1.3. Cn 上的 ∂ˉ-方程及其应用

$\bar{\partial }$-方程

给定 $k\in \mathbb{N}$ 以及 $f={\sum }_{j=1}^n{f}_j\mathrm{d}{\bar{z}}_j\in C_{(0,1)}^k({\mathbb{C}}^n)$, 满足 $\mathrm{supp}(f)\subset \subset {\mathbb{C}}^n$. 我们考察下面的 $\bar{\partial }$-方程:$$\bar{\partial }u=f\mathrm{on}{\mathbb{C}}^n.$$我们知道, 要使得上述方程存在解 $u$, 必要条件是$$\bar{\partial }f=0\mathrm{on}{\mathbb{C}}^n,$$我们把这个条件称为: $f$ 是 $\bar{\partial }$-闭的. 如果 $n=1$, 这个式子总是正确的. 更确切地, 我们想要求解下面的微分方程组:$$\frac{\partial u}{\partial {\bar{z}}_j}=f_j,j=1,\cdots ,n,$$它有解的必要条件是$$\frac{\partial f_j}{\partial {\bar{z}}_k}=\frac{\partial f_k}{\partial {\bar{z}}_j},j,k=1,\cdots ,n.$$

从下面的公式开始.

定理 1.3.1 (Cauchy 重积分公式). 设 $\Omega \subset \mathbb{C}$ 是有界域, 其边界 $\partial \Omega$ 由有限个 $C^1$ Jordan 闭曲线组成. 如果 $u\in C^1(\bar{\Omega })$, 则$$u(z)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\partial \Omega }\frac{u(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta +\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\Omega }\frac{1}{\zeta -z}\frac{\partial u}{\partial \bar{\zeta }}(\zeta )\mathrm{d}\zeta \wedge \mathrm{d}\bar{\zeta },\forall z\in \Omega .$$

证明. 对任意 $z\in \Omega$, 取 $0<\epsilon <\mathrm{dist}(z,\partial \Omega )$, 并令$$\Delta (z,\epsilon )=\{\zeta \in \mathbb{C}\mid |\zeta -z|<\epsilon \}.$$

对区域 $\Omega \backslash \overline{\Delta (z,\epsilon )}$ 和函数 $\frac{u(\zeta )}{\zeta -z}$ 使用 Stokes 定理, 得$$\begin{array}{rl}{\int }_{\Omega \backslash \overline{\Delta (z,\epsilon )}}\frac{1}{\zeta -z}\frac{\partial u}{\partial \bar{\zeta }}(\zeta )\mathrm{d}\zeta \wedge \mathrm{d}\bar{\zeta }& =-{\int }_{\Omega \backslash \overline{\Delta (z,\epsilon )}}\mathrm{d}\left(\frac{u(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta \right)\\ & =-{\int }_{\partial \Omega }\frac{u(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta +{\int }_{\partial \Delta (z,\epsilon )}\frac{u(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta .\end{array}$$对于右边第二个式子, 不难得到它等于 $\mathrm{i}{\int }_0^{2\pi }u(z+\epsilon {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta })\mathrm{d}\theta$. (因为 $u\in C^1$, 所以可以进行换元) 令 $\epsilon \to 0$ 得$${\int }_{\Omega }\frac{1}{\zeta -z}\frac{\partial u}{\partial \bar{\zeta }}(\zeta )\mathrm{d}\zeta \wedge \mathrm{d}\bar{\zeta }=-{\int }_{\partial \Omega }\frac{u(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta +2\pi \mathrm{i}u(z),$$从而得到结果.

$\square$

现在我们展示, 如何通过 Cauchy 重积分公式解决 ${\mathbb{C}}^n$ 上的 $\bar{\partial }$-方程. 首先考虑 $n=1$ 情况. 以下用 $f\in C_0^k(\mathbb{C})$ 表示紧支的 $C^k$ 函数.

定理 1.3.2. 设 $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }\cup \{\infty \}$, $f\in C_0^k(\mathbb{C})$. 定义$$u(z)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\mathbb{C}}\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta \wedge \mathrm{d}\bar{\zeta },z\in \mathbb{C},$$则 $u\in C^k(\mathbb{C})$, 且在 $\mathbb{C}$ 上有$$\frac{\partial u}{\partial \bar{z}}=f.$$

注 1.3.3.

