5.4. 分裂域与正规扩张

定义 5.4.1. $K$ 是域, ${P_{i} (X)}_{i \in I}$ 是 $K [X]$ 中一族多项式, $L ╱ K$ 是域扩张. 如果

1)	所有多项式 ${P_{i} (X)}_{i \in I}$ 在 $L$ 中分裂, 即对任意 $i \in I$ , 存在 $α_{i, j} \in L$ 以及 $a_{i} \in K$ , 使得 $P_{i} (X) = a_{i} (X - α_{i, 1}) (X - α_{i, 2}) \dots (X - α_{i, n_{i}}) .$
2)	$L = K ({α_{i, j}}_{i \in I, j ⩽ n_{i}})$ .

我们称 $L$ 是 $K$ 的 (由 ${P_{i} (X)}_{i \in I}$ 给出的) 一个分裂域.

注记 5.4.2. 分裂域 $L$ 是 $K$ 的代数扩张, 因为它是由 $K$ 添加代数元得到的.

注记 5.4.3. 在 $\overline{K}$ 中考虑, 只要 (只能) 把 ${P_{i} (X)}_{i \in I}$ 的根都添加到 $K$ 中就得到分裂域 $K ({α_{i, j}}_{i \in I, j ⩽ n_{i}})$ . 换而言之, $K$ 的 (一个) 分裂域就是把一些多项式的 (所有) 根添加到 $K$ 中.

命题 5.4.4 (分裂域的唯一性). $K$ 是域, ${P_{i} (X)}_{i \in I}$ 是 $K [X]$ 中一族多项式, $L$ 和 $L^{'}$ 均为 $K$ 的由 ${P_{i} (X)}_{i \in I}$ 定义的分裂域并且 $L^{'}$ 落在某个代数封闭域 $Ω$ 中. 那么, 对任意的 $φ \in Hom_{K} (L, Ω)$ , 都有 $φ (L) \subset L^{'}$ , 即 $φ \in Hom_{K} (L, L^{'})$ .

特别地, 分裂域在 $K$ -同构意义下唯一.

证明. 通过两种方式来计算 $P_{i}^{φ}$ , 其中 $i \in I$ , 请参考注记 5.2.11. 由于 $P_{i} (X)$ 是 $K$ -系数的多项式, 所以 $P_{i}^{φ} = P_{i}$ . 在代数封闭域 $Ω$ 中, $P_{i}$ 均分裂, 所以 $P (X) = P_{i}^{φ} (X) = a_{i} (X - φ (α_{i, 1})) (X - φ (α_{i, 2})) \dots (X - φ (α_{i, n_{i}})),$ 其中, $a_{i} \in K, α_{i, j} \in Ω$ .

根据上一注记, $L^{'} = K ({φ (α_{i, j})}_{i \in I, j ⩽ n_{i}})$ . 然而, $φ (L) = φ (K ({α_{i, j}}_{i \in I, j ⩽ n_{i}})) = K ({φ (α_{i, j})}_{i \in I, j ⩽ n_{i}}),$ 所以, $φ (L) \subset L^{'}$ , 即 $φ \in Hom_{K} (L, L^{'})$ .

现在证明分裂域在

K

-同构意义下的唯一性: 考虑

K

的两个 (关于同一族多项式的) 分裂域

L

和

L^{'}

. 先将

L^{'}

放到代数封闭域

Ω

(比如选

Ω = \overline{L^{'}}

) 中, 由于

L ╱ K

是代数扩张, 再根据命题 5.2.12 选

φ \in Hom_{K} (L, Ω)

. 应用以上结论就得到了域同态

φ : L \to L^{'}

; 类似地, 还可以构造域同态

ψ : L^{'} \to L

. 所以,

ψ \circ φ \in Hom_{K} (L, L)

. 根据引理 5.2.14,

ψ \circ φ

是同构, 所以

ψ

和

φ

均为

K

-同构. 从而,

L

与

L^{'}

同构.

$□$

注记 5.4.5. 分裂域的定义不要求多项式族 ${P_{i} (X)}_{i \in I}$ 的指标集是有限集. 若 $I$ 有限, 我们可以考虑 $P (X) = i \in I \prod P_{i} (X)$ , 则 $P$ 的分裂域与 ${P_{i} (X)}_{i \in I}$ 的分裂域相同. 特别地, 此时分裂 $L$ 是 $K$ 的有限扩张.

