2.1. 次调和函数的基本性质

下述讨论中用 $harm (Ω)$ 表示区域 $Ω$ 中所有调和函数组成的集合.

概念
基本性质
次调和函数的正则化
Hartogs 引理的证明

概念

大概来说, 次调和函数就是凸函数的一般化. 它的精确定义如下:

定义 2.1.1 (次调和函数). 设 $Ω \subset R^{n} (n > 1)$ 是区域. 函数 $u : Ω \to R \cup {- \infty}$ 被称为是次调和函数, 如果 $u$ 不恒为 $- \infty$ , 且

1.	$u$ 在 $Ω$ 上是上半连续的, 也就是说 $u^{- 1} ([- \infty, t))$ 对任意 $t \in R$ 都是开集 (或等价地, $lim sup_{y \to x} u (y) \leq u (x), \forall x \in Ω$ );
2.	对任何开集 $G \subset\subset Ω$ 和函数 $h \in harm (G) \cap C (\overset{ˉ}{G})$ , 如果 $u \leq h on \partial G$ , 那么 $u \leq h on G$ .

用 $Sh (Ω)$ 表示 $Ω$ 中所有次调和函数组成的集合.

注 2.1.2.

•	根据最大值原理, 有 $harm (Ω) ⊊ Sh (Ω)$ .
•	如果 $n = 1$ , 那么次调和性就是凸性. 更准确地, 如果函数 $u : (0, 1) \to R \cup {- \infty}$ 符合上述定义的第二条, 则要么 $u$ 恒为 $- \infty$ , 要么 $u ((0, 1)) \subset R$ , 且 $u$ 是凸函数 (从而连续). 证明很简单, 只需一行字.

下述定理通过积分平均值给了次调和函数一个方便的刻画.

定理 2.1.3. 设 $u : Ω \to R \cup {- \infty}$ 是上半连续的. 下述命题等价:

1.	$u \in Sh (Ω)$ ;
2.	对任意 $x \in Ω, 0 < r < dist (x, \partial Ω)$ 有 $u (x) \leq \frac{1}{σ ( \partial B ( x , r ))} \int_{\partial B (x, r)} u (y) d σ (y);$
3.	对任意 $x \in Ω, 0 < r < dist (x, \partial Ω)$ 有 $u (x) \leq \frac{1}{λ ( B ( x , r ))} \int_{B (x, r)} u (y) d λ (y);$
4.	对任意 $x \in Ω$ , 存在 $0 < r_{x} < dist (x, \partial Ω)$ 使得 $u (x) \leq \frac{1}{σ ( \partial B ( x , r ))} \int_{\partial B (x, r)} u (y) d σ (y), 0 < r < r_{x};$
5.	对任意 $x \in Ω$ , 存在 $0 < r_{x} < dist (x, \partial Ω)$ 使得 $u (x) \leq \frac{1}{λ ( B ( x , r ))} \int_{B (x, r)} u (y) d λ (y), 0 < r < r_{x} .$

注 2.1.4. 因为 $u$ 是下半连续的, 所以是 Borel 可测的, 且局部有上界 (甚至可以在任何紧包含于 $Ω$ 的集合中取到最大值). 于是上述定理中的积分都是良定义的.

为了证明, 需要下面的关于上半连续函数的性质.

命题 2.1.5. 设 $u : X \to R \cup {- \infty}$ 是度量空间 $(X, d)$ 上的函数. 则 $u$ 在 $X$ 上半连续当且仅当存在序列 ${u_{j}} \subset C (X, R)$ 使得 $u_{j} ↘ u$ .

定理 2.1.3 的证明. 首先, 不难发现下述推导关系: 只需证明 $1 \Rightarrow 2$ 和 $5 \Rightarrow 1$ .

