3.3. 群作用的应用举例

3.3.1双传递性与单群的 Iwasawa 判定

假设 $G$ 是群, $X$ 是集合, $|X|⩾2$ 并且 $G$ 作用在 $X$ 上. 那么, $G$ 自然地作用在 $X\times X$ 上: $$G\times (X\times X)\to X\times X,(g,(x,y))\mapsto (g\cdot x,g\cdot y).$$令 $\Delta$ 为 $X\times X$ 的对角线, 即由形如 $\Delta =\{(x,x)|x\in X\}$. 若 $G$ 在 $X\times X-\Delta$ 上的作用是传递的, 则称 $G$ 在 $X$ 上的作用是双传递的. 换而言之, 双传递的群作用满足如下要求: 对任意 $x_1,x_2\in X,y_1,y_2\in X$, $x_1\ne y_1$, $x_2\ne y_2$, 存在 $g\in G$, 使得 $g{x}_1=x_2$, $g{y}_1=y_2$. 特别地, 我们知道 ${}^{G\curvearrowright }X$ 是传递的. 另外, 双传递的定义等价于说 ${}^{G\curvearrowright }\left(X\times X\right)$ 恰好有两个轨道 $\Delta$ 和 $X\times X-\Delta$.

练习 3.3.1. 给定传递的群作用 ${}^{G\curvearrowright }X$, 其中, $|X|⩾2$. 证明, 该作用是双传递的等价于存在 $x\in X$, 使得 $\mathrm{Stab}(x)$ 在 $X-\{x\}$ 上的作用是传递的.

定理 3.3.2 (Iwasawa 判据). 群 $G$ 作用在集合 $X$ 上, $|X|⩾2$ 并且该作用是双传递的. 假设存在 $x\in G$ 以及 $A<\mathrm{Stab}(x)$ 使得

1)	$A$ 是 $\mathrm{Stab}(x)$ 的交换的正规子群;
2)	$\{gA{g}^{-1}|g\in G\}$ 生成 $G$.

那么, 对任意正规子群 $N⊲G$, $\mathbf{D}(G)<N$ 或 $N<\mathrm{Ker}(G\to {\mathfrak{S}}_X)$ 二者必居其一.

注记 3.3.3. 定理中的 $\mathbf{D}(G)$ 是 $G$ 的换位子群或导出子群是群, 它是由 $G$ 中所有形如 $gh{g}^{-1}{h}^{-1}$ 的元素生成的子群. 我们显然有 $\mathbf{D}(G)⊲G$.

我们可以计算对称群 ${\mathfrak{S}}_n$ 和交错群 ${\mathfrak{A}}_n$ 的换位子群. 以下, 我们忽略 $n=1,2$ 这个两个平凡的情形.

例子 3.3.4 ($\mathbf{D}({\mathfrak{S}}_n)={\mathfrak{A}}_n,n⩾3$ ).

我们显然有 $\mathbf{D}({\mathfrak{S}}_n)⊲{\mathfrak{A}}_n$ ( $\mathbf{D}({\mathfrak{S}}_n)$ 中的元是偶置换) . 现在证明 $\mathbf{D}({\mathfrak{S}}_n)={\mathfrak{A}}_n$. 注意到, 对于 $i,j,k⩽n$, 有$$((i,j),(j,k))=(k,i,j).$$从而, $\mathbf{D}({\mathfrak{S}}_n)$ 包含所有的 $3$-循环.

例子 3.3.5 ($\mathbf{D}({\mathfrak{A}}_n)={\mathfrak{A}}_n,n⩾5$).

当 $n⩾5$ 时, $\mathbf{D}({\mathfrak{A}}_n)$ 中的 $3$-循环是相互共轭的. (参见习题 XXX) 特别地, $\sigma =(i,j,k)$ 与 ${\sigma }^2=(i,k,j)$ 共轭 (实际上, 由于 $n⩾5$, 不妨假 $i,j,k\ne 1,2$, 此时, 用 $(1,2)(j,k)$ 对 $\sigma$ 共轭即可) , 即有 $g\in {\mathfrak{A}}_n$, 使得 $g\sigma g^{-1}={\sigma }^2$. 从而, $$\sigma =g\sigma g^{-1}{\sigma }^{-1}\in \mathbf{D}({\mathfrak{A}}_n).$$从而, $\mathbf{D}({\mathfrak{A}}_n)$ 包含所有的 $3$-循环.

Iwasawa 判据的证明. 假设 $N\not\subset \mathrm{Ker}(G\to {\mathfrak{S}}_X)$, 其中, $N⊲G$. 我们的目标是说明 $N\supset \mathbf{D}(G)$.

•

第一步, 证明 $N$ 在 $X$ 上作用是传递的. 对任意 $x\in X$, 它在 $N$ 的作用下的轨道为 $Nx=\{nx|n\in N\}$. 那么, ∘ 选取 $x\in X$, 使得 $N\cdot x\ne \{x\}$. 由于 $N\not\subset \mathrm{Ker}(G\to {\mathfrak{S}}_X)$, 所以有 $n\in N$ 以及 $x\in X$ 使得 $nx\ne x$. ∘ $N\cdot x$ 在 $\mathrm{Stab}(x)$ 的作用下不变, 即对任意的 $g\in \mathrm{Stab}(x)$, $gNx\subset Nx$. 实际上, 对任意的 $nx\in Nx$, 其中, $n\in N$, 我们有$$gnx=gn{g}^{-1}gx=gn{g}^{-1}x\in Nx,$$以上我们用到了 $N⊲G$ 以及 $g\in \mathrm{Stab}(x)$. ∘ $\mathrm{Stab}(x)N\cdot x\supset X-\{x\}$. 由于 $G$ 的左右是双传递的, 所以, $\mathrm{Stab}(x)(Nx-\{x\})\supset X-\{x\}$. 综上所述, $N\cdot x\supset X-\{x\}$, 所以, $N$ 在 $X$ 上作用是传递的.

•

第二步, 证明 $\{nA{n}^{-1}|n\in N\}$ 生成 $G$. ∘ $G=N\cdot \mathrm{Stab}(x)=\mathrm{Stab}(x)\cdot N$ (因为 $N$ 是正规的) . 对任意 $g\in G$, 由于 $N$ 的作用是传递的, 存在 $n\in N$, 使得 $nx=gx$, 即 $g^{-1}nx=x$. 所以, $g^{-1}n=h\in \mathrm{Stab}(x)$. 从而, $g=n{h}^{-1}\in N\mathrm{Stab}(x)$. ∘ $\{gA{g}^{-1}|g\in G\}=\{nA{n}^{-1}|n\in N\}$. 实际上, 我们把 $g$ 写成 $g=nh$. 由于 $A⊲\mathrm{Stab}(x)$, 从而, $$gA{g}^{-1}=n\cdot hA{h}^{-1}\cdot n^{-1}=nA{n}^{-1}.$$

综合以上讨论, 我们有 $G=⟨\{nA{n}^{-1}|n\in N\}⟩=AN$ (因为 $na{n}^{-1}=a(a^{-1}na)n^{-1}\in AN$) . 特别地, 群同态$$A\hookrightarrow G⟶G$$是满射. 由于 $A$ 是交换群, 所以, $G$ 是交换群. 特别地, 任意 $gh{g}^{-1}{h}^{-1}\in G$ 都落在 $N=\mathrm{Ker}(G\to G)$, 即 $\mathbf{D}(G)\subset N$.

$\square$

如果群 $G$ 除了 $1$ 和 $G$ 外没有其它正规子群, 就称 $G$ 是单群. 应用 Iwasawa 判据, 我们可以证明:

例子 3.3.6 (${\mathfrak{A}}_5$ 是单群). 在上述定理中, 我们选取 $G={\mathfrak{A}}_5$, $X=\{1,2,3,4,5\}$, 那么, $\mathrm{Ker}(G\to {\mathfrak{S}}_X)=1$ 并且 ${}^{G\curvearrowright }X$ 是双传递的.

