2.2. 多重次调和函数与伪凸性

多重次调和函数

定义 2.2.1 (多重次调和函数). 设 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 是区域. 函数 $u:\Omega \to \mathbb{R}\cup \{-\infty \}$ 被称为是 多重次调和函数, 如果 $u$ 不恒为 $-\infty$, 且

1.	$u$ 在 $\Omega$ 中是上半连续的;
2.	对任意 $z\in \Omega$ 和 $v\in {\mathbb{C}}^n\backslash \{0\}$, 考虑 $\mathbb{C}\cong {\mathbb{R}}^2$ 的开子集 ${\Omega }_{z,v}:=\{\zeta \in \mathbb{C}\mid z+\zeta v\in \Omega \}$, 则函数 $\zeta \mapsto u(z+\zeta v)$ 在 ${\Omega }_{z,v}$ 的每个连通分支内要么是次调和函数, 要么恒为 $-\infty$.

所有 $\Omega$ 上的多重次调和函数组成的集合记为 $\mathrm{Psh}(\Omega )$.

举两个例子, 它们可以通过次调和函数的对应性质立刻得到.

•	如果 $f\in \mathcal{O}(\Omega )\backslash \{0\}$, 那么对任意 $p>0$, $\log |f|,|f{|}^p\in \mathrm{Psh}(\Omega )$.
•	如果 $f_1,\cdots ,f_k\in \mathcal{O}(\Omega )\backslash \{0\},p_1,\cdots ,p_k>0$, 那么$$\log (|f_1{|}^{p_1}+\cdots +|f_k{|}^{p_k})\in \mathrm{Psh}(\Omega ).$$

与次调和函数类似, 可以列出多重次调和函数的如下基本性质.

命题 2.2.2. 设 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 是区域. 则

1.	$\mathrm{Psh}(\Omega )$ 是 (实) 凸锥.
2.	$\{\Omega 上的局部凸函数\}\subset \mathrm{Psh}(\Omega )\subset \mathrm{Sh}(\Omega )$ (这里 $\mathrm{Sh}(\Omega )$ 是考虑 ${\mathbb{C}}^n\cong {\mathbb{R}}^{2n}$ 得到的).
3.	如果 $\{u_j\}\subset \mathrm{Psh}(\Omega )$ 局部一致收敛于某个函数 $u:\Omega \to \mathbb{R}\cup \{-\infty \}$, 那么 $u\equiv -\infty$ 或 $u\in \mathrm{Psh}(\Omega )$.
4.	如果 $\{u_j\}\subset \mathrm{Psh}(\Omega )$ 是递减的, 且收敛于 $u$, 那么 $u\equiv -\infty$ 或 $u\in \mathrm{Psh}(\Omega )$.
5.	如果 $\{u_{\alpha }{\}}_{\alpha \in \mathcal{A}}$ 在 $\Omega$ 上局部一致有界, 令 $u:={\sup }_{\alpha \in \mathcal{A}}{u}_{\alpha }$, 那么 $u^{\ast }\in \mathrm{Psh}(\Omega )$, 且 $u^{\ast }=u\text{ a.e. }\mathrm{on}\Omega$.
6.	如果 $\{u_j\}$ 在 $\Omega$ 上局部一致有界, 令 $u:={\mathrm{limsup}}_{j\to \infty }{u}_j$, 那么下面二者必有一个成立: $u\equiv -\infty$, 或者 $u^{\ast }\in \mathrm{Psh}(\Omega )$ 且 $u^{\ast }=u\text{ a.e. }\mathrm{on}\Omega$.
7.	设 $u_1,\cdots ,u_k\in \mathrm{Psh}(\Omega )$. 如果 $\phi :{\mathbb{R}}^k\to \mathbb{R}$ 是在每个分量递增的凸函数, 则 $\phi (u_1,\cdots ,u_k)\in \mathrm{Psh}(\Omega )$.

证明. 第一条, 第三条和第四条都是显然的. 第七条则可以根据多重次调和函数的定义和次调和函数的对应性质直接得出. 以下只需要证明第二条, 第五条和第六条.

