8. 稳定范畴

从本节开始, 除非特别说明, $\infty$-范畴都指拟范畴.

在代数拓扑中, 我们知道有同伦推出、同伦拉回图表$$X\ast \ast \Sigma X┘\text{和}\Omega X\ast \ast X\text{ ,}┌$$我们在上一节也解释了这一点. 在稳定 $\infty$-范畴中, 我们则有推出–拉回图表$$X\ast \ast X[1]\text{ ,}┌┘$$也就是说, 函子 $\Sigma$ 和 $\Omega$ 互为逆. 例如, 我们将看到, 对链复形而言, $\Sigma$ 和 $\Omega$ 分别是链复形的平移 $[1]$ 和 $[-1]$. 因此, 链复形的 $\infty$-范畴就是稳定 $\infty$-范畴的一个例子.

稳定 $\infty$-范畴中的同伦论称为稳定同伦论. 因此, 同调代数是稳定同伦论的一个特例.

我们还将介绍一种稳定化的过程, 它将普通的 $\infty$-范畴变成稳定 $\infty$-范畴. 例如, 拓扑空间范畴的稳定化就是拓扑谱范畴, 其中的同伦论也就是经典意义的稳定同伦论.

稳定 $\infty$-范畴

定义 8.1. $\infty$-范畴 $\mathsf{C}$ 称为带点的, 如果它具有零对象 $0\in \mathsf{C}$, 即同时是始对象、终对象的对象.

定义 8.2. 设 $\mathsf{C}$ 为带点 $\infty$-范畴.

•	$\mathsf{C}$ 中的三角指图表$$XY0Z\text{ .}$$
•	$\mathsf{C}$ 中的余纤维序列指同时是推出图表的三角. 此时, 称 $Z$ 为映射 $X\to Y$ 的同伦余纤维.
•	$\mathsf{C}$ 中的纤维序列指同时是拉回图表的三角. 此时, 称 $X$ 为映射 $Y\to Z$ 的同伦纤维.

定义 8.3. 稳定 $\infty$-范畴是指带点 $\infty$-范畴 $\mathsf{C}$, 满足以下条件:

•	$\mathsf{C}$ 中每个态射都有同伦余纤维、同伦纤维.
•	$\mathsf{C}$ 中的三角是余纤维序列, 当且仅当它是纤维序列.

定义 8.4. 设 $\mathsf{C}$ 是带点 $\infty$-范畴. 定义函子 $\Sigma :\mathsf{C}\to \mathsf{C}$ 和 $\Omega :\mathsf{C}\to \mathsf{C}$ 如下: $$\Sigma X:=0\bigsqcup _{X}0,\Omega X:=0\underset{X}{\times }0.$$

和在代数拓扑里一样, 这里 $\Sigma$ 和 $\Omega$ 构成一对伴随, 因为对任意 $X,Y\in \mathsf{C}$, 有$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(\Sigma X,Y)\simeq \{\ast \}\underset{{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(X,Y)}{\times }\{\ast \}\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(X,\Omega Y).$$

若 $\mathsf{C}$ 是稳定 $\infty$-范畴, 容易看出 $\Sigma$ 和 $\Omega$ 互为逆函子. 此时记$$X[1]:=\Sigma X,X[-1]:=\Omega X.$$对非负整数 $n$, 记$$X[n]:={\Sigma }^{n}X,X[-n]:={\Omega }^{n}X.$$

定理 8.5. 设 $\mathsf{C}$ 是带点 $\infty$-范畴. 则下列命题等价:

•	$\mathsf{C}$ 稳定.
•	$\mathsf{C}$ 带有推出, 且 $\Sigma$ 是等价.
•	$\mathsf{C}$ 带有拉回, 且 $\Omega$ 是等价.
•	$\mathsf{C}$ 带有推出和拉回, 且 $\mathsf{C}$ 中任何推出图表都是拉回图表, 反之亦然.

见 [HA, Proposition 1.1.3.4, Corollary 1.4.2.27].

定义 8.6. 设 $\mathsf{C},\mathsf{D}$ 为稳定 $\infty$-范畴. 函子 $f:\mathsf{C}\to \mathsf{D}$ 称为正合函子, 如果它保持零对象, 并保持余纤维序列、纤维序列.

稳定范畴的同伦范畴

这一节的目标是证明下面的定理.

定理 8.7. 设 $\mathsf{C}$ 是稳定 $\infty$-范畴. 则同伦范畴 $\mathrm{Ho}(\mathsf{C})$ 具有自然的三角范畴结构.