选取 $x=5$, 此时, $\mathrm{Stab}(x)={\mathfrak{A}}_4$ 并选取$$A=\{1,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)\}\simeq \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}.$$这是 ${\mathfrak{A}}_4$ 中的交换的正规子群. 我们现在说明 $\{gA{g}^{-1}|g\in {\mathfrak{A}}_5\}$ 生成 ${\mathfrak{A}}_5$: 通过考虑 $(1,2,5)(1,2)(3,4)(1,2,5{)}^{-1}=(2,5)(3,4)$, $\{gA{g}^{-1}\}$ 包含了所有的 $(i,j)(k,l)$ 型元素, 其中, $i,j,k,l$ 两两不同. 另外, 通过考虑 $(1,2)(3,4)\cdot (1,5)(3,4)=(1,5,2)$, 我们知道所有的 $3$-循环都可以生成, 从而可以生成 ${\mathfrak{A}}_5$.

假设 $N⊲{\mathfrak{A}}_5$, Iwasawa 判据表明 $N\subset \mathrm{Ker}(G\to G)=1$ 或者 $N\supset \mathbf{D}({\mathfrak{A}}_5)={\mathfrak{A}}_5$, 从而, ${\mathfrak{A}}_5$ 为单群.

例子 3.3.7 (剪切映射与 $\mathbf{SL}(n;K)$ 的导出子群).

$K$ 是域, $V$ 是 $n$-维 $K$-线性空间, $t\in \mathbf{SL}(V)$, 如果 $\dim \mathrm{Ker}(t-1)=n-1$, 就称 $t$ 是剪切映射. 根据定义, $\mathrm{rank}(t-1)=1$

选取 $V$ 的基 $\{e_1,\cdots ,e_{n-1},e_n\}$, 使得 $e_1,\cdots ,e_n\in \mathrm{Ker}(g-1)$, 由于 $\det (t)=1$, 所以$$t(e_n)=e_n+x_1{e}_1+\cdots +x_{n-1}{e}_{n-1}$$据此, $g$ 可以用如下矩阵表示$$t=\left(\begin{array}{cccc}1& & & x_1\\ & \ddots & & \\ & & 1& x_{n-1}\\ & & & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{I}}_{n-1}& x\\ 0& 1\end{array}\right),$$其中, $x=x_1{e}_1+\cdots +x_{n-1}{e}_{n-1}$. 通过调换 $1,\cdots ,n-1$, 不妨假设 $x_{n-1}\ne 0$. 令 $e_i^{\prime }=\{\begin{array}{l}{e}_i,i\ne n-1;\\ x,i=n-1.\end{array}$. 在 $\{e_i^{\prime }\}$ 下, $t$ 的矩阵表示为$$t_n:=\left(\begin{array}{cccc}1& & & 0\\ & \ddots & & 0\\ & & 1& 1\\ & & & 1\end{array}\right).$$特别地, 以上讨论表明在 $\mathbf{GL}(n;K)$ 中, 所有剪切映射均与 $t_n$ 共轭.

当 $n>2$ 时, 为了在 $\mathbf{SL}(n;K)$ 中讨论剪切映射 $t$ 的共轭, 我们用 $g\in \mathbf{GL}(n;K)$ 进行共轭, 从而, $gt{g}^{-1}=t_n$. 由于 $n>2$, 令$$h=\left(\begin{array}{cccc}\det (g{)}^{-1}& & & \\ & 1& & \\ & & \ddots & \\ & & & 1\end{array}\right).$$那么, $(hg)t(hg{)}^{-1}=t_n$ 并且 $hg\in \mathbf{SL}(n;K)$.

在 $\mathbf{SL}(n;K)$ 中, 我们有一大类剪切映射的例子: $t_{i,j}(\lambda )=1+\lambda E_{i,j}$ 是剪切映射, 其中, $\lambda \in K^{\times }$, $E_{i,j}$ 是在第 $i$ 行第 $j$ 列为 $1$ 而其余位置均为 $0$ 的矩阵. 另外, 在 $\mathbf{SL}(2;K)$ 中, 我们有$$\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ b& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& c\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+ab& abc+a+c\\ b& 1+cb\end{array}\right).$$令 $a=c=-b^{-1}$, 则 $\left(\begin{array}{cc}1& -b^{-1}\\ b& 1\end{array}\right)$ 可以被剪切映射生成; 进而 $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -b^{-1}\\ b& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}b& 0\\ 0& b^{-1}\end{array}\right)$ 也可以被生成. 据此, 我们知道 $\mathbf{SL}(V)$ 可以被剪切映射的集合生成, 这是因为以上 $\{t_{i,j}(\lambda )\}\subset \mathbf{SL}(n;K)$ 以及所构造出的矩阵都对应着初等变换而每个 $g\in \mathbf{SL}(n;K)$ 都可以通过初等变换变成单位矩阵.

作为总结以上讨论的总结, 我们有如下结论:

•	对任意的 $n⩾2$, $\mathbf{SL}(n;K)$ 可以被剪切映射生成;
•	对任意的 $n⩾3$, $\mathbf{SL}(n;K)$ 中的剪切映射是相互共轭的.

引理 3.3.8. 当 $n⩾3$ 或 $n=2,|K|⩾4$ 时, 有$$\mathbf{D}(\mathbf{GL}(n;K))=\mathbf{SL}(n;K),\mathbf{D}(\mathbf{SL}(n;K))=\mathbf{SL}(n;K).$$

证明. 只要证明 $\mathbf{SL}(n;K)\subset \mathbf{D}(\mathbf{SL}(n;K))$ 即可. 我们证明一个充分条件: 存在某个剪切 $t\in \mathbf{SL}(n;K)$, 它形如 $t=xy{x}^{-1}{y}^{-1}$, 其中, $x,y\in \mathbf{SL}(n;K)$. 在此条件下, 根据以上讨论, 对任意的剪切 $t^{\prime }$, 存在 $g\in \mathbf{GL}(n;K)$, 使得$$t^{\prime }=gt{g}^{-1}=gx{g}^{-1}\cdot gy{g}^{-1}\cdot {\left(gx{g}^{-1}\right)}^{-1}\cdot {\left(gy{g}^{-1}\right)}^{-1}.$$其中, $gx{g}^{-1},gy{g}^{-1}\in \mathbf{SL}(n;K)$. 这表明 $\mathbf{D}(\mathbf{SL}(n;K))$ 包含所有剪切映射, 从而, $\mathbf{SL}(n;K)\subset \mathbf{D}(\mathbf{SL}(n;K))$.

当 $n=2$ 时, 我们计算$$\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& a^{-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& a^{-1}\end{array}\right)}^{-1}{\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& a^2-1\\ 0& 1\end{array}\right).$$当 $|K|⩾4$ 时, 存在 $a\in K^{\times }$, 使得 $a^2-1\ne 0$, 上式就给出一个剪切映射.

当 $n⩾3$ 时, 我们计算$$\left(\begin{array}{cc}g& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{I}}_{n-1}& v\\ 0& 1\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}g& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}^{-1}{\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{I}}_{n-1}& v\\ 0& 1\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& g(v)-v\\ 0& 1\end{array}\right).$$其中, $g\in \mathbf{SL}(n-1;K),v\in K^{n-1}$. 由于 $n-1⩾2$, 只要选取剪切映射 $g\in \mathbf{SL}(n-1;K)$ 以及 $g(v)-v\ne 0$ 即可.

$\square$

命题 3.3.9. 当 $n⩾3$ 或 $n=2,|K|⩾4$ 时, $\mathbf{PSL}(n;K)$ 是单群.

证明. 当 $n⩾2$ 时, $G=\mathbf{SL}(n;K)$ 在 $X={\mathbb{P}}^{n-1}(K)$ 上的作用是双传递的: 对任意的 $v_1,w_1,v_2,w_2\in K^n$, 其中, $v_i$ 与 $w_i$ 不共线, 显然有矩阵 $g\in G$ 使得 $g(v_1)=v_2$, $g(w_1)=w_2$.

令 $x=[0:0:\cdots :1]\in {\mathbb{P}}^{n-1}(K)$, 则 $\mathrm{Stab}(x)$ 中的矩阵形如$$P_{g,v}=\left(\begin{array}{cc}g& v\\ 0& \det (g{)}^{-1}\end{array}\right),g\in \mathbf{GL}(n;K),v\in K^{n-1}.$$那么, $$A=\left\{P_{1,v}=\left(\begin{array}{cc}1& v\\ 0& 1\end{array}\right),v\in K^{n-1}\right\}\simeq K^{n-1}$$是 $\mathrm{Stab}(x)$ 的交换的正规子群.