•	接下来证明第二条. 根据 2.1.10 的第二条, 可以得到任何局部凸函数都在 $\mathrm{Psh}(\Omega )$ 中. 现在设 $u\in \mathrm{Psh}(\Omega )$, 我们来证明 $u\in \mathrm{Sh}(\Omega )$. 对任意 $z_0\in \Omega$ 和 $0<r<\mathrm{dist}(z_0,\partial \Omega )$, 因为 $z\mapsto {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }z$ 是 ${\mathbb{C}}^n$ 中的酉变换, 所以$${\int }_{\partial {\mathbb{B}}^n}u(z_0+r\omega )\mathrm{d}\sigma (\omega )={\int }_{\partial {\mathbb{B}}^n}u(z_0+r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\omega )d\sigma (\omega )$$对任意 $\theta \in \mathbb{R}$ 成立. 对 $\theta$ 积分得$$\begin{array}{rl}{\int }_{\partial {\mathbb{B}}^n}u(z_0+r\omega )\mathrm{d}\sigma (\omega )& =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\left({\int }_{\partial {\mathbb{B}}^n}u(z_0+r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\omega )\mathrm{d}\sigma (\omega )\right)\mathrm{d}\theta \\ & \stackrel{\mathrm{Fubini}\mathrm{定理}}{=}{\int }_{\partial {\mathbb{B}}^n}\left(\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }u(z_0+r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\omega )\mathrm{d}\theta \right)\mathrm{d}\sigma (\omega )\\ & \ge \sigma \left(\partial {\mathbb{B}}^n\right)u(z_0).\end{array}$$这完成了第二条的证明.
•	接下来证明第五条. 因为 $\mathrm{Psh}(\Omega )\subset \mathrm{Sh}(\Omega )$, 所以根据 2.1.10 的第五条可知: $u^{\ast }\in \mathrm{Sh}(\Omega )$, 且 $u^{\ast }=u\text{ a.e. }\mathrm{on}\Omega$. 特别地, $u$ 在 $\Omega$ 上可测. 进一步, 根据 $u_{\alpha }$ 的多重次调和性, 对任意 $z\in \Omega ,v\in {\mathbb{C}}^n\backslash \{0\}$ 和充分小的 $0<r<1$: $$u(z)=\underset{\alpha \in \mathcal{A}}{\sup }{u}_{\alpha }(z)\le \frac{1}{2\pi }\underset{\alpha \in \mathcal{A}}{\sup }{\int }_0^{2\pi }{u}_{\alpha }(z+{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }v)\mathrm{d}\theta \le \frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }u(z+{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }v)\mathrm{d}\theta .$$令 $u_{\epsilon }=u\ast {\chi }_{\epsilon }$. 则对任意 $z\in {\Omega }_{\epsilon },v\in {\mathbb{C}}^n\backslash \{0\}$ 和充分小的 $0<r<1$: $$\begin{array}{rl}{u}_{\epsilon }(z)& ={\int }_{{\mathbb{B}}^n}u(z-\epsilon \omega )\chi (\omega )\mathrm{d}\lambda (\omega )\\ & \le {\int }_{{\mathbb{B}}^n}\left(\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }u(z-\epsilon \omega +r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }v)\mathrm{d}\theta \right)\chi (\omega )\mathrm{d}\lambda (\omega )\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\left({\int }_{{\mathbb{B}}^n}u(z-\epsilon \omega +r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }v)\chi (\omega )\mathrm{d}\lambda (\omega )\right)\mathrm{d}\theta \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{u}_{\epsilon }(z+r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }v)\mathrm{d}\theta \end{array}$$于是 $u_{\epsilon }\in \mathrm{Psh}({\Omega }_{\epsilon }).$ 另一方面, $u^{\ast }\in \mathrm{Sh}(\Omega )$, 且 $u_{\epsilon }=u^{\ast }\ast {\chi }_{\epsilon }$, 所以 $u_{\epsilon }\searrow u^{\ast }\mathrm{on}\Omega$, 也就得到 $u^{\ast }\in \mathrm{Psh}(\Omega )$.
•	最后证明第六条. 令 ${\hat{u}}_j:={\sup }_{k\ge j}{u}_k$. 则 ${\hat{u}}_j\in \mathrm{Psh}(\Omega )$, 且 $\{{\hat{u}}_j\}$ 是递减序列. 因为 $\mathrm{Psh}(\Omega )\subset \mathrm{Sh}(\Omega )$, 所以 ${\hat{u}}_j^{\ast }\searrow u^{\ast }\mathrm{on}\Omega$.(参见 Hartogs 引理 2.1.16 证明的开始部分) 这导致 $u^{\ast }\in \mathrm{Psh}(\Omega )$, 如果 $u\not\equiv -\infty$ 的话. 而 $u^{\ast }=u\text{ a.e. }\mathrm{on}\Omega$ 则根据 ${\hat{u}}_j^{\ast }={\hat{u}}_j\text{ a.e. }\mathrm{on}\Omega$ 推出. $\square$

定理 2.2.3. 设 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 是区域, $u\in \mathrm{Psh}(\Omega )$. 则 $u_{\epsilon }:=u\ast {\chi }_{\epsilon }\in C^{\infty }({\Omega }_{\epsilon })\cap \mathrm{Psh}({\Omega }_{\epsilon })$, 且映射 $\epsilon \mapsto u_{\epsilon }$ 递增, 以及 $u_{\epsilon }\to u,\epsilon \to 0^{+}$.

证明. 因为 $u\in \mathrm{Psh}(\Omega )\subset \mathrm{Sh}(\Omega )$, 根据 2.1.12, 只要证明 $u_{\epsilon }\in \mathrm{Psh}(\Omega )$. 这个已经在 2.2.2 第五条的证明中解决了.

$\square$

与上一节的一道习题类似, 有如下结论:

定理 2.2.4. 设 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 是区域, $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$. 则 $u\in \mathrm{Psh}(\Omega )$ 当且仅当对任意 $v=(v_1,\cdots ,v_n)\in {\mathbb{C}}^n\backslash \{0\}$ 有$$\sum _{j,k=1}^n{v}_j{\bar{v}}_k\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z_j\partial {\bar{z}}_k}$$作为广义函数在 $\Omega$ 上是正的. 特别地, 如果 $u\in C^2(\Omega )$, 则 $u\in \mathrm{Psh}(\Omega )$ 当且仅当其复 Hessian 矩阵$$Hu={\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z_j\partial {\bar{z}}_k}\right)}_{1\le j,k\le n}$$在 $\Omega$ 上半正定.

如同标题一样, 接下来提到的性质说明多重次调和性只与复结构有关, 这在一般的复流形上也将成立. 与凸性和次调和性比较, 后者将取决于流形上的线性结构和 Riemann 度量.

命题 2.2.5. 设 ${\Omega }_1\subset {\mathbb{C}}^n,{\Omega }_2\subset {\mathbb{C}}^m$ 是区域. 如果 $u\in \mathrm{Psh}({\Omega }_2),f\in \mathcal{O}({\Omega }_1,{\Omega }_2)$, 则要么 $u\circ f\equiv -\infty$, 要么 $u\circ f\in \mathrm{Psh}({\Omega }_1)$. 换言之, 多重次调和性与 (全纯的) 坐标变换无关.

证明. 根据 2.2.3 和 2.2.2 的第四条, 不妨设 $u\in C^2({\Omega }_2)$. 于是可以进行求导: $$\frac{{\partial }^2(\mu \circ f)}{\partial z_i\partial {\bar{z}}_j}=\sum _{k,\ell =1}^m\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial w_k\partial {\bar{w}}_{\ell }}\circ f\right)\frac{\partial f_k}{\partial z_i}\overline{\frac{\partial f_{\ell }}{\partial z_j}},i,j=1,\cdots ,n.$$于是对任意 $\xi =({\xi }_1,\cdots ,{\xi }_n)\in {\mathbb{C}}^n$: $$\sum _{i,j=1}^n\frac{{\partial }^2(u\circ f)}{\partial z_i\partial {\bar{z}}_j}{\xi }_i{\bar{\xi }}_j=\sum _{k,\ell =1}^m\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial w_k\partial {\bar{w}}_{\ell }}\circ f\right){\eta }_k{\bar{\eta }}_{\ell },$$其中 ${\eta }_k:={\sum }_{i=1}^n\frac{\partial f_k}{\partial z_i}{\xi }_i,k=1,\cdots ,m$. 根据 2.2.4, $u\in \mathrm{Psh}({\Omega }_2)$ 将推出 $u\circ f\in \mathrm{Psh}({\Omega }_1)$.

$\square$

伪凸域

定义与基本性质

在正式讨论伪凸域之前需要下面的称为穷竭函数的概念, 它在一般拓扑学中也有出现.