•

$1 \Rightarrow 2$ : 取 $x \in Ω$ 和 $0 < r < dist (x, \partial Ω)$ . 根据性质 2.1.5, 存在 ${u_{j}} \subset C (Ω)$ 满足 $u_{j} ↘ u$ . 令 $h_{j} \in harm (B (x, r)) \cap C (\overline{B (x, r)})$ , 满足 $h_{j} ∣ ∣_{\partial B (x, r)} = u_{j} ∣ ∣_{\partial B (x, r)}$ . 因为 $u \in Sh (Ω)$ , 且 $u \leq h_{j} on \partial B (x, r)$ , 所以 $u \leq h_{j} on \overline{B (x, r)}$ . 进一步: $u (x) \leq h_{j} (x) = \frac{1}{σ ( \partial B ( x , r ))} \int_{\partial B (x, r)} h_{j} (y) d σ (y) = \frac{1}{σ ( \partial B ( x , r ))} \int_{\partial B (x, r)} u_{j} (y) d σ (y), j \in N^{*} .$ 令 $j \to \infty$ , 由单调收敛定理得 $u (x) \leq \frac{1}{σ ( \partial B ( x , r ))} \int_{\partial B (x, r)} u (y) d σ (y) .$

•	$5 \Rightarrow 1$ : 设 $G \subset\subset Ω$ 为开集, $v \in harm (G) \cap C (\overset{ˉ}{G})$ 满足 $u \leq v on \partial G$ . 则 $u - v$ 满足第五条所述. 这也就是说, $u - v$ 在 $G$ 上满足最大值原理, 从而 $\overset{ˉ}{G} sup (u - v) = \partial G sup (u - v) \leq 0,$ 也就是 $u \leq v on G$ .

定理证毕.

$□$

基本性质

接下来讨论一些次调和函数的性质, 它们均可以从定理 2.1.3 得到.

推论 2.1.6 (最大值原理). 设 $Ω \subset R^{n}$ 是区域, $u \in Sh (Ω)$ . 则要么 $u$ 是常数, 要么有 $u < sup {Ω ∋ y \to x lim sup u (y) ∣ ∣ x \in \partial Ω \cup {\infty}} .$

证明. 只需使用定理 2.1.3 的第五条. 实际上, 在用第五条推出第一条的过程中已经利用了最大值原理.

$□$

推论 2.1.7. 次调和性是局部性质. 更准确地, 如果 $Ω \subset R^{n}$ 是区域, 则函数 $u : Ω \to R \cup {- \infty}$ 是 $Ω$ 中的次调和函数当且仅当对任意 $x \in Ω$ , 存在其邻域 $U_{x} \subset Ω$ 使得 $u \in Sh (U_{x})$ .

推论 2.1.8. $Sh (Ω) \subset L_{loc}^{1} (Ω)$ . 特别地, 对 $u \in Sh (Ω)$ , $u^{- 1} (- \infty)$ 是零测集.

证明. 令

E = {x \in Ω ∣ 存在 x 的开邻域 U_{x} 使得 u \in L^{1} (U_{x})},

只需证明

E = Ω

. 显然

E

是开集. 另外, 对任意

x \in Ω, u (x) > - \infty

, 有

- \infty < u (x) \leq \frac{1}{λ ( B ( x , r ))} \int_{B (x, r)} u (y) d λ (y), \forall0 < r < dist (x, \partial Ω),

所以

u - sup_{B (x, r)} u \in L^{1} (B (x, r))

, 也就得到

u \in L^{1} (B (x, r))

对任意

0 < r < dist (x, \partial Ω)

成立. 这表示

\emptyset \neq = Ω\ u^{- 1} (- \infty) \subset E

. 上述结论也说明: 在

Ω\ E

的任意点的某个邻域内有

u

恒为

- \infty

, 从而

Ω\ E

是开集. 最后,

E

同时是开集和闭集, 这导致

E = Ω

.

$□$

习题. 设 $Ω \subset R^{n}$ 是区域, $u \in Sh (Ω)$ . 证明

1.	对任意 $x \in Ω$ , $lim sup_{y \to x} u (y) = u (x)$ ;
2.	对任意 $x \in Ω$ 和 $0 < r < dist (x, \partial Ω)$ , 有 $u (x + r \cdot) \in L^{1} (S^{n - 1})$ , 且函数 $(0, dist (x, \partial Ω)) ∋ r \mapsto \frac{1}{σ ( S ^{n - 1} )} \int_{S^{n - 1}} u (x + r ω) d σ (ω)$ 为递增的, 且在 $0$ 处有极限 $u (x)$ , 其中 $S^{n - 1} = {x \in R^{n} ∣ ∣ x ∣ = 1}$ 是单位球面;
3.	对任意 $x \in Ω$ , 函数 $(0, dist (x, \partial Ω)) ∋ r \mapsto \frac{1}{λ ( B ^{n} )} \int_{B^{n}} u (x + ry) d λ (y)$ 为递增的, 且在 $0$ 处有极限 $u (x)$ , 其中 $B^{n} = {x \in R^{n} ∣ ∣ x ∣ < 1}$ 是单位球.