当 $n⩾3$ 时, 我们已经证明了 $P_{1,v}=t_n$ 的共轭可以给出所有剪切映射, 其中, $v=(0,\cdots ,1)$. 由于剪切映射生成了 $\mathbf{SL}(n;K)$, 从而, $\{gA{g}^{-1}|g\in G\}$ 生成 $G$.

当 $n=2$ 时, 利用 $\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right)\in A$, 我们计算共轭$$\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -a& 1\end{array}\right).$$我们已经证明了形如 $\left(\begin{array}{cc}1& \ast \\ 0& 1\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \ast & 1\end{array}\right)$ 的矩阵生成 $\mathbf{SL}(2;K)$.

另外, 我们有$$\mathrm{Ker}(\mathbf{SL}(n;K)\to {\mathfrak{S}}_{{\mathbb{P}}^{n-1}(K)})={\mu }_n(K)$$以及 $\mathbf{D}(\mathbf{SL}(n;K))=\mathbf{SL}(n;K)$.

根据 Iwasawa 判据, 若 $N⊲\mathbf{SL}(n;K)$ 并且 $N\ne \mathbf{SL}(n;K)$, 那么, $\mathbf{SL}(n;K)\subset {\mu }_n(K)$. 从而, 根据$$\mathbf{SL}(n;K)\stackrel{\simeq }{⟶}\mathbf{PSL}(n;K),$$我们知道 $\mathbf{PSL}(n;K)$ 的正规子群必为 $1$ 或 $\mathbf{PSL}(n;K)$.

$\square$

3.3.2Burnside 引理

我们证明如下关于轨道个数的计算公式:

命题 3.3.10 (Burnside). 假设有限群 $G$ 作用在有限集 $X$ 上, 那么该作用的轨道个数是不动点个数的平均值, 即$$\left|G\right|=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}|X^g|.$$(3.3.1)其中, 对任意的 $g\in G$, $X^g=\{x\in X|g\cdot x=x\}$.

证明. 我们考虑集合 $G\times X$ 的子集: $$S=\{(g,x)\in G\times X|g\cdot x=x\}.$$我们有两种方式来数 $S$ 的元素个数. 首先, 根据 $S={\coprod }_{g\in G}{X}^g$, 我们有$$|S|=\sum _{g\in G}|X^g|.$$其次, 根据 $S={\coprod }_{x\in X}\mathrm{Stab}(x)$, 我们有$$|S|=\sum _{x\in X}|\mathrm{Stab}(x)|=\sum _{x\in X}\frac{|G|}{|\mathrm{orb}(x)|}.$$所以, $$\sum _{x\in X}\frac{1}{|\mathrm{orb}(x)|}=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}|X^g|.$$另外, 我们有$$\sum _{x\in X}\frac{1}{|\mathrm{orb}(x)|}=\sum _{\mathrm{orb}(x_i)\in G}\left(\sum _{x\in \mathrm{orb}(x_i)}\frac{1}{|\mathrm{orb}(x)|}\right)=\sum _{\mathrm{orb}(x_i)\in G}1=\left|G\right|.$$这就给出了证明.

$\square$

例子 3.3.11. 有多少个 4 个顶点的简单图 (顶点之间至多连一条边) ?

固定 $4$ 个点, 在它们之间连或者不连边, 这样构成的可能的图有 $2^{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)}=64$ 种, 这是我们的构形空间 $X$. 对于 $G={\mathfrak{S}}_4$, 通过对 4 个顶点的置换 (从而置换相应的边) , ${\mathfrak{S}}_4$ 作用在 $X$ 上, 我们要计算 ${\mathfrak{S}}_4$.

${\mathfrak{S}}_4$ 中的 $24$ 个元素可以分成如下几类

•	$1$; 共 $1$ 个. 此时, 所有 $X$ 种元素在此元素作用下不变, 从而, $|X^g|=64$.
•	对换 $(ab)$; 共 $6$ 个. 根据对称性, 考虑 $g=(12)$, 此时, 从 $1$ 出发到 $2$, $3$ 或者 $4$ 的边就确定了从 $2$ 出发到 $1$, $3$ 或者 $4$ 的边, 从而, 我们有 $2^3\times 2=16$ 个不动点, 即 $|X^g|=16$, 这里后面的 $\times 2$ 是考虑 $3$ 和 $4$ 之间是否连接一条边.
•	双对换 $(ab)(cd)$; 共 $3$ 个. 与上面类似, 对于这样的 $g$, 我们有 $|X^g|=16$.
•	3-轮换 $(abc)$; 共 $8$ 个. 不妨考虑 $g=(123)$, 对于 $1$ 而言, 它和 $2$ 以及 $4$ 的连线情况决定了所有的可能, 从而, $|X^g|=4$.
•	4-轮换 $(abcd)$; 共 $6$ 个. 不妨考虑 $g=(1234)$, 对于 $1$ 而言, 它和 $2$ 以及 $3$ 的连线情况决定了所有的可能, 从而, $|X^g|=4$.

根据 Burnside 引理, 我们就有$$\left|{\mathfrak{S}}_4\right|=\frac{1}{24}\left(64+6\times 16+3\times 16+8\times 4+6\times 4\right)=11.$$所以, 一共有 $11$ 个四顶点的简单图.

例子 3.3.12. 单位圆上平均分布着 $n$ 个点, 每个点可以染 $m$ 种颜色. 如果通过旋转, 两个图像是一样的, 我们就认为这两个染色方式是一样的. 试问一共有多少种不同的染色?

对这 $n$ 个点任意进行 $m$-染色, 共有 $m^n$ 种方式, 这是构形空间 $X$. 对于这 $n$ 个点的旋转对称群 $G=\mathbb{Z}$, 通过对顶点的置换, $G$ 作用在 $X$ 上, 我们要计算 $G$.

对于 $\mathbb{Z}$ 中的元素 $g=\overline{k}$, 其中, $k\in \{0,1,\cdots ,n-1\}$, 在 $g$ 作用下不变的染色一共有 $m^{(n,k)}$, 其中, $(n,k)$ 为这两个数的最大公约数. 根据 Burnside 引理, 我们就有$$\left|G\right|=\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}{m}^{(n,k)}.$$特别地, 如果 $n=4$, $m=3$, 那么, $$\left|G\right|=\frac{1}{4}(3^4+3^1+3^2+3^1)=24.$$

3.3.3Sylow 定理

定义 3.3.13. $G$ 是有限群, $p$ 是素数, $|G|=n=p^{k}m$, 其中, $k⩾1$, $(p,m)=1$. 如果 $S<G$ 是子群并且 $|S|=p^k$, 就称 $S$ 是 $G$ 的 Sylow $p$-子群或是 $\mathbf{p}$-Sylow 子群.

$S<G$ 是子群, 则 $S$ 为 Sylow $p$-子群当且仅当 $S$ 为 $p$-群且 $[G:S]$ 与 $p$ 互素.

注记 3.3.14 (群作用的一个例子). Sylow $p$-子群 $S$ 的共轭, 即形如 $gS{g}^{-1}$ 的群, 仍是 Sylow $p$-子群. 特别地, $G$ 可以 (通过共轭) 作用在 Sylow $p$-子群的集合上.

我们给出了两个具体的 Sylow $p$-子群的例子:

例子 3.3.15. 令 $G=\mathbb{Z}$, 其中 $n=p^{k}m$, $p\nmid m$. 我们有自然同构 ¹$$\mathbb{Z}\simeq \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}.$$上式中右边第一个因子 (在乘积中形如 $(\ast ,1)$ 的元素) $\mathbb{Z}$ 是唯一的 Sylow $p$-子群.

从上式左边来看, 该 Sylow $p$-子群中的元素恰为 $\mathbb{Z}$ 中 $\mathrm{mod}m$ 得 $1$ 的元素, 这因为上述同构由如下映射给出: $$\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\times \mathbb{Z},\overline{a}\mapsto (a(\mathrm{mod}～p^k),a(\mathrm{mod}～m)).$$

例子 3.3.16. 请参考例 2.1.15. $K$ 是域且 $|K|=q$, 其中 $q=p^m$, $p$ 是素数. 此时, $$|\mathbf{GL}(n;K)|=\prod _{k=0}^{n-1}(q^n-q^k)=q^{\frac{n(n-1)}{2}}l,|{\mathcal{T}}_1|=q^{\frac{n(n-1)}{2}},$$其中, ${\mathcal{T}}_1$ 为对角线上全为 $1$ 的上三角矩阵所构成的子群. 由于 $l=\prod _{i=1}^n(q^i-1)$, 从而, $(p,l)=1$. 所以, ${\mathcal{T}}_1$ 是 $\mathbf{GL}(n;K)$ 的 Sylow $p$-子群.

