4.1. 环论的一些基本概念

环论的一些基本概念

回顾环 $(A,\cdot ,+)$ 的定义, 请参考 2.4 一节: $(A,+,0)$ 是交换群; $(A,\cdot ,1)$ 的乘法有结合律, $1$ 是乘法单位元; 乘法与加法通过分配律相容: 对任意的 $a_1,a_2,a_3\in A$, 有$$(a_1+a_2)\cdot a_3=a_1\cdot a_2+a_1\cdot a_3,a_3\cdot (a_1+a_2)=a_3\cdot a_1+a_3\cdot a_2.$$另外, 环中的乘法可以不是交换的: 如果对任意的 $a,b\in A$, $a\cdot b=b\cdot a$, $A$ 被称作是交换环.

$B$ 是 $A$ 的子环, 指的是 $B<A$ 为加法子群、$1\in B$ 并且 $B$ 对乘法封闭.

具有逆元的 $a\in A$ 被称为可逆的, 即存在 $b\in A$, 使得 $a\cdot b=b\cdot a=1$. 用 $A^{\times }$ 表示 $A$ 中可逆元之集. 很明显, $(A^{\times },\cdot )$ 是群. 另外, 若 $A^{\times }=A-\{0\}$, 即非零元均可逆, 则称 $A$ 是可除环. 按定义, 交换可除环被称为域.

如果环 $A_1$ 和 $A_2$ 间的映射 $\phi :A_1\to A_2$ 保持加法和乘法并且 $\phi (1)=1$, 就称 $\phi$ 是环同态. 我们用 $\mathbf{Hom}(A_1,A_2)$ 表示从 $A_1$ 到 $A_2$ 的换同态的集合. 同态 $\phi \in \mathrm{Hom}(A_1,A_2)$ 的核定义为: $$\mathrm{Ker}(\phi )=\{a\in A_1|\phi (a)=0\}.$$由于 $1\notin \mathrm{Ker}(\phi )$, $\mathrm{Ker}(\phi )$ 不是子环.

定义 4.1.1. $A$ 是环, $I\subset A$ 是 $A$ 的加法子群. 若对任意 $a\in A$ 和 $x\in I$, 均有 $a\cdot x\in I$, 则称 $I$ 是 $A$ 的左理想; 若对任意 $a\in A$ 和 $x\in I$, 均有 $x\cdot a\in I$, 则称 $I$ 是 $A$ 的右理想. 若 $I$ 即是左理想又是右理想, 则称 $I$ 是双边理想 (简称为理想) .

注记 4.1.2. 特别地, $I\ne A$. 另外, 若 $A$ 是交换环, 则其左理想或者右理想均为双边理想, 此时, 我们不再区分左右.

例子 4.1.3. 对任意环同态 $\phi :A_1\to A_2$, $\mathrm{Ker}(\phi )$ 是 $A_1$ 的 (双边) 理想.

实际上, 对任意的 $a\in A_1$ 和 $x\in \mathrm{Ker}(\phi )$, 有$$\phi (a\cdot x)=\phi (a)\phi (x)=0,\phi (x\cdot a)=\phi (x)\phi (a)=0.$$

例子 4.1.4. 给定环 $A$ 中的元素 $a$, 令 $(a)=A\cdot a=\{a^{\prime }\cdot a|a^{\prime }\in A\}$, 这是 $A$ 的左理想.

例子 4.1.5. $A$ 是交换环, 则 $A$ 是域等价于 $A$ 只有 $0$ 这一个理想.

事实上, 如果 $A$ 不是域, 存在 $a\ne 0$, 使得 $a$ 没有逆, 从而, $(a)\subset A$ 是理想. 这与 $A$ 只有 $0$ 这一个理想矛盾.

注记 4.1.6. 给定环 $A$ 的 (双边) 理想 $I$, 我们可构造商环 $A$.

首先, 取 $A$ 为 $A$ 的加法群的商群, 其中, 理想 $I$ 被视作是 $A$ 的正规子群. 按定义, 这是如下左陪集的集合: $$A=\{a+I|a\in A\}.$$其中, $a+I=a^{\prime }+I$ 当且仅当 $a-a^{\prime }\in I$. 根据商群的定义, $A$ 的加法定义为$$(a+I)+(b+I):=(a+b)+I.$$其中, $I=0+I$ 是加法零元.

