2.1. 次调和函数的基本性质

下述讨论中用 $\mathrm{harm}(\Omega )$ 表示区域 $\Omega$ 中所有调和函数组成的集合.

概念

大概来说, 次调和函数就是凸函数的一般化. 它的精确定义如下:

定义 2.1.1 (次调和函数). 设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n(n>1)$ 是区域. 函数 $u:\Omega \to \mathbb{R}\cup \{-\infty \}$ 被称为是次调和函数, 如果 $u$ 不恒为 $-\infty$, 且

1.	$u$ 在 $\Omega$ 上是上半连续的, 也就是说 $u^{-1}([-\infty ,t))$ 对任意 $t\in \mathbb{R}$ 都是开集 (或等价地, ${\mathrm{limsup}}_{y\to x}u(y)\le u(x),\forall x\in \Omega$);
2.	对任何开集 $G\subset \subset \Omega$ 和函数 $h\in \mathrm{harm}(G)\cap C(\bar{G})$, 如果 $u\le h\mathrm{on}\partial G$, 那么 $u\le h\mathrm{on}G$.

用 $\mathrm{Sh}(\Omega )$ 表示 $\Omega$ 中所有次调和函数组成的集合.

注 2.1.2.

•	根据最大值原理, 有 $\mathrm{harm}(\Omega )⊊\mathrm{Sh}(\Omega )$.
•	如果 $n=1$, 那么次调和性就是凸性. 更准确地, 如果函数 $u:(0,1)\to \mathbb{R}\cup \{-\infty \}$ 符合上述定义的第二条, 则要么 $u$ 恒为 $-\infty$, 要么 $u((0,1))\subset \mathbb{R}$, 且 $u$ 是凸函数 (从而连续). 证明很简单, 只需一行字.

下述定理通过积分平均值给了次调和函数一个方便的刻画.

定理 2.1.3. 设 $u:\Omega \to \mathbb{R}\cup \{-\infty \}$ 是上半连续的. 下述命题等价:

1.	$u\in \mathrm{Sh}(\Omega )$;
2.	对任意 $x\in \Omega ,0<r<\mathrm{dist}(x,\partial \Omega )$ 有$$u(x)\le \frac{1}{\sigma (\partial B(x,r))}{\int }_{\partial B(x,r)}u(y)\mathrm{d}\sigma (y);$$
3.	对任意 $x\in \Omega ,0<r<\mathrm{dist}(x,\partial \Omega )$ 有$$u(x)\le \frac{1}{\lambda (B(x,r))}{\int }_{B(x,r)}u(y)\mathrm{d}\lambda (y);$$
4.	对任意 $x\in \Omega$, 存在 $0<r_x<\mathrm{dist}(x,\partial \Omega )$ 使得$$u(x)\le \frac{1}{\sigma (\partial B(x,r))}{\int }_{\partial B(x,r)}u(y)\mathrm{d}\sigma (y),0<r<r_x;$$
5.	对任意 $x\in \Omega$, 存在 $0<r_x<\mathrm{dist}(x,\partial \Omega )$ 使得$$u(x)\le \frac{1}{\lambda (B(x,r))}{\int }_{B(x,r)}u(y)\mathrm{d}\lambda (y),0<r<r_x.$$

注 2.1.4. 因为 $u$ 是下半连续的, 所以是 Borel 可测的, 且局部有上界 (甚至可以在任何紧包含于 $\Omega$ 的集合中取到最大值). 于是上述定理中的积分都是良定义的.

为了证明, 需要下面的关于上半连续函数的性质.

命题 2.1.5. 设 $u:X\to \mathbb{R}\cup \{-\infty \}$ 是度量空间 $(X,d)$ 上的函数. 则 $u$ 在 $X$ 上半连续当且仅当存在序列 $\{u_j\}\subset C(X,\mathbb{R})$ 使得 $u_j\searrow u$.

定理 2.1.3 的证明. 首先, 不难发现下述推导关系: 只需证明 $1\Rightarrow 2$ 和 $5\Rightarrow 1$.

