4.2. 关于理想的一些操作

$A$ 是环, $I_1,\cdots ,I_n$ 是 $A$ 的理想, 定义$$\begin{array}{rl}& I_1+\cdots +I_n=\{x_1+x_2+\cdots +x_n|x_1\in I_1,\cdots ,x_n\in I_n\},\\ & I_1\cdot I_2\cdots \cdot I_n=\{\text{有限个形如 x1x2⋯xn 的元素之和，其中 }{x}_1\in I_1,\cdots ,x_n\in I_n\}.\end{array}$$很明显, 这两个集合是 $A$ 的理想并且 $I_1\cdot I_2\cdots \cdot I_n\subset I_1+\cdots +I_n$. 当 $n=2$ 时, $I_1+I_2$ 中的元素形如 $x+y$, 其中 $x\in I_1,y\in I_2$; $I_1\cdot I_2$ 中的元素形如 ${\sum }_{i=1}^m{x}_i{y}_i$, 其中, $x_i\in I_1$, $y_i\in I_2$.

我们注意到如果 $\{I_i{\}}_{i\in \Lambda }$ 是理想的集合, 那么, ${\bigcap }_{i\in \Lambda }{I}_i$ 也是理想. 给定 $A$ 的非空子集 $S\subset A$, 包含 $S$ 的所有理想之交是包含 $S$ 的最小理想 (在包含关系下) , 我们把它记作 $(S)$ 并称之为由 $\mathbf{S}$ 所生成的理想. 很明显, $(S)$ 中的元素均形如$$\sum _{\text{有限和}}a\cdot s,\text{其中}s\in S,a\in A.$$若理想 $I$ 由有限集 $\{a_1,\cdots ,a_k\}$ 生成, 则称 $I$ 是有限生成的并记作 $I=(a_1,\cdots ,a_k)$.

若 $I$ 由一个元素 $a$ 生成, 则称 $I$ 是主理想并记作 $I=(a)$.

注记 4.2.1. 假设 $I_1=(a_1,\cdots ,a_n),I_2=(b_1\cdots ,b_m)$, 那么, $$I_1+I_2=(a_1,\cdots ,a_n,b_1,\cdots ,b_m),I_1\cdot I_2=(a_i{b}_j,1⩽i⩽n,1⩽j⩽m).$$

定义 4.2.2. $A$ 是整环, 若其理想均为主理想, 则称 $A$ 是主理想整环.

例子 4.2.3. $\mathbb{Z}$ 是主理想整环.

对任意的理想 $I\subset \mathbb{Z}$, 不妨设 $I\ne (0)$. 令 $d=\min I\cap {\mathbb{Z}}_{>0}$, 则 $I=(d)$. 实际上, 对任意 $a\in I$, 根据带余除法, 存在唯一的 $b\in \mathbb{Z}$ 和 $r\in [0,d)$, 使得 $a=bd+r$. 我们注意到 $r=a-bd\in I$ 而 $d=\min I\cap {\mathbb{Z}}_{>0}$, 从而 $r=0$, 即 $a=bd$, 所以, $a\in (d)$. 根据 $a$ 选取的任意性, $I\subset (a)$, 所以 $I=(a)$.

例子 4.2.4. $K$ 是域, 则多项式环 $K[X]$ 是主理想整环.

对任意的非零理想 $I\subset K[X]$, 令 $P(X)$ 为 $I$ 中次数最小的多项式. 我们证明 $I=(P(X))$. 实际上, 对任意 $Q(X)\in I$, 根据带余除法, 存在唯一 $A(X),R(X)\in K[X]$, 使得 $Q(X)=A(X)P(X)+R(X)$ 并且 $\mathrm{deg}(R)<\mathrm{deg}(P)$ 或 $R(X)=0$. 根据 $P$ 的次数最小性, 从而 $R=0$, 即 $Q(X)=A(X)P(X)$, 所以 $Q(X)\in (P)$. 根据 $Q$ 选取的任意性, $I\subset (P(X))$, 所以 $I=(P(X))$.

定义 4.2.5. $A$ 是环, $\mathfrak{m}\subset A$ 是理想并且 $\mathfrak{m}\ne A$. 若 $\mathfrak{m}$ 在包含关系下是最大的, 即对任意理想 $I$, $\mathfrak{m}\subset I\subset A$ 意味着 $I=\mathfrak{m}$ 或 $I=A$ 成立, 则称 $\mathfrak{m}$ 是极大理想.