我们以下关于正规性的定义不需要有限性假设, 只要求 $L ╱ K$ 是代数扩张.

定理 5.4.6 (正规性的定义). 给定代数扩张 $L ╱ K$ , 下面四个叙述等价:

1)	$L$ 是 $K [X]$ 中一族多项式 ${P_{i} (X)}_{i \in I}$ 的分裂域;
2)	对任意域扩张 $Ω ╱ L$ , 其中 $Ω$ 是代数封闭域, 对任意 $φ \in Hom_{K} (L, Ω)$ , 均有 $φ (L) \subset L$ ;
3)	存在某个域扩张 $Ω ╱ L$ , 其中 $Ω$ 是代数封闭域, 使得对任意 $φ \in Hom_{K} (L, Ω)$ , 均有 $φ (L) \subset L$ ;
4)	对任意不可约多项式 $P (X) \in K [X]$ , 若 $P (X)$ 在 $L$ 中有根, 则 $P (X)$ 在 $L [X]$ 中分裂.

满足以上条件的代数扩张 $L ╱ K$ 被称为正规扩张. ¹

注记 5.4.7. 在流行的教科书中, 人们通常采取 4) 作为正规扩张的定义并证明 1) 与之等价.

证明. 2) $\Rightarrow$ 3) 显然; 命题 5.4.4 给出 1) $\Rightarrow$ 2).

证明 2) $\Rightarrow$ 4). 给定 $α \in L$ 为 $P$ 的根, 考虑 $P$ 的另外一个根 $β \in Ω = \overline{K} \supset L$ , 只要证明 $β \in L$ 即可. 由于 (在 $\overline{K}$ 中) $K (α) ≃ K [X] ╱ (P (X)) ≃ K (β),$ 我们可以选取 $φ : K (α) \to K (β)$ . 由于 $L$ 是 $K$ 的代数扩张, 利用命题 5.2.12, 可以把 $φ$ 延拓成 $\overline{φ} : L \to Ω$ , 即根据 2), $\overline{φ} (L) \subset L$ , 从而 $K (β) = φ (K (α)) = \overline{φ} (K (α)) \subset L .$ 特别地, $β = φ (α) \in L$ .

证明 4) $\Rightarrow$ 1). 考虑多项式族: ${P_{i}}_{i \in I} = {P_{x} (X) 是 x 的极小多项式 ∣ ∣ x \in L} .$ 我们注意到每个 $P_{i}$ 均为不可约多项式. 根据 4), $P_{i}$ 在 $L$ 中为一次多项式的乘积. 很明显, $L$ 由 $K$ 添加了所有 $P_{i}$ 的所有根 (都落在 $L$ 中) 生成, 从而 $L$ 是 $K$ 的分裂域.

最后证明 3)

\Rightarrow

2) (相对困难) .

Ω

已经由 3) 给定. 我们考虑另一个代数封闭的

Ω^{'}

以及

φ^{'} \in Hom_{K} (L, Ω^{'})

, 即下图我们选取

Ω_{a}^{'}

为

Ω^{'}

中的那些在

K

上的代数的元所构成的子域. 根据引理 5.2.7,

Ω_{a}^{'}

同构于

K

的代数闭包

\overline{K}

, 它也是

L

的代数闭包 (因为

L

在

K

上是代数的) . 类似地, 我们构造

Ω_{a}

为

Ω

中在

K

上的代数元所构成的子域, 它也同构于

K

的代数闭包

\overline{K}

. 根据命题 5.2.12, 我们可以对

φ^{'} : L \to Ω^{'}

进行延拓: 注意

\overline{φ^{'}}

是

L

-同态. 根据代数闭包的唯一性以及

\overline{φ^{'}}

把

K

-系数多项式的根映射为

K

-系数多项式的根, 我们实际上还有如下的图表: 以上

\overline{φ^{'}}

是代数封闭域之间的

L

-同构. 从而,

\overline{φ^{'}}^{- 1} \circ φ^{'} : L \to Ω

. 根据 3),

\overline{φ^{'}}^{- 1} \circ φ^{'} : L \to L

, 所以,

φ^{'} : L \to L

.