推论 2.1.9. 设 $Ω \subset R^{n}$ 是区域, $Ω_{0}$ 是真包含于 $Ω$ 的开集. 如果 $u \in Sh (Ω), v \in Sh (Ω_{0})$ , 且 $lim sup_{Ω_{0} ∋ y \to x} v (y) \leq u (x), \forall x \in \partial Ω_{0} \cap Ω$ , 令 $w = {max {u, v} on Ω_{0} u on Ω\ Ω_{0},$ 则 $w \in Sh (Ω)$ .

证明不难. 下面的性质更多地刻画了哪些函数会是次调和的.

推论 2.1.10.

1.	$Sh (Ω)$ 是凸锥. 这也就是说, 如果 $α, β \geq 0, u, v \in Sh (Ω)$ , 则 $αu + β v \in Sh (Ω) .$
2.	每个在 $Ω$ 局部凸的函数都属于 $Sh (Ω)$ .
3.	如果 ${u_{j}} \subset Sh (Ω)$ 在 $Ω$ 中局部一致收敛于 $u : Ω \to R \cup {- \infty}$ , 则要么 $u$ 恒等于 $- \infty$ , 要么 $u \in Sh (Ω)$ .
4.	如果 ${u_{j}} \subset Sh (Ω)$ 递减且 $u = lim_{j \to \infty} u_{j}$ , 则要么 $u$ 恒等于 $- \infty$ , 要么 $u \in Sh (Ω)$ .
5.	设一族函数 ${u_{α}}_{α \in A} \subset Sh (Ω)$ 在 $Ω$ 中局部一致有界. 令 $u = sup_{α \in A} u_{α}$ . 考虑 $u$ 的上半连续正则化 $u^{}$ : $u^{} (x) = max {u (x), y \to x lim sup u (y)} = ε \to 0^{+} lim B (x, ε) sup u, x \in Ω,$ 则 $u^{} \in Sh (Ω)$ , 且 $u^{} = u a.e. on Ω$ .
6.	设 $u_{1}, \dots, u_{k} \in Sh (Ω)$ . 如果 $φ : R^{k} \to R$ 是凸函数, 且对每个分量都是递增的, 则将 $φ$ 连续地延拓到 $(R \cup {- \infty})^{k}$ 上以后: $φ (u_{1}, \dots, u_{k}) \in Sh (Ω) .$ 特别地, $max {u_{1}, \dots, u_{k}}, lo g (e^{u_{1}} + \dots + e^{u_{k}}) \in Sh (Ω)$ .

证明. 第一, 第三和第四条都是显然的. 下面证明其他命题.

