delta [1]\times \Delta [1]\to \mathsf{C}$. 我们用通常的记号 $y{\bigsqcup }_{x}z$ 来表示推出. 由上述定理, 对任意 $w\in \mathsf{C}$, 我们有$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(y\bigsqcup _{x}z,w)\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(y,w)\underset{{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(x,w)}{\times }{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(z,w)$$其中右边是 Kan 复形的同伦拉回.

作为推论, 我们能得到一个说明何时普通推出等于同伦推出的条件.

命题 7.14. 设 $\mathsf{C}$ 是单纯模型范畴. 考虑 $\mathsf{C}$ 中的普通推出$$xyzy\bigsqcup _{x}z\text{ .}┘$$如果映射 $x\to y$ 是余纤维化, 那么这个普通推出就等价于同伦推出.

证明概要. 证明的关键是说明映射$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(y,w)\to {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(x,w)$$是单纯集的纤维化, 因为单纯集有如下性质: 沿着纤维化的拉回就等价于同伦拉回. 我们略去细节.

$\square$

这一命题给我们提供了在单纯模型范畴中计算同伦推出的简便方法. 也就是说, 要计算 $y{\bigsqcup }_{x}z$, 我们首先找到弱等价 $y\to y^{\prime }$, 使得复合映射 $x\to y\to y^{\prime }$ 是余纤维化, 然后再计算普通推出 $y^{\prime }{\bigsqcup }_{x}z$, 这样得到的就是同伦推出 $y{\bigsqcup }_{x}z$. 例如, 在 $\mathsf{Top}$ 中, 有同伦推出$$\{\ast \}\bigsqcup _X\{\ast \}\simeq \Sigma X.$$

注 7.15. 对单纯模型范畴而言, $\infty$-范畴的 (余) 极限其实等于普通 (余) 极限函子的导出函子, 只要后者能够定义, 也就是投射模型结构或内射模型结构存在.

最后, 我们介绍一个直接计算同伦 (余) 极限的公式. 它用到了范畴的 (余) 端的概念, 不熟练的读者可以跳过这段.

命题 7.16. 设 $f:\mathsf{K}\to \mathsf{C}$ 是 Kan 复形充实范畴间的函子. 设 $\mathsf{C}$ 是 $\mathsf{sSet}$-张量、余张量的. 例如, 当 $\mathsf{C}$ 是单纯模型范畴时, 就一定满足这个条件.

•	$f$ 的同伦余极限等于单纯充实范畴中的余端$$\mathrm{hocolim}f\simeq {\int }^{k\in \mathsf{K}}\mathfrak{N}({\mathsf{K}}_{k/})\otimes f(k),$$其中 $\otimes$ 来自 $\mathsf{C}$ 的 $\mathsf{sSet}$-张量结构.
•	$f$ 的同伦极限等于单纯充实范畴中的端$$\mathrm{holim}f\simeq {\int }_{k\in \mathsf{K}}f(k{)}^{\mathfrak{N}({\mathsf{K}}_{/k})},$$其中的幂函子来自 $\mathsf{C}$ 的 $\mathsf{sSet}$-余张量结构.

例 7.17. 设拓扑群 $G$ 作用于拓扑空间 $X$. 则同伦商 $X/{}^{\mathrm{h}}G$ 定义为$$X/{}^{\mathrm{h}}G:=(X\times EG)/G,$$其中 $EG$ 是 $BG$ 上的万有 $G$-主丛. 在我们的观点下, 同伦商就是函子$$\mathsf{B}G\to \mathsf{Top},$$的同伦余极限, 其中 $\mathsf{B}G$ 表示只有一个对象的单纯群胚, 其态射空间是 $\mathrm{Sing}G$.

伴随函子

在普通范畴论中, 伴随函子是重要的工具. 例如, 极限和余极限都可以看成伴随函子的特例. 在 $\infty$-范畴中, 也有一种同伦意义下的伴随函子.

定义 7.18. 设 $\mathsf{C},\mathsf{D}$ 是拟范畴, 设$$F:\mathsf{C}\to \mathsf{D},G:\mathsf{D}\to \mathsf{C}$$为两个函子. 称 $F$ 和 $G$ 为一对伴随函子, 如果有函子的等价$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{D}}(F-,-)\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(-,G-):{\mathsf{C}}^{\mathrm{op}}\times \mathsf{D}\to \mathsf{S}.$$这句话的准确意思是, 函子$${\mathrm{Hom}}_{\mathfrak{C}\mathsf{D}}(F-,-)\text{和}{\mathrm{Hom}}_{\mathfrak{C}\mathsf{C}}(-,G-)$$是范畴$${\mathrm{Fun}}_{\mathsf{sSet}}(\mathfrak{C}({\mathsf{C}}^{\mathrm{op}}\times \mathsf{D}),\mathsf{sSet}),$$中弱等价的对象, 这里我们采用投射模型结构.

为理解伴随函子的性质, 我们下面叙述两种等价定义.

