3.4. 群的半直积

3.4.1基本定义

$G$ 是群, $K<G$ 是子群, $N⊲G$ 是正规子群. 通过共轭, $K$ 自然地作用在 $N$ 上: $$\mathrm{Int}:K\to {\mathfrak{S}}_N,k\mapsto \mathrm{Int}(k):n\mapsto gn{g}^{-1}.$$

我们断言 $N\cdot K=\{n\cdot k|n\in N,k\in K\}$ 是子群: 对任意 $n,n^{\prime }\in N,k,k^{\prime }\in K$, 有$$(nk)\cdot (n^{\prime }{k}^{\prime })=(n\cdot k{n}^{\prime }{k}^{-1})\cdot \left(k{k}^{\prime }\right)\in N\cdot K$$以及$$(nk{)}^{-1}=(k^{-1}{n}^{-1}k)\cdot k\in N\cdot K.$$以上计算的关键是利用 $N$ 为正规子群. 类似地, 我们还得到 $N\cdot K=K\cdot N$. 另外, 注意到 $(nk)\cdot (n^{\prime }{k}^{\prime })=n{n}^{\prime }\cdot k{k}^{\prime }$ 未必成立并且 $N$ 与 $K$ 中的元素相乘未必交换.

进一步假设 $N\cdot K=G$ 并且 $N\cap K=1$ 并定义映射$$\varphi :N\times K\to G,(g,k)\mapsto gk.$$我们证明, $\varphi$ 是 $N\times K$ (这是群的乘积) 与 $G$ 之间的双射 (未必是群同态) : 根据 $N\cdot K=G$, $\varphi$ 是满射; 若 $nk=n^{\prime }{k}^{\prime }$, 则 $n^{-1}{n}^{\prime }=k{k}^{\prime -1}\in N\cap K=1$, 从而, $n=n^{\prime }，k=k^{\prime }$, 所以, $\varphi$ 是单射.

我们注意到, 作为群 $N\times K$ 与 $G$ 未必同构: $N\times K$ 中, 对任意 $n\in K$ 和 $k\in K$, $(n,1)$ 与 $(1,k)$ 交换; 它们在 $G$ 中的像为 $n,k$, 但是它们未必交换. 实际上, 对任意的 $x,x^{\prime }\in G$, 它们可以被唯一地表示成 $x=nk,x^{\prime }=n^{\prime }{k}^{\prime }$ 并且在 $G$ 中的乘法应写成$$(nk)\cdot (n^{\prime }{k}^{\prime })=(n\cdot k{n}^{\prime }{k}^{-1})\cdot \left(k{k}^{\prime }\right)=(n\cdot \mathrm{Int}(k)(n^{\prime }))\cdot (k\cdot k^{\prime }).$$

定义 3.4.1 (半直积). 给定如下的基本数据: 群 $N$, 群 $K$ 以及 $K$ 在 $N$ 上的作用 $\phi :K\to \mathbf{Aut}(N)$ (从而, 对任意 $k\in K$, $\phi (k)$ 是 $N$ 到自身的同构) . 作为集合, 定义$$N{⋊}_{\phi }K\stackrel{\text{set}}{:=}N\times K.$$那么, $N{⋊}_{\phi }K$ 中的元素可唯一表示为 $(n,k)$, 其中, $n\in N,k\in K$. $N{⋊}_{\phi }K$ 上的乘法定义如下: 对任意 $(n,k),(n^{\prime },k^{\prime })\in N{⋊}_{\phi }K$, 令$$(n,k)\cdot (n^{\prime },k^{\prime })=(n{\cdot }_{{}_N}\phi (k)(n^{\prime }),k{\cdot }_{{}_K}{k}^{\prime }),$$并令 $1=(1_{{}_N},1_{{}_K})$ 为单位元. 以上下指标 $K$ 和 $N$ 强调使用 $K$ 和 $N$ 中的乘法. 我们称如上构造的 $N{⋊}_{\phi }K$ 为 $N$ 和 $K$ 在 $\phi$ 下的半直积.

注记 3.4.2 (验证群结构).