1.	虽然定理只解决了紧支函数的情形, 但结合 Runge 逼近定理可以进一步得到: 定理. 设 $\Omega \subset \mathbb{C}$ 是域, $f\in C^k(\Omega ),k\in {\mathbb{N}}^{\ast }\cup \{\infty \}$. 则方程$$\frac{\partial u}{\partial \bar{z}}=f$$存在解 $u\in C^k(\Omega )$. 参见 Hörmander 书的第一章. 换句话说, $\bar{\partial }u=f$ 在 $\mathbb{C}$ 的任意区域内都可解.
2.	在第一条中提到的传统的用于求解 $\bar{\partial }$-方程的方法, 对 $n>1$ 不适用. 实际上, 如同我们将在第三章看到的, 研究 $\bar{\partial }$-方程的可解性将出现障碍. Hörmander 的针对 $\bar{\partial }$ 算子的 $L^2$ 估计将提供一个强大的研究方法, 以及更多精确结论.

定理 1.3.2 的证明. 通过换元, 我们可以把 $u$ 表示为卷积: $$u(z)=-\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\mathbb{C}}\frac{f(z-\eta )}{\eta }\mathrm{d}\eta \wedge \mathrm{d}\bar{\eta }=\frac{1}{\pi }\left(f\ast \frac{1}{\cdot }\right)(z),$$从而由控制收敛定理可得 $u\in C^k(\mathbb{C})$, 且$$\frac{\partial u}{\partial \bar{z}}(z)=-\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\mathbb{C}}\frac{1}{\eta }\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z-\eta )\mathrm{d}\eta \wedge \mathrm{d}\bar{\eta }=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\mathbb{C}}\frac{1}{\zeta -z}\frac{\partial f}{\partial \bar{\zeta }}(\zeta )\mathrm{d}\zeta \wedge \mathrm{d}\bar{\zeta }=f(z),$$最后一个等号使用了定理 1.3.1.

$\square$

现在把定理 1.3.2 向高维推广.

定理 1.3.4. 设 $n>1$, $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }\cup \{\infty \}$. 设 $f\in C_{(0,1)}^k({\mathbb{C}}^n)$ 是紧支的和 $\bar{\partial }$-闭的, 则存在 $u\in C_0^k({\mathbb{C}}^n)$ 使得在 ${\mathbb{C}}^n$ 中成立$$\bar{\partial }u=f.$$

证明. 记 $f={\sum }_{j=1}^n{f}_j\mathrm{d}{\bar{z}}_j$, 并定义$$u(z)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\mathbb{C}}\frac{f_n(z^{\prime },\zeta )}{\zeta -z_n}\mathrm{d}\zeta \wedge \mathrm{d}\bar{\zeta },z=(z^{\prime },z_n)\in {\mathbb{C}}^n.$$$u$ 可以被写成$$u(z)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\mathbb{C}}\frac{f_n(z^{\prime },z_n+\zeta )}{\zeta }\mathrm{d}\zeta \wedge \mathrm{d}\bar{\zeta },$$从而类似于定理 1.3.2 的证明可得 $u\in C^k({\mathbb{C}}^n)$. 再根据定理 1.3.2, 得到 $\frac{\partial u}{\partial {\bar{z}}_n}=f_n$. 我们分两步证明.

第一步: 证明$$\frac{\partial u}{\partial {\bar{z}}_j}=f_j,1\le j\le n-1.$$实际上, 有$$\begin{array}{rl}\frac{\partial u}{\partial {\bar{z}}_j}& =\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\mathbb{C}}\frac{\partial f_n}{\partial {\bar{z}}_j}(z^{\prime },\zeta )\mathrm{d}\zeta \wedge \mathrm{d}\bar{\zeta }\\ & =\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\mathbb{C}}\frac{\partial f_j}{\partial {\bar{z}}_n}(z^{\prime },\zeta )\mathrm{d}\zeta \wedge \mathrm{d}\bar{\zeta }\\ & =f_j(z^{\prime },z_n),\end{array}$$其中第二个等号用了 $f$ 的 $\bar{\partial }$-闭性; 第三个等号用了 $f_j\in C_0^k({\mathbb{C}}^n)$ 和定理 1.3.1.

第二步: 证明 $u$ 是紧支的.
取充分大的 $R>1$ 使得$$(({\mathbb{C}}^{n-1}\backslash \overline{B^{n-1}(0,R)})\times \mathbb{C})\cap \mathrm{supp}(f)=\varnothing ,$$这里使用了 $n>1$ 的条件; 根据定义, 有$$u=0\mathrm{on}({\mathbb{C}}^{n-1}\backslash \overline{B^{n-1}(0,R)})\times \mathbb{C}.$$另一方面, 因为 $\bar{\partial }u=f=0$ 在 ${\mathbb{C}}^n\backslash \mathrm{supp}(f)$ 成立, 故 $u\in \mathcal{O}({\mathbb{C}}^n\backslash \mathrm{supp}(f))$. 于是在 ${\mathbb{C}}^n\backslash \mathrm{supp}(f)$ 的任意无界连通分支里都有 $u=0$, 也就说明了紧支性.