$□$

注记 5.4.8. 以上最后一个交换图表明 $φ (L) \subset Ω_{a}^{'}$ . 所以, 我们不妨假设 $Ω$ 和 $Ω^{'}$ 均为 $\overline{K}$ (差一个同构的意义下) . 此时, 命题明显成立.

例子 5.4.9. $L ╱ K$ 是域扩张并且 $[L : K] = 2$ , 那么, $L ╱ K$ 是正规扩张.

不妨假设 $L \subset \overline{K}$ . 对任意的 $α \in L - K$ , 其极小多项式 $P (X)$ 为二次多项式, 即 $P (X) = X^{2} + a X + b$ , 其中, $a, b \in K$ . 那么, $P (X) = (X - α) (X + a + α)$ . 从而, $L = K (α) = K (α, a + α)$ 是 $P$ 的分裂域.

命题 5.4.10. $L ╱ K$ 是正规扩张, 那么对任意的中间域 $M$ , $L ╱ M$ 也是正规扩张.

证明. 可用 1) 来证明: $L$ 是一族 $K$ -系数多项式 ${P_{i} (X)}_{i \in I}$ 的分裂域, 自然是一族 $M$ -系数多项式 ${P_{i} (X)}_{i \in I}$ 的分裂域.

也可用 4) 来证明: 假设 $P (X)$ 是 $M [X]$ 中的不可约多项式并且对于 $α \in L$ , $P (α) = 0$ . 考虑 $α$ 在 $K$ 上的极小多项式 $Q (X)$ : 在 $M [X]$ 中, $P ∣ Q$ (因为 $Q (α) = 0$ 而 $Q$ 只是在 $K [X]$ 中不可约) . 由于 $L ╱ K$ 是正规扩张并且 $Q (α) = 0$ , 所以 $Q$ 在 $L$ 中分裂, 即 $Q$ 的所有根都在 $L$ 中. 那么, $P$ 的所有根也都在 $L$ 中, 即 $P$ 在 $L$ 中也分裂.

还可用 2) 来证明: 对任意域扩张

Ω ╱ L

, 其中

Ω

是代数封闭的, 对任意

φ \in Hom_{M} (L, Ω)

, 只要证明

φ (L) \subset L

即可. 这是显然的, 因为

φ

可被视作

Hom_{K} (L, Ω)

中的映射.

$□$

注记 5.4.11. $M ╱ K$ 未必是正规的. 考虑其中, $Q (42, i) ╱ Q$ 是正规的而 $Q (42) ╱ Q$ 不是正规的: $42$ 是不可约多项式 $X^{4} - 2$ 的根, 但是根 $42 i \in / R \supset Q (42)$ .

注记 5.4.12. 如果 $L ╱ M$ 和 $M ╱ K$ 是正规的, $L ╱ K$ 未必是正规扩张. 我们可以考虑

例子 5.4.13. 令 $K = Q (2 i, 42 (1 - i))$ , 以下每个扩张的次数均为 $2$ : 所以, $[K : Q] = 4$ . 现在来说明 $K ╱ Q$ 不是正规扩张.

注意到 $α = 42 (1 - i)$ 是多项式 $X^{4} + 8$ 的根, 其中, $X^{4} + 8$ 在 $Q [X]$ 中不可约 ², 令 $L$ 为 $X^{4} + 8$ 的分裂域, 即添加 $Q$ 上添加 $X^{4} + 8$ 的所有根得到的域, 这是 $K$ 的扩张 (可能相同) . 由于 $X^{4} + 8$ 是实系数的多项式, $\overline{α}$ 也是它的根, 所以 $\overline{α} \in L$ . 特别地, $42 = \frac{1}{2} (α + \overline{α}) \in L .$ 据此, $i \in L$ . 从而, $L = Q (42, i)$ . 通过考虑可以看出 $[L : Q] = 8$ . 特别地, $K \neq = L$ , 从而 $K ╱ Q$ 不正规.

$L$ 是域, $K_{1}, K_{2}$ 为其子域, 我们记 $K_{1} \cdot K_{2} := K_{1} (K_{2}) = K_{2} (K_{1})$ 并称之为 $K_{1}$ 和 $K_{2}$ (在 $L$ 中) 的复合域.

