1.5. 幂级数与 Reinhardt 域

基本概念

对 $\alpha \in {\mathbb{N}}^n$, 使其对应于 $a_{\alpha }\in \mathbb{C}$, 可以考虑与之相关联的幂级数:$$\sum _{\alpha \in {\mathbb{N}}^n}{a}_{\alpha }{z}^{\alpha }.$$

定义 1.5.1 (幂级数的收敛域). 幂级数 ${\sum }_{\alpha \in {\mathbb{N}}^n}{a}_{\alpha }{z}^{\alpha }$ 的收敛域被定义为$$D(\{a_{\alpha }\})=\left\{z\in {\mathbb{C}}^n|\exists r=r_z>0,\sum _{\alpha \in {\mathbb{N}}^n}|a_{\alpha }{w}^{\alpha }|<\infty ,\forall w\in B(z,r)\right\}.$$

显然, $D(\{a_{\alpha }\})$ 是开集. 在后续讨论中, 我们将证明它具有某种对称性, 并给它某种几何的刻画. 从下面的结论开始.

引理 1.5.2 (Abel 引理). 令 $w\in (\mathbb{C}\backslash \{0\}{)}^n$ 满足$$C:=\underset{\alpha \in {\mathbb{N}}^n}{\sup }|a_{\alpha }{w}^{\alpha }|<\infty ,$$则幂级数 ${\sum }_{\alpha \in {\mathbb{N}}^n}{a}_{\alpha }{z}^{\alpha }$ 在 $P(0,r)$ 内正规收敛, 其中$$r=(|w_1|,\cdots ,|w_n|)\in (0,+\infty {)}^n.$$

证明. 对任意 $\lambda \in (0,1)$ 和 $z\in P(0,\lambda r)$, 有$$|a_{\alpha }{z}^{\alpha }|\le |a_{\alpha }|{\lambda }^{|\alpha |}{r}^{\alpha }=(|a_{\alpha }{w}^{\alpha }|){\lambda }^{|\alpha |}\le C{\lambda }^{|\alpha |},$$于是$$\sum _{\alpha \in {\mathbb{N}}^n}\underset{z\in P(0,\lambda r)}{\sup }|a_{\alpha }{z}^{\alpha }|\le C\sum _{\alpha \in {\mathbb{N}}^n}{\lambda }^{|\alpha |}=C(1-\lambda {)}^{-n}<\infty .$$$\square$

定义 1.5.3 (Reinhardt 域).

•	区域 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 被称为 Reinhardt 域, 如果对任意 $(z_1,\cdots ,z_n)\in \Omega$ 和 $({\theta }_1,\cdots ,{\theta }_n)\in {\mathbb{R}}^n$ 都有$$({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_1}{z}_1,\cdots ,{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_n}{z}_n)\in \Omega .$$
•	Reinhardt 域 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 被称为是完备的, 如果对任意 $z\in \Omega \cap (\mathbb{C}\backslash \{0\}{)}^n$ 都有 $P(0,\tau (z))\subset \Omega$, 其中映射 $\tau :{\mathbb{C}}^n\to [0,+\infty {)}^n$ 定义为$$(z_1,\cdots ,z_n)\mapsto (|z_1|,\cdots ,|z_n|).$$

推论 1.5.4. 幂级数 ${\sum }_{\alpha \in {\mathbb{N}}^n}{a}_{\alpha }{z}^{\alpha }$ 的收敛域是一个 (可能为空集) 完备的 Reinhardt 域, 且它等于下述集合的内部: $$\{z\in {\mathbb{C}}^n\mid \underset{\alpha \in {\mathbb{N}}^n}{\sup }|a_{\alpha }{z}^{\alpha }|<\infty \}.$$

证明. 由 Abel 引理 1.5.2 可立得.

$\square$

为了进一步理解推论 1.5.4 所述的, 我们举三个例子. 下面的表格中列举了一些级数和收敛域.