证明. 首先, 我们证明 $\mathrm{Ho}(\mathsf{C})$ 是加性范畴.

•	$\mathrm{Ho}(\mathsf{C})$ 具有有限余积. 由命题 7.8, 只要证明 $\mathsf{C}$ 中有余积, 因为 $\mathrm{Ho}(\mathsf{C})$ 中的余积与之相同. 由定义, $\mathsf{C}$ 有始对象. 故只需证明对任意 $X,Y\in \mathsf{C}$, 存在余积 $X\bigsqcup Y$. 我们在 $\mathsf{C}$ 中作余纤维序列$$X[-1]Y0Z\text{ .}0┌┘$$则 $Z$ 就是我们要的余积 $X\bigsqcup Y$, 因为$$\begin{array}{rl}Z& \simeq \text{余纤维}(X[-1]\stackrel{0}{\to }Y)\\ & \simeq \text{余纤维}(X[-1]\to 0)\bigsqcup \text{余纤维}(0\to Y)\\ & \simeq X\bigsqcup Y,\end{array}$$其中第二步是因为, 取余纤维与取余极限交换 (这一性质可以通过同伦余极限的定义来证明).
•	$\mathrm{Ho}(\mathsf{C})$ 是加性范畴. 对任意 $X,Y\in \mathsf{C}$, 有$$\begin{array}{rl}{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(X[1],Y)& \simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(0,Y)\underset{{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(X,Y)}{\times }{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(0,Y)\\ & \simeq \Omega {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(X,Y).\end{array}$$因此, $${\pi }_0{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(X,Y)\simeq {\pi }_1{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(X[-1],Y)\simeq {\pi }_2{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(X[-2],Y)\simeq \cdots$$是 Abel 群. 留给读者验证复合是双线性的.
•	对映射 $f:X\to Y$, 怎么得到 $-f$? 从 $X$ 到 $Y$ 的映射可以看成一个图表$$X[-1]00Y\text{ .}$$如果交换两个 $0$ 的位置, 映射就会反号. 换言之, 如果这个图表对应映射 $f$, 则它的转置就对应映射 $-f$. 这是因为映射空间上的群结构由下面的同构定义: $${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(X,Y)\simeq \{\ast \}\underset{{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(X[-1],Y)}{\times }\{\ast \}\simeq \Omega {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}}(X[-1],Y),$$其中交换两个 $\{\ast \}$ 的效果是将环路空间中的环路反向. 特别地, 当 $Y=X$ 且 $f=1_X$ 时, 上面的方块是推出–拉回, 其转置给出 $X$ 的自同构 $-1_X$.

接下来, 我们定义 $\mathrm{Ho}(\mathsf{C})$ 上的三角范畴结构.

•	定义正合三角. 定义 $\mathrm{Ho}(\mathsf{C})$ 中的序列 $X\to Y\to Z\to X[1]$ 为正合三角, 当且仅当它同构于一个可以提升为 $\mathsf{C}$ 中图表$$XY00ZW┌┘┌┘$$的三角. 此时 $W$ 一定等价于 $X[-1]$, 因为外层的长方形也是推出–拉回图表.
•	(TR 1) ∘ 正合三角被同构保持. ∘ 对任何对象 $X$, 有正合三角$$X\stackrel{1_X}{\to }X\to 0\to X[1].$$ ∘ 任何态射 $X\to Y$ 都能延伸为一个正合三角$$X\to Y\to Z\to X[1].$$ 这些都是显然的.
•	(TR 2) 如果$$X\stackrel{f}{\to }Y\stackrel{g}{\to }Z\stackrel{h}{\to }X[1]$$是正合三角, 那么$$Y\stackrel{g}{\to }Z\stackrel{h}{\to }X[1]\stackrel{-f[1]}{\to }Y[1]$$也是正合三角. 为证之, 在 $\mathsf{C}$ 中作图表$$XY00ZW0V\text{ .}┌┘┌┘┌┘$$两个大长方形都是推出–拉回图表, 说明 $W\simeq X[1]$, $V\simeq Y[1]$. 图表中的映射 $W\to V$ 就是 $f[1]$, 因为它由图表之间的映射$$X00⟶Y00$$诱导. 然而, 为了和正合三角的定义一致, 我们需要将这个图表做转置, 故正合三角中的映射 $W\to V$ 是 $-f[1]$.
•	(TR 3) 给定实线图表$$XYZX[1]X^{\prime }{Y}^{\prime }{Z}^{\prime }{X}^{\prime }[1]\text{ ,}ff[1]$$如果两行都是正合三角, 则存在虚线箭头, 使整个图表交换. 这是因为 $\mathsf{C}$ 中取余纤维是函子性的. (在三角范畴中, 这个构造变得不函子性. 这是三角范畴的一个缺点, 说明稳定 $\infty$-范畴是更自然的对象.)
•	(TR 4) 八面体公理. 证明不难, 我们略过.

