5. Grothendieck 构造

设有范畴间的函子 $f:X\to S$. 则对每个 $s\in S$, 可以考虑纤维 $X_s=f^{-1}(s)$, 它是 $X$ 的子范畴. 这是一种将 $S$ 的对象映到范畴的操作. 我们可以问, 这种操作什么时候给出一个 $S\to \mathsf{Cat}$ 的函子.

事实上, 如果 $f$ 是某种 “纤维化” (具体见下文), 那么上述构造就能给出函子, 这就称为 Grothendieck 构造. 也就是说, 有如下的对应关系:$$X\mathsf{Cat}SS\text{纤维化}⟺\text{取纤维}$$

在开始之前, 我们先来看一个代数几何中的例子.

例 5.1. 记 $\mathsf{Sch}$ 为概形范畴. 对概形 $X$, 记 ${\mathsf{QCoh}}_X$ 为 $X$ 上拟凝聚层范畴. 这给出了函子$${\mathsf{QCoh}}_{(-)}:{\mathsf{Sch}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Cat}.$$

仔细想想, 会发现这实际上并不是函子, 因为复合律$$f^{\ast }\circ g^{\ast }=(g\circ f{)}^{\ast }$$只在相差自然同构的意义下成立, 即相差 $\mathsf{Cat}$ 中 $2$-态射的意义下成立. 这样的 “函子” 称为 $2$-函子.

我们可以对这个 $2$-函子使用 Grothendieck 构造, 而得到一个 “纤维化”, 记为$$\mathsf{QCoh}\to {\mathsf{Sch}}^{\mathrm{op}},$$其于 $X\in {\mathsf{Sch}}^{\mathrm{op}}$ 上的纤维是范畴 ${\mathsf{QCoh}}_X$. 事实上, 我们可以直接构造一个所有拟凝聚层的范畴 $\mathsf{QCoh}$ 如下:

•	其对象为二元组 $(X,\mathcal{F})$, 其中 $X$ 是概形, $\mathcal{F}$ 是 $X$ 上的拟凝聚层.
•	从 $(X,\mathcal{F})$ 到 $(Y,\mathcal{G})$ 的态射为二元组 $(f,g)$, 其中 $f:Y\to X$ 是概形态射, $g$ 是 ${\mathcal{O}}_Y$-模同态 $f^{\ast }\mathcal{F}\to \mathcal{G}$, 或等价地说, $g$ 是 ${\mathcal{O}}_X$-模同态 $\mathcal{F}\to f_{\ast }\mathcal{G}$.

我们有遗忘函子 $\mathsf{QCoh}\to {\mathsf{Sch}}^{\mathrm{op}}$, 它就是我们想要构造的 “纤维化”. 这就是我们即将定义的推出纤维化的一个例子.

我们将研究以下四种纤维化, 它们对应于范畴到 $\mathsf{Cat}$ 的函子, 其中 $\mathsf{Gpd}$ 表示群胚的范畴.

纤维化	名称	函子
左纤维化 $X\to S$	群胚余纤维范畴	$S\to \mathsf{Gpd}$
右纤维化 $X\to S$	群胚纤维范畴	$S^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Gpd}$
推出纤维化 $X\to S$	余纤维范畴	$S\to \mathsf{Cat}$
拉回纤维化 $X\to S$	纤维范畴	$S^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Cat}$

群胚纤维范畴

我们先来看左纤维化, 也就是群胚余纤维范畴. 此时, 对每个 $s\in S$, 纤维 $X_s$ 应该是群胚; 对 $S$ 中每个态射 $s\to s^{\prime }$, 应该有纤维间的转移映射 $X_s\to X_{s^{\prime }}$. 为了使这些转移映射能够定义, 我们需要映射 $p:X\to S$ 满足下列性质:

•	对象的转移: 对任何 $x\in X$, 及 $S$ 中任何态射 $\alpha :s\to s^{\prime }$, 其中 $s=p(x)$, 存在 $X$ 中态射 $\tilde{\alpha }:x\to x^{\prime }$, 使得 $p(\tilde{\alpha })=\alpha$. 画成图表, 就是说有提升性质$$xx{x}^{\prime }s{s}^{\prime }s{s}^{\prime }\text{.}⟹$$
•	态射的转移: 有唯一提升性质$$x{x}^{\prime }x{x}^{\prime }y{y}^{\prime }y{y}^{\prime }s{s}^{\prime }s{s}^{\prime }\text{.}⟹$$

不难看出, 如果满足了上述两条性质, 那么转移映射 $X_s\to X_{s^{\prime }}$ 就能良好定义, 并且在相差自然同构的意义下是唯一的. 这是因为, 我们可以先选择一种转移对象的方式, 然后态射的转移就能唯一确定.

