6. 紧性

Bourbaki 的讣告里说. $\dots$ car « Dieu est le compactifié d’Alexandrov¹ de l’univers » (Groth, IV, 22).

图 1: Jean-Paul Benzécri

紧性似乎肇源于无穷小分析. 微积分学中的闭区间套原理, Heine–Borel 定理, 以及 Bolzano–Weierstrass 定理都是紧性的化身. “紧性 (compactness)” 这个词是由 Fréchet 引入的, 尽管他对 “紧” 的定义与我们将要介绍的定义并不相同: Fréchet 意义下的紧空间是基于序列的极限而定义的, 在当代被叫做 “序列紧”. 当代紧的定义基于 Heine–Borel 有限覆盖原理, 是由 P. S. Alexandrov 和 P. S. Urysohn 引入的.

在北美, E. H. Moore 和 H. L. Smith 提出了网 (net) 和网的收敛概念. 容易证明一个空间是紧的当且仅当任何它上面的网都有收敛子网 (即更广义的 Bolzano–Weierstrass 定理成立). 在欧洲, Henri Cartan 则鼓吹用滤子 (filter) 的收敛来刻画连续, 并给出了类似的紧性的刻画. Moore–Smith 收敛和滤子的收敛这两套理论本质上是等价的.

6.1紧性的定义和基本性质

拓扑空间 $X$ 称为紧 (compact) 的, 如果对任何 $X$ 的开覆盖 $\mathfrak{U}=(U_i{)}_{i\in I}$, 都存在 $I$ 的有限子集 $J$, 使得 $X={\bigcup }_{i\in J}{U}_i$.

需要提请读者注意的是, Bourbaki 将上面定义的紧空间称为拟紧 (quasi-compact) 空间, 而定义紧空间为拟紧的 Hausdorff 空间. 希望在阅读文献时读者不要产生疑惑.

平凡拓扑是紧的, 有限集合上的离散拓扑是紧的. 除了这些肤浅的例子, 最基本的紧空间是实轴上的闭区间. 下面的命题我们已经在微积分课程内学过了.

例 6.1.1. 单位闭区间 $[0,1]$ 是紧的.

证明. 令 $(U_i{)}_{i\in I}$ 为 $[0,1]$ 的一个开覆盖. 定义$$X=\{x\in [0,1]:\text{ 存在有限个 }{U}_i,\text{ 它们的并包含 }[0,x]\}$$那么 $0\in X$. 令 $s=\sup X$, 那么 $s\in [0,1]$, 且 $s>0$. 我们要证明 $s=1$

首先, 我们断言 $s\in X$. 由于 $s\in [0,1]$, 存在 $j\in I$, 使得 $s\in U_j$. 因为 $U_j$ 开, 存在半开的区间 $]a,s]$ 包含于 $U_j$. 无妨设 $a>0$. 根据 $X$ 的定义, 我们知道 $[0,a]$ 包含于某个有限并 $U_{i_1}\cup \cdots \cup U_{i_m}$ 之中. 因此$$[0,s]\subset [0,a]\cup ]a,s]\subset U_{i_1}\cup \cdots \cup U_{i_m}\cup U_j.$$从而有 $s\in X$.

如果 $s<1$, 那么存在 $U_k$ 以及开区间 $\left]a,b\right[$, 使得 $s\in \left]a,b\right[\subset U_k$. 但是这表明 $s+(b-s)/2$, 一个比 $s$ 大的数, 也落在 $X$ 里. 这就与 $s$ 是 $X$ 的上确界矛盾了. 因此我们必有 $s=1$. 这就完成了证明.

$■$

本小节介绍五条紧空间的基本性质:

$\diamond$	紧空间的连续像是紧的,
$\diamond$	Hausdorff 空间的紧子空间是闭的,
$\diamond$	紧空间的闭子空间是紧的,
$\diamond$	两个紧空间的积空间是紧的.
$\diamond$	紧 Hausdorff 空间是 “正规” 的.

命题 6.1.2. 若 $f:X\to Y$ 为拓扑空间的连续映射. 若 $X$ 紧, 则 $\mathrm{I}\mathrm{m}(f)$ 紧.

证明. 无妨设 $f$ 为满射. 任意 $Y$ 的开覆盖 $(U_i{)}_{i\in I}$ 关于 $f$ 的逆像 $(f^{-1}(U_i){)}_{i\in I}$ 给出了 $X$ 的开覆盖. 由于 $X$ 紧, 存在 $U_{i_1},\dots ,U_{i_n}$ 使得 $X={\bigcup }_{j=1}^n{f}^{-1}(U_{i_j})$, 因此 $Y=f(X)={\bigcup }_{j=1}^n{U}_{i_j}$.

$■$

命题 6.1.3. 令 $X$ 为 Hausdorff 空间. 令 $Z$ 为 $X$ 的紧子空间. 则 $Z$ 是闭子集.