定义 2.2.6 (穷竭函数). 设 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 是区域. 函数 $\phi :\Omega \to \mathbb{R}\cup \{-\infty \}$ 被称为是穷竭函数, 如果对任意 $c\in \mathbb{R}$, ${\phi }^{-1}([-\infty ,c])\subset \subset \Omega$.

注 2.2.7. 如果 $\phi$ 是穷竭函数, 那么 $\phi (z)\to +\infty ,z\to \partial \Omega$. 这对于有界的 $\Omega$ 也同样成立.

定义 2.2.8 (伪凸域). 区域 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 被称为伪凸域, 如果它有一个多重次调和的穷竭函数.

如下的结论可以用来生成一些伪凸域.

命题 2.2.9.

1.	每个区域 $\Omega \subset \mathbb{C}$ 都是伪凸域.
2.	任何 ${\mathbb{C}}^n$ 中的凸区域都是伪凸域.
3.	如果 ${\Omega }_1\subset {\mathbb{C}}^n,{\Omega }_2\subset {\mathbb{C}}^m$ 都是伪凸域, 则 ${\Omega }_1\times {\Omega }_2$ 也是伪凸域.
4.	如果 ${\Omega }_1\subset {\mathbb{C}}^n,{\Omega }_2\subset {\mathbb{C}}^m$ 都是伪凸域, 且 $f\in \mathcal{O}({\Omega }_1,{\mathbb{C}}^m)$, 那么 $f^{-1}({\Omega }_2)$ 是伪凸域.
5.	如果 $f:{\Omega }_1\to {\Omega }_2$ 是固有全纯映射 (参见 1.4.20), 且 ${\Omega }_2$ 是伪凸域, 则 ${\Omega }_1$ 也是伪凸域. 特别地, 如果 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 是伪凸域, 而 $H$ 是 ${\mathbb{C}}^n$ 的复线性子空间, 则 $\Omega \cap H$ 在 $H$ 中是伪凸域.

证明.

1.	如果 $\Omega =\mathbb{C}$, 那么 $\phi (z)=|z{|}^2$ 是次调和的穷竭函数; 如果 $\Omega \ne \mathbb{C}$, 则$$-\log \mathrm{dist}(\cdot ,\partial \Omega )=\underset{\zeta \in \partial \Omega }{\sup }(-\log |\cdot -\zeta |)\in \mathrm{Sh}(\Omega )\cap C(\Omega ),$$从而$$\phi (z):=\max \left\{|z{|}^2,-\log \mathrm{dist}(z,\partial \Omega )\right\}$$就是 $\Omega$ 的次调和穷竭函数.
2.	不妨设 $\Omega \ne {\mathbb{C}}^n$. 不难验证 $-\log \mathrm{dist}(\cdot ,\partial \Omega )$ 是 $\Omega$ 上的凸函数, 于是$$\phi (z):=\max \left\{|z{|}^2,-\log \mathrm{dist}(z,\partial \Omega )\right\}$$是凸函数, 从而就是 $\Omega$ 的多重次调和穷竭函数.
3.	如果 $\phi ,\psi$ 分别是 ${\Omega }_1,{\Omega }_2$ 的多重次调和穷竭函数, 那么$$\varphi (z,w)=\max \{\phi (z),0\}+\max \{\psi (w),0\}$$是 ${\Omega }_1\times {\Omega }_2$ 的多重次调和穷竭函数.
4.	如果 $\phi ,\psi$ 分别是 ${\Omega }_1,{\Omega }_2$ 的多重次调和穷竭函数, 那么$$\varphi =\max \{\phi ,0\}+\max \{\psi \circ f,0\}$$是 $f^{-1}({\Omega }_2)$ 的多重次调和穷竭函数.
5.	如果 $\psi$ 是 ${\Omega }_2$ 的多重次调和穷竭函数, 因为紧集在 $f$ 下的原像是紧集, 所以 $\psi \circ f$ 就是 ${\Omega }_1$ 的多重次调和穷竭函数. $\square$

注 2.2.10. 在 2.2.9 第二条的证明中, 实际应用了如下事实: 如果区域 $\Omega ⊊{\mathbb{R}}^n$ 是凸的, 那么函数 $-\log \mathrm{dist}(\cdot ,\partial \Omega )$ 也是凸的. 实际上反过来也成立. 可以证明:

区域 $\Omega ⊊{\mathbb{R}}^n$ 是凸的当且仅当它上面存在一个局部凸的穷竭函数, 当且仅当 $-\log \mathrm{dist}(\cdot ,\partial \Omega )$ 在 $\Omega$ 是局部凸的.

伪凸域与多重次调和函数的关系

凸函数在 ${\mathbb{R}}^n$ 中区域成立的性质, 如果换成 ${\mathbb{C}}^n$, 那么要把凸性换成伪凸性. 实际上, 有如下定理.

定理 2.2.11. 设 $\Omega ⊊{\mathbb{C}}^n$ 是区域. 下述结论等价:

1.	$\Omega$ 是伪凸域.
2.	$\Omega$ 是多重次调和凸的, 也就是说对任意 $K\subset \subset \Omega$: $${\hat{K}}_{\mathrm{Psh}(\Omega )}:=\left\{z\in \Omega |u(z)\le \underset{K}{\sup }u,\forall u\in \mathrm{Psh}(\Omega )\right\}\subset \subset \Omega .$$
3.	$\Omega$ 满足连续性原则, 即对任意的映射族 $\{{\phi }_{\alpha }{\}}_{\alpha \in \mathcal{A}}\subset C(\bar{\Delta },\Omega )\cap \mathcal{O}(\Delta ,{\mathbb{C}}^n)$, 如果它们满足$$\bigcup _{\alpha \in \mathcal{A}}{\phi }_{\alpha }(\partial \Delta )\subset \subset \Omega ,$$那么$$\bigcup _{\alpha \in \mathcal{A}}{\phi }_{\alpha }(\bar{\Delta })\subset \subset \Omega .$$
4.	对任意 $\phi \in C(\bar{\Delta },\Omega )\cap \mathcal{O}(\Delta ,{\mathbb{C}}^n)$, 有$$\underset{\bar{\Delta }}{\inf }{\delta }_{\Omega }\circ \phi =\underset{\partial \Delta }{\inf }{\delta }_{\Omega }\circ \phi$$对某个 (从而对所有) ${\mathbb{C}}^n$ 上的距离函数 (参见 1.4.10) $\delta$ 成立.
5.	$-\log {\delta }_{\Omega }\in \mathrm{Psh}(\Omega )$ 对某个 (从而是对所有) 距离函数 $\delta$ 成立.