•	以下证明第二条. 设 $u$ 是局部凸的, 则显然 $u \in C (Ω)$ . 对任意 $x \in Ω$ , 存在 $0 < r_{x} < dist (x, \partial Ω)$ 使得 $u ∣_{B (x, r_{x})}$ 是凸的. 对任意 $0 < r < r_{x}$ 和 $ω \in S^{n - 1}$ : $u (x) \leq \frac{1}{2} (u (x + r ω) + u (x - r ω)) .$ 在 $S^{n - 1}$ 做积分: $u (x) \leq \frac{1}{σ ( S ^{n - 1} )} \int_{S^{n - 1}} u (x + r ω) d σ (ω) = \frac{1}{σ ( \partial B ( x , r ))} \int_{\partial B (x, r)} u (y) d σ (y) .$
•	以下证明第五条. 首先, 我们证明 $u^{}$ 在 $Ω$ 中是上半连续的. 设 $t \in R$ , 以及 $x \in (u^{})^{- 1} ((- \infty, t))$ . 于是存在 $ε > 0$ 使得 $u^{} (x) < t - ε$ . 根据定义, 存在 $δ > 0$ 使得 $u < t - ε on B (x, δ),$ 从而 $u^{} \leq t - ε < t on B (x, δ) .$ 接下来的证明需要如下引理: 引理 (Choquet 引理). 设 ${u_{α}}_{α \in A}$ 为一族取值于 $R \cup {\pm \infty}$ 的函数, 它们定义在一个第二可数的 Hausdorff 空间 $X$ 上. 于是存在可数的子族 ${u_{α_{j}}}_{j \geq 1}$ 使得 $(j \geq 1 sup u_{α_{j}})^{} = (α \in A sup u_{α})^{} .$ 该引理的证明可以在 Demailly 书的第 38 页找到. 回到问题, 根据 Choquet 引理, 不妨设 ${u_{α}}$ 是可数的, 且 $u = sup_{α \in A} u_{α}$ 是可测的. 设 $x_{0} \in Ω$ 和 $r_{0} > 0$ 满足 $B (x_{0}, 2 r_{0}) \subset\subset Ω$ . 则对任意 $x \in B (x_{0}, r_{0})$ 和 $0 < r < r_{0}$ : $u_{α} (x) \leq \frac{1}{λ ( B ( x , r ))} \int_{B (x, r)} u_{α} (y) d λ (y) \leq \frac{1}{λ ( B ( x , r ))} \int_{B (x, r)} u (y) d λ (y) ⟹ u (x) \leq \frac{1}{λ ( B ( x , r ))} \int_{B (x, r)} u (y) d λ (y) .$ 因为等式右边在 $x \in B (x_{0}, r_{0})$ 是连续的, 所以 $u^{} (x_{0}) \leq \frac{1}{λ ( B ( x _{0} , r ))} \int_{B (x_{0}, r)} u (y) d λ (y) \leq \frac{1}{λ ( B ( x _{0} , r ))} \int_{B (x_{0}, r)} u^{} (y) d λ (y), \forall0 < r < r_{0} .$ 于是 $u^{} \in Sh (Ω)$ , 且 $u^{} (x_{0}) = r \to 0^{+} lim \frac{1}{λ ( B ( x _{0} , r ))} \int_{B (x_{0}, r)} u (y) d λ (y), \forall x_{0} \in Ω.$ 根据 Lebesgue 微分定理, $u^{*} = u a.e. on Ω$ .
•	最后证明第六条. 因为 $φ$ 连续且对每个分量都递增, 所以 $φ (u_{1}, \dots, u_{k})$ 是 $Ω$ 上的上半连续函数. 可以写出 $φ (t) = α \in A sup L_{α} (t),$ 其中 $L_{α} (t) = a_{1 α} t_{1} + \dots + a_{k α} t_{k} + b_{α}$ 为仿射函数, 且定义了 $φ$ 图像的一个支撑平面. 因为 $φ (t_{1}, \dots, t_{k})$ 对每个 $t_{j}$ 递增, 所以 $a_{j α} \geq 0, 1 \leq j \leq k, α \in A$ , 从而 $L_{α} (u_{1} (x), \dots, u_{k} (x)) \leq \frac{1}{λ ( B ( x , r ))} \int_{B (x, r)} L_{α} (u_{1} (y), \dots, u_{k} (y)) d λ (y) \leq \frac{1}{λ ( B ( x , r ))} \int_{B (x, r)} φ (u_{1} (y), \dots, u_{k} (y)) d λ (y)$ 对任意 $B (x, r) \subset\subset Ω$ 成立. 对 $α \in A$ 求上界得到 $φ (u_{1}, \dots, u_{k}) \in Sh (Ω)$ . $□$

推论 2.1.11. 设 $Ω \subset C$ 是区域, 则

1.	对任意 $f \in O (Ω) \ {0}$ , 有 $lo g ∣ f ∣ \in Sh (Ω) \cap harm (Ω\ {f = 0})$ , 且 $∣ f ∣^{p} \in Sh (Ω), \forall p > 0.$
2.	如果 $f_{1}, \dots, f_{n} \in Sh (Ω), p_{1}, \dots, p_{n} > 0$ , 则 $lo g (∣ f_{1} ∣^{p_{1}} + \dots + ∣ f_{n} ∣^{p_{n}}) \in Sh (Ω) .$

习题. 设 $Ω \subset R^{n}$ 是区域, ${u_{j}} \subset Sh (Ω)$ 在 $Ω$ 上局部一致有界. 定义 $u := lim sup_{j \to \infty} u_{j}$ . 证明下述两个结论至少有一个成立: $u \equiv - \infty$ , 或者 $u^{*} \in Sh (Ω)$ 且 $u^{*} = u a.e. on Ω$ .