我们这就证明了 $\mathrm{Ho}(\mathsf{C})$ 是三角范畴.

$\square$

拓扑谱与稳定同伦论

下面, 我们简要回顾拓扑谱的理论, 也就是经典的稳定同伦论. 从拓扑空间到拓扑谱的过程叫做稳定化, 下一节将把这一过程推广到一般的 $\infty$-范畴, 而得到稳定 $\infty$-范畴.

经典的稳定同伦论考虑的是将纬悬函子 $\Sigma$ 作用于一个空间上足够多次后, 逐渐变得稳定的性质. 例如, 带点拓扑空间 $X$ 的稳定同伦群定义为$${\pi }_n^{\mathrm{s}}(X):=\underset{k\to \infty }{\mathrm{colim}}{\pi }_{n+k}({\Sigma }^{k}X),$$其中 $n\in \mathbb{Z}$. 例如, 由 Freudenthal 纬悬定理, 有$${\pi }_n^{\mathrm{s}}(S^0)\simeq {\pi }_{2n+2}(S^{n+2})\simeq {\pi }_{2n+3}(S^{n+3})\simeq \cdots .$$拓扑谱的作用就是记住这些稳定同伦意义下的信息.

定义 8.8. 拓扑谱 $E$ 由以下信息组成.

•	一列带点拓扑空间$$E_0,E_1,E_2,\dots .$$
•	对每个 $n\ge 0$, 有映射$${\sigma }_n:\Sigma E_n\to E_{n+1}.$$

拓扑谱 $E,F$ 之间的映射是一列带点拓扑空间的映射$$f_n:E_n\to F_n(n\ge 0),$$使得对任意 $n$, 有 ${\sigma }_n\circ \Sigma f_n=f_{n+1}\circ {\sigma }_n$.

拓扑谱的范畴记为 $\mathsf{Sp}$.

例 8.9. 设 $X$ 为带点拓扑空间. 其纬悬谱 ${\Sigma }^{\infty }X$ 定义为$$({\Sigma }^{\infty }X{)}_n:={\Sigma }^{n}X,$$其结构映射为 ${\sigma }_n:=1_{{\Sigma }^{n+1}X}$. 这里, 记号 ${\Sigma }^{\infty }$ 是为了说明它记录了 ${\Sigma }^{n}X$ 当 $n\to \infty$ 时的性质.

特别地, 球谱 $\mathbb{S}$ 定义为$$\mathbb{S}:={\Sigma }^{\infty }{S}^0,$$从而 ${\mathbb{S}}_n\simeq S^n$.

定义 8.10. 拓扑谱 $E$ 的稳定同伦群定义为$${\pi }_n(E):=\underset{k\to \infty }{\mathrm{colim}}{\pi }_{n+k}(E_k),$$其中 $n\in \mathbb{Z}$.

例如, 对带点拓扑空间 $X$, 有$${\pi }_n({\Sigma }^{\infty }X)\simeq {\pi }_n^{\mathrm{s}}(X).$$

注意到纬悬函子 $\Sigma$ 和平移函子 $[1]$ (即向左移动一位) 对稳定同伦群的作用效果是相同的. 事实上, 在定义了 $\mathsf{Sp}$ 上的同伦论后, 我们就能证明这两个函子在同伦意义下是等价的.

定义 8.11. 拓扑谱 $E$ 称为 $\mathbf{\Omega }$-谱, 如果对任何 $n\ge 0$, 由 ${\sigma }_n$ 诱导的映射$$E_n\to \Omega E_{n+1}$$都是弱同伦等价.

此时, 记 ${\Omega }^{\infty }E:=E_0$. 则对每个 $n\ge 0$, 有 ${\pi }_n(E)\simeq {\pi }_n(E_0)$.

定理 8.12. 范畴 $\mathsf{Sp}$ 具有稳定模型结构, 其中

•	$\mathsf{W}=\{$ 诱导所有稳定同伦群同构的映射 $\}$.
•	$\mathsf{Cof}=\{$ 逐个空间的余纤维化 $\}$.
•	纤维性对象是所有 $\Omega$-谱.