为了证明这个定理, 我们还需要一个关于次调和函数的基本判别法.

引理 2.2.12. 设 $\Omega \subset \mathbb{C}$ 是区域, 函数 $u:\Omega \to \mathbb{R}\cup \{-\infty \}$ 是上半连续的, 且不恒为 $-\infty$. 则 $u\in \mathrm{Sh}(\Omega )$ 的充要条件是对任意圆盘 $\Delta (z,r)\subset \subset \Omega$ 和任意复系数多项式 $p$, 如果 $u\le \mathrm{Re}p\mathrm{on}\partial \Delta (z,r)$, 那么 $u\le \mathrm{Re}p\mathrm{on}\bar{\Delta }(z,r)$.

证明. 必要性: 通过直接计算不难得出$$\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\mathrm{Re}p(z+r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta })\mathrm{d}\theta =\mathrm{Re}p(z),$$于是 $u-\mathrm{Re}p\in \mathrm{Sh}(\Omega )$, 根据最大值原理 2.1.6 就得到结论.

充分性: 只要验证 $u$ 在局部满足平均值不等式 2.1.3. 令 $\Delta (z_0,r_0)\subset \subset \Omega ,0<r<r_0$. 根据上半连续性, 存在递减序列 $\{u_j\}\subset C(\partial \Delta (z_0,r),\mathbb{R})$ 满足$$u_j\searrow u,\mathrm{on}\partial \Delta (z_0,r).$$根据 Stone–Weierstrass 定理, 三角多项式在 $C(\partial \Delta (z_0,r),\mathbb{R})$ 中是稠密的. 于是存在一列复系数多项式 $\{p_j\}$ 使得$$u_j\le \mathrm{Re}{p}_j\le u_j+\frac{1}{j},\mathrm{on}\partial \Delta (z_0,r).$$根据条件, $u\le \mathrm{Re}{p}_j\mathrm{on}\bar{\Delta }(z_0,r)$, 于是$$u(z_0)\le \mathrm{Re}{p}_j(z_0)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\mathrm{Re}{p}_j(z_0+r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta })\mathrm{d}\theta \le \frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{u}_j(z_0+r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta })\mathrm{d}\theta +\frac{1}{j},$$令 $j\to \infty$ 就得到想要的结论.

$\square$

定理 2.2.11 的证明. 证明的大致思路如下:

接下来具体执行.