以下定义是上述两条性质的重新叙述.

定义 5.2. 范畴间的函子 $p:X\to S$ 称为左纤维化, 如果它满足下列性质:

•	有提升性质$${\Lambda }_0[1]X\Delta [1]S\text{.}$$
•	有唯一提升性质$${\Lambda }_0[2]X\Delta [2]S\text{.}$$

其中, 记号 ${\Lambda }_0[n]$ 和 $\Delta [n]$ 表示它们对应的普通范畴, 准确地说是 $\mathrm{Ho}({\Lambda }_0[n])$ 和 $\mathrm{Ho}(\Delta [n])$.

读者可以证明, 这一定义等价于前面所述的两条转移性质.

注 5.3. 第二条公理中的唯一性实际上是 ${\Lambda }_0[3]$ 的提升性质的推论. 因此, 在无穷范畴中, 提升的唯一性将会被高阶的提升性质取代.

在上述定义中, 若将映射 $\Delta [2]\to S$ 取成 $s\in S$ 处常值映射, 则可发现, 纤维 $X_s$ 中的每个态射都有左逆, 从而 $X_s$ 必为群胚.

上述讨论总结如下.

定理 5.4 (Grothendieck 构造). 设 $p:X\to S$ 为小范畴间的左纤维化. 则取 $p$ 的纤维给出一个 $2$-函子 $S\to \mathsf{Gpd}$. 反过来, 每个 $2$-函子 $S\to \mathsf{Gpd}$ 都对应于一个左纤维化 $X\to S$.

证明. 只需再证明最后一句话. 该构造与例 5.1 的方法相同.

$\square$

类似地, 函子 $p:X\to S$ 称为右纤维化, 若 $p^{\mathrm{op}}:X^{\mathrm{op}}\to S^{\mathrm{op}}$ 为左纤维化. 在 Grothendieck 构造下, 右纤维化对应于 $2$-函子 $S^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Gpd}$.

群胚纤维无穷范畴

接下来, 我们来对无穷范畴定义 Grothendieck 构造. 定义好之后, 我们就可以用它来证明, 对拟范畴 $\mathsf{C}$ 中的对象 $x,y$, 有同伦等价$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}^{⊲}(x,y)\simeq \mathfrak{C}\mathsf{C}(x,y)\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}^{⊳}(x,y)$$

定义 5.5. 单纯集的映射 $p:X\to S$ 称为左纤维化, 如果对任何 $0\le i<n$, 都有提升性质$${\Lambda }_i[n]X\Delta [n]S\text{.}$$

类似地, $p$ 称为右纤维化, 如果对任何 $0<i\le n$, 都有上述提升性质.

上述定义是普通范畴中相应概念的自然推广.

命题 5.6. 设 $X$ 是单纯集. 那么, 映射 $X\to \ast$ 是左纤维化当且仅当 $X$ 是 Kan 复形.

证明. 右边蕴涵左边是显然的, 我们来证明另一边. 设 $X\to \ast$ 是左纤维化. 则 $X$ 是拟范畴, 且普通范畴 $\mathrm{Ho}(X)$ 中, 每个态射都有左逆, 从而 $\mathrm{Ho}(X)$ 是群胚. 由定理 4.4, $X$ 一定是 Kan 复形.

$\square$

设 $S$ 为单纯集, 记 ${\mathsf{sSet}}_{/S}$ 为俯范畴, 定义如下:

•	其对象为映射 $X\to S$.
•	从 $X\to S$ 到 $Y\to S$ 的态射为一映射 $X\to Y$, 使下图交换: $$XYS\text{ .}$$

根据 Lurie [HTT] 的方法, 我们即将定义一对伴随函子其中 ${\mathsf{Fun}}_{\mathsf{sSet}}$ 表示单纯集充实函子构成的 (普通) 范畴. 这对伴随函子将会具有以下性质:

•	函子 $\mathrm{St}$ 称为拉直 (straightening). 对于左纤维化而言, 该函子将给出其 Grothendieck 构造.
•	函子 $\mathrm{Un}$ 称为还原 (unstraightening). 对于函子 $\mathfrak{C}S\to \mathsf{Kan}$, 也就是 $S\to \mathfrak{N}(\mathsf{Kan})$, 该函子将给出反向 Grothendieck 构造.
•	在合适的模型结构下, 伴随函子对 $(\mathrm{St}⊣\mathrm{Un})$ 将成为 Quillen 等价.