级数	收敛域
${\sum }_{{\alpha }_1,{\alpha }_2\ge 0}{z}_1^{{\alpha }_1}{z}_2^{{\alpha }_2}$	$\Delta \times \Delta$
${\sum }_{k=0}^{\infty }(z_1{z}_2{)}^k$	$\{(z_1,z_2)\in {\mathbb{C}}^2\mid |z_1{z}_2|<1\}$
${\sum }_{{\alpha }_1,{\alpha }_2\ge 0}\frac{{\alpha }_1}{{\alpha }_2!}{z}_1^{{\alpha }_1}{z}_2^{{\alpha }_2}$	$\Delta \times \mathbb{C}$

注 1.5.5.

1.

如果 $n>1$, 则求导后的级数 ${\sum }_{\alpha \in {\mathbb{N}}^n}{a}_{\alpha }{\partial }^{\beta }{z}^{\alpha }$ 的收敛域可能严格大于原来级数的收敛域, 这与单变量情形不同. 如: ${\sum }_{k=0}^{\infty }{z}_1{z}_2^k$.

2.

让 $[0,+\infty {)}^n$ 装载 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间拓扑后, $\tau$ 成为一个连续的开映射. 实际上, Reinhardt 域可以被它们在映射 $\tau$ 下的像刻画, 其是 $(0,+\infty {)}^n$ 的子集: $${\tau }^{-1}(\tau (\Omega ))=\Omega .$$下面举三个例子: $$\begin{array}{rl}{\Omega }_1& =\left(\Delta \times \frac{1}{2}\Delta \right)\cup \left(\left(\Delta \backslash \frac{1}{2}\Delta \right)\times \Delta \right)\\ {\Omega }_2& =\left(\Delta \times \frac{1}{2}\Delta \right)\cup \left(\frac{1}{2}\Delta \times \Delta \right)\\ {\Omega }_3& =(\Delta \times \Delta )\backslash \left(\frac{1}{2}\Delta \times \frac{1}{2}\Delta \right)\end{array}$$这三个区域在 $\tau$ 映射下的像分别如下图.

幂级数收敛域的几何性质

对数凸性

定义 1.5.6 (对数凸). 一个 Reinhardt 域 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 被称为是对数凸的, 如果$$\log \tau (\Omega \cap (\mathbb{C}\backslash \{0\}{)}^n)=\left\{(\log |z_1|,\cdots ,\log |z_n|)\mid z\in \Omega \cap (\mathbb{C}\backslash \{0\}{)}^n\right\}$$是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的凸集.

我们立刻有

定理 1.5.7. 设 $\Omega$ 是某个幂级数 ${\sum }_{\alpha \in {\mathbb{N}}^n}{a}_{\alpha }{z}^{\alpha }$ 的收敛域, 则 $\Omega$ 是对数凸的完备 Reinhardt 域.

证明. 根据 1.5.4, 只要证明 $\log \tau (\Omega \cap (\mathbb{C}\backslash \{0\}{)}^n)$ 是凸集. 设 $\xi ,\eta \in \log \tau (\Omega \cap (\mathbb{C}\backslash \{0\}{)}^n)$. 只要证明$$t\xi +(1-t)\eta \in \log \tau (\Omega \cap (\mathbb{C}\backslash \{0\}{)}^n),t\in (0,1).$$选取 $p,q\in \Omega ,\lambda >1$ 使得$$\log \tau (p)=\xi ,\log \tau (q)=\eta ;\lambda p,\lambda q\in \Omega .$$因为幂级数在 $\lambda p,\lambda q$ 收敛, 所以存在正数 $M$ 使得$$\underset{\alpha \in {\mathbb{N}}^n}{\sup }|a_{\alpha }|{\lambda }^{|\alpha |}|p^{\alpha }|\le M,\underset{\alpha \in {\mathbb{N}}^n}{\sup }|a_{\alpha }|{\lambda }^{|\alpha |}|q^{\alpha }|\le M.$$进一步有$$\underset{\alpha \in {\mathbb{N}}^n}{\sup }|a_{\alpha }|{\lambda }^{|\alpha |}|p^{\alpha }{|}^t|q^{\alpha }{|}^{1-t}\le M,\forall t\in (0,1).$$由 Abel 引理 1.5.2, 幂级数在 $P(0,\lambda r_t)$ 正规收敛, 其中$$r_t=(|p_1{|}^t|q_1{|}^{1-t},\cdots ,|p_n{|}^t|q_n{|}^{1-t}),$$从而 $r_t\in \tau (\Omega \cap (\mathbb{C}\backslash \{0\}{)}^n)$, 也就是$$t\xi +(1-t)\eta =\log r_t\in \log \tau (\Omega \cap (\mathbb{C}\backslash \{0\}{)}^n).$$$\square$