次调和函数的正则化

现在可以讨论次调和函数的正则化. 设磨光函数 $χ \in C_{0}^{\infty} (R^{n})$ 满足: $χ \geq 0, supp (χ) \subset B (0, 1), χ (x) = χ (∣ x ∣)$ , 以及 $\int_{R^{n}} χ (x) d λ (x) = 1.$ 对任意 $ε > 0$ , 定义 $χ_{ε} (x) := ε^{- n} χ (ε^{- 1} x)$ . 对区域 $Ω \subset R^{n}$ , 定义 $Ω_{ε} := {x \in Ω ∣ dist (x, \partial Ω) > ε},$ 并且我们一般假定 $ε$ 足够小以至于 $Ω \neq = \emptyset$ .

定理 2.1.12. 设 $Ω \subset R^{n}$ 是区域, $u \in Sh (Ω)$ . 令 $u_{ε} := u * χ_{ε} \in C^{\infty} (Ω_{ε})$ , 则 $u_{ε} \in Sh (Ω_{ε})$ . 另外, 映射 $ε \mapsto u_{ε}$ 是递增的, 以及 $u_{ε} \to u, ε \to 0^{+}$ .

证明. 令 $x_{0} \in Ω, 0 < r < 1$ 充分小. 则 $\frac{1}{λ ( B ( x _{0} , r ))} \int_{B (x_{0}, r)} u_{ε} (x) d λ (x) = \frac{1}{λ ( B ( x _{0} , r ))} \int_{B (x_{0}, r)} (\int_{B^{n}} u (x - y) χ_{ε} (y) d λ (y)) d λ (x) = \int_{R^{n}} χ_{ε} (y) (\frac{1}{λ ( B ( x _{0} , r ))} \int_{B (x_{0}, r)} u (x - y) d λ (x)) d λ (y) \geq \int_{R^{n}} χ_{ε} (y) u (x_{0} - y) d λ (y) = u_{ε} (x_{0})$ 于是 $u_{ε} \in Sh (Ω_{ε})$ . 下面说明 $ε \mapsto u_{ε}$ 是递增的. 这是因为 $u_{ε} (x) = \int_{B (0, 1)} u (x - ε y) χ (y) d λ (y) = \int_{0}^{1} χ (r) r^{n - 1} (\int_{S^{n - 1}} u (x - ε r ω) d σ (ω)) d r,$ 于是 2.1.8 下面的习题的第二条表明 $ε \mapsto u_{ε}$ 是递增的. 进一步, 单调收敛定理表明 $ε \to 0^{+} lim u_{ε} (x) = σ (S^{n - 1}) u (x) \int_{0}^{1} χ (r) r^{n - 1} d r = u (x) \int_{B (0, 1)} χ (x) d λ (x) = u (x) .$ $□$

推论 2.1.13. 如果 $u, v \in Sh (Ω)$ , 且 $u \leq v a.e. on Ω$ , 则 $u \leq v$ 处处成立.

下述定理表明, 如果 $u$ 的性质足够好, 那么次调和函数就能用 $Δ u \geq 0$ 刻画.

定理 2.1.14. 设区域 $Ω \subset R^{n}$ , 且 $u \in D^{'} (Ω)$ (广义函数空间). 则 $u$ 是 (由... 诱导的) 次调和函数当且仅当分布意义的 $Δ u \geq 0 on Ω$ (在 Riesz 表示定理的意义下考虑, 也就是说 $Δ u$ 是 $Ω$ 上正的 Radon 测度). 特别地, 如果 $u \in C^{2} (Ω)$ , 则 $u \in Sh (Ω)$ 当且仅当 $Δ u \geq 0$ .

注 2.1.15. 根据 2.1.11 和 2.1.13, 函数 $u : Ω \to R$ 满足 $u \in harm (Ω)$ 当且仅当 $\pm u \in Sh (Ω)$ . 一般地, 如果广义函数 $u \in D^{'} (Ω)$ 是调和的, 那么 $u$ 是由 $Ω$ 上的调和函数诱导出来的.