命题 5.4.14. 给定域扩张 $E ╱ K$ , $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 是中间域. 若 $L_{1} ╱ K$ 和 $L_{2} ╱ K$ 是正规扩张, 则 $L_{1} \cdot L_{2} ╱ K$ 也正规.

证明. 利用正规扩张定义的 1) 来证明: $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 分别是 $K$ 添加了所有 ${P_{i}}_{i \in I}$ 的根和所有 ${Q_{j}}_{j \in J}$ 的根所得的分裂域, 从而 $L_{1} \cdot L_{2}$ 是 $K$ 添加了所有 ${P_{i}, Q_{j}}_{i \in I, j \in J}$ 的根所得到的分裂域.

还可利用 2) 来证明: 对任意的域扩张

Ω ╱ L_{1} \cdot L_{2}

, 其中

Ω

是代数封闭的, 对任意的

φ \in Hom_{K} (L_{1} \cdot L_{2}, Ω)

, 通过到

L_{1}

的限制, 我们可将

φ

视为

φ : L_{1} \to Ω.

从而, 由于

L_{1} ╱ K

正规, 所以

φ : L_{1} \to L_{1} \subset L_{1} \cdot L_{2}

. 类似地,

φ : L_{2} \to L_{2} \subset L_{1} \cdot L_{2}

. 所以,

φ : L_{1} \cdot L_{2} \to L_{1} \cdot L_{2}

.

$□$

注记 5.4.15. 给定代数扩张 $L ╱ K$ 以及其一族中间域 ${M_{i}}_{i \in I}$ . 如果对每个 $i \in I$ , $M_{i} ╱ K$ 均为正规扩张, 则它们的交 $i \in I ⋂ M_{i}$ 也是 $K$ 的正规扩张.

实际上, 根据正规扩张的定义 4), 以上性质是显然的. 据此, 我们可以定义正规闭包.

定理 5.4.16. $L ╱ K$ 是代数扩张, $Ω$ 是代数封闭域并且 $Ω \supset L$ . 那么, 在 $Ω$ 中存在最小的 ³、包含 $L$ 的、 $K$ 的正规扩张 $N$ . 另外, 如果 $Ω^{'}$ 是另一个代数封闭域并且 $Ω^{'} \supset L$ , $N^{'}$ 类似地构造, 那么有 $K$ -同构 $N ≃ N^{'}$ .

在同构的意义下, 我们称 $N$ 为 $L ╱ K$ 的正规闭包.

证明. 根据上面的注记, 我们选取

N

为

Ω

中包含

L

的、所有

K

的 (代数的) 正规扩张之交, 它自然在包含关系下最小. 以下只证明唯一性: 令

Ω_{a}

为

L

(或

K

) 在

Ω

中的代数闭包. 通过

L \subset Ω^{'}

以及有关代数扩张同态延拓的命题 5.2.12, 我们固定一个

φ : Ω_{a} \to Ω^{'}

, 使得上图交换. 域扩张

φ (N) ╱ K

是正规的, 所以

φ (N) \supset N^{'}

(根据

N^{'}

的最小性) . 考虑

φ^{- 1} (N^{'}) \subset N

, 如果

P (X) \in K [X]

在

φ^{- 1} (N^{'})

中有根

α

, 那么,

φ (α) \in N^{'}

是

P

的根, 从而,

P

所有的根都在

N^{'}

中. 据此,

φ^{- 1} (N^{'})

也包含了

P

的所有根, 从而

φ^{- 1} (N^{'}) ╱ K

是正规扩张. 所以,

φ^{- 1} (N^{'}) \supset N

. 以上表明

N ≃_{K} N^{'}

$□$

注记 5.4.17. 由于 $L ╱ K$ 是代数的, 所以 $L$ 是 $K$ 添加上 $K$ -系数多项式 ${P_{i}}_{i \in I}$ 的某些根得到的. 为了得到正规闭包 $N$ , 我们需要把 ${P_{i}}_{i \in I}$ 的所有根都添加到 $K$ 中即可.

比如说, $Q (42) ╱ Q$ 不是正规的, 通过添加 $X^{4} - 2$ 的根 $\pm i 42$ , 我们得到它的正规闭包 $N = Q (\pm 42, \pm i 42) = Q (42, i) .$

1.	^ 我们默认正规扩张是代数扩张.
2.	^ 通过待定系数法直接计算即可证明
3.	^ 在包含关系下

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