下面, 我们开始构造.

定义 5.7. 设 $X,Y$ 为单纯集. 其连结 (join) 为单纯集 $X\star Y$, 其 $n$ 维单形为$$(X\star Y{)}_n=\{(f,{\sigma }_0,{\sigma }_1)\left|\begin{array}{rl}f& :\Delta [n]\to \Delta [1]\\ {\sigma }_0& :f^{-1}(0)\to X\\ {\sigma }_1& :f^{-1}(1)\to Y\end{array}\right\},$$其面映射和退化映射以自然的方式定义.

换言之, $X\star Y$ 就是向 $X\bigsqcup Y$ 添加所有可能的从 $X$ 到 $Y$ 的箭头和高维箭头, 而得到的单纯集. 例如, 我们有$$\Delta [n]\star \Delta [m]\simeq \Delta [n+m+1].$$

特别地, 对单纯集 $X$, 我们分别定义 $X$ 的右锥和左锥为$$\begin{array}{rl}{X}^{⊳}& =X\star \{\infty \},\\ X^{⊲}& =\{\infty \}\star X,\end{array}$$其中 $\{\infty \}$ 是一个单点集, 点 $\infty$ 称为锥顶点.

构造 5.8. 设 $X\to S$ 为单纯集间的映射. 我们如下定义函子$${\mathrm{St}}_{S}X:\mathfrak{C}S\to \mathsf{sSet}.$$对 $s\in S$, 定义$$({\mathrm{St}}_{S}X)(s)={\mathrm{Hom}}_M(\infty ,s),$$其中, 单纯范畴 $M$ 定义为$$M=\mathfrak{C}\left(X^{⊲}{\bigsqcup }_{X}S\right).$$

这一构造过程也可以描述如下: 首先, 在 $X$ 的左边添加点 $\infty$, 得到 $X^{⊲}$. 接下来, 对每个 $s\in S$, 将纤维 $X_s$ 压缩成一个点. 这样的到的范畴就是 $M$, 它也就是将 $X^{⊲}$ 拉直得到的范畴. 此时, 态射空间 $M(\infty ,s)$ 保存了关于纤维 $X_s$ 的信息, 因为它由所有从 $\infty$ 到 $X_s$ 的态射构成. 我们将看到, 如果 $X\to S$ 是左纤维化, 那么该态射空间就弱同伦等价于 $X_s$.

构造 5.9. 设 $F:\mathfrak{C}S\to \mathsf{sSet}$ 为单纯范畴之间的函子. 我们来构造左纤维化$${\mathrm{Un}}_{S}F\to S,$$从而 ${\mathrm{Un}}_S$ 成为 ${\mathrm{St}}_S$ 的右伴随. 我们定义$$({\mathrm{Un}}_{S}F{)}_n:=\{(\sigma ,f)\left|\begin{array}{rl}\sigma & :\Delta [n]\to S\\ f& :{\mathrm{St}}_S\sigma \to F\end{array}\right\},$$它带有到 $S$ 的自然映射.

换言之, 其 $n$ 维单形也就是 “从 $\Delta [n]$ 到 $F$ 的映射”, 但准确地说, 这里 $\Delta [n]$ 应该换成其 Grothendieck 构造, 也就是 ${\mathrm{St}}_S\Delta [n]$. 这解释了如此构造的原因.

由上述构造, 函子 ${\mathrm{St}}_S$ 与 ${\mathrm{Un}}_S$ 确实构成伴随函子有时, 我们也会忽略下标 $S$, 直接将这两个函子记为 $\mathrm{St}$ 与 $\mathrm{Un}$.