•	$5(对某些\delta )\Rightarrow 1$: 因为$$\phi :=\max \{|\cdot {|}^2,-\log {\delta }_{\Omega }\}\in C(\Omega )\cap \mathrm{Psh}(\Omega )$$是 $\Omega$ 的穷竭函数.
•	$1\Rightarrow 2$: 设 $u\in \mathrm{Psh}(\Omega )$ 为 $\Omega$ 的一个穷竭函数. 则对任意 $K\subset \subset \Omega$, 有 $c:={\sup }_{K}u<\infty$, 且$${\hat{K}}_{\mathrm{Psh}(\Omega )}\subset u^{-1}((-\infty ,c])\subset \subset \Omega .$$
•	$2\Rightarrow 3$: 注意到对任意 $\phi \in C(\bar{\Delta },\Omega )\cap \mathcal{O}(\Delta ,{\mathbb{C}}^n)$ 和 $u\in \mathrm{Psh}(\Omega )$, 我们有 (2.2.5) $u\circ \phi \equiv -\infty$ 或 $u\circ \phi \in \mathrm{Sh}(\Delta )$. 次调和函数的最大值原理 2.1.6 表明$$\underset{\bar{\Delta }}{\sup }u\circ \phi =\underset{\partial \Delta }{\sup }u\circ \phi =\underset{\phi (\partial \Delta )}{\sup }u,$$从而 $\phi (\bar{\Delta })\subset {\widehat{\phi (\partial \Delta )}}_{\mathrm{Psh}(\Omega )}$. 于是$$\bigcup _{\alpha \in \mathcal{A}}{\phi }_{\alpha }(\bar{\delta })\subset \bigcup _{\alpha \in \mathcal{A}}{\widehat{{\phi }_{\alpha }(\partial \Delta )}}_{\mathrm{Psh}(\Omega )}\subset {\hat{\left(\overline{\bigcup _{\alpha \in \mathcal{A}}{\phi }_{\alpha }(\partial \Delta )}\right)}}_{\mathrm{Psh}(\Omega )}$$根据条件 ${\bigcup }_{\alpha \in \mathcal{A}}{\phi }_{\alpha }(\partial \Delta )\subset \subset \Omega$ 和第二条可得最右边的集合紧包含于 $\Omega$.
•	$4(对某些\delta )\Rightarrow 3$: 条件也就是 ${\inf }_{\phi (\bar{\Delta })}{\delta }_{\Omega }={\inf }_{\phi (\partial \Delta )}{\delta }_{\Omega }$, 其中 $\phi \in C(\bar{\Delta },\Omega )\cap \mathcal{O}(\Delta ,{\mathbb{C}}^n)$. 因为 $\phi (\bar{\Delta })\subset \Omega$, 所以$$\underset{\phi (\bar{\Delta })}{\inf }{\delta }_{\Omega }=\underset{\begin{array}{c}z\in \phi (\bar{\Delta })\\ w\in \partial \Omega \end{array}}{\inf }\delta (z-w).$$实际上距离函数 $\delta$ 的作用与 $\mathrm{dist}$ 是一致的 (顾名思义). 这是因为, 对任意 $z,w\in {\mathbb{C}}^n,z\ne w$, 记 $z-w=|z-w|e$, 其中 $e\in {\mathbb{B}}^n$. 故 $\delta (z-w)=|z-w|\delta (e)$. 而 $C:={\sup }_{e\in {\mathbb{B}}^n}\delta (e)<\infty$, (因为连续性). 由此可得 $\delta (z-w)\le C|z-w|$, 即$$\underset{\phi (\bar{\Delta })}{\inf }{\delta }_{\Omega }\le C\underset{\begin{array}{c}z\in \phi (\bar{\Delta })\\ w\in \partial \Omega \end{array}}{\inf }|z-w|=C\cdot \mathrm{dist}(\phi (\bar{\Delta }),\partial \Omega ).$$同理 ${\inf }_{\phi (\bar{\Delta })}{\delta }_{\Omega }\ge c\cdot \mathrm{dist}(\phi (\bar{\Delta }),\partial \Omega )$, 其中 $c:={\inf }_{e\in {\mathbb{B}}^n}\delta (e)>0$. 由此结合条件即可证得结论.
•	$3\Rightarrow 4(对任意\delta )$: 用反证法. 假设存在距离函数 $\delta$ 和 $\phi \in C(\bar{\Delta },\Omega )\cap \mathcal{O}(\Delta ,{\mathbb{C}}^n)$ 使得$$\underset{\bar{\Delta }}{\inf }{\delta }_{\Omega }\circ \phi <\underset{\partial \Delta }{\inf }{\delta }_{\Omega }\circ \phi ,$$则存在 ${\zeta }_0\in \Delta$ 使得 ${\delta }_{\Omega }\circ \phi ({\zeta }_0)={\inf }_{\bar{\Delta }}{\delta }_{\Omega }\circ \phi$. 取 $p_0\in \partial \Omega$ 使得 $\delta (p_0-\phi ({\zeta }_0))={\delta }_{\Omega }\circ \phi ({\zeta }_0)$, 并定义$${\phi }_j:=\phi +\left(1-\frac{1}{j}\right)(p_0-\phi ({\zeta }_0)),j\in {\mathbb{N}}^{\ast },$$则$$\delta \circ ({\phi }_j-\phi )=\left(1-\frac{1}{j}\right){\delta }_{\Omega }\circ \phi ({\zeta }_0)<\underset{\bar{\Delta }}{\inf }{\delta }_{\Omega }\circ \phi <\underset{\partial \Delta }{\inf }{\delta }_{\Omega }\circ \phi .$$这表明$$\bigcup _{j=1}^{\infty }{\phi }_j(\bar{\Delta })\subset \Omega ,\bigcup _{j=1}^{\infty }{\phi }_j(\partial \Delta )\subset \subset \Omega .$$根据第三条, 第一个式子可以加强为紧包含. 然而 ${\phi }_j({\zeta }_0)\to p_0\in \partial \Omega ,j\to \infty$, 矛盾.
•	$3\Rightarrow 5(对任意\delta )$: 首先我们有$${\delta }_{\Omega }(z)=\sup \{r>0\mid z+rv\in \Omega \text{ for all }v\in {\mathbb{C}}^n\text{ with }\delta (v)<1\}$$对任意 $z\in \Omega$ 成立. 因为 ${\delta }_{\Omega }$ 是连续的, 所以 $-\log {\delta }_{\Omega }$ 也如此. 接下来检验 $-\log {\delta }_{\Omega }$ 的多重次调和性. 取 $z_0\in \Omega$ 以及 $v_0\in {\mathbb{C}}^n\backslash \{0\}$. 选取 $r>0$, 使得$$D:=\{z_0+\zeta v_0\mid \zeta \in \overline{\Delta (0,r)}\}\subset \Omega .$$令 $p$ 为复系数多项式, 满足$$-\log {\delta }_{\Omega }(z_0+\zeta v_0)\le \mathrm{Re}p(\zeta ),\forall \zeta \in \partial \Delta (0,r),$$即$${\delta }_{\Omega }(z_0+\zeta v_0)\ge |{\mathrm{e}}^{-p(\zeta )}|,\forall \zeta \in \partial \Delta (0,r).\text{\hspace{1em}(*)}$$根据引理 2.2.12 中的结论, 只要在 $\overline{\Delta (0,r)}$ 中验证同样的不等式成立. 现在取 $v\in {\delta }^{-1}([0,1))$. 对任意 $t\in [0,1]$, 定义$${\phi }_t:\overline{\Delta (0,r)}\to {\mathbb{C}}^n,\zeta \mapsto z_0+\zeta v_0+t{\mathrm{e}}^{-p(\zeta )}v,$$并令$$T:=\{t\in [0,1]\mid {\phi }_t(\overline{\Delta (0,r)})\subset \Omega \}.$$显然 $T$ 是 $[0,1]$ 中的开集, 且 $0\in T$(因为 ${\phi }_0(\overline{\Delta (0,r)})=D\subset \Omega$). 接下来证明 $T=[0,1]$, 为此需要证明 $T$ 是闭集. 定义$$K:=\left\{z_0+\zeta v_0+t{e}^{-p(\zeta )}v\mid \zeta \in \partial \Delta (0,r),t\in [0,1]\right\}=\bigcup _{t\in [0,1]}{\phi }_t(\partial \Delta (0,r)).$$则 $K$ 是一个紧集, 且根据 $(\ast )$ 式, $K$ 包含于 $\Omega$ 中. 根据第三条可知$$\bigcup _{t\in T}{\phi }_t(\overline{\Delta (0,r)})\subset \subset \Omega ,$$特别地, 这表示 $T$ 是 $[0,1]$ 中的闭集. 所以 $T=[0,1]$. 此时对任意 $v\in {\delta }^{-1}([0,1))$: $$\{z_0+\zeta v_0+{\mathrm{e}}^{-p(\zeta )}v\mid \zeta \in \overline{\Delta (0,r)}\}={\phi }_1(\overline{\Delta (0,r)})\subset \Omega .$$结合最开始的 ${\delta }_{\Omega }$ 的表达式可得$${\delta }_{\Omega }(z_0+\zeta v_0)\ge |{\mathrm{e}}^{-p(\zeta )}|,\forall \zeta \in \overline{\Delta (0,r)}.$$命题得证. $\square$

定理 2.2.11 当然有如下推论:

推论 2.2.13. 任何全纯域 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 都是伪凸域.

证明. 只需注意到对任意 $K\subset \subset \Omega$ 有 ${\hat{K}}_{\mathrm{Psh}(\Omega )}\subset {\hat{K}}_{\mathcal{O}(\Omega )}$.

$\square$

Levi 问题与伪凸域的更多性质

Levi 问题实际上是 2.2.13 的逆问题: ${\mathbb{C}}^n$ 中的伪凸域都是全纯域吗?

在第三章中将会看到: 这个问题的答案是肯定的, 从而可以用伪凸性完全地刻画出全纯域来. 在这里我们先证明一些伪凸域的性质以供准备.