首先验证 $1$ 是单位元: 对任意 $(n,k)\in N{⋊}_{\phi }K$, 有$$(n,k)\cdot (1_{{}_N},1_{{}_K})=(n{\cdot }_{{}_N}\phi (k)(1_{{}_N}),k{\cdot }_{{}_K}{1}_{{}_K})=(n{\cdot }_{{}_N}{1}_{{}_N},k)=(n,k),$$和$$(1_{{}_N},1_{{}_K})\cdot (n,k)=(1_{{}_N}{\cdot }_{{}_N}\phi (1_{{}_K})(n),1_{{}_K}\cdot k)=(1_{{}_N}{\cdot }_{{}_N}\mathrm{id}(n),1_{{}_K}\cdot k)=(n,k).$$

其次, 验证结合律: 对任意的 $(n,k),(n^{\prime },k^{\prime }),(n^{\prime \prime },k^{\prime \prime })\in N{⋊}_{\phi }K$, 我们有$$\begin{array}{rl}((n,k)\cdot (n^{\prime },k^{\prime }))\cdot (n^{\prime \prime },k^{\prime \prime })& =(n\phi (k)(n^{\prime }),k{k}^{\prime })(n^{\prime \prime },k^{\prime \prime })=(n\phi (k)(n^{\prime })\cdot \phi (k{k}^{\prime })(n^{\prime \prime }),k{k}^{\prime }{k}^{\prime \prime }),\\ (n,k)\cdot ((n^{\prime },k^{\prime })\cdot (n^{\prime \prime },k^{\prime \prime }))& =(n,k)\cdot (n^{\prime }\phi (k^{\prime })(n^{\prime \prime }),k^{\prime }{k}^{\prime \prime })=(n\phi (k)(n^{\prime }\phi (k^{\prime })(n^{\prime \prime })),k{k}^{\prime }{k}^{\prime \prime })\\ & =(n\phi (k)(n^{\prime })\cdot \phi (k)(\phi (k^{\prime })(n^{\prime \prime })),k{k}^{\prime }{k}^{\prime \prime }).\end{array}$$利用 $\phi$ 是群同态, 我们就有$$\phi (k)(\phi (k^{\prime })(n^{\prime \prime }))=\phi (k{k}^{\prime })(n^{\prime \prime }).$$从而, 结合律成立.

最终, 验证逆元的存在性. 对任意 $(n,k)\in N{⋊}_{\phi }K$, 有$$(n,k{)}^{-1}=(\phi (k^{-1})(n^{-1}),k^{-1}).$$以上构造给出了半直积的构造.

注记 3.4.3. 若 $K$ 对 $N$ 的作用平凡, 则 $N{⋊}_{\phi }K\simeq N\times K$. 不难证明, 双射$$\varphi :N\times K\to N{⋊}_{\phi }K,(n,k)\mapsto (n,k)$$是群同构当且仅当作用 $\phi$ 是平凡的.

例子 3.4.4. $G$ 是群, $K<G$ 是子群, 若存在子群 $H<G$, 使得 $H\cap K=1$ 且 $N\cdot K=G$, 就称 $H$ 是 $K$ 在 $G$ 中的补子群.

如果 $N⊲G$ 是正规子群, $K$ 在 $G$ 中的补子群, 那么, $K$ 可以通过共轭在 $N$ 上作用. 此时, 上面的讨论给出了群同构$$G\simeq N{⋊}_{{}^{K\stackrel{\mathrm{Int}}{\curvearrowright }}N}K.$$简单起见, 人们常把上述同构写成 $G=N⋊K$.

注记 3.4.5. 考虑自然的投影同态$${\pi }_2:N{⋊}_{\phi }K\to K,(n,k)\mapsto k.$$这是满同态并且 $\mathrm{Ker}({\pi }_2)=N\times 1\subset N{⋊}_{\phi }K$. 很明显, $\mathrm{Ker}({\pi }_2)$ 与 $N$ 同构. 我们得到群同态的正合列: $$1\to N⟶N{⋊}_{\phi }K\stackrel{{\pi }_2}{⟶}K\to 1,$$其中, $N⟶N{⋊}_{\phi }K$ 由 $n\mapsto (n,1)$ 给出.

另外, 我们还有群同态$$\varphi :K\to N{⋊}_{\phi }K,k\mapsto (1,k).$$并且 ${\pi }_2\circ \varphi =\mathrm{id}$. 我们称这样的 $\varphi$ 是 ${\pi }_2$ 的提升. 如果正合列有提升, 则称它是分裂的. 如上提升的存在性可以用群的上同调理论来刻画, 我们不再做深入的讨论.