如果一系列 ${\Omega }_{\alpha }\subset {\mathbb{C}}^n(\alpha \in \mathcal{A})$ 都是对数凸的完备 Reinhardt 域, 则不难发现 ${\left({\bigcap }_{\alpha \in \mathcal{A}}{\Omega }_{\alpha }\right)}^{\circ }$ 也是对数凸的完备 Reinhardt 域. 这意味着: 对任意的区域 $\Omega$, 存在最小的包含 $\Omega$ 的对数凸完备 Reinhardt 域, 记为 $\tilde{\Omega }$.

定理 1.5.8. 设 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 是包含原点的 Reinhardt 域, $f\in \mathcal{O}(\Omega )$. 则 Taylor 级数$$\sum _{\alpha \in {\mathbb{N}}^n}\frac{({\partial }^{\alpha }f)(0)}{\alpha !}{z}^{\alpha }$$在 $\Omega$ 中正规收敛到 $f$, 并且在 $\tilde{\Omega }$ 中也收敛. 换言之, $\mathcal{O}(\Omega )=\mathcal{O}(\tilde{\Omega })$.

证明. 只需要证明幂级数 ${\sum }_{\alpha \in {\mathbb{N}}^n}\frac{({\partial }^{\alpha }f)(0)}{\alpha !}{z}^{\alpha }$ 在 $\Omega$ 中正规收敛到 $f$. 如果这一点已被证明, 则通过定理 1.5.7 立刻得出在 $\tilde{\Omega }$ 上的正规收敛性.
不妨设 $\Omega \ne {\mathbb{C}}^n$. 对每个 $j\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, 定义 ${\Omega }_j$ 为下述 Reinhardt 开集的包含原点的连通分支: $$\{z\in \Omega \mid \mathrm{dist}(z,\partial \Omega )>|z|/j\}.$$则每个 ${\Omega }_j$ 都是 Reinhardt 域, 且 ${\Omega }_j\subset {\Omega }_{j+1}$. 进一步, 根据 $\Omega$ 的紧性, 有 ${\bigcup }_{j=1}^{\infty }{\Omega }_j=\Omega$. 从而只需要说明幂级数 ${\sum }_{\alpha \in {\mathbb{N}}^n}\frac{({\partial }^{\alpha }f)(0)}{\alpha !}{z}^{\alpha }$ 在每个 ${\Omega }_j$ 正规收敛到 $f$ 即可.

先证明下述断言: 对任何 $j\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 和 $z\in {\Omega }_j$, 有$$f(z)=\frac{1}{(2\pi \mathrm{i}{)}^n}{\int }_{{\partial }_0{\Delta }^n(0,1+1/j)}\frac{f({\zeta }_1{z}_1,\cdots ,{\zeta }_n{z}_n)}{({\zeta }_1-1)\cdots ({\zeta }_n-1)}\mathrm{d}{\zeta }_1\cdots \mathrm{d}{\zeta }_n.$$断言的证明: 对任何 $z\in {\Omega }_j,\zeta \in {\partial }_0{\Delta }^n(0,1+1/j)$, 都有 $({\zeta }_1{z}_1,\cdots ,{\zeta }_n{z}_n)\in \Omega$. 于是等式右边在 ${\Omega }_j$ 中是良定义且全纯的. 另外, 如果 $|z|$ 很小, 且 ${\zeta }_1,\cdots ,{\zeta }_n\in \overline{\Delta (0,1+1/j)}$, 则也有 $({\zeta }_1{z}_1,\cdots ,{\zeta }_n{z}_n)\in \Omega$. 于是根据 Cauchy 积分公式, 等式在某个原点的邻域内成立; 由恒等定理, 在 ${\Omega }_j$ 内成立.