注记 4.2.6. 极大理想是素理想.

实际上, 对任意 $x\notin \mathfrak{m}$, 根据极大性, $(\mathfrak{m},x)=A$. 由于 $(\mathfrak{m},x)$ 中的元素均形如 $ax+m$, 其中 $m\in \mathfrak{m},a\in A$, 从而存在 $m\in \mathfrak{m},a\in A$, 使得 $ax+m=1$. 类似地, 对任意 $y\notin \mathfrak{m}$, 存在 $m^{\prime }\in \mathfrak{m},a^{\prime }\in A$, 使得 $a^{\prime }y+m^{\prime }=1$. 据此, 我们有$$a{a}^{\prime }xy=(1-m)(1-m^{\prime })=1\mathrm{mod}\mathfrak{m}.$$所以, $xy\notin \mathfrak{m}$ (否则 $1\in \mathfrak{m}$) . 这就证明了 $\mathfrak{m}$ 是素理想.

命题 4.2.7. $A$ 是环, $I$ 是理想并且 $I\ne A$, 则存在极大理想 $\mathfrak{m}$, 使得 $\mathfrak{m}\ne A$ 并且 $\mathfrak{m}\supset I$.

证明. 考虑偏序集 $\mathcal{J}=\{J\supset I,\text{J 是理想}，J\ne A\}$, 其中, 偏序由包含关系定义, 即 $J_1⪯J_2$ 指的是 $J_1\subset J_2$. 此时, 对任意的全序子集 $S\subset \mathcal{J}$, 令$$J_{\ast }=\bigcup _{J\in S}J.$$现在证明 $J_{\ast }$ 是理想: 对任意的 $x,y\in J_{\ast }$, 存在 $J_1\in S$, $J_2\in S$, 使得 $x\in J_1$, $y\in J_2$. 由于 $S$ 是全序子集, 不妨假设 $J_1\supset J_2$, 从而 $x,y\in J_1$. 此时, $x\pm y\in J_1\subset J_{\ast }$. 这表明 $J_{\ast }$ 是 $A$ 的加法子群. 另外, 对任意的 $a\in A$, $ax\in J_1\subset J_{\ast }$, 所以, $J_{\ast }$ 是理想.

由于对任意的 $J\in S$, $1\notin J$, 所以, $1\notin J_{\ast }$, 从而, $J_{\ast }\ne A$. 所以, $J_{\ast }\in \mathcal{J}$. 根据定义, $J_{\ast }$ 是 $S$ 的上界. 根据 Zorn 引理, $S$ 有极大元 $\mathfrak{m}$, 这是极大理想.

$\square$

注记 4.2.8 (利用极大理想构造域). $A$ 是交换环, 那么理想 $\mathfrak{m}$ 是极大理想当且仅当 $A$ 是域.

若 $\mathfrak{m}$ 是极大理想, 则对任意非零 $x+\mathfrak{m}\in A$, 有 $x\notin \mathfrak{m}$. 根据极大性, $(\mathfrak{m},x)=A$, 从而存在 $m\in \mathfrak{m},y\in A$, 使得 $xy+m=1$. 这表明 $y+\mathfrak{m}$ 是 $x+\mathfrak{m}$ 在 $A$ 中的乘法逆.

反之, 假设 $\mathfrak{m}\subset I\subset A$, 不难看出 $I\subset A$ 是理想. 由于 $A$ 是域, 则 $I=0$ 或者 $A$, 从而, $I=\mathfrak{m}$ 或者 $A$.

例子 4.2.9. $p$ 是素数, 由于 $\mathbb{Z}$ 是域, 所以 $(p)=p\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{Z}$ 的极大理想 (也可直接证明) . 然而, $(0)\subset \mathbb{Z}$ 是素理想但不是极大理想.

我们以下来证明中国剩余定理. $A$ 是交换环, $I_1,\cdots ,I_n\subset A$ 是理想, 我们有自然的环同态: $$\pi :A\to A\times A\times \cdots \times A,x\mapsto ({\pi }_1(x),{\pi }_2(x),\cdots ,{\pi }_n(x)).$$其中, ${\pi }_i:A\to A$ 是商映射. 显而易见, $\mathrm{Ker}(\pi )={\bigcap }_{i=1}^n{I}_i$.