关于上述正合列的讨论是提示如下的直观: 给定 $G$ 的正规子群 $N$ 和商群 $G$, 若清楚 $G$ 在 $N$ 上的共轭作用, 就可确定 $G$ 的结构.

注记 3.4.6 (半直积的唯一性). 给定一组基本数据, 即群 $N$, 群 $K$ 以及 $K$ 对 $N$ 的作用 $\phi :K\to \mathbf{Aut}(N)$. 若存在群 $N^{\prime }$ 和群 $K^{\prime }$ 以及群同构$$\alpha :N^{\prime }\stackrel{\simeq }{⟶}N,\beta :K^{\prime }\stackrel{\simeq }{⟶}K,$$则可以构造 $K^{\prime }$ 在 $N^{\prime }$ 上的自然作用$${\phi }^{\prime }:K^{\prime }\to \mathbf{Aut}(N^{\prime }),k^{\prime }\mapsto {\alpha }^{-1}\circ \phi (\beta (k^{\prime }))\circ \alpha .$$以上由交换图给出: 我们断言映射$$\Psi :N^{\prime }{⋊}_{{\phi }^{\prime }}{K}^{\prime }⟶N{⋊}_{\phi }K,(n^{\prime },k^{\prime })\mapsto (\alpha (n^{\prime }),\beta (k^{\prime })),$$是群同构. 这个群同构给出了半直积唯一性的含义.

很明显 $\Phi$ 是双射, 以下验证它是群同态: $$\begin{array}{rl}\Psi ((n_1^{\prime },k_1^{\prime })\cdot (n_2^{\prime },k_2^{\prime }))& =\Psi \left(\right(n_1^{\prime }{\phi }^{\prime }(k_1)(n_2^{\prime }),k_1^{\prime }{k}_2^{\prime }\left)\right)=\Psi \left(\right(n_1^{\prime }({\alpha }^{-1}\circ \phi (\beta (k_1^{\prime }))\circ \alpha )(n_2^{\prime }),k_1^{\prime }{k}_2^{\prime }\left)\right)\\ & =\left(\alpha \right[\left(n_1^{\prime }\right({\alpha }^{-1}\circ \phi (\beta (k_1^{\prime }))\circ \alpha )(n_2^{\prime })],\beta (k_1^{\prime }{k}_2^{\prime })\left)\right)\\ & =(\alpha (n_1^{\prime })(\phi (\beta (k_1^{\prime }))(\alpha (n_2^{\prime })),\beta (k_1^{\prime })\beta (k_2^{\prime })).\end{array}$$另外, $$\begin{array}{rl}\Psi (n_1^{\prime },k_1^{\prime })\cdot \Psi (n_2^{\prime },k_2^{\prime })& =(\alpha (n_1^{\prime }),\beta (k_1^{\prime }))\cdot (\alpha (n_2^{\prime }),\beta (k_2^{\prime }))=(\alpha (n_1^{\prime })(\phi (\beta (k_1^{\prime }))(\alpha (n_2^{\prime })),\beta (k_1^{\prime })\beta (k_2^{\prime })).\end{array}$$从而, $\Psi ((n_1^{\prime },k_1^{\prime })\cdot (n_2^{\prime },k_2^{\prime }))=\Psi (n_1^{\prime },k_1^{\prime })\cdot \Psi (n_2^{\prime },k_2^{\prime })$.

3.4.2基本例子

例子 3.4.7. $G$ 是群, $N⊲G,K⊲G$ 均为正规子群, $N\cdot K=G$ 并且 $N\cap K=1$. 那么, $$G\simeq N\times K.$$我们知道 $G\simeq N{⋊}_{{}^{K\stackrel{\mathrm{Int}}{\curvearrowright }}N}K$. 对任意 $k\in K,n\in N$, 有$$nk{n}^{-1}{k}^{-1}=\left(nk{n}^{-1}\right)k^{-1}=n\left(k{n}^{-1}{k}^{-1}\right)\in N\cap K=1.$$所以, 群作用 ${}^{K\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{Int}}{\curvearrowright }}N$ 是平凡的. 从而, $G\simeq N\times K$.