现在可以验证幂级数在 ${\Omega }_j$ 中的正规收敛性. 对任意 $K\subset \subset {\Omega }_j$, 有$$\{({\zeta }_1{z}_1,\cdots ,{\zeta }_n{z}_n)\in {\mathbb{C}}^n\mid z\in K,{\zeta }_1,\cdots ,{\zeta }_n\in \partial \Delta (0,1+1/j)\}\subset \subset \Omega ,$$以及下述级数$$({\zeta }_1-1{)}^{-1}\cdots ({\zeta }_n-1{)}^{-1}=\sum _{\alpha \in {\mathbb{N}}^n}{\zeta }_1^{-{\alpha }_1-1}\cdots {\zeta }_n^{-{\alpha }_n-1}$$在 ${\partial }_0{\Delta }^n(0,1+1/j)$ 正规收敛. 这表明在 $K$ 中幂级数正规收敛: $f(z)={\sum }_{\alpha \in {\mathbb{N}}^n}{f}_{\alpha }(z)$, 其中$$\begin{array}{rl}{f}_{\alpha }(z)& =\frac{1}{(2\pi \mathrm{i}{)}^n}{\int }_{{\partial }_0{\Delta }^n(0,1+1/j)}\frac{f({\zeta }_1{z}_1,\cdots ,{\zeta }_n{z}_n)}{{\zeta }_1^{{\alpha }_1+1}\cdots {\zeta }_n^{{\alpha }_n+1}}\mathrm{d}{\zeta }_1\cdots \mathrm{d}{\zeta }_n\\ & =\frac{({\partial }^{\alpha }f)(0)}{\alpha !}{z}^{\alpha },\end{array}$$从而得到了在 ${\Omega }_j$ 上的正规收敛性.

$\square$

幂级数收敛域的等价刻画

最后我们来叙述和证明本节的主要结果.

定理 1.5.9. 设 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 是包含原点的 Reinhardt 域. 下列命题等价:

1.	$\Omega$ 是幂级数的收敛域;
2.	$\Omega$ 是完备的和对数凸的;
3.	$\Omega$ 是单项式凸的, 也就是说对任意 $K\subset \subset \Omega$, 有 ${\hat{K}}_{\mathcal{M}}\cap \Omega \subset \subset \Omega$, 其中$${\hat{K}}_{\mathcal{M}}:=\{z\in {\mathbb{C}}^n\mid |z^{\alpha }|\le \underset{w\in K}{\sup }|w^{\alpha }|,\forall \alpha \in {\mathbb{N}}^n\};$$
4.	$\Omega$ 是全纯域.

证明. 利用定理 1.5.7 有 $1\Rightarrow 2$; 由 Cartan-Thullen 定理有 $3\Rightarrow 4$. 于是只需要证明 $4\Rightarrow 1,2\Rightarrow 3$.

•	$4\Rightarrow 1$: 取 $f\in \mathcal{O}(\Omega )$, 它在 $\partial \Omega$ 的每一点都完全奇异. 根据定理 1.5.8, $f$ 在原点的幂级数展开$$\sum _{\alpha \in {\mathbb{N}}^n}\frac{({\partial }^{\alpha }f)(0)}{\alpha !}{z}^{\alpha }$$在 $\Omega$ 中正规收敛; 且显然不会在任何严格大于 $\Omega$ 的区域内收敛.