•

$1\Rightarrow 2$: 取 $x\in \Omega$ 和 $0<r<\mathrm{dist}(x,\partial \Omega )$. 根据性质 2.1.5, 存在 $\{u_j\}\subset C(\Omega )$ 满足 $u_j\searrow u$. 令 $h_j\in \mathrm{harm}(B(x,r))\cap C(\overline{B(x,r)})$, 满足 $h_j{|}_{\partial B(x,r)}=u_j{|}_{\partial B(x,r)}$. 因为 $u\in \mathrm{Sh}(\Omega )$, 且 $u\le h_j\mathrm{on}\partial B(x,r)$, 所以 $u\le h_j\mathrm{on}\overline{B(x,r)}$. 进一步: $$\begin{array}{rl}u(x)\le h_j(x)& =\frac{1}{\sigma (\partial B(x,r))}{\int }_{\partial B(x,r)}{h}_j(y)\mathrm{d}\sigma (y)\\ & =\frac{1}{\sigma (\partial B(x,r))}{\int }_{\partial B(x,r)}{u}_j(y)\mathrm{d}\sigma (y),j\in {\mathbb{N}}^{\ast }.\end{array}$$令 $j\to \infty$, 由单调收敛定理得$$u(x)\le \frac{1}{\sigma (\partial B(x,r))}{\int }_{\partial B(x,r)}u(y)\mathrm{d}\sigma (y).$$

•	$5\Rightarrow 1$: 设 $G\subset \subset \Omega$ 为开集, $v\in \mathrm{harm}(G)\cap C(\bar{G})$ 满足 $u\le v\mathrm{on}\partial G$. 则 $u-v$ 满足第五条所述. 这也就是说, $u-v$ 在 $G$ 上满足最大值原理, 从而$$\underset{\bar{G}}{\sup }(u-v)=\underset{\partial G}{\sup }(u-v)\le 0,$$也就是 $u\le v\mathrm{on}G$.

定理证毕.

$\square$

基本性质

接下来讨论一些次调和函数的性质, 它们均可以从定理 2.1.3 得到.

推论 2.1.6 (最大值原理). 设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是区域, $u\in \mathrm{Sh}(\Omega )$. 则要么 $u$ 是常数, 要么有$$u<\sup \left\{\underset{\Omega \ni y\to x}{\mathrm{limsup}}u(y)|x\in \partial \Omega \cup \{\infty \}\right\}.$$

证明. 只需使用定理 2.1.3 的第五条. 实际上, 在用第五条推出第一条的过程中已经利用了最大值原理.

$\square$

推论 2.1.7. 次调和性是局部性质. 更准确地, 如果 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是区域, 则函数 $u:\Omega \to \mathbb{R}\cup \{-\infty \}$ 是 $\Omega$ 中的次调和函数当且仅当对任意 $x\in \Omega$, 存在其邻域 $U_x\subset \Omega$ 使得 $u\in \mathrm{Sh}(U_x)$.

推论 2.1.8. $\mathrm{Sh}(\Omega )\subset L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega )$. 特别地, 对 $u\in \mathrm{Sh}(\Omega )$, $u^{-1}(-\infty )$ 是零测集.

证明. 令$$E=\{x\in \Omega \mid 存在x的开邻域U_x使得u\in L^1(U_x)\},$$只需证明 $E=\Omega$. 显然 $E$ 是开集. 另外, 对任意 $x\in \Omega ,u(x)>-\infty$, 有$$-\infty <u(x)\le \frac{1}{\lambda (B(x,r))}{\int }_{B(x,r)}u(y)\mathrm{d}\lambda (y),\forall 0<r<\mathrm{dist}(x,\partial \Omega ),$$所以 $u-{\sup }_{B(x,r)}u\in L^1(B(x,r))$, 也就得到 $u\in L^1(B(x,r))$ 对任意 $0<r<\mathrm{dist}(x,\partial \Omega )$ 成立. 这表示 $\varnothing \ne \Omega \backslash u^{-1}(-\infty )\subset E$. 上述结论也说明: 在 $\Omega \backslash E$ 的任意点的某个邻域内有 $u$ 恒为 $-\infty$, 从而 $\Omega \backslash E$ 是开集. 最后, $E$ 同时是开集和闭集, 这导致 $E=\Omega$.