证明. 先考虑特殊情况: $u \in C^{2} (Ω)$ . 取 $x \in Ω$ , 并定义 $φ (r) := \frac{1}{σ ( S ^{n - 1} )} \int_{S^{n - 1}} u (x + r ω) d σ (ω), 0 < r < dist (x, \partial Ω) .$ $φ$ 是一个 $(0, dist (x, \partial Ω))$ 上的 $C^{2}$ 函数, 且 $φ (0^{+}) = u (x)$ . 进一步: $φ (r) = \frac{1}{σ ( S ^{n - 1} )} \int_{S^{n - 1}} j = 1 \sum n \frac{\partial u}{\partial x _{j}} (x + r ω) ω_{j} d σ (ω) Stokes 定理 \frac{r}{σ ( S ^{n - 1} )} \int_{B^{n}} Δ u (x + ry) d λ (y) .$ 于是 $u \in Sh (Ω)$ 当且仅当 $Δ u \geq 0$ .

现在考虑一般情况. 令 $u_{ε} = u * χ_{ε}$ . 根据广义函数的理论, $u_{ε} \in C^{\infty} (Ω_{ε})$ , 且 $Δ u_{ε} = (Δ u) * χ_{ε} on Ω_{ε}$ .

•

必要性: 如果 $u \in Sh (Ω)$ , 那么根据定理 2.1.12 得到 $u_{ε} \in Sh (Ω)$ , 从而 $Δ u_{ε} \geq 0 on Ω_{ε}$ . 注意到 $u_{ε} \to u in D^{'}$ , 以及求导是有界线性算子, 所以令 $ε \to 0^{+}$ 得到 $Δ u \geq 0$ .

•

充分性: 如果

Δ u \geq 0 on Ω_{ε}

, 则

Δ u_{ε} \geq 0 on Ω_{ε}

, 从而

u_{ε} \in Sh (Ω)

. 接下来证明一个与 2.1.12 中形式一样的断言: 映射

ε \mapsto u_{ε}

是递增的. 事实上, 考虑

u_{ε} * χ_{δ} \in Sh (Ω_{ε + δ})

. 则

u_{ε} * χ_{δ} = u * χ_{ε} * χ_{δ} = u * χ_{δ} * χ_{ε} = u_{δ} * χ_{ε} .

因为

u_{δ} \in Sh (Ω)

, 所以定理 2.1.12 说明

ε \mapsto u_{δ} * χ_{ε}

是递增的. 令

δ \to 0^{+}

就得到断言的结论. 回到原问题, 根据断言可以定义

u_{0} := lim_{ε 0^{+}} u_{ε}

. 因为

u_{ε} \to u in D^{'}

, 结合单调收敛定理, 对任意非负的

φ \in C_{0}^{\infty} (Ω)

:

u (φ) = ε \to 0^{+} lim u_{ε} (φ) = ε \to 0^{+} lim \int_{Ω} u_{ε} φ d λ = \int_{Ω} u_{0} φ d λ,

这得出

u_{0}

不是

- \infty

. 根据 2.1.10 的第四条,

u_{0} \in Sh (Ω) \subset L_{loc}^{1} (Ω)

. 另一方面, 由控制收敛定理,

u_{ε} \to u_{0} in L_{loc}^{1} (Ω)

, 从而在

D^{'} (Ω)

成立. 所以

u_{0} = u in D^{'}

.

$□$

习题. 设 $Ω \subset R^{n}$ 是凸区域, $u \in D^{'} (Ω)$ . 证明 $u$ 是 $Ω$ 上的凸函数当且仅当对任意 $v = (v_{1}, \dots, v_{n}) \in R^{n}$ , 分布 $j, k = 1 \sum n v_{j} v_{k} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x _{j} \partial x _{k}}$ 在 $Ω$ 上是正的.

习题. 设 $Ω \subset R^{n}$ 是区域, $u \in Sh (Ω)$ . 证明对任意 $x \in Ω\ u^{- 1} (- \infty)$ 和 $0 < r < dist (x, \partial Ω)$ , 有 $u (x) = \frac{1}{σ ( S ^{n - 1} )} (\int_{S^{n - 1}} u (x + r ω) d σ (ω) - \int_{0}^{r} \frac{λ ( Δ u ( B ( x , t )))}{t ^{n - 1}} d t) .$

Hartogs 引理的证明

最后我们给出之前没有证明的 Hartogs 引理的证明.