例 5.10. 我们来考虑最简单的情况, 即 $S=\{\ast \}$ 的情况. 此时, Grothendieck 构造将到 $\{\ast \}$ 的纤维化对应于其纤维. 我们猜测, 对应关系应该将每个单纯集对应到与之等价的单纯集.

由定义, 我们有$${\mathrm{St}}_{\{\ast \}}\Delta [n]\simeq (\mathfrak{C}(\Delta [n]/\Delta [n-1]))(0,\ast ),$$其中 $\Delta [n-1]\hookrightarrow \Delta [n]$ 是后者的第 $0$ 个面 $\{1,\dots ,n\}$, 而 $\Delta [n]/\Delta [n-1]$ 是在 $\Delta [n]$ 中将第 $0$ 个面 $\Delta [n-1]$ 压缩成一个点而得到的单纯集; 我们将这个点记为 $\ast$.

我们定义 $\mathsf{sSet}$ 中的余单纯对象 (即余单纯单纯集) $Q^{\bullet }$ 如下: $$Q^n=(\mathfrak{C}(\Delta [n]/\Delta [n-1]))(0,\ast ).$$则伴随函子 $({\mathrm{St}}_{\{\ast \}}⊣{\mathrm{Un}}_{\{\ast \}})$ 在构造 3.8 的意义下由 $Q^{\bullet }$ 给出. 经过仔细计算 (我们在此忽略, 见 [HTT, Remark 2.2.2.6]), 我们发现有拓扑空间的同胚$$|Q^n|\simeq {\Delta }^n,$$并且它与两个余单纯对象的面映射相容 (但不与退化映射相容). 由此可以推出, 对任何 $X\in \mathsf{sSet}$, 都有同胚$$|{\mathrm{St}}_{\{\ast \}}X|\simeq |X|,$$从而 ${\mathrm{St}}_{\{\ast \}}X$ 弱等价于 $X$.

该计算也说明 ${\mathrm{St}}_{\{\ast \}}$ 保持余纤维化、平凡余纤维化, 从而 $({\mathrm{St}}_{\{\ast \}}⊣{\mathrm{Un}}_{\{\ast \}})$ 是 Quillen 等价.

对一般的 $S\in \mathsf{sSet}$, 我们有如下结论:

定理 5.11. 范畴 ${\mathsf{sSet}}_{/S}$ 具有协变模型结构 (covariant model structure), 其中

•	$\mathsf{W}$ 的成员是所有映射 $X\to Y$, 使得诱导的映射$$X^{⊲}{\bigsqcup }_{X}S\to Y^{⊲}{\bigsqcup }_{Y}S$$是范畴等价.
•	$\mathsf{Cof}=\{\text{单射}\}$.
•	$\mathsf{Fib}\subset \{\text{左纤维化}\}$.
•	纤维性对象为 $S$ 上的左纤维化.

范畴 ${\mathsf{Fun}}_{\mathsf{sSet}}(\mathfrak{C}S,\mathsf{sSet})$ 具有投射模型结构 (projective model structure), 其中

•	$\mathsf{W}=\{\text{逐点弱等价}\}$.
•	$\mathsf{Fib}=\{\text{逐点纤维化}\}$.
•	$\mathsf{Cof}$ 由提升性质确定.

在上述模型结构下, 伴随函子对是 Quillen 等价.

见 [HTT, Theorem 2.2.1.2].

推论 5.12 (Grothendieck 构造). 函子在相差弱等价的意义下互为逆函子, 其中

•	$R$ 是 ${\mathsf{Fun}}_{\mathsf{sSet}}(\mathfrak{C}S,\mathsf{sSet})$ 的纤维性替换函子.
•	${\mathsf{LFib}}_{/S}$ 是 $S$ 上左纤维化的范畴, 它是 ${\mathsf{sSet}}_{/S}$ 的满子范畴.
•	${\mathsf{LFib}}_{/S}$ 中的弱等价为逐纤维的同伦等价.
•	${\mathsf{Fun}}_{\mathsf{sSet}}(\mathfrak{C}S,\mathsf{Kan})$ 中的弱等价为逐点的同伦等价.