例子 3.3.17. $p$ 是素数, 考察 ${\mathfrak{S}}_p$ 的 Sylow $p$-子群. 由于 $|{\mathfrak{S}}_p|=p(p-1)!$ 并且 $(p,(p-1)!)=1$, 由 $p$-循环 $(x_1,x_2,\cdots ,x_p)$ 生成的循环群给出了 ${\mathfrak{S}}_p$ 中所有的 Sylow $p$-子群. 容易看出, 一共有 $(p-1)!÷(p-1)=(p-2)!$ 个这样的 Sylow $p$-子群.

另外, 根据下面即将证明的 Sylow 定理, Sylow $p$-子群的个数模 $p$ 余 $1$, 即 $(p-2)!\equiv 1(\mathrm{mod}p)$, 这是初等数论中的 Wilson 定理.

注记 3.3.18. 根据 Cayley 定理 ², 每个有限群均可视为某个对称群 ${\mathfrak{S}}_n$ 的子群. 实际上, 还可以把有限群实现为一般线性群 $\mathbf{GL}(n;K)$ 的子群, 其中, $K$ 为任意给定的域.

设群 $G$ 的阶为 $n$, 根据 Cayley 定理的证明, 通过左乘法 $G$ 可以在自身上作用, 从而嵌入对称群 ${\mathfrak{S}}_G\simeq {\mathfrak{S}}_n$. 我们再把 ${\mathfrak{S}}_n$ 嵌入 $\mathbf{GL}(n;K)$ 中: 给定 $(e_i{)}_{1⩽i⩽n}$ 为 $K^n$ 的标准的基, 对任意的 $\sigma \in {\mathfrak{S}}_n$, 我们把 $\sigma$ 映射成到线性变换 $e_i\mapsto e_{\sigma (i)}$, 其中, $i=1,\cdots ,n$. 容易验证, 这个对应方式给出了 (单的) 群同态 ${\mathfrak{S}}_n\hookrightarrow \mathbf{GL}(n;K)$. 综上所述, 我们把 $G$ 实现为 $\mathbf{GL}(n;K)$ 的子群.

以上构造可以用群代数的语言表达: 群代数 $K[G]$ 是 $K$ 线性空间, 它具有基 $\{e_g{\}}_{g\in G}$ 并且满足乘法 $e_g\cdot e_{g^{\prime }}=e_{g{g}^{\prime }}$. 我们定义$$G⟶\mathbf{GL}(K[G]),g\mapsto (e_{g^{\prime }}\mapsto e_{g{g}^{\prime }}).$$这是单的群同态, 它将 $G$ 实现为 $\mathbf{GL}(K[G])$ 的子群.

在应用时, 我们通常选取 $K={\mathbb{F}}_p$.

命题 3.3.19. $G$ 是有限群, $|G|=p^{k}m$, 其中, $p$ 是素数并且 $(p,m)=1$. 假设 $S$ 是 $G$ 的 Sylow $p$-子群, $H<G$ 为子群, 则存在 $g\in G$, 使得 $H\cap gS{g}^{-1}$ 是 $H$ 的 Sylow $p$-子群. 换而言之, 通过对大群的 Sylow $p$-子群共轭可得到子群的 Sylow $p$-子群.

证明.

证明的思想是考虑群作用在由自身所构造的对象上, 请参考例 3.2.7.

令 $H$ 通过左乘法在 $X=G$ 上的作用. 由于 $S$ 是 Sylow $p$-子群, 所以 $|X|$ 的元素个数与 $p$ 互素. 由于 $X$ 是以上作用的轨道的并, 必存在某个轨道 $\mathbf{O}=H\cdot x=H\cdot gS$, 其元素个数不是 $p$ 的倍数.

对群作用 ${}^{H\curvearrowright }X$, $x=gS$ 的稳定化子为 $H\cap gS{g}^{-1}$, 由于 $S$ 是 Sylow $p$-子群, 所以 $H\cap gS{g}^{-1}$ 是 $p$-群. 根据 $|\mathbf{O}||H\cap gS{g}^{-1}|=|H|$, 则 $[H:H\cap gS{g}^{-1}]=|\mathbf{O}|$ 与 $p$ 互素. 这表明 $H\cap gS{g}^{-1}$ 是 $H$ 的 Sylow $p$-子群.

$\square$

作为应用, 我们有

定理 3.3.20 (Sylow 第一定理). 有限群有 Sylow $p$-子群.

证明. 给定有限群 $G$, $G$ 可视为 $\mathbf{GL}(n;{\mathbb{F}}_p)$ 的子群. 根据例 3.3.16, $\mathbf{GL}(n;{\mathbb{F}}_p)$ 有 Sylow $p$-子群, 从而 $G$ 有 Sylow $p$-子群.

$\square$

利用群作用在由自身所构造的对象上的观点, 我们还可以构造其它的群作用给出 Sylow 定理的证明:

Sylow 定理的另一证明 (Miller-Wielandt) : 假设 $|G|=qm=p^{k}m$, 其中, $q=p^k$ 是 $p$ 的幂, $p\nmid m$. 用 $X$ 表示群 $G$ 的 $q$ 元子集所构成的集合: $$X=\{A\subset G||A|=q\}.$$那么, $|X|=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{qm}{q}\right)$. 我们有如下 $\mathrm{mod}p$ 的同余关系: ³$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{qm}{q}\right)\equiv m\mathrm{mod}p,$$其中, $q$ 是 $p$ 的幂, $p\nmid m$.

群 $G$ 通过左乘法作用于 $X$, 即$$G\times X\to X,(g,A)\mapsto gA=\{ga|a\in A\}.$$由于 $|X|$ 与 $p$ 互素, 存在 ${}^{G\curvearrowright }X$ 的轨道 $\mathbf{O}$, 其元素数目与 $p$ 互素. 任选 $A\in \mathbf{O}$, 令 $S=\mathrm{Stab}(A)$ 为 $A$ 的稳定化子. 根据 $|\mathbf{O}|=[G:S]$, 这表明 $p\nmid [G:S]$, 从而, $|S|$ 已包含了 $|G|$ 中所有 $p$ 的幂, 即 $q\mid |S|$.

另外, 任选 $a\in A$, 由于 $S$ 是 $A$ 的中心化子, 所以以下映射是良好定义的: $$S⟶A,g\mapsto ga.$$这显然是单射, 从而, $|S|⩽|A|=q$. 再根据 $q\mid |S|$, $q=|S|$, 所以 $S$ 为 Sylow $p$-子群.

推论 3.3.21 (Cauchy). 若 $p$ 整除 $|G|$, 则 $G$ 有阶为 $p$ 的元素.

证明. $S$ 是 $G$ 的 Sylow $p$-子群, 任选非单位元 $x\in S$, 它的阶整除 $|S|$, 不妨假设这个阶为 $p^m$, 其中 $m⩾1$. 那么, $x^{p^{m-1}}$ 的阶为 $p$.

$\square$

注记 3.3.22. 进一步分析以上证明中的轨道分解, 可以给出关于 Sylow $p$-子群的更多性质.

考虑 ${}^{G\curvearrowright }X$ 的轨道分解 $X=\coprod _i{\mathbf{O}}_i$ 并对每个 $i$, 选取 $A_i\in {\mathbf{O}}_i$, 从而, ${\mathbf{O}}_i=G\cdot A_i$. 令 $S_i=\mathrm{Stab}(A_i)$ 为 $A_i$ 的稳定化子, 那么, $|{\mathbf{O}}_i||S_i|=|G|$. 上述推理已经证明了 $|S_i|⩽p^k$. 现在考虑以下两种可能:

1)	$|S_i|<p^k$, 那么, $p\mid |{\mathbf{O}}_i|$;
2)	$|S_i|=p^k$, 那么该稳定化子群 $S_i$ 是 Sylow $p$-子群. 反之亦然: 假设 $S$ 是 Sylow $p$-子群, 则对任意 $g\in G$, $S\cdot g\in X$ 并且其稳定化子恰为 $S$. 实际上, 如果 Sylow $p$-子群 $S$ 保持某个 $A\in X$ 不变, 即 $SA\subset A$, 则 $A=Sa$, 其中 $a\in A$ (因为 $Sa\subset A$ 并且两个集合同阶) . 这表明 $S$ 恰为 $X$ 中形如 $Sa$ 的元素的稳定化子. 这些元素恰好是 $S$ 的右陪集, 所以共有 $|G|=m$ 个.