例子 3.4.8. 二面体群 ${\mathfrak{D}}_n$ 中旋转构成的子群 $N=\{1,r,\cdots ,r^{n-1}\}\simeq \mathbb{Z}$ 是正规的, $K=\{1,s\}\simeq \mathbb{Z}$ 是某反射生成的子群. 根据 $srs=sr{s}^{-1}=r^{-1}$, $K$ 在 $N$ 上的共轭由如下同态给出$$\phi :\mathbb{Z}\to \mathbf{Aut}\left(\mathbb{Z}\right),0\mapsto \mathrm{id},1\mapsto (k\mapsto -k).$$所以,$$\boxed{{\mathfrak{D}}_n\simeq \mathbb{Z}{⋊}_{\phi }\mathbb{Z}}.$$由于 $\phi$ 非平凡, ${\mathfrak{D}}_n\not\simeq \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$.

例子 3.4.9. $K$ 是域, 线性空间 $K^n$ 上的 $n$ 维仿射变换群为$${\mathbf{Aff}}_n(K):=\{x\mapsto Ax+b|a\in \mathbf{GL}(n;K),b\in K\}.$$平移变换和线性变换$$\mathrm{Trans}(n;K):=\{x\mapsto x+b|b\in K^n\},\mathbf{GL}(n;K):=\{x\mapsto Ax|A\in \mathbf{GL}(n;K)\},$$均为 ${\mathbf{Aff}}_n(K)$ 的子群, 其中, $\mathrm{Trans}(n;K)\simeq K^n$ 并且 $\mathrm{Trans}(n;K)⊲{\mathbf{Aff}}_n(K)$.

我们计算 $\mathbf{GL}(n;K)$ 在 $\mathrm{Trans}(n;K)$ 上的共轭作用: 对任意 $g(x)=Ax$ 和 $T_b(x)=x+b$, 有$$g\cdot T_b\cdot g^{-1}(x)=x+Ab\Rightarrow \mathrm{Int}(A)(b)=Ab.$$所以, $$\boxed{{\mathbf{Aff}}_n(K)\simeq K^n{⋊}_{\phi }\mathbf{GL}(n;K)},$$其中, $$\phi :\mathbf{GL}(n;K)\to \mathbf{Aut}(K^n),A\mapsto (x\mapsto A\cdot x).$$

例子 3.4.10 (阶较小群几何实现的例子). $G={\mathbf{Aff}}_2({\mathbb{F}}_2)$ 自然地作用在 $X={\mathbb{F}}_2^2$ 上: $${\mathbf{Aff}}_2({\mathbb{F}}_2)\times {\mathbb{F}}_2^2\to {\mathbb{F}}_2^2,((b,A),x)\mapsto (b,A)\cdot x=Ax+b.$$这给出群同态$$\phi :{\mathbf{Aff}}_2({\mathbb{F}}_2)⟶{\mathfrak{S}}_{{\mathbb{F}}_2^2}.$$以上同态显然是单射. 我们计算 $|{\mathfrak{S}}_{{\mathbb{F}}_2^2}|=4!$ 以及 $|{\mathbb{F}}_2^2{⋊}_{\phi }\mathbf{GL}(2;{\mathbb{F}}_2)|=4\cdot 6=24$, 所以 $\phi$ 群同构, 即$$\boxed{{\mathbf{Aff}}_2({\mathbb{F}}_2)\simeq {\mathfrak{S}}_4}.$$我们把 ${\mathbb{F}}_2^2$ 的元素按照如下方式标号: $1\to (0,0),2\to (1,0),3\to (0,1),4\to (1,1)$.