证明. 设 $X\to S$ 为左纤维化, 设 $F:\mathfrak{C}S\to \mathsf{Kan}$ 为函子. 则单位、余单位映射$${\mathrm{Un}}_{S}R{\mathrm{St}}_{S}X\to X\text{和}F\to {\mathrm{St}}_{S}Q{\mathrm{Un}}_{S}F$$都是范畴等价 (命题 2.25). 这里 $Q$ 可取成恒同函子, 从而映射$${\mathrm{Un}}_{S}R{\mathrm{St}}_{S}X\to X\text{和}F\to R{\mathrm{St}}_S{\mathrm{Un}}_{S}F$$都是弱等价. 至于 ${\mathsf{LFib}}_{/S}$ 中弱等价的描述, 见 [HTT, Corollary 2.2.3.13].

$\square$

注 5.13. 类似地, 对右纤维化而言, 在 ${\mathsf{sSet}}_{/S}$ 上有反变模型结构 (contravariant model structure), 并且有 Quillen 等价其中 ${\mathsf{Fun}}_{\mathsf{sSet}}(\mathfrak{C}{S}^{\mathrm{op}},\mathsf{sSet})$ 带有投射模型结构.

下面, 我们来证明一个我们想要的性质, 也就是左纤维化的 Grothendieck 构造确实给出该纤维化的纤维.

命题 5.14.

•	设 $X\to S$ 为左纤维化. 则对每个 $s\in S$, 有弱同伦等价$$({\mathrm{St}}_{S}X)(s)\simeq X_s.$$
•	设 $F:\mathfrak{C}S\to \mathsf{Kan}$ 为函子. 则对每个 $s\in S$, 有 Kan 复形的同伦等价$$({\mathrm{Un}}_{S}F{)}_s\simeq F(s).$$

证明. 先证明第二部分. 由还原函子的定义, 有$$({\mathrm{Un}}_{S}F{)}_s\simeq {\mathrm{Un}}_{\{s\}}F(s)\simeq F(s),$$其中第二个等价使用了例 5.10.

再证明第一部分. 由推论 5.12, 我们有 $S$ 上左纤维化的弱等价$$X\text{∼}\to {\mathrm{Un}}_{S}R{\mathrm{St}}_{S}X,$$也就是逐纤维的同伦等价. 从而, 对每个 $s\in S$, 有$$X_s\simeq ({\mathrm{Un}}_{S}R{\mathrm{St}}_{S}X{)}_s.$$由第二部分, 我们就完成了证明.

$\square$

下面, 我们通过 Grothendieck 构造来研究拟范畴的态射空间.

设 $\mathsf{C}$ 是拟范畴, $K$ 是单纯集. 设 $p:K\to \mathsf{C}$ 是单纯集的映射, 我们看作 $\mathsf{C}$ 中的交换图表.

定义 5.15. 俯范畴 ${\mathsf{C}}_{/K}$ 是一个拟范畴, 其 $n$ 维单形为$$({\mathsf{C}}_{/K}{)}_n=\{\sigma :\Delta [n]\star K\to \mathsf{C}|\sigma {|}_K=p\}.$$类似地, 仰范畴 ${\mathsf{C}}_{K/}$ 是一个拟范畴, 定义为$$({\mathsf{C}}_{K/}{)}_n=\{\sigma :K\star \Delta [n]\to \mathsf{C}|\sigma {|}_K=p\}.$$

以下是命题 5.14 的推论.

推论 5.16. 设 $\mathsf{C}$ 为拟范畴, 设 $x,y\in \mathsf{C}$. 则$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}^{⊲}(x,y)\simeq ({\mathrm{St}}_{\mathsf{C}}{\mathsf{C}}_{x/})(y).$$$\square$

并且, 我们还有以下性质.

命题 5.17. 设 $\mathsf{C}$ 为拟范畴, 设 $x,y\in \mathsf{C}$. 则$$({\mathrm{St}}_{\mathsf{C}}{\mathsf{C}}_{x/})(y)\simeq \mathfrak{C}\mathsf{C}(x,y).$$

证明. 由拉直函子的定义, 有$$\mathfrak{C}\mathsf{C}(x,y)\simeq ({\mathrm{St}}_{\mathsf{C}}\{x\})(y).$$因此, 只需证明函子的映射$${\mathrm{St}}_{\mathsf{C}}\{x\}\to {\mathrm{St}}_{\mathsf{C}}{\mathsf{C}}_{x/}$$是弱等价. 事实上, 我们可以证明它是平凡余纤维化. 为此, 只需证明含入映射$$\{x\}\hookrightarrow {\mathsf{C}}_{x/}$$是 ${\mathsf{sSet}}_{/\mathsf{C}}$ 中的平凡余纤维化, 也就是对左纤维化具有左提升性质. 这是因为, 该映射是$$\{\infty \}\hookrightarrow ({\mathsf{C}}_{x/}{)}^{⊲}$$的一个收缩 (retract), 而此映射具有我们想要的左提升性质, 因为它可以通过不断沿左尖角粘贴单形而得到.