以上给出了所有 Sylow $p$-子群的刻画. 我们现在利用轨道来计算 $X$ 的元素个数: 综上所述, 有$$\begin{array}{rl}|X|& =\sum _{|S_i|<p^k}|{\mathbf{O}}_i|+\sum _{|S_i|=p^k}|{\mathbf{O}}_i|\\ & \equiv 0+sm\text{(mod p)}.\end{array}$$其中, $s$ 是 Sylow $p$-子群的个数. 对于 $|S_i|=p^k$ 的情形, 每个轨道恰好有 $m$ 个元素. 由于 $|X|=m(\mathrm{mod}p)$, 所以 $s=1\text{(mod p)}$. 这表明 Sylow $p$-子群的个数除 $p$ 余 $1$.

注记 3.3.23. 上述等式$$\begin{array}{r}|X|\equiv 0+sm\text{(mod p)}.\end{array}$$的推导并未用到 $G$ 的具体结构, 所以 $s$ 模 $p$ 只依赖于 $|G|$ (这里不需要使用 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{qm}{q}\right)\equiv m\mathrm{mod}p$) . 特别地, 群 $\mathbb{Z}$ 只有一个 Sylow $p$-子群, 所以 $s\equiv 1\text{(mod p)}$.

我们以下将给出有限群 Sylow $p$-子群的个数除 $p$ 余 $1$ 的另一个证明.

定理 3.3.24 (Sylow 第二定理). $G$ 是有限群, 则其每个 $p$-子群都包含在某个 Sylow $p$-子群中. 另外, $G$ 的 Sylow $p$-子群两两共轭并且其个数模 $p$ 余 $1$.

引理 3.3.25. $G$ 是 $p$-群并且作用在有限集 $X$ 上, 令$$X^G=\{x\in X|gx=x,\forall g\in G\}.$$那么, $|X|\equiv |X^G|(\mathrm{mod}p)$.

证明. $X^G$ 中的元素恰对应只有一个元素的轨道, 而集合 $X-X^G$ 是那些元素个数大于 $1$ 的轨道的并. 由于 $G$ 是 $p$-群, 后一种轨道的元素个数是 $p$ 的倍数. 所以, $|X|\equiv |X^G|(\mathrm{mod}p)$.

$\square$

Sylow 第二定理的证明. 先证明第一个结论: 假设 $P$ 是 $G$ 的 $p$-子群, 任选 Sylow $p$-子群 $S$, 令 $X=G$. 考虑 $P$ 通过左乘法在 $X$ 上的作用. 根据上述引理, $$|X^P|\equiv |X|\ne 0(\mathrm{mod}p).$$这表明有 $gS\in X$, 使得对任意的 $h\in P$, $hgS=gS$, 即 $g^{-1}Pg\subset S$. 从而, $P<gS{g}^{-1}$ 而 $gS{g}^{-1}$ 显然是 Sylow $p$-子群.

另外, 若 $P$ 是 Sylow $p$-子群, 通过比较元素个数, $P<gS{g}^{-1}$ 意味着 $P=gS{g}^{-1}$, 这证明了所有的 Sylow $p$-子群均共轭.

$\square$

现在给出定理中关于 Sylow $p$-子群个数的新证明, 它依赖于下述引理:

引理 3.3.26. 若 $S$ 和 $S^{\prime }$ 是 $G$ 的 Sylow $p$-子群并且 $S^{\prime }$ 正规化 $S$, 即对任意 $s^{\prime }\in S$, 有 $s^{\prime }S{s}^{\prime -1}<S$, 则 $S=S^{\prime }$.

证明. 由于 $S^{\prime }$ 正规化 $S$, 所以 $S^{\prime }$ 是 $S$ 的正规化子 ⁴${\mathrm{N}}_G(S)$ 的 Sylow $p$-子群. 另外, $S$ 也是 ${\mathrm{N}}_G(S)$ 的 Sylow $p$-子群并且 ${\mathrm{N}}_G(S)$ 在 $S$ 上共轭作用是平凡的, 根据定理中的第二个结论, $S$ 是 ${\mathrm{N}}_G(S)$ 中唯一的 Sylow $p$-子群. 所以, $S=S^{\prime }$.

$\square$

现在令 $X$ 为 $G$ 的全体 Sylow $p$-子群的集合, $S$ 可以通过共轭作用在 $X$ 上, 即$$S\times X\to X,(g,S^{\prime })\mapsto g{S}^{\prime }{g}^{-1}.$$上述引理表明 $S\in X$ 是唯一一个被 $S$ 固定的元素. 根据引理 3.3.25, $|X|\equiv 1(\mathrm{mod}p)$.

注记 3.3.27. 令 $X$ 为 $G$ 的全体 Sylow $p$-子群的集合, $G$ 可以通过共轭作用于 $X$. Sylow 第二定理表明该作用是传递的, 所以 Sylow $p$-子群的个数必能整除 $|G|$.

例子 3.3.28 (${\mathfrak{S}}_6$ 非共轭自同构另一个构造).

先考察 ${\mathfrak{S}}_5$ 的 Sylow 5-子群. 根据例 3.3.17, 共有 $s=(5-2)!=6$ 个这样的子群. 我们也可以利用 Sylow 定理的结论来计算, 由于 $s$ 除 $5$ 余 $1$, 我们枚举以下可能性: $$s=1,6,11,16,21,26,31,36,41,46,51,56,61,\cdots .$$另外, 根据 $|{\mathfrak{S}}_5|=120$, $s\mid 120$, 据此, $s=1$ 或者 $6$. 另外, $5$-循环 $(1,2,3,4,5)$ 和 $(2,1,3,4,5)$ 生成了两个不同的 Sylow 5-子群, 所以 $s⩾2$, 从而 $s=6$.

我们还可以利用 ${\mathfrak{S}}_5$ 的唯一非平凡正规子群为 ${\mathfrak{A}}_5$ 来排除 $s=1$ 的情形: 若不然, Sylow 第二定理表明这个 Sylow 5-子群是正规子群, 矛盾.

令 $X=\{S_1,\cdots ,S_6\}$ 是 Sylow 5-子群的集合. 通过共轭, ${\mathfrak{S}}_5$ 在 $X$ 上给出了传递的群作用: $$\phi :{\mathfrak{S}}_5\to {\mathfrak{S}}_X\simeq {\mathfrak{S}}_6.$$根据作传递性, $|\mathrm{Ker}(\phi )|⩽120÷6=20<60=|{\mathfrak{A}}_5|$, 根据 ${\mathfrak{S}}_5$ 的唯一非平凡正规子群为 ${\mathfrak{A}}_5$, 我们可以断言 $\mathrm{Ker}(\phi )=1$, 即 $\phi$ 是单射. 令 $H=\mathrm{Im}(\phi )$, 那么, $H<{\mathfrak{S}}_X\simeq {\mathfrak{S}}_6$ 是有 $120$ 个元素的子群并且 ${}^{H\curvearrowright }X$ 是传递的.

这里的构造满足例 3.2.13 中的条件.

3.3.4正多面体的对称群

正四面体的对称群是 ${\mathfrak{A}}_4$

用 $\mathbf{SO}(3)$ 表示 $3\times 3$ 的行列式为 $1$ 的正交矩阵的集合, 这是 ${\mathbb{R}}^3$ 中旋转的所构成的群. 对任意 $g\in \mathbf{SO}(3)$, 若 $g\ne 1$, 则 $g$ 的不动点只有其旋转轴.

给定中心在原点的正四面体 $\mathbf{T}$ 并对其顶点如下标号:

现在考虑 $\mathbf{T}$ 的对称群: $${\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{T}):=\{g\in \mathbf{SO}(3)|g\left(\mathbf{T}\right)=\mathbf{T}\}$$这是 $\mathbf{SO}(3)$ 的子群并自然地作用在 $\mathbf{T}$ 上. 我们证明 ${\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{T})\simeq {\mathfrak{A}}_4$.