给定理想 $I,J\subset A$, 若 $I+J=A$, 就称 $I$ 与 $J$ 互素. 换而言之, $I$ 与 $J$ 互素当且仅当 $1\in I+J$. 这个概念是从整数环中类比而来的: $m,n\in \mathbb{Z}$ 是互素的, 根据 Bézout 定理, 存在 $a,b\in \mathbb{Z}$, 使得 $am+bn=1$, 从而, 理想 $(m)$ 与 $(n)$ 互素.

引理 4.2.10 (中国剩余定理). $A$ 是交换环, $n⩾2$, $I_1,\cdots ,I_n\subset A$ 是理想并且两两互素. 那么, $\bigcap _{i=1}^n{I}_i=\prod _{i=1}^n{I}_i$. 进一步, $\pi :A\to A\times \cdots \times A$ 是满射, 从而有环同构$$A\stackrel{\simeq }{⟶}A\stackrel{\simeq }{⟶}A\times A\times \cdots \times A.$$

证明. 对 $n$ 进行归纳. $n=1$ 是显然的. 当 $n=2$ 时候, 由于 $I_1\cdot I_2\subset I_1\cap I_2$, 只要证明反向的包含关系: 对任意 $x\in I_1\cap I_2$, 证明 $x\in I_1\cdot I_2$. 根据 $I_1+I_2=A$, 存在 $a_1\in I_1,a_2\in I_2$, 使得 $a_1+a_2=1$. 据此, $$x=1\cdot x=\underset{\in I_1}{\underbrace{a_1}}\cdot \underset{\in I_2}{\underbrace{x}}+\underset{\in I_2}{\underbrace{a_2}}\cdot \underset{\in I_1}{\underbrace{x}}\in I_1\cdot I_2.$$先证明 $\pi$ 是满射: 对任意的 $x_1+I_1\in A,x_2+I_2\in A$, 构造 $x\in A$, 使得 $x-x_1\in I_1,x-x_2\in I_2$. 实际上, 以上的 $a_1+a_2=1$ 给出了$$\pi (a_1)=(0,1),\pi (a_2)=(1,0).$$从而, 将 $a_1+a_2=1$ 视作是单位分解, 我们有 $x=a_1{x}_1+a_2{x}_2$ 满足 $x-x_1\in I_1,x-x_2\in I_2$.

假设命题对 $n-1$ 成立, 其中, $n⩾3$. 我们先证明 $I_1$ 与 $I_2\cdot I_3\cdots I_n$ 互素, 即 $I_1+I_2\cdot I_3\cdots I_n=A$. 对每个 $k⩾2$, 根据 $I_1+I_k=A$, 存在 $a_k\in I_1,b_k\in I_k$, $a_k+b_k=1$. 所以, $$1=(a_2+b_2)\cdots (a_k+b_k)=a+\underset{\in I_2\cdot I_3\cdots I_n}{\underbrace{b_2\cdots b_n}},$$其中, $a$ 是含有某个 $a_i$ 的单项式之和, 从而 $a\in I_1$. 据此, $1\in I_1+I_2\cdot I_3\cdots I_n$. 根据 $n=2$ 的情形以及归纳假设, 我们就有$$I_1\cdot (I_2\cdot I_3\cdots I_n)=I_1\cap \left(\bigcap _{i=2}^n{I}_i\right)=\bigcap _{i=1}^n{I}_i.$$另外, 根据 $n=2$ 的情形以及归纳假设, 我们有满射$$A\stackrel{\simeq }{⟶}A\times A\stackrel{\simeq }{⟶}A\times \left(A\times \cdots \times A\right).$$命题得证.

$\square$

推论 4.2.11 (中国剩余定理). 若 $n_1,\cdots ,n_k$ 为两两互素的正整数, $n=n_1\cdots n_k$, 则有环同构$$\mathbb{Z}\stackrel{\simeq }{⟶}\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\times \cdots \times \mathbb{Z},x\mathrm{mod}n\mapsto (x\mathrm{mod}{n}_1,\cdots ,x\mathrm{mod}{n}_k).$$