并且, 伴随函子是 Quillen 等价, 其导出函子同构于平移函子: $$\mathbb{L}\Sigma \simeq [1],\mathbb{R}\Omega \simeq [-1],$$它们是 $\mathrm{Ho}(\mathsf{Sp})\to \mathrm{Ho}(\mathsf{Sp})$ 的函子.

推论 8.13. 由上述模型结构定义的 $\infty$-范畴, 即拓扑谱的 $\infty$-范畴, 是稳定 $\infty$-范畴.

$\square$

特别地, 同伦范畴 $\mathrm{Ho}(\mathsf{Sp})$ 带有三角范畴的结构.

拓扑谱还可以从另一个观点来看待, 也就是将它们看成广义上同调理论的表出对象.

定义 8.14. 一个广义上同调理论是一族函子$${\tilde{E}}^n:{\mathsf{Top}}_{\ast }^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Ab}(n\in \mathbb{Z}),$$其中 ${\mathsf{Top}}_{\ast }$ 是带点拓扑空间的范畴, 并满足以下公理:

•	(同伦性) 若 $f:X\to Y$ 是弱同伦等价, 则 ${\tilde{E}}^n(f)$ 是同构.
•	(正合性) 每个同伦余纤维列 $X\to Y\to Z$ 都诱导正合列$${\tilde{E}}^n(Z)\to {\tilde{E}}^n(Y)\to {\tilde{E}}^n(X).$$
•	(纬悬) 有自然同构$${\tilde{E}}^{n+1}(\Sigma X)\simeq {\tilde{E}}^n(X).$$
•	(加性) ${\tilde{E}}^n$ 将余积映到积: $${\tilde{E}}^n\left({\bigvee }_{\alpha }{X}_{\alpha }\right)\simeq {\prod }_{\alpha }{\tilde{E}}^n(X_{\alpha }).$$

例如, 以任何 Abel 群为系数的约化奇异上同调理论都是广义上同调理论. 另外, 拓扑 $K$ 理论也是广义上同调理论.

定理 8.15 (Brown). 每个广义上同调理论 ${\tilde{E}}^{\bullet }$ 都能被一个拓扑谱 $E$ 表出. 也就是说, 对任何空间 $X$, 有$${\tilde{E}}^n(X)\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Ho}(\mathsf{Sp})}({\Sigma }^{\infty }X[-n],E).$$

特别地, Abel 群系数的奇异上同调由相应的 Eilenberg–Mac Lane 谱表出.

因此, 拓扑谱的范畴, 也就是拓扑空间范畴的 “稳定化”, 在同伦意义下等价于拓扑空间的所有广义上同调理论构成的范畴.

稳定化

设 $\mathsf{C}$ 是具有有限极限的 $\infty$-范畴. 在本小节中, 我们构造 $\mathsf{C}$ 中谱对象的稳定 $\infty$-范畴 $\mathrm{Sp}(\mathsf{C})$. 它具有以下万有性质: 它带有函子$${\Omega }^{\infty }:\mathrm{Sp}(\mathsf{C})\to \mathsf{C},$$并且, 对任何稳定 $\infty$-范畴 $\mathsf{D}$, 任何保持有限极限的函子 $\mathsf{D}\to \mathsf{C}$ 都以唯一的方式穿过函子 ${\Omega }^{\infty }$.

在介绍一般的构造之前, 我们先引入另一种理解拓扑谱的观点.

设 $E$ 是 $\Omega$-谱, 记 ${\mathsf{Top}}_{\ast }^{\mathrm{fin}}$ 为所有同伦等价于有限 CW 复形的带点拓扑空间的范畴. 我们可以定义一个函子$$F:{\mathsf{Top}}_{\ast }^{\mathrm{fin}}\to {\mathsf{Top}}_{\ast },$$它将每个球面 $S^n$ 映射到空间 $E_n$. 注意到, 该性质表明 $F$ 将推出方块映到拉回方块: $$S^{n}00S^{n+1}┘\stackrel{F}{⟼}{E}_{n}00E_{n+1}\text{ .}┌$$如果我们加强这一性质, 要求 $F$ 将任何推出方块映到拉回方块, 则 $F$ 在同伦等价的意义下就能被完全确定, 具体的构造留给读者. 这里, 我们用到了空间 $E_n$ 可以任意多次解环, 这是由于 $E$ 是 $\Omega$-谱的假设.