定义 7.19. 设 $\mathsf{C}$ 是拟范畴.

•	拟范畴$$\mathcal{P}(\mathsf{C}):=\mathrm{Fun}({\mathsf{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{S})$$称为 $\mathsf{C}$ 上预层的范畴, 其中 $\mathsf{S}:=\mathfrak{N}(\mathsf{Kan})$.
•	映射$$\begin{array}{rl}Y:\mathsf{C}& \to \mathcal{P}(\mathsf{C}),\\ x& \mapsto h_x:={\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(-,x)\end{array}$$称为 Yoneda 嵌入. 准确地说, 这个映射由单纯充实函子$$\begin{array}{rl}\mathfrak{C}(\mathsf{C}\times {\mathsf{C}}^{\mathrm{op}})& \to \mathsf{Kan},\\ (x,y)& \mapsto R{\mathrm{Hom}}_{\mathfrak{C}\mathsf{C}}(y,x)\end{array}$$通过伴随 $\mathfrak{C}⊣\mathfrak{N}$ 给出, 其中 $R$ 是纤维性替换.
•	$\mathsf{C}$ 上的预层称为可表的, 如果它等价于某个 $h_x$, 其中 $x\in \mathsf{C}$.

通过 Grothendieck 构造 (推论 5.12), $\mathsf{C}$ 上的预层等价于到 $\mathsf{C}$ 的右纤维化: 对 $F\in \mathcal{P}(\mathsf{C})$, 右纤维化$${\mathrm{Un}}_{\mathsf{C}}F\to \mathsf{C}$$于每个 $x\in \mathsf{C}$ 的纤维都等价于 $F(x)$.

定义 7.20. 设 $\mathsf{C}$ 是拟范畴. 右纤维化 $X\to \mathsf{C}$ 称为可表的, 如果预层$${\mathrm{St}}_{\mathsf{C}}X\in \mathcal{P}(\mathsf{C})$$可表.

由定义, 可表右纤维化都形如 ${\mathrm{Un}}_{\mathsf{C}}{h}_x$. 考察其纤维, 我们发现它逐纤维等价于 ${\mathsf{C}}_{/x}$, 也就是在 ${\mathsf{sSet}}_{/\mathsf{C}}$ 的反变模型结构中弱等价 (推论 5.12).

命题 7.21. 到 $\mathsf{C}$ 的可表右纤维化都在 ${\mathsf{sSet}}_{/\mathsf{C}}$ 中等价于 ${\mathsf{C}}_{/x}$ , 其中 $x\in \mathsf{C}$ 是将其表出的对象.

$\square$

命题 7.22. 设 $\mathsf{C}$ 是拟范畴, $p:\tilde{\mathsf{C}}\to \mathsf{C}$ 是右纤维化.

•	$p$ 可表当且仅当 $\tilde{\mathsf{C}}$ 有终对象.
•	对象 $x\in \mathsf{C}$ 将 $p$ 表出, 当且仅当存在 $\tilde{\mathsf{C}}$ 的终对象 $\tilde{x}$, 满足 $p(\tilde{x})=x$.

特别地, $\mathsf{C}$ 中所有将 $p$ 表出的对象张成的满子范畴要么为空, 要么是可缩 Kan 复形.

证明. 只需证明第二条.

设 $x$ 将 $p$ 表出. 则在 ${\mathsf{sSet}}_{/\mathsf{C}}$ 中 $\tilde{\mathsf{C}}\simeq {\mathsf{C}}_{/x}$, 而对象 $1_x\in {\mathsf{C}}_{/x}$ 就是终对象.

反过来, 设这样的 $\tilde{x}$ 存在. 作为练习, 读者可以证明映射$${\tilde{\mathsf{C}}}_{/\tilde{x}}\to {\mathsf{C}}_{/x}$$是单纯集的平凡纤维化. 但 $\tilde{x}$ 是终对象, 因此有平凡纤维化 ${\tilde{\mathsf{C}}}_{/\tilde{x}}\to \tilde{\mathsf{C}}$, 故有到 $\mathsf{C}$ 的右纤维化的等价$$\tilde{\mathsf{C}}\simeq {\tilde{\mathsf{C}}}_{/\tilde{x}}\simeq {\mathsf{C}}_{/x}.$$因此, $p$ 由 $x$ 表出.

$\square$

与上述理论对偶, 也有可表左纤维化的概念: 称左纤维化 $p:X\to \mathsf{C}$ 可表, 如果右纤维化 $p^{\mathrm{op}}:X^{\mathrm{op}}\to {\mathsf{C}}^{\mathrm{op}}$ 可表.

下面, 我们可以给出伴随函子的等价定义了.

