2.3. Levi 形式与伪凸性

定义与基本性质

在本节中我们研究具有 $C^2$ 边界的区域什么时候是伪凸的, 并引入称为 Levi 形式的研究工具. 首先对一个区域边界的可微分性进行一点讨论.

定义 2.3.1 ($C^k$ 边界). 设 $1\le k\le \omega$($k=\omega$ 表示解析边界). 区域 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n(n>1)$ 被称为是具有 ${\mathbf{C}}^{\mathbf{k}}$ 边界的 (简记为 $\partial \Omega \in C^k$), 如果存在函数 $\rho \in C^k({\mathbb{R}}^n,\mathbb{R})$, 使得 $\Omega =\{x\mid \rho (x)<0\}$, 且 $\mathrm{d}{\rho }_p\ne 0$ 对任意 $p\in \partial \Omega$ 成立. 这样的函数 $\rho$ 被称为是 $\Omega$ 的 ${\mathbf{C}}^{\mathbf{k}}$ 定义函数.

命题 2.3.2. 设 $k\ge 1$, $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n(n>1)$ 是区域, 满足 $\partial \Omega \in C^k$, 其定义函数是 $\rho$. 如果存在函数 $\tilde{\rho }\in C^k({\mathbb{R}}^n,\mathbb{R})$ 满足 $\tilde{\rho }{|}_{\partial \Omega }=0$, 那么存在唯一的 $h\in C^{k-1}({\mathbb{R}}^n,\mathbb{R})$ 满足

1.	$\tilde{\rho }=h\rho \mathrm{on}{\mathbb{R}}^n$;
2.	$\mathrm{d}\tilde{\rho }=h\mathrm{d}\rho \mathrm{on}\partial \Omega$.

证明. 唯一性是显然的 (条件已经把 $h$ 确定了). 另外, $h=\frac{\tilde{\rho }}{\rho }\in C^k({\mathbb{R}}^n\backslash \partial \Omega )$.

接下来说明存在性, 实际上只要说明可以把 $h=\frac{\tilde{\rho }}{\rho }\in C^k({\mathbb{R}}^n\backslash \partial \Omega )$ 延拓到 $\partial \Omega$ 上并使之成为 $C^{k-1}$ 函数即可. 任取 $p\in \partial \Omega$. 通过 $C^k$ 坐标变换后, 不妨设在附近有 $p=0,\rho (x)=x_n$, 且$$U\cap \partial \Omega =\{(x_1,\cdots ,x_n)\in U\mid x_n=0\},$$其中 $U$ 是 $p$ 的一个邻域. 对于接近 $0$ 的 $x^{\prime }=(x_1,\cdots ,x_{n-1})$, 有$$\tilde{\rho }(x^{\prime },x_n)=\tilde{\rho }(x^{\prime },x_n)-\tilde{\rho }(x^{\prime },0)=x_n{\int }_0^1\frac{\partial \tilde{\rho }}{\partial x_n}(x^{\prime },t{x}_n)\mathrm{d}t,$$令 $h(x)$ 为后面的积分式子, 则它是在 $p$ 附近 $C^{k-1}$ 的. 因为 $p$ 是任取的, 所以 $h$ 满足第一条. 对于第二条, 如果 $k\ge 2$, 则结论是显然的. 如果 $k=1$, 则结论由如下简单事实导出:

如果 $f$ 在 $x_0\in {\mathbb{R}}^n$ 可微, $f(x_0)=0$, $h$ 是 $x_0$ 处连续的函数, 则 $hf$ 也在 $x_0$ 可微, 且 $\mathrm{d}(hf{)}_{x_0}=h(x_0)\mathrm{d}{f}_{x_0}$.

$\square$

定义 2.3.3 (Levi 形式). 设 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n(n>1)$ 是具有 $C^2$ 边界的区域. $\Omega$ 的 Levi 形式, 记为 $L_{\partial \Omega }$, 定义如下: $$L_{\partial \Omega }(p,v)=\frac{1}{|\nabla \rho (p)|}\sum _{j,k=1}^n\frac{{\partial }^2\rho }{\partial z_j\partial {\bar{z}}_k}{v}_j{\bar{v}}_k,\forall p\in \partial \Omega ,v\in T_p^{1,0}(\partial \Omega ),$$其中 $\rho :{\mathbb{C}}^n\to \mathbb{R}$ 是 $\Omega$ 的 $C^2$ 定义函数, 以及$$T_p^{1,0}(\partial \Omega ):=\left\{v=(v_1,\cdots ,v_n)\in {\mathbb{C}}^n|\sum _{j=1}^n\frac{\partial \rho }{\partial z_j}(p)v_j=0\right\}.$$

注 2.3.4. Levi 形式的定义是 “内蕴” 的, 也就是说独立于定义函数 $\rho$ 的选取. 下面验证这一点.