函子 $F$ 将推出方块映到拉回方块, 这一性质类似于同调理论中的切除性质. 从这个角度说, 谱可以看作是某种 “取值于拓扑空间的同调理论”.

在一般情形下, 我们即将定义 $\mathsf{C}$ 的谱对象为拓扑空间的 “取值于 $\mathsf{C}$ 中的同调理论”.

定义 8.16. 设 $\mathsf{C},\mathsf{D}$ 为 $\infty$-范畴.

•	假设 $\mathsf{C}$ 具有推出. 称 $\mathsf{C}$ 到 $\mathsf{D}$ 的函子 $F:\mathsf{C}\to \mathsf{D}$ 为切除函子 (excisive functor), 如果它将推出方块映到拉回方块.
•	假设 $\mathsf{C}$ 具有零对象. 称 $\mathsf{C}$ 到 $\mathsf{D}$ 的函子 $F:\mathsf{C}\to \mathsf{D}$ 为约化函子 (reduced functor), 如果它保持零对象.

记$${\mathrm{Fun}}_{\ast }(\mathsf{C},\mathsf{D})\text{和}{\mathrm{Exc}}_{\ast }(\mathsf{C},\mathsf{D})$$分别为 $\mathsf{C}$ 到 $\mathsf{D}$ 的约化函子、约化切除函子的范畴, 它们都是 $\mathrm{Fun}(\mathsf{C},\mathsf{D})$ 的全子范畴.

我们回忆空间范畴 $\mathsf{S}=\mathfrak{N}(\mathsf{Kan})$, 即 Kan 复形的 $\infty$-范畴.

定义 8.17. 有限空间的范畴 ${\mathsf{S}}^{\mathrm{fin}}$ 定义为 $\mathsf{S}$ 的全子范畴, 其对象为几何实现等价于有限 CW 复形的 Kan 复形. 令$${\mathsf{S}}_{\ast }^{\mathrm{fin}}:=({\mathsf{S}}^{\mathrm{fin}}{)}_{\{\ast \}/}$$为带点有限空间的范畴.

定义 8.18. 设 $\mathsf{C}$ 为 $\infty$-范畴. $\mathsf{C}$ 中谱对象的范畴定义为$$\mathrm{Sp}(\mathsf{C}):={\mathrm{Exc}}_{\ast }({\mathsf{S}}_{\ast }^{\mathrm{fin}},\mathsf{C}).$$定义函子$${\Omega }^{\infty }:\mathrm{Sp}(\mathsf{C})\to \mathsf{C},$$它将谱对象映到其在 $S^0\in {\mathsf{S}}_{\ast }^{\mathrm{fin}}$ 处的值.

例如, 上述讨论说明, 我们应该有$$\mathsf{Sp}\simeq \mathrm{Sp}({\mathsf{S}}_{\ast })\simeq \mathrm{Sp}({\mathsf{Top}}_{\ast }).$$

注 8.19. 事实上, 约化切除函子 $E:{\mathsf{S}}_{\ast }^{\mathrm{fin}}\to \mathsf{C}$ 由空间 $E_n:=E(S^n)$ 和等价 $E_n\text{∼}\to \Omega E_{n+1}$ 确定. 由此可以说明 $\mathrm{Sp}(\mathsf{C})$ 等价于同伦极限$$\mathrm{Sp}(\mathsf{C})\simeq \lim (\cdots \to \mathsf{C}\stackrel{\Omega }{\to }\mathsf{C}\stackrel{\Omega }{\to }\mathsf{C}).$$

定理 8.20. 设 $\mathsf{C}$, $\mathsf{D}$ 为 $\infty$-范畴.

•	若 $\mathsf{C}$ 具有有限极限, 则 $\mathrm{Sp}(\mathsf{C})$ 是稳定 $\infty$-范畴.
•	更一般地, 若 $\mathsf{C}$ 具有有限余极限, $\mathsf{D}$ 具有有限极限, 则 ${\mathrm{Exc}}_{\ast }(\mathsf{C},\mathsf{D})$ 是稳定 $\infty$-范畴.