推论 2.2.14. 设 $\{{\Omega }_{\alpha }{\}}_{\alpha \in \mathcal{A}}$ 是一族 ${\mathbb{C}}^n$ 伪凸的开集. 则 $({\bigcap }_{\alpha \in \mathcal{A}}{\Omega }_{\alpha }{)}^{\circ }$ 也是伪凸的.

证明. 不妨设 $\varnothing ⊊({\bigcap }_{\alpha \in \mathcal{A}}{\Omega }_{\alpha }{)}^{\circ }\subseteq {\mathbb{C}}^n$. 记 $\Omega =({\bigcap }_{\alpha \in \mathcal{A}}{\Omega }_{\alpha }{)}^{\circ }$. 则$$C(\Omega )\ni -\log \mathrm{dist}(\cdot ,\partial \Omega )=\underset{\alpha \in \mathcal{A}}{\sup }(-\log \mathrm{dist}(\cdot ,\partial {\Omega }_{\alpha })).$$因为每个 $-\log \mathrm{dist}(\cdot ,\partial {\Omega }_{\alpha })$ 都属于 $\mathrm{Psh}(\Omega )$(2.2.11 的第五条), 所以 $-\log \mathrm{dist}(\cdot ,\partial \Omega )$ 也是如此.

$\square$

推论 2.2.15. 设 $\{{\Omega }_j\}$ 是一列递增的 ${\mathbb{C}}^n$ 伪凸域. 则 $\Omega :={\bigcup }_{j=1}^{\infty }{\Omega }_{\alpha }$ 也是伪凸的.

证明. 不妨设 $\Omega \ne {\mathbb{C}}^n$, 此时 $-\log \mathrm{dist}(\cdot ,\partial \Omega )\in C(\Omega ,\mathbb{R})$. 因为$$\mathrm{Psh}({\Omega }_j)\ni -\log \mathrm{dist}(\cdot ,\partial {\Omega }_j)\searrow -\log \mathrm{dist}(\cdot ,\partial \Omega ),$$于是 $-\log \mathrm{dist}(\cdot ,\partial \Omega )\in \mathrm{Psh}(\Omega )$.

$\square$

下一个结论是关于伪凸域在区域边界上的局部性的. 全纯域的对应性质明显比这个要困难: 实际上它等价于 Levi 问题的解.

推论 2.2.16. 区域 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 是伪凸域当且仅当对任意 $p\in \partial \Omega$, 存在 $p$ 的邻域 $U_p$ 使得 $U_p\cap \Omega$ 是伪凸域.

证明. 必要性: 根据 2.2.14 直接得到.

充分性: 分两种情况讨论.

1.

$\Omega$ 是有界集. 取 $p\in \partial \Omega$, 则有邻域 $U_p$ 使得 $U_p\cap \Omega$ 是伪凸的. 那么 $-\log \mathrm{dist}(\cdot ,\partial (U_p\cap \Omega ))\in \mathrm{Psh}(U_p\cap \Omega )$. 注意到: 在 $p$ 的充分小的邻域内成立: $\mathrm{dist}(\cdot ,\partial (U_p,\Omega ))=\mathrm{dist}(\cdot ,\partial \Omega )$, 所以存在 $\partial \Omega$ 的邻域 $U$ 使得$$-\log \mathrm{dist}(\cdot ,\partial \Omega )\in \mathrm{Psh}(U\cap \Omega ).$$因为 $\Omega$ 是有界的, 所以 $\Omega \backslash U\subset \subset \Omega$. 进而$$c:=\sup \{-\log \mathrm{dist}(z,\partial \Omega )\mid z\in \Omega \backslash U\}<\infty .$$令$$\phi :=\max \{-\log \mathrm{dist}(\cdot ,\partial \Omega ),|\cdot {|}^2+c+1\},$$则 $\phi$ 就是 $\Omega$ 的多重次调和穷竭函数. 所以 $\Omega$ 是伪凸域.

2.

$\Omega$ 是无界集. 考虑$$\Omega =\bigcup _{j=1}^{\infty }(\Omega \cap B(0,j)).$$如果 $\Omega$ 满足所说的性质, 那么有界的 $\Omega \cap B(0,j)$ 也满足. 所以 $\Omega \cap B(0,j)$ 是伪凸域. 结合 2.2.15, $\Omega$ 是伪凸域. $\square$

推论 2.2.17. 开集 $\Omega ⊊{\mathbb{C}}^n$ 是伪凸域当且仅当存在 $\partial \Omega$ 的邻域 $U$ 使得$$-\log \mathrm{dist}(\cdot ,\partial \Omega )\in \mathrm{Psh}(U\cap \Omega ).$$

证明. 必要性: 在 2.2.16 的证明中已经揭示了.

充分性: 根据 2.2.16, 只要证明对任意 $p\in \partial \Omega$, 存在 $p$ 的邻域 $U_p$ 使得 $U_p\cap \Omega$ 是伪凸域. 取 $\epsilon >0$ 充分小, 使得 $\overline{B(p,\epsilon )}\subset U$. 定义$$\phi :=\max \left\{\frac{1}{{\epsilon }^2-|z-p{|}^2},-\log \mathrm{dist}(\cdot ,\partial \Omega )\right\}$$则 $\phi$ 是 $B(p,\epsilon )\cap \Omega$ 的多重次调和穷竭函数. 所以只需取 $U_p=B(p,\epsilon )$.

$\square$

推论 2.2.18. 设 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 是伪凸域, $u\in \mathrm{Psh}(\Omega )$. 则开集 ${\Omega }_0:=\{z\in \Omega \mid u(z)<0\}$ 是伪凸域.

证明. 不妨设 ${\Omega }_0\ne \varnothing$. 首先考虑特殊情况: 假设 $u\in C(\Omega )$. 设 $0\le \phi \in \mathrm{Psh}(\Omega )$ 是 $\Omega$ 的穷竭函数, 并定义$$\psi :=\phi -\frac{1}{u}\in \mathrm{Psh}({\Omega }_0).$$对任意 $c>0$, 根据定义有$$\overline{\{z\in {\Omega }_0\mid \psi (z)<c\}}\subset \overline{\{z\in \Omega \mid \phi (z)<c\}}\cap \{z\in \Omega \mid u(z)\le -c^{-1}\}\subset \subset {\Omega }_0,$$于是 $\psi$ 是 ${\Omega }_0$ 的穷竭函数.