如果 $\rho ,\tilde{\rho }:{\mathbb{C}}^n\to \mathbb{R}$ 都是 $\Omega$ 的 $C^2$ 定义函数, 则根据 2.3.2 可得: 存在 $0<h\in C^1({\mathbb{C}}^n)$ 使得 $\tilde{\rho }=h\rho$, 且$$\nabla \tilde{\rho }=h\nabla \rho ,\frac{{\partial }^2\tilde{\rho }}{\partial z_j\partial {\bar{z}}_k}=h\frac{{\partial }^2\rho }{\partial z_j\partial {\bar{z}}_k}+\frac{\partial \rho }{\partial z_j}\frac{\partial h}{\partial {\bar{z}}_k}+\frac{\partial h}{\partial z_j}\frac{\partial \rho }{\partial {\bar{z}}_k}\mathrm{on}\partial \Omega .$$代入计算: 对 $p\in \partial \Omega ,v\in T_p^{1,0}(\partial \Omega )$, $$\begin{array}{rl}\frac{1}{|\nabla \tilde{\rho }(p)|}\sum _{j,k=1}^n\frac{{\partial }^2\tilde{\rho }}{\partial z_j\partial {\bar{z}}_k}{v}_j{\bar{v}}_k& =\frac{1}{h(p)|\nabla \rho (p)|}\left(h(p)\sum _{j,k=1}^n\frac{{\partial }^2\rho }{\partial z_j\partial {\bar{z}}_k}{v}_j{\bar{v}}_k+2\mathrm{Re}\left(\left(\sum _{j=1}^n\frac{\partial \rho }{\partial z_j}(p)v_j\right)\overline{\left(\sum _{k=1}^n\frac{\partial h}{\partial z_k}(p)v_k\right)}\right)\right)\\ & =\frac{1}{|\nabla \rho (p)|}\sum _{j,k=1}^n\frac{{\partial }^2\rho }{\partial z_j\partial {\bar{z}}_k}{v}_j{\bar{v}}_k,\end{array}$$其中使用了 ${\sum }_{j=1}^n\frac{\partial \rho }{\partial z_j}(p)v_j=0$.

以下的性质提供了一个定义函数的例子, 证明不难.

命题 2.3.5. 设 $k\in \mathbb{N}\cup \{\infty ,\omega \},k\ge 2$. 设 $\Omega ⊊{\mathbb{R}}^n$ 是具有 $C^k$ 边界的区域. 则带符号距离函数$$d_{\Omega }:=\{\begin{array}{ll}-\mathrm{dist}(\cdot ,\partial \Omega ),& \mathrm{on}\Omega ,\\ \mathrm{dist}(\cdot ,\partial \Omega ),& \mathrm{on}{\mathbb{R}}^n\backslash \Omega ,\end{array}$$在 $\partial \Omega$ 的某个邻域 $U$ 内是 $C^k$ 的, 且 $|\nabla d_{\Omega }|$ 恒为 $1$.

Levi 定理

接下来叙述和证明 Levi 定理, 它表明伪凸域可以由 Levi 形式完全刻画出来.

定理 2.3.6 (Levi 定理). 具有 $C^2$ 边界的区域 $\Omega ⊊{\mathbb{C}}^n(n>1)$ 是伪凸域当且仅当$$L_{\partial \Omega }(p,v)\ge 0,\forall p\in \partial \Omega ,v\in T_p^{1,0}(\partial \Omega ).$$

注 2.3.7. 这个定理实际上是 ${\mathbb{R}}^n$ 中一个关于凸区域的结论的复版本.

定理. 考虑具有 $C^2$ 边界的区域 $\Omega ⊊{\mathbb{R}}^n(n>1)$, 记 $\rho$ 是它的 $C^2$ 定义函数. 则 $\Omega$ 是凸的当且仅当$$\sum _{j,k=1}^n\frac{{\partial }^2\rho }{\partial x_j\partial x_k}(p)v_j{v}_k\ge 0,\forall p\in \partial \Omega ,v\in T_p(\partial \Omega ).$$从几何角度来看, $\Omega$ 是凸的当且仅当 $\partial \Omega$ 的主曲率都是非负的.

证明. 根据 2.3.5, 存在 $\partial \Omega$ 的邻域 $U$, 使得 $d_{\Omega }\in C^2(U)$, 且 $|\nabla d_{\Omega }|=1$. 于是 $d_{\Omega }$ 就是 $\Omega$ 的一个 $C^2$ 定义函数.