•

$2\Rightarrow 3$: 取 $K\subset \subset \Omega$, 则 ${\hat{K}}_{\mathcal{M}}$ 是紧集. 不妨设 $\Omega \ne {\mathbb{C}}^n$, 则实际上只需证明 ${\hat{K}}_{\mathcal{M}}\cap \partial \Omega =\varnothing$. 现在找有限个点 $p^{(1)},\cdots ,p^{(k)}\in \Omega \cap (\mathbb{C}\backslash \{0\}{)}^n$, 满足$$K\subset \bigcup _{j=1}^{k}P(0,\tau (p^{(j)}))\subset \Omega .$$令 $L=\{p^{(1)},\cdots ,p^{(k)}\}$, 则 ${\hat{K}}_{\mathcal{M}}\subset {\hat{L}}_{\mathcal{M}}$. 只需证明 ${\hat{L}}_{\mathcal{M}}\cap \partial \Omega =\varnothing$. 任取 $p\in \partial \Omega$, 我们现在把问题分成两种情形. ∘ $p\in \partial \Omega \cap (\mathbb{C}\backslash \{0\}{)}^n$. 注意到 $\log \tau (\Omega \cap (\mathbb{C}\backslash \{0\}{)}^n)$ 是凸集, 且 $\log \tau (p)$ 落在其边界, 所以可以找到线性函数 $\ell (\xi )={\sum }_{j=1}^n{\mu }_j{\xi }_j$, 其中 ${\mu }_j\in \mathbb{R}$, 满足$$\ell (\xi )<\ell (\log |p_1|,\cdots ,\log |p_n|),\forall \xi \in \log \tau (\Omega \cap (\mathbb{C}\backslash \{0\}{)}^n).$$注意到 $\Omega$ 是完备的, 应有 ${\mu }_j\ge 0$. 于是可以找到有理数 ${\alpha }_j>{\mu }_j\ge 0$, 它们足够接近 ${\mu }_j$, 使得对线性函数 $\tilde{\ell }(\xi )={\sum }_{j=1}^n{\alpha }_j{\xi }_j$, 有$$\max \{\tilde{\ell }(\log |p_1^{(s)}|,\cdots ,\log |p_n^{(s)}|)\mid s=1,\cdots ,k\}<\tilde{\ell }(\log |p_1|,\cdots ,\log |p_n|).$$上述式子在乘以 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ 的公分母后依然成立, 于是可不妨设 ${\alpha }_j\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. 这时单项式$$m_{\alpha }(z)=z_1^{{\alpha }_1}\cdots z_n^{{\alpha }_n}$$满足$$\begin{array}{rl}\underset{L}{\sup }|m_{\alpha }|& =\exp (\max \{\tilde{\ell }(\log |p_1^{(s)}|,\cdots ,\log |p_n^{(s)}|)\mid s=1,\cdots ,k\})\\ & <\exp (\tilde{\ell }(\log |p_1|,\cdots ,\log |p_n|))\\ & =|m_{\alpha }(p)|,\end{array}$$从而 $p\notin {\hat{L}}_{\mathcal{M}}$. ∘ $p\in \partial \Omega \backslash (\mathbb{C}\backslash \{0\}{)}^n$. 设 $p=(p_1,\cdots ,p_n)\ne 0$. 重新规定标号, 使得$$p_1,\cdots ,p_{j_0}\ne 0;p_{j_0+1},\cdots ,p_n=0$$对某个 $1\le j_0<n$ 成立. 定义 ${\pi }_{j_0}:{\mathbb{C}}^n\to {\mathbb{C}}^{j_0}$ 是投影映射: $z\mapsto (z_1,\cdots ,z_{j_0})$, 则 ${\pi }_{j_0}(\Omega )$ 是 ${\mathbb{C}}^{j_0}$ 中对数凸的完备 Reinhardt 域, 且 ${\pi }_{j_0}(p)\in \partial ({\pi }_{j_0}(\Omega ))\cap (\mathbb{C}\backslash \{0\}{)}^{j_0}$. 与上一情况一致地, 存在 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_{j_0}\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 使得$$\underset{(z_1,\cdots ,z_{j_0})\in {\pi }_{j_0}(L)}{\sup }|z_1^{{\alpha }_1}\cdots z_{j_0}^{{\alpha }_{j_0}}|<|p_1^{{\alpha }_1}\cdots p_{j_0}^{{\alpha }_{j_0}}|.$$等价地, ${\sup }_L|m_{\alpha }|<|m_{\alpha }(p)|$ 对单项式 $m_{\alpha }$ 在 ${\mathbb{C}}^n$ 中成立, 其中$$\alpha =({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_{j_0},0,\cdots ,0).$$这意味着 $p\notin {\hat{L}}_{\mathcal{M}}$. 定理证毕.

$\square$

习题. 证明一个 ${\mathbb{C}}^n$ 中的区域是幂级数的收敛域当且仅当它是单项式凸的.

习题. 设 $\Omega$ 是一个区域, 满足: 对任意 $z\in \Omega ,\theta \in \mathbb{R}$, 有 ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }z\in \Omega$, 且 $0\in \Omega$. 令 $f\in \mathcal{O}(\Omega )$. 证明 $f$ 可以被展开为一系列齐次复系数多项式, 它们在 $\Omega$ 上正规收敛.