命题 7.23. 设 $\mathsf{C},\mathsf{D}$ 为拟范畴. 则 $\mathsf{C}$ 与 $\mathsf{D}$ 之间的一对伴随函子的等价于一个左纤维化$$p:X\to {\mathsf{C}}^{\mathrm{op}}\times \mathsf{D},$$满足以下条件:

•	$p$ 左可表: 对任何 $x\in \mathsf{C}$, $$p{|}_{x\times \mathsf{D}}:p^{-1}(x\times \mathsf{D})\to x\times \mathsf{D}$$是可表左纤维化.
•	$p$ 右可表: 对任何 $y\in \mathsf{D}$, $$p{|}_{{\mathsf{C}}^{\mathrm{op}}\times y}:p^{-1}({\mathsf{C}}^{\mathrm{op}}\times y)\to {\mathsf{C}}^{\mathrm{op}}\times y$$是可表左纤维化.

事实上, $p$ 由函子$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{D}}(F-,-)\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(-,G-):{\mathsf{C}}^{\mathrm{op}}\times \mathsf{D}\to \mathsf{S}$$的 Grothendieck 构造给出.

证明. 如命题中所述, 如果有一对伴随函子, 就能造出具有上述性质的左纤维化 $p$.

反过来, 设有满足这些性质的左纤维化 $p$. 对 $x\in \mathsf{C}$, 我们希望把 $Fx$ 定义为一个能表出 $p{|}_{x\times \mathsf{D}}$ 的对象, 也就是 $p^{-1}(x\times \mathsf{D})$ 的一个始对象. 这可以用以下办法做到. 考虑 $X$ 中由所有这样的始对象张成的满子范畴 $Y\subset X$. 可以证明 $Y\to {\mathsf{C}}^{\mathrm{op}}$ 是平凡纤维化 (证明的方法是用 Grothendieck 构造的性质, 读者可以试试), 从而 $F$ 可以取成该平凡纤维化的任一截面. 函子 $G$ 可以同理构造.

$\square$

命题 7.24. 设 $\mathsf{C},\mathsf{D}$ 为拟范畴. 则 $\mathsf{C}$ 与 $\mathsf{D}$ 间的一对伴随函子等价于一个拟范畴的映射$$p:M\to \Delta [1],$$满足以下性质:

•	有范畴等价 $p^{-1}(0)\simeq \mathsf{C}$ 和 $p^{-1}(1)\simeq \mathsf{D}$.
•	$p$ 是推出纤维化.
•	$p$ 是拉回纤维化.

事实上, $M$ 由 $\mathfrak{N}\mathsf{M}$ 给出, 其中 $\mathsf{M}$ 是如下定义的 Kan 复形充实范畴:

•

对象: 二元组 $(x,0)$, 其中 $x\in \mathsf{C}$, 及二元组 $(y,1)$, 其中 $y\in \mathsf{D}$.

•

态射空间: $$\begin{array}{rl}{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{M}}((x,0),(y,0))& :={\mathrm{Hom}}_{R\mathfrak{C}\mathsf{C}}(x,y),\\ {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{M}}((x,1),(y,1))& :={\mathrm{Hom}}_{R\mathfrak{C}\mathsf{D}}(x,y),\\ {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{M}}((x,0),(y,1))& :={\mathrm{Hom}}_{R\mathfrak{C}\mathsf{D}}(Fx,y)\simeq {\mathrm{Hom}}_{R\mathfrak{C}\mathsf{C}}(x,Gy),\\ {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{M}}((x,1),(y,0))& :=\varnothing .\end{array}$$

证明. 从这样的 $M$ 出发不难还原出原来的伴随函子, 因为推出纤维化、拉回纤维化通过 Grothendieck 构造就能给出 $\mathsf{C}$ 与 $\mathsf{D}$ 之间的转移函子.

还需证明, 这一过程确实是命题中所述构造 $M$ 的过程的逆过程. 我们略去这些验证.

$\square$

命题 7.25. 设 $\mathsf{K},\mathsf{C}$ 为拟范畴. 假设任意函子 $\mathsf{K}\to \mathsf{C}$ 都有余极限. 则常值函子$$\mathrm{const}:\mathsf{C}\to \mathrm{Fun}(\mathsf{K},\mathsf{C})$$具有左伴随, 也就是余极限函子.

证明. 我们用命题 7.23 给出的伴随函子的等价定义. 函子 $\mathrm{const}$ 给出一个右可表的左纤维化$$X\to \mathrm{Fun}(\mathsf{K},\mathsf{C}{)}^{\mathrm{op}}\times \mathsf{C}.$$还需证明它是左可表的. 但注意到$$X{|}_{f\times \mathsf{C}}\simeq {\mathsf{C}}_{f/},$$故左可表等价于 ${\mathsf{C}}_{f/}$ 有始对象, 即 $\mathsf{C}$ 中存在余极限.

$\square$

注 7.26. 设 $\mathsf{C},\mathsf{D}$ 为单纯模型范畴, $(F⊣G)$ 为它们之间的 Quillen 伴随. 则 $F$ 和 $G$ 也给出拟范畴 $\mathfrak{N}({\mathsf{C}}_{\mathrm{cf}})$ 和 $\mathfrak{N}({\mathsf{D}}_{\mathrm{cf}})$ 之间的伴随函子.