证明. 令 $x\in X\setminus Z$. 对任何 $z\in Z$, Hausdorff 性质说明, 存在 $z$ 的邻域 $U_z$, $x$ 的邻域 $V_x$, 满足 $U_z\cap V_x=\varnothing$. 由于 $Z$ 紧, 开覆盖 $\{U_z:z\in Z\}$ 有一个有限子覆盖 $U_{z_1},\dots ,U_{z_n}$. 令 $V={\bigcap }_{i=1}^n{V}_{x_i}$. 则 $V$ 是 $x$ 的一个与 $Z$ 不交的开集. 因此 $X\setminus Z$ 是开集.

$■$

系 6.1.4. 令 $f:X\to Y$ 为紧空间到 Hausdorff 空间的连续映射. 则 $f$ 是闭映射. 特别地, $f$ 是从 $X$ 到 $\mathrm{I}\mathrm{m}(f)$ 的商映射; 如果 $f$ 是连续双射, 则 $f$ 是同胚.

$■$

命题 6.1.5. 设 $X$ 为紧拓扑空间, $Z$ 为 $X$ 的闭子空间. 则 $Z$ 紧.

证明. 令 $\mathfrak{U}$ 为 $Z$ 的一个开覆盖. 由子空间拓扑的定义, $\mathfrak{U}$ 中每个成员都形如 $V\cap Z$, 其中 $V$ 为 $X$ 中开集. 这些 $X$ 中的开集 $V$ 与 $X\setminus Z$ 构成了 $X$ 的开覆盖. $X$ 的紧性保证了上面的 $V$ 只需有限个就能盖住 $Z$ 了.

$■$

命题 6.1.6. 如果 $X$ 和 $Y$ 是紧拓扑空间, 那么 $X\times Y$ 紧.

证明. 令 $\mathfrak{U}$ 为 $X\times Y$ 的开覆盖. 则任何一个 $\mathfrak{U}$ 中的对象可以用一些开箱子覆盖. 因此, 为了证明 $\mathfrak{U}$ 具有有限子覆盖, 只需验证这些由开箱子构成的 “加细” 的覆盖具有有限子覆盖. 故在接下来的证明里, 我们可以假设 $\mathfrak{U}$ 的成员都是开箱子.

对任意 $x\in X$, 考虑空间 $\{x\}\times Y$. 由于 $Y$ 是紧空间, 存在有限个 $\mathfrak{U}$ 中开集 $U_1,\dots ,U_m$, 使得 $\{x\}\times Y$ 包含于 $U_1\cup \cdots \cup U_m$. 由于每一个 $U_i$ 都是开箱子, $U_i=V_i\times W_i$. 令 $V={\bigcap }_{i=1}^m{V}_i$, 则 $\{x\}\times Y\subset V\times Y\subset {\bigcup }_i{U}_i$. 当 $x$ 跑遍 $X$ 中的点时, 从上述方法构造出来的 $V$ 构成了 $X$ 的开覆盖. $X$ 的紧性保证了存在 $V_1,\dots ,V_r$ 使得它们覆盖 $X$. 根据构造, 每个 $V_i\times Y$ 被有限个 $\mathfrak{U}$ 中元素盖住, 由于只有有限个 $V_i$, $X\times Y={\bigcup }_{i=1}^r{V}_i\times Y$ 可以被有限个 $\mathfrak{U}$ 中元素盖住.

$■$

上述命题中使用的方法也可以推出下面的 “管引理”. 由于它偶尔会被使用, 我们将它单独拿出来陈述.

命题 6.1.7 (管引理). 设 $X$, $Y$ 为拓扑空间. 设 $A\subset X$, $B\subset Y$ 为紧子空间. 设 $W$ 为 $X\times Y$ 的一个包含 $A\times B$ 的开集. 则存在 $X$ 的开集 $U$, $Y$ 的开集 $V$, 使得

$\diamond$	$A\subset U$, $B\subset V$, 以及
$\diamond$	$U\times V\subset W$.

管引理的证明留作习题. 它的一个直接应用是下述命题.

命题 6.1.8 (紧 Hausdorff 空间的正规性). 设 $X$ 为紧 Hausdorff 空间. 则对任何两个互不相交的闭子空间 $A$, $B$, 存在包含 $A$ 的开子集 $U$, 包含 $B$ 的开子集 $V$, 使得 $U\cap V=\varnothing$.

证明. 考虑积空间 $X\times X$ 的子空间 $A\times B$. 则 Hausdorff 性质说明 $X\times X\setminus {\Delta }_X(X)$ 是 $X\times X$ 的开子集 (命题 2.5.2). 根据管引理 (命题 6.1.7), 存在开箱子 $U\times V$ 满足$$A\times B\subset U\times V\subset X\times X\setminus {\Delta }_X(X).$$翻译成 $X$ 上子集的语言就完成了证明.