必要性: 根据 $\Omega$ 是伪凸域, 可得$$-\log (-d_{\Omega })\in \mathrm{Psh}(\Omega )\cap C^2(U\cap \Omega ),$$从而多重次调和函数的性质 2.2.4 表明$$d_{\Omega }(z)\sum _{j,k=1}^n\frac{{\partial }^2(-\log (-d_{\Omega }))}{\partial z_j\partial {\bar{z}}_k}(z)v_j{\bar{v}}_k=\sum _{j,k=1}^n\frac{{\partial }^2{d}_{\Omega }}{\partial z_j\partial {\bar{z}}_k}(z)v_j{\bar{v}}_k-\frac{1}{d_{\Omega }(z)}{\left|\sum _{j=1}^n\frac{\partial d_{\Omega }}{\partial z_j}(z)v_j\right|}^2\ge 0\text{\hspace{1em}(*)}$$对任意 $z\in U\cap \Omega ,v\in T_p^{1,0}(\partial \Omega )$ 成立. 接下来需要借此得到 $L_{\partial \Omega }\ge 0$.

对任意 $p\in \partial \Omega$, 存在 $\epsilon >0$ 使得 $B(p-\epsilon v_p,\epsilon )\subset U\cap \Omega$. 于是$$\mathrm{dist}(p-t{v}_p,\partial \Omega )=t,0<t<\epsilon ,$$其中 $v_p$ 是 $\partial \Omega$ 在 $p$ 处的外法向量. 进一步: $$\sqrt{2}\left(\frac{\partial d_{\Omega }}{\partial {\bar{z}}_1}(p-t{v}_p),\cdots ,\frac{\partial d_{\Omega }}{\partial {\bar{z}}_n}(p-t{v}_p)\right)=v_p,0<t<\epsilon .$$在 $(\ast )$ 式中令 $z=p-t{v}_p$, 并令 $t\to 0^{+}$ 得 (结合 $v\in T_p^{1,0}(\partial \Omega )$) $$L_{\partial \Omega }(p,v)=\sum _{j,k=1}^n\frac{{\partial }^2{d}_{\Omega }}{\partial z_j\partial {\bar{z}}_k}(p)v_j{\bar{v}}_k\ge 0.$$

充分性: 用反证法, 假设 $\Omega$ 不是伪凸域. 于是根据 2.2.17 可得 $-\log \mathrm{dist}(\cdot ,\partial \Omega )\notin \mathrm{Psh}(U\cap \Omega )$. 换言之, 存在 $z_0\in U\cap \Omega ,v_0\in {\mathbb{C}}^n\backslash \{0\}$ 使得$$c:=\left(\frac{{\partial }^2}{\partial \zeta \delta \bar{\zeta }}\log \mathrm{dist}\left(z_0+\zeta v_0,\partial \Omega \right)\right){|}_{\zeta =0}>0.$$根据 Taylor 公式: $$\log \mathrm{dist}(z_0+\zeta v_0,\partial \Omega )=\log \mathrm{dist}(z_0,\partial \Omega )+\mathrm{Re}(a\zeta +b{\zeta }^2)+c|\zeta {|}^2+o(|\zeta {|}^2),\text{\hspace{1em}(⋆)}$$其中 $a,b\in \mathbb{C}$ 为常数. 取 $p_0\in \partial \Omega$, 使得 $|p_0-z_0|=\mathrm{dist}(z_0,\partial \Omega )$. 并令$$\phi (\zeta )=z_0+\zeta v_0+\exp (a\zeta +b{\zeta }^2)(p_0-z_0),\zeta \in \mathbb{C},$$则 $\phi (0)=p_0$, 以及$$\begin{array}{rl}\mathrm{dist}(\phi (\zeta ),\partial \Omega )& \ge \mathrm{dist}(z_0+\zeta v_0,\partial \Omega )-\mathrm{dist}(z_0,\partial \Omega )\exp \circ \mathrm{Re}(a\zeta +b{\zeta }^2)\\ & \stackrel{(\star )}{\ge }\mathrm{dist}(z_0,\partial \Omega )({\mathrm{e}}^{\frac{c}{2}|\zeta {|}^2}-1)\exp \circ \mathrm{Re}(a\zeta +b{\zeta }^2)\\ & \ge \frac{c}{4}|\zeta {|}^2\mathrm{dist}(z_0,\partial \Omega ),|\zeta |\ll 1.\end{array}$$因为 $\mathrm{dist}(\phi (0),\partial \Omega )=0$, 所以$$\sum _{j=1}^n\frac{\partial d_{\Omega }}{\partial z_j}(p_0)({\phi }^{\prime }(0){)}_j=-\left(\frac{\partial }{\partial \zeta }\mathrm{dist}(\phi (\zeta ),\partial \Omega )\right){|}_{\zeta =0}=0,$$以及$$\sum _{j,k=1}^n\frac{{\partial }^2{d}_{\Omega }}{\partial z_j\partial {\bar{z}}_k}({\phi }^{\prime }(0){)}_j\overline{({\phi }^{\prime }(0){)}_k}=-\left(\frac{{\partial }^2}{\partial \zeta \partial \bar{\zeta }}\mathrm{dist}(\phi (\zeta ),\partial \Omega )\right){|}_{\zeta =0}\le -\frac{c}{4}\mathrm{dist}(z_0,\partial \Omega )<0,$$从而 ${\phi }^{\prime }(0)\in T_p^{1,0}(\partial \Omega )$, 且 $L_{\partial \Omega }(p_0,{\phi }^{\prime }(0))<0$. 矛盾.