每个 $g\in {\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{T})$ 把正四面体的顶点映到顶点, 通过标号, 我们认为 $g$ 给出了 $\phi (g)\in {\mathfrak{S}}_4$. 例如, 以过顶点 $1$ 及其对面中心为轴的角度为 $\frac{2\pi }{2}$ 的旋转 $g$, 把顶点 $2$ 映成 $3$、$3$ 映成 $4$、$4$ 映成 $2$, 所以, $\phi (g)=(2,3,4)\in {\mathfrak{S}}_4$. 据此 ${\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{T})$ 作用在顶点集合 $\{1,2,3,4\}$ 上, 从而有群同态: $$\phi :{\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{T})⟶{\mathfrak{S}}_4.$$另外, 若 $g$ 固定了所有的顶点, 则 $g=1$, 从而 $\phi$ 是单射. 我们现在来决定 $\phi$ 的像 $\mathrm{Im}(\phi )<{\mathfrak{S}}_4$. 实际上, 绕着过顶点以及其对面中心为轴的旋转给出了所有的 $3$-循环, 它们生成了 ${\mathfrak{A}}_4$. 所以, ${\mathfrak{A}}_4<\mathrm{Im}(\phi )<{\mathfrak{S}}_4$. 若 $\mathrm{Im}(\phi )\ne {\mathfrak{A}}_4$, 则 $\mathrm{Im}(\phi )={\mathfrak{S}}_4$, 从而存在 $g$, 使得 $\phi (g)=(3,4)$, 从而, $g(1)=1,g(2)=2$, 从而 $g$ 在旋转轴外有不动点, 这不可能.

正六面体的对称群是 ${\mathfrak{S}}_4$

考虑中心在原点的正六面体 $\mathbf{C}$: 把一个面上的顶点标号为 $1,2,3,4$ 而与它们中心对称的顶点则标号为 $1^{\prime },2^{\prime },3^{\prime },4^{\prime }$.

它的对称群为$${\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{C}):=\{g\in \mathbf{SO}(3)|g\left(\mathbf{C}\right)=\mathbf{C}\}$$这是 $\mathbf{SO}(3)$ 的子群并自然地作用在 $\mathbf{T}$ 上.

对 $a=1,2,3,4$, 用 $X$ 表示过 $a$ 与 $a^{\prime }$ 的直线 ${\ell }_a$ 的集合, 即 $X=\{{\ell }_1,{\ell }_2,{\ell }_3,{\ell }_4\}$. 每个 $g\in {\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{C})$ 把 $\ell \in X$ 映射成某个 ${\ell }^{\prime }\in X$, 从而有群作用$$\phi :{\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{T})\to {\mathfrak{S}}_X.$$$\phi$ 显然是单射. 它的像 $\mathrm{Im}(\phi )$ 包含所有绕某个 ${\ell }_i$ 的角度为 $\frac{2\pi }{3}$ 和 $\frac{4\pi }{3}$ 的旋转, 即所有 $3$-循环, 从而 ${\mathfrak{A}}_4<\mathrm{Im}(\phi )$. 另外, 以对边中点为轴、以 $\pi$ 为角度的旋转给出 ${\mathfrak{S}}_X$ 中的一个对换, 从而, $\mathrm{Im}(\phi )$ 包含 ${\mathfrak{A}}_4$ 之外的元素. 根据 $[{\mathfrak{S}}_4:{\mathfrak{A}}_4]=2$, $\mathrm{Im}(\phi )={\mathfrak{S}}_4$.

正二十面体的对称群是 ${\mathfrak{A}}_5$

考虑正二十面体 $\mathbf{I}$:

其中, 我们可以参考 补充: 正二十面体的对称 一节中正二十面体的定义. 它的对称群定义是 $\mathbf{SO}(3)$ 的子群: $${\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I}):=\{g\in \mathbf{SO}(3)|g\left(\mathbf{I}\right)=\mathbf{I}\}.$$除单位元外, 我们罗列出 ${\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})$ 的部分 (可能是所有) 元素:

a)	绕以过对顶点的直线为轴、角度为 $\frac{k}{5}\pi$ 的旋转 ($k=1,2,3,4$) , 共有 $24$ 个.
b)	绕以过对面中心的直线为轴、角度为 $\frac{k}{3}\pi$ 的旋转 ($k=1,2$) , 共有 $20$ 个.
c)	绕以过对边中点的直线为轴、角度为 $\pi$ 的旋转, 共有 $15$ 个.

连同单位映射, 以上给出了 ${\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})$ 中 $60$ 个元素 $G_{\mathbf{I}}$. 首先证明 $⟨G_{\mathbf{I}}⟩={\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})$. 给定 $g\in {\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})$, 令 $P^{\prime }=g\cdot P$.

•	如果 $P^{\prime }\notin \{P,R_1,R_2,R_3,R_4,R_5\}$, 可选取 $\sigma \in G_{\mathbf{I}}$, 使得 $\sigma P^{\prime }\in \{P,R_1,R_2,R_3,R_4,R_5\}$: 实际上, 不妨设 $P^{\prime }\in \{-P,-R_1\}$, 选以 $z$ 轴为对称轴、旋转角度为 $\pi$ 的旋转 $\sigma$, 则 $\sigma (P^{\prime })\in \{R_1,P^{\prime }\}$. 所以, 通过复合 $G_{\mathbf{I}}$ 中元素, 我们可以假设 $g{P}^{\prime }\in \{P,R_1,R_2,R_3,R_4,R_5\}$.
•	进一步复合以过面 $P{R}_k{R}_{k+1}$ 及其对面的中心为轴的旋转, 我们可以假设 $gP=P$. 此时, $g$ 的旋转轴为过 $P$ 与 $-P$ 的直线, 所以只能是某个绕以过 $P$ 和 $-P$ 直线为轴、角度为 $\frac{k}{5}\pi$ 的旋转的旋转.

这就证明了 ${\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})=⟨G_{\mathbf{I}}⟩$.

其次, 我们证明 ${\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})=G_{\mathbf{I}}$. 考虑 ${\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})$ 作用在 $\mathbf{I}$ 的 $12$ 个顶点集上, 这个作用是传递的. 顶点 $P$ 的稳定化子 $\mathrm{Stab}(x)$ 恰有 $5$ 个元素. 从而, $$|{\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})|=|\mathrm{Stab}(x)|\times 12=60.$$特别地, 我们有 ${\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})=G_{\mathbf{I}}$.

最终, 我们研究 ${\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})$ 的群结构. 一个三线组指的是过原点的三条相互垂直的直线并且每条直线都通过 $\mathbf{I}$ 的某对边的中点, 比如 $x,y,z$ 三个轴组成这样的一个三线组. 令 $X$ 是三线组的集合, 则 $|X|=5$ (每个三线组对应 $\mathbf{I}$ 的 $6$ 条边) . ${\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})$ 中的元素保持 ${\mathbb{R}}^3$ 中间直线的正交性并且把 $\mathbf{I}$ 的边的中点映射为边的中点, 所以, ${\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})$ 自然地作用在 $X$ 上: $$\phi :{\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})⟶{\mathfrak{S}}_X\simeq {\mathfrak{S}}_5.$$以下证明 $\phi$ 是单射:

引理 3.3.29. 对 $g\in {\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})-\{1\}$ (用 ${\ell }_g$ 表示其旋转轴) , 存在 $\mu (g)\in {\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})$ (未必唯一) , 使得 ${\ell }_{\nu (g)}\perp {\ell }_g$ 并且 $\mu (g{)}^2=1$ (即 $\mu (g)$ 为绕过对边中点的直线为轴的旋转) .

证明. 对 ${\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})$ 的元素进行枚举证明:

1)	绕以过对顶点的直线为轴的旋转: 比如轴是过 $P$ 的直线, 选取 $\mu (g)$ 为以 $z$ 轴为轴的旋转.
2)	绕以过对面中心的直线为的轴旋转, 比如轴过 $(1,1,1)$ (面 $P{R}_1{R}_2$ 的中心) , 则选取 $\mu (g)$ 为以过 $R_1{R}_5$ 的中点的轴垂直, 这因为$$R_1=(\tau ,-1,0),R_5=(1,0,-\tau )\Rightarrow \frac{1}{2}(R_1+R_5)=\frac{1}{2}(1+\tau ,-1,-\tau ).$$
3)	绕以过对边中点的直线为轴的旋转, 比如轴是 $z$ 轴, 则选 $\mu (g)$ 为以 $y$ 或 $x$ 轴为轴的旋转.