我们再定义 $A$ 上的乘法: $$(a+I)\cdot (b+I):=ab+I.$$对于 $a+I=a^{\prime }+I$, 由于 $ab-a^{\prime }b=(a-a^{\prime })b\in I$ (利用 $I$ 是左理想) , 从而 $ab+I=a^{\prime }b+I$. 这表明 $A$ 上乘法的定义不依赖于 $a+I$ 中代表元的选取; 类似的, 利用 $I$ 是右理想, 上述乘法也不依赖于 $b+I$ 中代表元的选取. 很明显, $1+I$ 是乘法单位元.

上述定义的加法和乘法也满足结合律, 从而给出了 $A$ 上的环结构. 我们把 $A$ 称作是 $A$ 对 $I$ 的商环. 商映射$$\pi :A⟶A,a\mapsto a+I,$$是满的环同态. 实际上, 对任意 $a,b\in A$, 有$$\begin{array}{rl}\pi (a+b)& =a+b+I=(a+I)+(b+I)=\pi (a)+\pi (b),\\ \pi (ab)& =ab+I=(a+I)(b+I)=\pi (a)\pi (b).\end{array}$$另外, 上述等式表明, 在集合 $A$ 商存在唯一的环结构, 使得 $\pi$ 为环同态.

我们已熟知命题 2.5.10 是构造群之间同态的重要工具. 类似的, 我们有如下命题:

命题 4.1.7. $A$ 和 $B$ 是环, $I\subset A$ 是理想, $\phi :A\to B$ 是环同态. 若 $I\subset \mathrm{Ker}(\phi )$, 则存在唯一的环同态 $\overline{\phi }:A\to B$, 使得 $\overline{\phi }\circ \pi =\phi$, 其中, $\pi :A\to A$ 是自然的同态. 进一步, 映射 $\overline{\phi }:A\stackrel{\simeq }{⟶}\mathrm{Im}(\phi )$ 是环同构.

证明. 对 $a+I\in A$, 我们定义 $\overline{\phi }(a+I)=\phi (a)$. 根据命题 2.5.10, 只要证明 $\overline{\phi }$ 是环同态, 这只是例行公事般的验证.

$\square$

例子 4.1.8. $A$ 和 $B$ 是环, $A\times B$ 也是 ¹, 则 $I=A\times 0=\{(a,0)|a\in A\}$ 是 $A\times B$ 的理想. 此时, $A\times B\simeq B$.

约定. 自此, 除部分习题, 总假定 $A$ 是交换环.

例子 4.1.9 (素理想与整环的定义).

$A$ 是环, 对 $a\in A$, 若存在 $b\in A$, 使得 $a\cdot b=0$ 或者 $b\cdot a=0$, 则称 $a$ 是一个零因子. 如果环 $A$ 是交换环并且除 $0$ 外无其它零因子, 则称 $A$ 是整环.

注意, 按定义整环 $A$ 总是交换的. 换而言之, $A$ 是整环, 则 $a\cdot b=0$ 意味着 $a=0$ 或 $b=0$ (至少之一成立) . 根据定义, 域是整环.

$A$ 是环, $\mathfrak{p}\subset A$ 是理想并且 $\mathfrak{p}\ne A$. 若对任意的 $a,b\in A$, $a\cdot b\in \mathfrak{p}$ 意味着 $a\in \mathfrak{p}$ 或 $b\in \mathfrak{p}$, 则称 $\mathfrak{p}$ 是素理想.

$\mathfrak{p}$ 是素理想的一个等价定义是 $a\notin \mathfrak{p}$, $b\notin \mathfrak{p}$, 则 $a\cdot b\notin \mathfrak{p}$.

我们考虑整数环 $\mathbb{Z}$ 的素理想. 假设 $p$ 是素数, 令 $(p)=\{pn|n\in \mathbb{Z}\}$, 则 $(p)$ 是理想. 若 $a,b\notin (p)$, 即 $p\nmid a,p\nmid b$, 从而 $p\nmid ab$, 即 $ab\notin (p)$. 这表明 $(p)$ 是素理想. 另外, 若 $n=n_1\cdot n_2$ 是合数, 其中 $n_1,n_2⩾2$, 令 $(n)=\{kn|k\in \mathbb{Z}\}$, 那么, $n_1\notin (n),n_2\notin (n)$, 但是 $n_1\cdot n_2\notin (n)$, 这表明 $(n)$ 不是素理想. 根据之后关于 $\mathbb{Z}$ 是主理想整环的性质, $\mathbb{Z}$ 中的素理想均形如 $(p)$, 其中, $p$ 是素数.