$\square$

强伪凸域及其性质

在上述概念和定理的启发下, 有理由研究如下的

定义 2.3.8 (强伪凸域). 区域 $\Omega ⊊{\mathbb{C}}^n(n>1)$ 被称为强伪凸域, 如果 $\partial \Omega \in C^2$, 且$$L_{\partial \Omega }(p,v)>0,\forall p\in \partial \Omega ,v\in T_p^{1,0}(\partial \Omega )\backslash \{0\}.$$

定理 2.3.9. 区域 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 是伪凸域当且仅当存在强伪凸域序列 $\{{\Omega }_j\}$, 其拥有 $C^{\infty }$ 边界, 且满足$${\Omega }_j\subset \subset {\Omega }_{j+1},j\ge 1,\bigcup _{j=1}^{\infty }{\Omega }_j=\Omega .$$

在证明之前先回忆一下在微分拓扑中重要的 Sard 定理.

定理 (Sard 定理). 设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是区域, $f\in C^{\infty }(\Omega ,{\mathbb{R}}^m)$. 则 $f$ 的所有临界值 (即所有驻点处的函数值) 组成的集合是 ${\mathbb{R}}^m$ 中的零测集.

定理 2.3.9 的证明. 充分性不难验证. 对于必要性, 根据定理 2.2.23, $\Omega$ 存在一个 $C^{\infty }$ 的严格多重次调和穷竭函数 $\phi$. 由 Sard 定理, 存在零测集 $E\subset \mathbb{R}$, 使得对任意 $t\in ({\inf }_{\Omega }\phi ,+\infty )\backslash E$: $$U_t:={\phi }^{-1}((-\infty ,t))\subset \subset \Omega$$是强伪凸开集, 且具有 $C^{\infty }$ 边界. 取一列严格递增数列 $\{t_j\}\subset ({\inf }_{\Omega }\phi ,+\infty )\backslash E$, 使得 $t_j\to +\infty ,j\to \infty$, 那么$$U_{t_j}\subset \subset U_{t_{j+1}},j\ge 1,\bigcup _{j=1}^{\infty }{U}_{t_j}=\Omega .$$现在取一个点 $z_0\in U_{t_1}$. 令 ${\Omega }_j$ 为 $U_{t_j}$ 的包含 $z_0$ 的连通分支. 则每个 ${\Omega }_j$ 都是具有 $C^{\infty }$ 边界的强伪凸域, 且 ${\Omega }_j\subset \subset {\Omega }_{j+1}$. 最后, $\Omega$ 的连通性表明 ${\bigcup }_{j=1}^{\infty }{\Omega }_j=\Omega$.

$\square$

强伪凸域有如下的刻画方式, 但我们不再证明了. 可以参考 Krantz 或者 Range 的书.

定理 2.3.10. 设 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 是有界区域, 具有 $C^k$ 边界, 其中 $2\le k\le \infty$. 下述结论等价:

1.	$\Omega$ 是强伪凸域.
2.	$\Omega$ 有一个 $C^k$ 强多重次调和的定义函数 $\rho :U\to \mathbb{R}$, 其中 $U$ 是 $\partial \Omega$ 的一个邻域.
3.	$\Omega$ 有一个 $C^k$ 强多重次调和的定义函数 $\rho :V\to \mathbb{R}$, 其中 $V$ 是 $\bar{\Omega }$ 的一个邻域.
4.	对任意 $p\in \partial \Omega$, 存在 $p$ 的邻域 $U_p\subset {\mathbb{C}}^n$ 和单射 $f\in \mathcal{O}(U_p,{\mathbb{C}}^n)$, 满足 $f(U_p\cap \Omega )$ 是强凸的 (即其边界的主曲率总是正的).