$\square$

通过上述两个命题, 我们得到了弱等价$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}^{⊲}(x,y)\simeq \mathfrak{C}\mathsf{C}(x,y).$$类似地, 对右纤维化进行同样的论述, 也能得到这种等价. 将这些结论组合起来, 就证明了下面的定理.

定理 5.18. 设 $\mathsf{C}$ 为拟范畴, 设 $x,y\in \mathsf{C}$. 则$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}^{⊲}(x,y)\simeq \mathfrak{C}\mathsf{C}(x,y)\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}^{⊳}(x,y).$$$\square$

以上就是 Grothendieck 构造的第一个应用.

纤维范畴

下面, 我们简要介绍四种纤维化中的另两种, 即推出纤维化与拉回纤维化.

设 $p:X\to S$ 为普通范畴之间的函子. $X$ 中态射 $f:x\to y$ 称为 $\mathbf{p}$-推出 ($p$-cocartesian morphism), 如果有 “推出方块”$$xyp(x)p(y)\text{.}fp(f)┐$$准确地说, 态射 $x\to y$ 具有以下泛性质: 对任何实线图表$$zxyp(z)p(x)p(y)\text{,}fg\exists !\tilde{h}p(f)p(g)h$$存在唯一的态射 $\tilde{h}:y\to z$, 使得 $\tilde{h}f=g$ 且 $p(\tilde{h})=h$.

这一定义可以重新表述如下.

定义 5.19. 设 $p:X\to S$ 为普通范畴间的函子. $X$ 中态射 $f:x\to y$ 称为 $\mathbf{p}$-推出, 如果在图表$${\Lambda }_0[2]X\Delta [2]S$$中, 只要满足 ${\Lambda }_0[2]$ 的边 $[0,1]$ 被映到 $X$ 中的边 $f$, 那么图表就有唯一提升.

定义 5.20. 函子 $p:X\to S$ 称为推出纤维化 (cocartesian fibration), 如果 $X$ 具有所有 “从 $S$ 出发的推出”: $$xx{x}^{\prime }s{s}^{\prime }s{s}^{\prime }\text{.}⟹┐$$准确地说, 对任何 $x\in X$ 和 $S$ 中任何态射 $\alpha :s\to s^{\prime }$, 其中 $s=p(x)$, 存在 $X$ 中的 $p$-推出 $\tilde{\alpha }:x\to x^{\prime }$, 使得 $p(\tilde{\alpha })=\alpha$.

推出纤维化使得我们可以直接定义纤维间的转移函子 (细节留给读者). 因此, 我们就得到了下面的定理.

定理 5.21 (Grothendieck 构造). 设 $p:X\to S$ 为小范畴间的推出纤维化. 则取 $p$ 的纤维给出一个 $2$-函子 $S\to \mathsf{Cat}$. 反过来, 每个 $2$-函子 $S\to \mathsf{Cat}$ 都对应于一个推出纤维化 $X\to S$.

类似地, 函子 $p:X\to S$ 称为拉回纤维化, 若 $p^{\mathrm{op}}:X^{\mathrm{op}}\to S^{\mathrm{op}}$ 为推出纤维化. 在 Grothendieck 构造下, 拉回纤维化对应于 $2$-函子 $S^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Cat}$.

纤维无穷范畴

上述推出纤维化的定义能够自然地推广到拟范畴上.

定义 5.22. 设 $p:X\to S$ 是拟范畴间的函子. $X$ 中态射 $f:x\to y$ 称为 $\mathbf{p}$-推出, 如果在图表$${\Lambda }_0[n]X\Delta [n]S$$中, 只要满足 ${\Lambda }_0[n]$ 的边 $[0,1]$ 被映到 $X$ 中的边 $f$, 那么图表就有提升.