以上罗列所有的可能, 命题得证.

$\square$

如果 $g\in \mathrm{Ker}(\phi )$ 并且 $g\ne 1$. 那么, $g$ 固定三线组 $x,y,z$. 从而, $g$ 给出了 $\{x,y,z\}$ 到自身的映射. 特别地, $g^5\ne 1$ (因为 $⟨g⟩$ 作用在 $3$ 个元素的集合上, 若 $g$ 的阶是 $5$, 则 $g(x)=x,g(y)=y,g(z)=z$, 这表明 $g$ 为 $1$ 或者 $-1$, 矛盾) , 从而 $g$ 不是 $5$ 阶的旋转.

根据引理中的构造, $\mu (g)$ 所的轴 ${\ell }_{\mu (g)}$ 一定是某个三线组的元素, 记此三线组为 $\{{\ell }_{\mu (g)},{\ell }_2,{\ell }_3\}$. 根据 $g\in \mathrm{Ker}(\phi )$, 有$$g:\{{\ell }_{\mu (g)},{\ell }_2,{\ell }_3\}⟶\{{\ell }_{\mu (g)},{\ell }_2,{\ell }_3\}$$另外, 因为 ${\ell }_g\perp {\ell }_{\mu (g)}$, ${\ell }_{\mu (g)}$ 在 $g$ 的作用下一定改变, 从而 $g^2=1$: 如若不然, $g^3=1$, 则 ${\ell }_{\mu (g)},g\left({\ell }_{\mu (g)}\right),g^2\left({\ell }_{\mu (g)}\right)$ 是与 ${\ell }_g$ 垂直的平面上的三条不同的直线, 但是 $\{{\ell }_{\mu (g)},g({\ell }_{\mu (g)}),g^2({\ell }_{\mu (g)})\}=\{{\ell }_{\mu (g)},{\ell }_2,{\ell }_3\}$ 是两两垂直的, 矛盾.

此时, 唯一可能为 $g^2=1$, 不妨设 $g$ 为以 $z$ 轴为轴的旋转, 它把 $R_1{R}_2$ 的中点 $\frac{1}{2}(\tau +1,-1,\tau )$ 映射成 $\frac{1}{2}(-\tau -1,+1,\tau )$, 它们的内积为$$\frac{1}{2}(\tau +1,-1,\tau )\cdot \frac{1}{2}(-\tau -1,+1,\tau )=-\frac{1}{2}\left(\tau +1\right)$$这表明 $g$ 把过 $R_1{R}_2$ 的中点的线所在的三线组映射成另外的三线组, 与 $g\in \mathrm{Ker}(\phi )$ 矛盾.

综上所述, $\phi :{\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})⟶{\mathfrak{S}}_X$ 是单射, 从而 $\phi ({\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I}))$ 是 ${\mathfrak{S}}_5$ 的 $60$ 阶的子群. 我们已构造 $20$ 个 $3$ 阶元, 它们的像必然是 ${\mathfrak{S}}_5$ 中的 $3$-循环并且 ${\mathfrak{S}}_5$ 中共有 $20$ 个 $3$-循环. 所以, $\phi ({\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I}))$ 包含 $3$-循环生成的子群, 从而 $\phi :{\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})={\mathfrak{A}}_5$.

注记 3.3.30. 还可以利用习题 3.6.2 的想法先证明 ${\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})$ 是单群来说明 $\phi$ 是单射.

注意到如果 $g\in \mathbf{SO}(3)$ 是以直线 $\ell$ 为旋转轴、角度为 $\theta$ 的旋转, 那么, 对任意 $h\in \mathbf{SO}(3)$, $h\cdot g\cdot h^{-1}$ 是以直线 $h(\ell )$ 为旋转轴、角度为 $\theta$ 的旋转. 据此, 对任意的 $g,g^{\prime }\in \mathbf{SO}(3)$, $g$ 与 $g^{\prime }$ 共轭当且仅当它们的旋转角度相同.

利用以上的观察不难说明, ${\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})$ 一共有如下几个共轭类:

旋转角度	0	$\frac{2}{5}\pi$	$\frac{4}{5}\pi$	$\frac{2}{3}\pi$	$\pi$
元素个数	1	12	12	20	15

由于 ${\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})$ 的非平凡正规子群一定是以上若干个共轭类的并, 所以其元素个数只能是以下集合中的某个数: $$\{13,16,21,25,28,33,36,40,45,48\},$$但它们不是 $60$ 的约数, 从而, ${\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})$ 是单群.

注记 3.3.31. 正二十面体的 $3$ 组对边中点连线给出一个正八面体, 一共有 $5$ 个这样的正八面体. ${\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})$ 在这些八面体构成的集合上的作用给出它到 ${\mathfrak{A}}_5$ 的同构.

3.3.5$\mathbf{PSL}(2;K)$ 与分式线性变换以及 Galois 的一个命题

$K$ 是域, 规定 $K\cup \{\infty \}$ 的运算法则: $$a\pm \infty =\infty ,\frac{b}{\infty }=0,c\cdot \infty =\infty ,\frac{c}{\infty }=0,\frac{\infty }{\infty }=1,0\cdot \infty =0,$$其中, $a,b,c\in K$ 并且 $c\ne 0$.

固定如下双射$$\Phi :K\cup \{\infty \}⟶{\mathbf{P}}^1(K),k\mapsto [k:1],k\in K;\infty \mapsto [1:0].$$我们定义 $\mathbf{GL}(2;K)$ 在 $K\cup \{\infty \}$ 上的作用 (直接计算可以证明这是群作用) , $$\mathbf{GL}(2;K)\times K\cup \{\infty \}⟶K\cup \{\infty \},\left(\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),x\right)\mapsto \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\cdot x=\frac{ax+b}{cx+d}.$$由于 $k\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ 的作用是平凡的, 其中, $k\in K^{\times }$, 以上诱导出群作用$$\mathbf{PGL}(2;K)\times K\cup \{\infty \}⟶K\cup \{\infty \}.$$特别地, 以上定义的 $\mathbf{PGL}(2;K)⟶{\mathfrak{S}}_{K\cup \{\infty \}}$ 是单射.

注记 3.3.32. 以上的群作用与 $\mathbf{GL}(2;K)$ 在 ${\mathbf{P}}^1(K)$ 的作用是同构的, 请参考定义 3.2.8. 实际上, ${\Phi }^{-1}([x:y])=\frac{x}{y}$ (如果 $y\ne 0$) . 固定 $g=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, 我们有$$g\cdot [x:y]=[ax+by:cx+dy].$$所以, $${\Phi }^{-1}\left(g\cdot [x:y]\right)=\frac{ax+by}{cx+dy}=\frac{a\frac{x}{y}+b}{c\frac{x}{y}+d}=g\cdot {\Phi }^{-1}([x:y]).$$

例子 3.3.33 ($\infty$ 的稳定化子). 我们有$$\mathrm{Stab}(\infty )=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 1\end{array}\right)\in \mathbf{PSL}(2;K)\right\}$$它们对应的分式线性变换为 $x\mapsto ax+b$, 这是例 3.2.5 中定义的 $1$ 维的仿射变换群. 总之, $\mathrm{Stab}(\infty )={\mathbf{Aff}}_1(K)$.

例子 3.3.34. 我们有$$\mathbf{Scal}:=\mathrm{Stab}(\infty )\cap \mathrm{Stab}(0)=\left\{x\mapsto kx|k\in K^{\times }\right\},$$这是以 $0$ 为中心的伸缩变换. 注意到 $\mathbf{Scal}$ 不是 $\mathrm{Stab}(\infty )$ 的正规子群.

平移变换子群为$$\mathbf{Parellel}=\left\{\left(\begin{array}{cc}1& b\\ 0& 1\end{array}\right)|b\in K\right\}.$$这是 $\mathrm{Stab}(\infty )$ 的子群并且是正规子群. 另外, $\mathbf{Parellel}\cap \mathbf{Scal}=1$.