定理 2.1.16 (Hartogs 引理). 设 $Ω \subset R^{n}$ 是区域, ${u_{j}} \subset Sh (Ω)$ 在 $Ω$ 上局部一致有界, 令 $u := lim sup_{j \to \infty} u_{j}$ . 则

1.	对任意 $v \in C (Ω), v \geq u$ 有 $max {(k \geq j sup u_{k})^{*}, v} \to v, j \to \infty$ 在 $Ω$ 局部一致成立.
2.	对任意 $K \subset\subset Ω$ 和 $K$ 上的上半连续函数 $f$ : $j \to \infty lim sup K sup ((k \geq j sup u_{k})^{} + f) \leq K sup (u^{} + f) .$

证明. 首先有结论: $j \to \infty lim (k \geq j sup u_{k})^{*} = u^{*} on Ω.$ 为了证明这一点, 令 $\overset{u}{^}_{j} = sup_{k \geq j} u_{k}$ . 则 $\overset{u}{^}_{j} ↘ u$ . 另外, $\overset{u}{^}_{j}^{*} \in Sh (Ω)$ , 且 ${\overset{u}{^}_{j}^{*}}$ 是不增的. 令 $\overset{u}{^} := lim_{j \to \infty} \overset{u}{^}_{j}^{*}$ , 则 $\overset{u}{^} \equiv - \infty$ 和 $\overset{u}{^} \in Sh (Ω)$ 之一成立 (2.1.10 的第四条). 如果 $\overset{u}{^} \equiv - \infty$ , 那么命题成立. 否则, 注意到 $\overset{u}{^}_{j}^{*} = \overset{u}{^}_{j} a.e. on Ω$ (因为 2.1.10 的第五条), 有 $\overset{u}{^} = u = u^{*} a.e. on Ω$ , 且 $u^{*} \in Sh (Ω)$ . 根据 2.1.13, $\overset{u}{^} = u^{*}$ 处处成立. 这就证明了所说的结论. 以下分条证明.

1.

取 $v \in C (Ω)$ 使得 $v \geq u$ . 则 $v \geq u^{*} = lim_{j \to \infty} (sup_{k \geq j} u_{k})^{*} on Ω$ . 于是 ${max {(k \geq j sup u_{k})^{*}, v}}_{j \geq 1}$ 是上半连续函数的递减序列, 且收敛于 $v \in C (Ω)$ . Dini 定理表明该收敛必然为局部一致的.

2.

任取 $K \subset\subset Ω$ 和 $K$ 上的上半连续函数 $f$ . 以下须分两种情况.

∘

如果 $u \equiv - \infty$ . 这时只需证明 $sup_{K} (sup_{k \geq j} u_{k})^{*} \to - \infty$ . 对任意 $c > 0$ , 根据已经证明的第一条可得 ${max {(k \geq j sup u_{k}), - 2 c}} ↘ - 2 c, j \to \infty$ 在 $Ω$ 上局部一致成立. 也就是说, 存在 $j_{0} \in N^{*}$ 使得 $K sup (k \geq j sup u_{k})^{*} \leq K sup max {(k \geq j sup u_{k})^{*}, - 2 c} < - c, j \geq j_{0} .$

∘

如果

u \neq \equiv - \infty

. 这时便有

u^{*} \in Sh (Ω)

. 对任意充分小的

0 < ε < 1

, 有

u^{*} * χ_{ε} \geq u^{*}

在

Ω_{ε} \supset K

成立. 对

v := u^{*} * χ_{ε} \in C^{\infty} (Ω_{ε})

使用第一条结论:

k sup (u^{*} * χ_{ε} + f) = j \to \infty lim K sup (max {(k \geq j sup u_{k})^{*}, u^{*} * χ_{ε}} + f) ⩾ j \to \infty lim sup K sup ((k \geq j sup u_{k})^{*} + f), \forall0 < ε ≪ 1.

(2.1.1)另一方面, Dini 定理表明

max {K sup (u^{*} + f), u^{*} * χ_{ε} + f} ↘ K sup (u^{*} + f), ε \to 0^{+}

在

K

上一致成立. 所以

lim_{ε \to 0^{+}} sup_{K} (u^{*} * χ_{ε} + f) = sup_{K} (u^{*} + f)

. 在 2.1.1 式中令

ε \to 0^{+}

就得到所欲结果.

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2.1. 次调和函数的基本性质

概念

基本性质

次调和函数的正则化

Hartogs 引理的证明