与之前一样, 对于拟范畴, 我们不再要求提升的唯一性, 因为高维 (即 $n$ 更大时) 的提升性质保证了这一点.

下面, 我们来定义拟范畴的推出纤维化.

定义 5.23. 拟范畴间的函子 $p:X\to S$ 称为推出纤维化, 如果

•	对任何 $0<i<n$, 我们有提升性质$${\Lambda }_i[n]X\Delta [n]S\text{.}$$也就是说, $p$ 是内纤维化 (inner fibration).
•	$X$ 具有 “从 $S$ 出发的推出”: $$xx{x}^{\prime }s{s}^{\prime }s{s}^{\prime }\text{.}⟹┐$$准确地说, 对任何 $x\in X$ 和 $S$ 中任何态射 $\alpha :s\to s^{\prime }$, 其中 $s=p(x)$, 存在 $X$ 中的 $p$-推出 $\tilde{\alpha }:x\to x^{\prime }$, 使得 $p(\tilde{\alpha })=\alpha$.

其中, 第一条性质是任何普通范畴间的函子都满足的. 我们需要这一性质, 才能保证 $p$ 的纤维都是拟范畴.

命题 5.24. 态射 $X\to S$ 是左纤维化, 当且仅当它是推出纤维化, 并且 $X$ 的每条边都是 $p$-推出.

$\square$

为了得到拟范畴的 Grothendieck 构造, 我们需要使用拉直、还原函子的 “标记” 版本. 这一构造过程简述如下.

定义 5.25. 标记单纯集 (marked simplicial set) 指二元组 $(X,E)$, 其中其中 $X$ 为单纯集, $E\subset X_1$ 为一些标记边 (marked edge), 使得所有退化边都是标记边.

所有标记单纯集构成的范畴记为 ${\mathsf{sSet}}^{+}$, 其中态射要求把标记边都映到标记边.

对单纯集 $X$, 记 $X^{♯}$ 为所有边均为标记边的 $X$; 记 $X^{♭}$ 为仅标记退化边的 $X$. 我们记 ${\mathsf{sSet}}_{/S}^{+}={\mathsf{sSet}}_{/S^{♯}}^{+}$.

定理 5.26. 在合适的模型结构下, 我们有 Quillen 等价并且,

•	${\mathrm{Un}}_S^{+}$ 将所有到 $\mathsf{QCat}\simeq ({\mathsf{sSet}}^{+}{)}_{\mathrm{cf}}$ 的函子映到推出纤维化.
•	${\mathrm{St}}_S^{+}$ 恢复出推出纤维化的纤维 (在相差范畴等价的意义下).

见 [HTT, Theorem 3.2.0.1].

推论 5.27 (Grothendieck 构造). 函子在相差弱等价的意义下互为逆函子, 其中

•	$R$ 是 ${\mathsf{Fun}}_{\mathsf{sSet}}(\mathfrak{C}S,{\mathsf{sSet}}^{+})$ 的纤维性替换函子.
•	${\mathsf{CocFib}}_{/S}$ 是 $S$ 上推出纤维化的范畴, 它是 ${\mathsf{sSet}}_{/S}$ 的满子范畴.
•	${\mathsf{CocFib}}_{/S}$ 中的弱等价为逐纤维的范畴等价.
•	${\mathsf{Fun}}_{\mathsf{sSet}}(\mathfrak{C}S,\mathsf{QCat})$ 中的弱等价为逐点的范畴等价. $\square$

例 5.28. 设 $S={\mathsf{QCat}}_{\infty }$ 为拟范畴的拟范畴, 设 $F=(-{)}^{♭}\in \mathsf{Fun}(S,{\mathsf{sSet}}^{+})$ 为含入函子. 则推出纤维化$${\mathrm{Un}}_S^{+}(F)=\mathcal{Z}\to {\mathsf{QCat}}_{\infty }$$可以看作是万有纤维化, 因为任何推出纤维化都等价于它的一个拉回. 事实上, 对任何推出纤维化 $X\to T$, 我们有分类映射 (classifying map) $$f={\mathrm{St}}_T^{+}(X):T\to {\mathsf{QCat}}_{\infty },$$从而$$X\simeq f^{\ast }\mathcal{Z},$$这是因为 $X$ 和 $f^{\ast }\mathcal{Z}$ 都是 $S$ 上的推出纤维化, 并且它们的纤维相同.