另外, $\mathbf{GL}(n;{\mathbb{F}}_2)$ 在 ${\mathbf{P}}^2({\mathbb{F}}_2)$ 上的自然作用给出群同态$$\mathbf{GL}(n;{\mathbb{F}}_2)\to {\mathfrak{S}}_{{\mathbf{P}}^2({\mathbb{F}}_2)}\simeq {\mathfrak{S}}_3.$$通过计算元素个数可知 $\mathbf{GL}(n;{\mathbb{F}}_2)\simeq {\mathfrak{S}}_3$. 从而, $$\boxed{{\mathfrak{S}}_4\simeq {\left(\mathbb{Z}\right)}^2{⋊}_{\phi }{\mathfrak{S}}_3}.$$我们可以具体分析同构: $$\psi :{\left(\mathbb{Z}\right)}^2{⋊}_{\phi }{\mathfrak{S}}_3⟶{\mathfrak{S}}_4$$考虑 ${\mathfrak{S}}_4$ 的正规子群 $K_4⊲{\mathfrak{S}}_4$: $$K_4=\{1,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)\}.$$我们有$$K_4=\mathrm{Im}\left({\left(\mathbb{Z}\right)}^2\hookrightarrow {\left(\mathbb{Z}\right)}^2{⋊}_{\phi }{\mathfrak{S}}_3\stackrel{\psi }{⟶}{\mathfrak{S}}_4\right).$$此时, $\{(1,\sigma )|\sigma \in {\mathfrak{S}}_3\}$ 的像是 ${\mathfrak{S}}_4$ 中固定 $1$ 的那些置换, 请参考上述 ${\mathbb{F}}_2^2$ 中元素的标号方式并注意到 ${\mathbf{P}}^1({\mathbb{F}}_2)$ 可以完全等同于 ${\mathbb{F}}_2^2$ 中的非零向量.

例子 3.4.11 ($pq$ 阶群的分类与实现). $G$ 是有限群, $|G|=pq$, $q<p$ 均为素数, 现在确定 $G$ 的结构.

$G$ 只有一个 Sylow $p$-子群 $N$ (从而 $N⊲G$) , 这因为 Sylow $p$-子群的个数整除 $q$ 并且除 $p$ 余 $1$ 而 $p>q$; 类似地, Sylow $q$-子群的个数为 $1$ 或 $p$.

我们分两种情形讨论:

1)

$q\nmid p-1$, $G\simeq \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\simeq \mathbb{Z}$. 由于 Slyow $q$-子群的个数除 $q$ 余 $1$, 所以恰有一个 Sylow $q$-子群 $K$. 此时, $N$ 和 $K$ 均为正规子群并且 $N\cap K=1$ (因为 $|N\cap K|$ 整除 $|N|$ 和 $|K|$ 的最大公约数) . 根据例 3.4.7, $G=N\cdot K\simeq N\times K$.

2)