$\square$

注 1.3.5. 注意, 高维情况的定理中结论多了下标 $0$, 也就是 $u$ 紧支, 而这对 $n=1$ 却不成立. 下面的问题可以进一步说明这一点, 留作习题.

习题. 设 $f\in C_0^1(\mathbb{C})$. 则 $\frac{\partial u}{\partial \bar{z}}=f$ 存在紧支的解 $u$ 当且仅当$${\int }_{\mathbb{C}}{\zeta }^{k}f(\zeta )\mathrm{d}\zeta \wedge \mathrm{d}\bar{\zeta }=0,\forall k\in \mathbb{N}.$$

$\bar{\partial }$-方程的应用

定理 1.3.4 可以导出一个重要的结论, 它与全纯函数的延拓有关.

定理 1.3.6 (Hartogs). 设 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n(n>1)$ 是开集, $K\subset \subset \Omega$ 满足 $\Omega \backslash K$ 是连通的. 则对任意 $f\in \mathcal{O}(\Omega \backslash K)$, 存在 $F\in \mathcal{O}(\Omega )$ 使得 $F{|}_{\Omega \backslash K}=f$. 也可以简单地记为$$\mathcal{O}(\Omega \backslash K)=\mathcal{O}(\Omega ){|}_{\Omega \backslash K}.$$

注 1.3.7. 实际上, 定理中的 $\Omega$ 必然是连通的.

证明. 选择一个测试函数 $\chi \in C_0^{\infty }(\Omega )$, 使得 $\chi \equiv 1$ 在 $K$ 的一个邻域内成立. 对任意 $f\in \mathcal{O}(\Omega \backslash K)$, 定义$$v_0=\{\begin{array}{l}(1-\chi )f,\mathrm{on}\Omega \backslash K\\ 0,\mathrm{on}K\end{array},$$以及$$v=\{\begin{array}{l}\bar{\partial }{v}_0,\mathrm{on}\Omega \\ 0,\mathrm{on}{\mathbb{C}}^n\backslash \Omega \end{array}.$$这样就有 $v_0\in C_0^{\infty }(\Omega )$, 且 $v\in C_{(0,1)}^{\infty }({\mathbb{C}}^n)$. $v$ 是 $\bar{\partial }$- 闭的, 且 $\mathrm{supp}(v)\subset \mathrm{supp}(f)\subset \Omega$. 根据定理 1.3.4, 存在 $u\in C_0^{\infty }({\mathbb{C}}^n)$, 使得 $\bar{\partial }u=v$ 在 ${\mathbb{C}}^n$ 成立. 于是$$u\in \mathcal{O}({\mathbb{C}}^n\backslash \mathrm{supp}(v))\subset \mathcal{O}({\mathbb{C}}^n\backslash \mathrm{supp}(\chi )),$$从而 $u=0$ 在 ${\mathbb{C}}^n\backslash \mathrm{supp}(\chi )$ 的任何无界连通分支上成立. 设 $U$ 是其中一个.

现在定义$$F=v_0-u\in C^{\infty }(\Omega ).$$因为 $\bar{\partial }F=\bar{\partial }{v}_0-v=0$ 在 $\Omega$ 中成立, 于是 $F\in \mathcal{O}(\Omega )$. 我们现在证明$$F{|}_{\Omega \backslash K}=f.$$实际上, 因为 $\partial U\subset \mathrm{supp}(\chi )\subset \Omega$, 有 $\varnothing \ne U\cap \Omega =U\cap (\Omega \backslash K)$, 以及$$F{|}_{U\cap (\Omega \backslash K)}=v_0{|}_{U\cap (\Omega \backslash K)}=f{|}_{U\cap (\Omega \backslash K)}.$$因为 $\Omega \backslash K$ 是连通的, 也就证明了 $F{|}_{\Omega \backslash K}=f$.

$\square$

注 1.3.8. 定义$$H_c^{0,1}({\mathbb{C}}^n)=(C_{c,(0,1)}^{\infty }({\mathbb{C}}^n)\cap \ker \bar{\partial })/\bar{\partial }(C_c^{\infty }({\mathbb{C}}^n)),$$则定理 1.3.4 说明 $H_c^{0,1}({\mathbb{C}}^n)=0,n>1$; 而定理 1.3.6 的证明实际上说明了: 如果 $H_c^{0,1}({\mathbb{C}}^n)=0$, 那么定理 1.3.6 的结论成立.(这里记号与之前不统一, 实际上原文就如此)

习题. 证明注 1.3.8 中最后一句的逆定理.