证明. 只需证明第二部分. 函子 ${\Sigma }_{\mathsf{C}}$ 和 ${\Omega }_{\mathsf{D}}$ 诱导了 ${\mathrm{Exc}}_{\ast }(\mathsf{C},\mathsf{D})$ 上相应的函子. (余) 极限的一个性质是, $\mathrm{Fun}(\mathsf{C},\mathsf{D})$ 中的 (余) 极限能在 $\mathsf{D}$ 中直接计算, 只要 $\mathsf{D}$ 中具有这些 (余) 极限. 因此, ${\mathrm{Exc}}_{\ast }(\mathsf{C},\mathsf{D})$ 自身的 $\Omega$ 函子与 ${\Omega }_{\mathsf{D}}$ 诱导的函子相同. 设 $F\in {\mathrm{Exc}}_{\ast }(\mathsf{C},\mathsf{D})$. 则对任意 $X\in \mathsf{C}$, 由拉回方块$$FX00F{\Sigma }_{\mathsf{C}}X\text{ ,}┌$$这说明有等价$$FX\simeq {\Omega }_{\mathsf{D}}F{\Sigma }_{\mathsf{C}}X.$$因此, ${\Sigma }_{\mathsf{C}}$ 是 ${\Omega }_{\mathsf{D}}$ 的逆. 由 (8.5), ${\mathrm{Exc}}_{\ast }(\mathsf{C},\mathsf{D})$ 是稳定 $\infty$-范畴.

$\square$

命题 8.21. 设 $\mathsf{C}$ 是具有有限极限的 $\infty$-范畴. 则 $\mathsf{C}$ 是稳定 $\infty$-范畴, 当且仅当函子 ${\Omega }^{\infty }:\mathrm{Sp}(\mathsf{C})\to \mathsf{C}$ 是等价.

证明. 略.

$\square$

命题 8.22. 设 $\mathsf{C}$, $\mathsf{D}$ 为 $\infty$-范畴.

•	若 $\mathsf{C}$ 是稳定 $\infty$-范畴, $\mathsf{D}$ 具有有限极限, 则函子 ${\Omega }^{\infty }:\mathrm{Sp}(\mathsf{D})\to \mathsf{D}$ 诱导了等价$${\mathrm{Fun}}^{l.ex.}(\mathsf{C},\mathrm{Sp}(\mathsf{D}))\simeq {\mathrm{Fun}}^{l.ex.}(\mathsf{C},\mathsf{D}),$$其中 ${\mathrm{Fun}}^{l.ex.}$ 为左正合函子的范畴, 即保持有限极限的函子构成的范畴.
•	更一般地, 若 $\mathsf{C}$ 具有零对象、有限极限, $\mathsf{D}$ 具有有限极限, 则函子 ${\Omega }^{\infty }:\mathrm{Sp}(\mathsf{D})\to \mathsf{D}$ 诱导了等价$${\mathrm{Exc}}_{\ast }(\mathsf{C},\mathrm{Sp}(\mathsf{D}))\simeq {\mathrm{Exc}}_{\ast }(\mathsf{C},\mathsf{D}).$$

证明. 只需证明第二部分. 因为 ${\mathrm{Exc}}_{\ast }(\mathsf{C},\mathsf{D})$ 是稳定 $\infty$-范畴, 所以$$\begin{array}{rl}{\mathrm{Exc}}_{\ast }(\mathsf{C},\mathsf{D})& \simeq \mathrm{Sp}({\mathrm{Exc}}_{\ast }(\mathsf{C},\mathsf{D}))\\ & \simeq {\mathrm{Exc}}_{\ast }({\mathsf{S}}_{\ast }^{\mathrm{fin}},{\mathrm{Exc}}_{\ast }(\mathsf{C},\mathsf{D}))\\ & \simeq {\mathrm{Exc}}_{\ast }(\mathsf{C},{\mathrm{Exc}}_{\ast }({\mathsf{S}}_{\ast }^{\mathrm{fin}},\mathsf{D}))\\ & \simeq {\mathrm{Exc}}_{\ast }(\mathsf{C},\mathrm{Sp}(\mathsf{D})).\end{array}$$

$\square$

这就证明了下面的定理.

定理 8.23. 有一对伴随函子其中

•	${\mathsf{Cat}}_{\infty }^{\mathrm{stable}}$ 是 ${\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 中由稳定 $\infty$-范畴和正合函子构成的子范畴.
•	${\mathsf{Cat}}_{\infty }^{fin.lim.}$ 是 ${\mathsf{Cat}}_{\infty }$ 中由具有有限极限的 $\infty$-范畴和左正合函子构成的范畴.
•	$i$ 是含入函子, $\mathrm{Sp}$ 是上面构造的函子, 称为稳定化. $\square$

事实上, 这可以看成 $(\infty ,2)$-范畴间的伴随函子, 因为我们证明了其中态射空间作为 $(\infty ,1)$-范畴等价, 而不只是作为空间等价.