$q|p-1$, $G$ 为 $\mathbb{Z}$ 与 $\mathbb{Z}$ 的半直积, 其中, $\mathbb{Z}$ 对 $\mathbb{Z}$ 的作用参考如下证明. 选定某个 Sylow $q$-子群 $K$ (未必是正规子群) , 考虑 $K$ 在 $N$ 上的共轭作用: $$\phi :K\to \mathbf{Aut}(N),k\mapsto (n\mapsto kn{k}^{-1}).$$由于 $N\simeq \mathbb{Z}$, $K\simeq \mathbb{Z}$, 同态 $\phi$ 可被视作$$\phi :\mathbb{Z}⟶\mathbf{Aut}\left(\mathbb{Z}\right)={\left(\mathbb{Z}\right)}^{\times }.$$我们对以上同态作如下的解释: ∘ $\mathbf{Aut}\left(\mathbb{Z}\right)={\left(\mathbb{Z}\right)}^{\times }$: 因为指定 $\mathbf{Aut}\left(\mathbb{Z}\right)$ 某元素 $w$ 等价于指定 $w(1)\in {\left(\mathbb{Z}\right)}^{\times }$. ∘ 给出群同态 $\phi$ 等价于指定 $\mathbf{Aut}\left(\mathbb{Z}\right)$ 中某元素 $w$ 并且要求 $w^q=1$ (因为 $\mathbb{Z}$ 是循环群) . 我们把 $\phi$ 形象地表示为$$\phi :\mathbb{Z}\to ({\left(\mathbb{Z}\right)}^{\times },\cdot ),1\mapsto w(\text{要求wq=1}).$$由于 ${\left(\mathbb{Z}\right)}^{\times }$ 为 $p-1$ 阶循环群, 所以 ${\left(\mathbb{Z}\right)}^{\times }$ 中满足 $w^q=1$ 的 $w$ 恰好有 $q$ 个并且构成 $q$ 阶循环子群. 进一步, 该子群除 $1$ 外任一元素均为生成元. 另外, 如果 $w=\phi (1)\ne 1$, 通过选取 $\mathbb{Z}$ 的生成元 (即指定 $K\simeq \mathbb{Z}$ 的同构方式) , 可以保证 $\phi (1)=w$ 取该子群的任意生成元. 我们进而研究如下两种情形: ∘ $\phi (1)=1$. 从而, $K$ 在 $N$ 上的共轭作用平凡, 所以, $$G\simeq \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}.$$ ∘ $\phi (1)=w\ne 1$. 此时, $G\simeq \mathbb{Z}{⋊}_{\phi }\mathbb{Z}$ 并且 $G$ 不是交换群. 进一步, 这个半直积在群同构的意义下不依赖于 $\phi (1)=w$ 的选取: 令 $A=\mathbb{Z}$, $B=\mathbb{Z}$, $\Sigma =\mathbf{Aut}(A)$, 它们是循环群. 我们用乘号标记 $A,B$ 和 $\Sigma$ 中的乘法并指定相应的生成元为 $a\in A$, $b\in B$ 和 $\sigma \in \Sigma$, 那么, $$A=\{1,a,a^2,\cdots ,a^{p-1}\},B=\{1,b,b^2,\cdots ,b^{q-1}\},\Sigma =\{1,\sigma ,{\sigma }^2,\cdots ,{\sigma }^{p-2}\}.$$由于 $B$ 的阶为 $q$, $b$ 在任一从 $B$ 到 $\Sigma$ 的同态下的像要满足 ${\sigma }_0^q=1$. 我们指定群同态: $${\phi }_0:B⟶\Sigma ,b\mapsto {\sigma }_0={\sigma }^{\frac{p-1}{q}}.$$这个同态给出了半直积 $\mathbb{Z}{⋊}_{{\phi }_0}\mathbb{Z}$. 现考虑另一非平凡的群同态: $${\phi }_1:B⟶\Sigma ,b\mapsto {\sigma }_1.$$由于 ${\sigma }_1^q=1$, 存在 $1⩽k⩽q-1$, 使得 ${\sigma }_1={\sigma }^{k\frac{p-1}{q}}$; 由于 $(k,q)=1$ 互素, 存在 $1⩽m⩽q-1$, 使得 $k\cdot m\equiv 1\mathrm{mod}p$. 从而, $${\phi }_1(b^m)={\left({\sigma }^{k\frac{p-1}{q}}\right)}^m={\sigma }^{km\frac{p-1}{q}}={\sigma }^{\frac{p-1}{q}}={\sigma }_0.$$令 $b^{\prime }=b^m$, $B$ 和 ${\phi }_1$ 可被重新写成$$B=\{1,b^{\prime },b^{\prime 2},\cdots ,b^{\prime p-1}\},{\phi }_1:B⟶\Sigma ,b^{\prime }\mapsto {\sigma }_0.$$它的形式与 ${\phi }_0$ 的一致. 据此可见, 半直积 $\mathbb{Z}{⋊}_{{\phi }_1}\mathbb{Z}$ 与 $\mathbb{Z}{⋊}_{{\phi }_0}\mathbb{Z}$ 同构.

注记 3.4.12. 当 $q|p-1$ 时, 考虑 $1$ 维仿射变换群 ${\mathbf{Aff}}_1({\mathbb{F}}_p)$ 的子群$${\mathbf{Aff}}_1({\mathbb{F}}_p;q)=\{x\mapsto ax+b|a\in {\mathbb{F}}_p^{\times },a^q=1;b\in {\mathbb{F}}_p\}.$$那么, ${\mathbf{Aff}}_1({\mathbb{F}}_p;q)$ 恰有 $pq$ 个元素并且非交换. ${\mathbf{Aff}}_1({\mathbb{F}}_p;q)$ 是上述唯一的 $pq$ 阶非交换群在几何上的实现并给出该群在维仿射直线 ${\mathbb{F}}_p$ 的作用.

综上所述, 我们可以分类 $pq$ 阶的群 $G$: $$G\simeq \{\begin{array}{ll}\mathbb{Z},& q\nmid p-1;\\ \mathbb{Z}\text{或}{\mathbf{Aff}}_1({\mathbb{F}}_p;q),& q\mid p-1.\end{array}$$