注记 4.1.10. $A$ 是交换环, $(0):=\{0\}$. 那么, $A$ 是整环等价于 $(0)$ 是素理想.

我们可以用商环来刻画素理想:

引理 4.1.11. $A$ 是交换环, 理想 $\mathfrak{p}$ 是素理想当且仅当 $A$ 是整环.

证明. 若 $\mathfrak{p}$ 是素理想, 则对任意 $a+\mathfrak{p},b+\mathfrak{p}\in A$ 并满足 $(a+\mathfrak{p})(b+\mathfrak{p})=\mathfrak{p}$, 要证明 $a+\mathfrak{p}=0$ 或 $b+\mathfrak{p}=0$, 即 $a\in \mathfrak{p}$ 或 $b\in \mathfrak{p}$. 按定义, $(a+\mathfrak{p})(b+\mathfrak{p})=ab+\mathfrak{p}=\mathfrak{p}$, 从而, $ab\in \mathfrak{p}$, 根据 $\mathfrak{p}$ 是素理想, $a\in \mathfrak{p}$ 或 $b\in \mathfrak{p}$.

若 $A$ 是整环, 那么 $a\cdot b\in \mathfrak{p}$ 等价于说 $A$ 中 $(a+\mathfrak{p})(b+\mathfrak{p})=0$, 所以可不妨设 $a+\mathfrak{p}=0$, 即 $a\in \mathfrak{p}$. 这表明 $\mathfrak{p}$ 是素理想.

$\square$

例子 4.1.12. $\mathbb{Z}$ 是整环, 这是因为 $(p)=p\mathbb{Z}$ 是素理想. 当然, 我们知道 $\mathbb{Z}$ 实际上是域. 请参考如下注解:

注记 4.1.13. $A$ 是只有有限个元素的整环, 则 $A$ 是域.

实际上, 对任意的 $a\in A$, 考虑映射$$\phi :A\to A,x\mapsto a\cdot x.$$由于 $A$ 是整环, 所以 $\phi$ 是单射. 又因为 $A$ 的元素个数限, 从而 $\phi$ 是满射. 特别地, 存在 $b\in A$, 使得 $\phi (b)=1$, 即 $a\cdot b=1$. 这表明 $a^{-1}$ 是存在的.

例子 4.1.14 (分式域的构造). $A$ 是整环. 我们在集合 $A\times (A-\{0\})$ 上定义等价关系: $$(a,b)\sim (c,d)\iff ad=bc.$$不难验证, 以上 $\sim$ 的确是等价关系. 用 $\frac{a}{b}$ 表示 $(a,b)$ 在 $\mathrm{Frac}(A)=A\times (A-\{0\})$ 中对应的等价类. 特别地, 对任意的 $\lambda \in A-\{0\}$, 自然有 $\frac{\lambda a}{\lambda b}=\frac{a}{b}$.

我们在 $\mathrm{Frac}(A)$ 定义加法和乘法: $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd},\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}.$$不难验证, 以上定义不依赖于代表元 $a,b$ 的选取, 即若 $(a,b)\sim (a^{\prime },b^{\prime }),(c,d)\sim (c^{\prime },d,)$, 我们有$$\frac{a^{\prime }{d}^{\prime }+b^{\prime }{c}^{\prime }}{b^{\prime }{d}^{\prime }}=\frac{ad+bc}{bd},\frac{a^{\prime }{d}^{\prime }}{b^{\prime }{d}^{\prime }}=\frac{ad}{bd}.$$我们规定 $\frac{1}{1}$ 是乘法单位元, $\frac{0}{1}$ 是加法单位元, 那么, $\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=\frac{1}{1}$. 特别地, 在以上运算下 $\mathrm{Frac}(A)$ 是域. 我们把 $\mathrm{Frac}(A)$ 称作 $A$ 的分式域.

1.	^ 参考 2.7.1