现在考虑一般情况. 对任意 $\epsilon >0$, 有 $u_{\epsilon }=u\ast {\chi }_{\epsilon }\in \mathrm{Psh}({\Omega }_{\epsilon })\cap C^{\infty }({\Omega }_{\epsilon })$. 注意到$${\Omega }_{\epsilon }=\{z\in \Omega \mid \mathrm{dist}(z,\partial \Omega )>\epsilon \}=\{z\in \Omega \mid -\log \mathrm{dist}(z,\partial \Omega )+\log \epsilon <0\},$$因为 $-\log \mathrm{dist}(\cdot ,\partial \Omega )\in \mathrm{Psh}(\Omega )$, 根据已经证明的特殊情况, ${\Omega }_{\epsilon }$ 是伪凸的. 进一步, ${\Omega }_{0,\epsilon }:=\{z\in {\Omega }_{\epsilon }\mid u_{\epsilon }(z)<0\}$ 也是伪凸的. 又因为$${\Omega }_{0,1/j}\nearrow {\Omega }_0,j\to \infty ,$$所以根据 2.2.15 得到 ${\Omega }_0$ 是伪凸的.

$\square$

类似还可以证明

推论 2.2.19. 设 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 是开集, $u\in \mathrm{Psh}(\Omega )$. 如果 ${\Omega }_0=\{z\in \Omega \mid u(z)<0\}\subset \subset \Omega$, 那么 ${\Omega }_0$ 是伪凸域.

证明. 取开集 ${\Omega }_1\subset {\mathbb{C}}^n$, 使得 ${\Omega }_0\subset \subset {\Omega }_1\subset \subset \Omega$. 则$$u_{\epsilon }=u\ast {\chi }_{\epsilon }\in \mathrm{Psh}({\Omega }_{\epsilon })\cap C^{\infty }({\Omega }_{\epsilon })$$对充分小的 $0<\epsilon <1$ 成立. 对上述的 $\epsilon$, 定义$$U_{\epsilon }=\{z\in {\Omega }_0\mid u_{\epsilon }(z)<0\},$$则 $U_{\epsilon }\nearrow {\Omega }_0,\epsilon \to 0$. 根据 2.2.15, 只需证明 $U_{\epsilon }$ 都是伪凸的. 对任意 $c>0$, 有$$\overline{\left\{z\in U_{\epsilon }|\frac{1}{-u_{\epsilon }}(z)<c\right\}}\subset \{z\in {\Omega }_0\mid u_{\epsilon }(z)\le -c^{-1}\}\subset \subset U_{\epsilon },$$即 $1/(-u_{\epsilon })\in \mathrm{Psh}(U_{\epsilon })$ 是 $U_{\epsilon }$ 的穷竭函数. 故 $U_{\epsilon }$ 是伪凸的.

$\square$

接下来定义一种特殊的区域. 目前我们可以证明在这个特殊的区域上, 全纯域和伪凸域是等价的.

定义 2.2.20 (管道). 区域 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 被称为是管道, 如果存在区域 $W\subset {\mathbb{R}}^n$, 使得$$\Omega =W\oplus \mathrm{i}{\mathbb{R}}^n=\{x+\mathrm{i}y\in {\mathbb{C}}^n\mid x\in W,y\in {\mathbb{R}}^n\}.$$$W$ 被称为 $\Omega$ 的基底.

定理 2.2.21. 设 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 是以 $W\subset {\mathbb{R}}^n$ 为基底的管道. 下述结论等价:

1.	$W$ 是凸的.
2.	$\Omega$ 是凸的.
3.	$\Omega$ 是全纯域.
4.	$\Omega$ 是伪凸域.

证明. 只有 $4\Rightarrow 1$ 是不平凡的 ($3\Rightarrow 4$ 是根据 2.2.13). 注意到$$\mathrm{dist}(z,\partial \Omega )=\mathrm{dist}(\mathrm{Re}z,\partial W),\forall z\in \Omega ,$$根据伪凸性以及 2.2.5 下面的习题, $-\log \mathrm{dist}(\cdot ,\partial W)$ 是在 $W$ 局部凸的函数. 这也就是说 $W$ 自身是凸集.

$\square$

严格多重次调和函数

定义 2.2.22 (严格多重次调和函数). 函数 $u\in C^2(\Omega )$ 被称为是区域 $\Omega$ 的严格多重次调和函数, 如果它的复 Hessian 矩阵正定, 即$$\sum _{j,k=1}^n\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z_j\partial {\bar{z}}_k}(z)v_j{\overline{v}}_k>0,\forall z\in \Omega ,v\in {\mathbb{C}}^n\backslash \{0\}.$$

根据定义, 每个伪凸域都有多重次调和的穷竭函数. 然而, 下面的定义揭示了比这强得多的结论: 每个伪凸域都有 $C^{\infty }$ 的严格多重次调和穷竭函数, 而且这个函数还有额外的性质.

定理 2.2.23. 设 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 是伪凸域. 设 $K\subset \subset \Omega$, $U\subset \Omega$ 是 ${\hat{K}}_{\mathrm{Psh}(\Omega )}$ 的邻域. 那么存在 $\Omega$ 的 $C^{\infty }$ 严格多重次调和穷竭函数 $\phi$, 满足$$K\subset {\phi }^{-1}((-\infty ,0))\subset U.$$

该定理的直接推论是:

推论 2.2.24. 设 $\Omega ,K$ 如定理 2.2.23 所述. 则 ${\hat{K}}_{\mathrm{Psh}(\Omega )}={\hat{K}}_{\mathrm{Psh}(\Omega )\cap C^{\infty }(\Omega )}$. (后者就是把 ${\hat{K}}_{\mathrm{Psh}(\Omega )}$ 中的 $\mathrm{Psh}(\Omega )$ 对应替换) 特别地, ${\hat{K}}_{\mathrm{Psh}(\Omega )}$ 是 $\Omega$ 的闭子集, 从而是紧集.

证明. 只要说明 ${\hat{K}}_{\mathrm{Psh}(\Omega )\cap C^{\infty }(\Omega )}\subset {\hat{K}}_{\mathrm{Psh}(\Omega )}$. 对任意 $z\in \Omega \backslash {\hat{K}}_{\mathrm{Psh}(\Omega )}$, 在 $U=\Omega \backslash \{z\}$ 上应用定理 2.2.23, 得到: 存在 $\phi \in \mathrm{Psh}(\Omega )\cap C^{\infty }(\Omega )$, 满足 $\phi <0\mathrm{on}K$, 且 $\phi (z)>0$. 于是 $z\in \Omega \backslash {\hat{K}}_{\mathrm{Psh}(\Omega )\cap C^{\infty }(\Omega )}$.