$\square$

习题. 设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是区域, $u\in \mathrm{Sh}(\Omega )$. 证明

1.	对任意 $x\in \Omega$, ${\mathrm{limsup}}_{y\to x}u(y)=u(x)$;
2.	对任意 $x\in \Omega$ 和 $0<r<\mathrm{dist}(x,\partial \Omega )$, 有 $u(x+r\cdot )\in L^1({\mathbb{S}}^{n-1})$, 且函数$$(0,\mathrm{dist}(x,\partial \Omega ))\ni r\mapsto \frac{1}{\sigma ({\mathbb{S}}^{n-1})}{\int }_{{\mathbb{S}}^{n-1}}u(x+rw)\mathrm{d}\sigma (w)$$为递增的, 且在 $0$ 处有极限 $u(x)$, 其中 ${\mathbb{S}}^{n-1}=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid |x|=1\}$ 是单位球面;
3.	对任意 $x\in \Omega$, 函数$$(0,\mathrm{dist}(x,\partial \Omega ))\ni r\mapsto \frac{1}{\lambda ({\mathbb{B}}^n)}{\int }_{{\mathbb{B}}^n}u(x+ry)\mathrm{d}\lambda (y)$$为递增的, 且在 $0$ 处有极限 $u(x)$, 其中 ${\mathbb{B}}^n=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid |x|<1\}$ 是单位球.

推论 2.1.9. 设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是区域, ${\Omega }_0$ 是真包含于 $\Omega$ 的开集. 如果 $u\in \mathrm{Sh}(\Omega ),v\in \mathrm{Sh}({\Omega }_0)$, 且 ${\mathrm{limsup}}_{{\Omega }_0\ni y\to x}v(y)\le u(x),\forall x\in \partial {\Omega }_0\cap \Omega$, 令$$w=\{\begin{array}{l}\max \{u,v\}\mathrm{on}{\Omega }_0\\ u\mathrm{on}\Omega \backslash {\Omega }_0\end{array},$$则 $w\in \mathrm{Sh}(\Omega )$.

证明不难. 下面的性质更多地刻画了哪些函数会是次调和的.

推论 2.1.10.

1.	$\mathrm{Sh}(\Omega )$ 是凸锥. 这也就是说, 如果 $\alpha ,\beta \ge 0,u,v\in \mathrm{Sh}(\Omega )$, 则$$\alpha u+\beta v\in \mathrm{Sh}(\Omega ).$$
2.	每个在 $\Omega$ 局部凸的函数都属于 $\mathrm{Sh}(\Omega )$.
3.	如果 $\{u_j\}\subset \mathrm{Sh}(\Omega )$ 在 $\Omega$ 中局部一致收敛于 $u:\Omega \to \mathbb{R}\cup \{-\infty \}$, 则要么 $u$ 恒等于 $-\infty$, 要么 $u\in \mathrm{Sh}(\Omega )$.
4.	如果 $\{u_j\}\subset \mathrm{Sh}(\Omega )$ 递减且 $u={\lim }_{j\to \infty }{u}_j$, 则要么 $u$ 恒等于 $-\infty$, 要么 $u\in \mathrm{Sh}(\Omega )$.
5.	设一族函数 $\{u_{\alpha }{\}}_{\alpha \in \mathcal{A}}\subset \mathrm{Sh}(\Omega )$ 在 $\Omega$ 中局部一致有界. 令 $u={\sup }_{\alpha \in \mathcal{A}}{u}_{\alpha }$. 考虑 $u$ 的上半连续正则化 $u^{\ast }$: $$u^{\ast }(x)=\max \left\{u(x),\underset{y\to x}{\mathrm{limsup}}u(y)\right\}=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\underset{B(x,\epsilon )}{\sup }u,x\in \Omega ,$$则 $u^{\ast }\in \mathrm{Sh}(\Omega )$, 且 $u^{\ast }=ua.e.\mathrm{on}\Omega$.
6.	设 $u_1,\cdots ,u_k\in \mathrm{Sh}(\Omega )$. 如果 $\phi :{\mathbb{R}}^k\to \mathbb{R}$ 是凸函数, 且对每个分量都是递增的, 则将 $\phi$ 连续地延拓到 $(\mathbb{R}\cup \{-\infty \}{)}^k$ 上以后: $$\phi (u_1,\cdots ,u_k)\in \mathrm{Sh}(\Omega ).$$特别地, $\max \{u_1,\cdots ,u_k\},\log ({\mathrm{e}}^{u_1}+\cdots +{\mathrm{e}}^{u_k})\in \mathrm{Sh}(\Omega )$.

次调和函数的正则化

Hartogs 引理的证明