矩阵 $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ 对应着反演映射 $\mathbf{Inv}:x\mapsto \frac{1}{x}$.

例子 3.3.35. 利用矩阵的行列变换可以看出子群 $\mathbf{Parellel}$ 与反演映射生成了所有分式线性变换, 即 $⟨\mathbf{Parellel},\mathbf{Inv}⟩=\mathbf{PSL}(2;K)$.

命题 3.3.36. $\mathbf{PGL}(2;K)$ 在 $K\cup \{\infty \}$ 上的作用是 $3$-传递的, 即对任意的 $(x,y,z)$ 和 $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$, 其中, $\{x,y,z\}\subset K\cup \{\infty \}$ 两两不同, $\{x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }\}\subset \cup \{\infty \}$ 两两不同, 存在唯一的 $g\in \mathbf{PGL}(2;K)$, 使得 $g(x)=x^{\prime },g(y)=y^{\prime },g(z)=z^{\prime }$.

证明. 实际上, 对任意的 $\{x_1,y_1,z_1\}\subset K\cup \{\infty \}$, 映射$$x\mapsto \frac{y_1-z_1}{y_1-x_1}\frac{x-x_1}{x-z_1}$$是唯一使得 $g(x_1)=0,g(y_1)=1,g(z_1)=\infty$ 的分式线性变换.

$\square$

1832 年 5 月 29 日, 也就是那场著名决斗的前夜, Galois 把构思已久的几个定理写在给挚友 Auguste Chevalier 的信里:

“$\cdots$ 我的研究有了新的进展, 部分关于方程的理论而另一部分涉及函数的积分. 在方程方面, 通过研究何种情形方程可通过根式解出, 我可以真正深入理论来描述对一个方程所有可能的变换, 即使该方程的解不能通过根式给出.

这些想法可以写成三篇文章. 第一篇已完成, Possion 教授对此有不同见解, 但我仍坚持它的重要性并进行了必要的修正. 第二篇包含了一些相当有趣的应用. 以下是最重要内容的总结:

$\cdots \cdots$

我一生中常常敢于提出一些自己不确定的命题, 但在这里的内容在我却反复思考了一年有余 $\cdots$

恳求你公开邀请 Jacobi 或 Gauss 发表意见, 不是对这些定理的正确性, 而是对它们的重要性 $\cdots$”

注意到, $\mathbf{PGL}(2;{\mathbb{F}}_p)$ 可以自然得作用在具有 $p+1$ 个元素的集合 ${\mathbf{P}}^1({\mathbb{F}}_p)$ 上. 在绝笔信中, Galois 想理解 $\mathbf{PGL}(2;{\mathbb{F}}_p)$ 是否能作用在一个元素个数不超过 $p$ 的集合上, 他的思考可以给出如下有趣的性质:

命题 3.3.37. $\mathbf{PGL}(2;{\mathbb{F}}_{11})$ 有一个同构于 ${\mathfrak{A}}_5$ 的子群.

首先注意到 $|\mathbf{PGL}(2;{\mathbb{F}}_{11})|=1320=2^3\times 3\times 5\times 11$. 通过实现为分式线性变换, 我们将 $\mathbf{PGL}(2;{\mathbb{F}}_{11})$ 视作是 ${\mathfrak{S}}_{{\mathbb{F}}_{11}\cup \infty }$ 的子群并尝试把 $\mathbf{PGL}(2;{\mathbb{F}}_{11})$ 中的元素写成 ${\mathfrak{S}}_{\{0,1,2,\cdots ,10,\infty \}}$ 中循环的分解.

对于 $g_1=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2^{-1}\end{array}\right)$, 它对应着 ${\mathbb{F}}_{11}$ 中乘 $4$ 的运算. 从而, $$g_1=(1,4,5,9,3)(10,7,6,2,8).$$对于 $g_2=\left(\begin{array}{cc}7& 1\\ 1& 5\end{array}\right)$, 我们可以计算$$g_2=(0,9,3)(1,5,8)(2,10,4)(7,6,\infty ).$$实际上, 利用在 ${\mathbb{F}}_{11}$ 中 $2\times 6=3\times 4=5\times 9=7\times 8=10^2=1$, 计算是简单的. 现在考虑如下的正二十面体, 其中, 我们用 ${\mathbb{F}}_{11}\cup \{\infty \}$ 对其顶点进行标记:

此时, $g_1$ 对应着绕过 $0$ 和 $\infty$ 的轴而角度为 $\frac{2\pi }{5}$ 的旋转; $g_1$ 对应着绕过面 $0,9,3$ 和面 $7,6,\infty$ 的中心为轴而角度为 $\frac{2\pi }{3}$ 的旋转.

将 ${\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})$ 和 $\mathbf{PGL}(2;{\mathbb{F}}_{11})$ 视作是 ${\mathfrak{S}}_{\{0,\cdots ,10,\infty \}}$ 的子群, 那么, $g_1,g_2\in {\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})$. 特别地, $S=⟨g_1,g_2⟩\subset {\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})\simeq {\mathfrak{A}}_5$ 并且自然有 $S<\mathbf{PGL}(2;{\mathbb{F}}_{11})$. 由于 $g_1$ 和 $g_2$ 的阶分别是 $3$ 和 $5$, 从而, $|S|⩾15$. 特别地, $[{\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I}):S]⩽4$. 我们考虑 ${\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})$ 通过左乘法作用在 $X={\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})$ 上, 这给出了群同态$$\phi :{\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})⟶{\mathfrak{S}}_X.$$由于 $|X|⩽4$, $|{\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})|=60>24⩾{\mathfrak{S}}_X$. 所以, $\mathrm{Ker}(\phi )\ne 1$. 又因为 ${\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})\simeq {\mathfrak{A}}_5$ 是单群, 所以, $\phi$ 是平凡的, 从而, $S={\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})$. 这就证明了 ${\mathrm{Sym}}^{+}(\mathbf{I})<\mathbf{PGL}(2;{\mathbb{F}}_{11})$.

另外, 注意到 $g_1$ 与 $g_2$ 的行列式为 $1$, 我们实际上找到了 $\mathbf{PSL}(2;{\mathbb{F}}_{11})$ 的同构于 ${\mathfrak{A}}_5$ 的子群. 实际上, 还可以考虑映射的复合: 由于 ${\mathfrak{A}}_5$ 是单群, 不难看出 $\mathrm{Ker}(\phi )=1$, 从而, $\phi$ 给出了 ${\mathfrak{A}}_5$ 到 $\mathbf{PSL}(2;{\mathbb{F}}_{11})$ 的嵌入.

注记 3.3.38. Galois 在信中利用分式线性变换来讨论群 (每个群都应被视作是变换群! ) :

他也明确写下了 $(1,4,5,9,3)$ 与 $(10,7,6,2,8)$ 这两个循环. 请参考以下用 tex 重新录入的原文:

http://denise.vella.chemla.free.fr/transc-Galois-Lettre-a-Chevalier.pdf

1.	^ 参考 2.7.1
2.	^ 请参见练习题 2.7.5 一节
3.	^ 在多项式环 ${\mathbb{F}}_p[T]$ 中进行计算. 由于当 $k\ne 0,p$ 时, $p\mid \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k}\right)$, 对任意多项式 $f(T),g(T)\in {\mathbb{F}}_p[T]$, 根据二项式公式, 有$$(f+g{)}^p=f^p+g^p.$$从而, 对任意的 $f_1(T),\cdots ,f_l(T)\in {\mathbb{F}}_p[T]$, 有$$(\sum _{i=1}^l{f}_i(T){)}^p=\sum _{i=1}^l{f}_i(T{)}^p.$$我们利用上述公式计算 $(1+T{)}^{qm}$: $$(1+T{)}^{qm}=(1+T^q{)}^m=1+m{T}^q+\cdots .$$如果直接对 $(1+T{)}^{qm}$ 进行二项式展开, $T^q$ 的系数是 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{qm}{q}\right)$, 所以在 ${\mathbb{F}}_p$ 中, $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{qm}{q}\right)=m$.
4.	^ $H$ 是群 $G$ 的子群, $H$ 在 $G$ 中的正规化子被定义为 ${\mathrm{N}}_G(H)=\{g\in G|gH{g}^{-1}=H\}$.