$\square$

注 2.2.25. 第三章将告诉我们, 甚至可以证明$${\hat{K}}_{\mathrm{Psh}(\Omega )}={\hat{K}}_{\mathcal{O}(\Omega )},$$于是拟凸域都是全纯凸的, 也就解决了 Levi 问题.

为了证明定理 2.2.23, 需要一个引理.

引理 2.2.26. 设 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 是伪凸域, $u$ 是其连续的多重次调和穷竭函数. 那么对任意 $K\subset \subset \Omega$ 和 $\epsilon >0$, 存在 $\Omega$ 的 $C^{\infty }$ 严格多重次调和穷竭函数 $\phi$, 满足$$\phi >u\mathrm{on}\Omega ,\underset{K}{\sup }|\phi -u|<\epsilon .$$

证明. 对任意 $j\in \mathbb{N}$, 令 ${\Omega }_j=u^{-1}((-\infty ,j))$, 则 ${\Omega }_j\subset \subset {\Omega }_{j+1}\subset \subset \Omega$. 通过给 $u$ 加上一个适当的常数, 可不妨设 $K\subset {\Omega }_0$. 设 $\{{\epsilon }_j\}$ 为递减趋于零的序列, 考虑一系列函数$$u\ast {\chi }_{{\epsilon }_j}+{\epsilon }_j|\cdot {|}^2,$$则对充分大的 $j$, 这个函数列递减趋于 $u$. 根据 Dini 定理, 收敛是一致的. 也就是说, 可以从中找到一列函数 $\{u_j{\}}_{j\in \mathbb{N}}\subset C^{\infty }(\Omega )$, 满足 $u_j$ 在 ${\Omega }_{j+2}$ 是严格多重次调和的, 及$$u<u_0<u+\epsilon \mathrm{on}{\bar{\Omega }}_1,u<u_j<u+1\mathrm{on}{\bar{\Omega }}_j,j\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$根据 ${\Omega }_j$ 的定义, 这导致$$u_j-j+1<0\mathrm{on}{\Omega }_{j-2},u_j-j+1>0\mathrm{on}{\bar{\Omega }}_j\backslash {\Omega }_{j-1},j\ge 2.$$接下来考虑一个函数 $\chi \in C^{\infty }(\mathbb{R})$, 满足 ${\chi }_{(-\infty ,0]}=0,{\chi }^{\prime },{\chi }^{\prime \prime }>0\mathrm{on}(0,+\infty )$. 具体而言, 可以取$$\chi (t)=\{\begin{array}{ll}t{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{t}},& t>0\\ 0,& t\le 0\end{array}.$$则 $\chi \circ (u_j-j+1)=0\mathrm{on}{\Omega }_{j-2}$, 以及 $\chi \circ (u_j-j+1)\ge 0\mathrm{on}\Omega \backslash {\Omega }_{j-2}$. 另外, $\chi \circ (u_j-j+1)$ 还在 ${\Omega }_{j+2}$ 上是多重次调和的, 以及在 ${\bar{\Omega }}_j\backslash {\Omega }_{j-1}$ 上是严格多重次调和的. 现在归纳地选取充分大的正整数 $m_j$, 使得$${\phi }_k:=u_0+\sum _{j=2}^k{m}_j\chi \circ (u_j-j+1)$$在 ${\bar{\Omega }}_k$ 上是严格多重次调和的, 且 ${\phi }_k>u\mathrm{on}{\bar{\Omega }}_k$. 另外, ${\phi }_k=u_0\mathrm{on}{\Omega }_0$, 且 ${\phi }_k={\phi }_{k-1}\mathrm{on}{\Omega }_{k-2}$. 显然, $\phi :={\lim }_{k\to \infty }{\phi }_k$ 符合需要的条件.

$\square$

定理 2.2.23 的证明. 证明的主要思路是: 先找到一个符合条件的连续的多重次调和穷竭函数 ${\phi }_0$. 根据 2.2.26, 存在一个光滑的严格多重次调和穷竭函数 $\phi >{\phi }_0$, 并且二者在 $K$ 中离得很近. 于是 $\phi$ 也将满足条件.

接下来的任务是找到 ${\phi }_0$. 设 $u\in \mathrm{Psh}(\Omega )\cap C(\Omega )$ 是 $\Omega$ 的一个穷竭函数. 通过加上一个常数, 不妨设 $u<0\mathrm{on}K$. 令$$L=u^{-1}((-\infty ,0])\backslash U.$$如果 $L=\varnothing$, 则已经证完了. 否则, $L$ 是紧集, 且 $L\cap {\hat{K}}_{\mathrm{Psh}(\Omega )}=\varnothing$. 也就是说, 对任意 $z\in L$, 存在 $u_z\in \mathrm{Psh}(\Omega )$ 使得$$\underset{K}{\sup }{u}_z<0<u_z(z).$$设 ${\Omega }_0$ 是开集, 满足 $u^{-1}((-\infty ,2])\subset {\Omega }_0\subset \subset \Omega$. 可以把 $u_z$ 正则化 (参考 2.1 节), 得到 $v_z\in \mathrm{Psh}({\Omega }_0)\cap C({\Omega }_0)$ 满足$$\underset{K}{\sup }{v}_z<0<v_z(z).$$因为 $L\subset {\bigcup }_{z\in L}{v}_z^{-1}((0,+\infty ))$, 所以可以找到有限个 $z_1,\cdots ,z_k\in L$ 使得 $L\subset {\bigcup }_{j=1}^k{v}_{z_j}^{-1}((0,+\infty ))$. 于是$$v:=\max \{v_{z_1},\cdots ,v_{z_k}\}\in \mathrm{Psh}({\Omega }_0)\cap C({\Omega }_0).$$另外 $v>0\mathrm{on}L,v<0\mathrm{on}K$. 最后, 定义$${\phi }_0=\{\begin{array}{ll}\max \{v,cu\},& \mathrm{on}{u}^{-1}((-\infty ,2)),\\ cu,& \mathrm{on}{u}^{-1}((1,+\infty )),\end{array}$$其中 $c:={\sup }_{u^{-1}((-\infty ,2])}v>0$. 不难验证这两个分段在公共部分 $u^{-1}((1,2))$ 是相等的. 于是, ${\phi }_0$ 满足定理所需的所有条件.

$\square$