$■$

6.2紧性的简单应用

系 6.2.1 (Heine–Borel). 令 $Z$ 为空间 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间. 则 $Z$ 紧的必要且充分条件是 $Z$ 是一个有界闭集.

证明. 若 $Z$ 有界闭, 则它包含于某个充分大的方体 $[-N,N{]}^n$ 之中. 由于后者紧 (例 6.1.1, 命题 6.1.6), 我们可以通过使用命题 6.1.5 而取胜.

反之, 如果 $Z$ 紧, 那么它的开覆盖 ${\bigcup }_{r>0}B(0;r)\cap Z$ 有有限覆盖$$B(0;r_1)\cap Z,\dots ,B(0;r_n)\cap Z.$$设 $r_1\le r_2\le \cdots \le r_n$, 我们获得了包含关系 $Z\subset B(0;r_n)$, 因此它有界. 它是闭集, 因为 ${\mathbb{R}}^n$ 为 Hausdorff 空间 (命题 6.1.3).

$■$

例 6.2.2. 球面 ${\mathbb{S}}^n$, 圆盘 $D^n$, 正交群 $\mathrm{O}(n)$, 酉群 $\mathrm{U}(n)$ 都是紧空间, 因为它们都是某 Euclid 空间中的有界闭集. 实和复射影空间是球面的商空间, 从而是紧空间的连续像, 因此它们是紧空间.

例 6.2.3 (代数基本定理). 作为紧性的一个应用, 我们来证明代数基本定理. 设 $f\in \mathbb{C}[t]$ 为多项式. 则它定义了一个映射 $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$. 我们要证明存在 $t_0\in \mathbb{C}$, 使得 $f(t_0)=0$.

我们断言, $f$ 诱导了一个连续映射 $\tilde{f}:\mathbb{C}{\mathrm{P}}^1\to \mathbb{C}{\mathrm{P}}^1$. 首先, 我们回忆射影空间的粘贴构造, 在这个构造里, $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^1$ 是两片开集 $U_0,U_1$ 的并, 其中 $U_0=\{[1,t]:t\in \mathbb{C}\}$, $U_1=\{[s,1]:s\in \mathbb{C}\}$. 多项式 $[1,t]\mapsto [1:f(t)]$ 自然地是一个 $U_0$ 到 $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^1$ 的映射. 如果 $f(t)=a_0+a_{1}t+\cdots +a_n{t}^n$ ($a_n\ne 0$), 我们定义 $g(s)=a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+\cdots +a_n$. 则映射$$[s,1]\mapsto [s^n,g(s)]:U_1\to U_1\subset \mathbb{C}{\mathrm{P}}^1$$与 $[1,t]\mapsto [1,f(t)]$ 在 $U_0\cap U_1$ 上相等. 于是根据粘贴引理, 命题 1.5.6, 我们得到了一个良好定义的映射 $\tilde{f}:\mathbb{C}{\mathrm{P}}^1\to \mathbb{C}{\mathrm{P}}^1$.

由于 $\tilde{f}{|}_{U_i}$ 是开映射 (习题 1.6.7/5), $\tilde{f}$ 是开映射. 于是 $\tilde{f}(\mathbb{C}{\mathrm{P}}^1)$ 是 $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^1$ 的开子空间; 由于 $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^1$ 是紧 Hausdorff 空间, $\tilde{f}(\mathbb{C}{\mathrm{P}}^1)$ 是 $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^1$ 的闭子空间 (命题 6.1.4). 于是 $\tilde{f}(\mathbb{C}{\mathrm{P}}^1)$ 是连通空间 $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^1$ 的既开又闭又非空子集, 因此 $\tilde{f}(\mathbb{C}{\mathrm{P}}^1)=\mathbb{C}{\mathrm{P}}^1$.

于是 ${\tilde{f}}^{-1}([1,0])\ne \varnothing$. 容易验证, ${\tilde{f}}^{-1}([0,1])=[0,1]$, 故存在 $t_0$, 使得 $\tilde{f}([1,t_0])=[1,0]$, 即 $f(t_0)=0$. 这就证明了代数基本定理.

接下来介绍一个关于紧度量空间的性质. 我们在今后将会不时用到这个它.

命题 6.2.4 (Lebesgue 数引理). 令 $X$ 为紧度量空间. 令 $\mathfrak{U}$ 为 $X$ 的一个开覆盖. 则存在 $r>0$, 使得对任何 $x\in X$, 存在 $U\in \mathfrak{U}$, 使得 $B(x;r)\subset U$.

证明. 由于 $X$ 紧, 无妨设 $\mathfrak{U}$ 只有有限个成员. 对任意 $U\in \mathfrak{U}$, 令 $f_U(x)=\inf \{d(x,y):y\notin U\}$. 令 $f(x)=\max \{f_U(x):U\in \mathfrak{U}\}$. 则 $f:X\to {\mathbb{R}}_{>0}$ 为连续函数. 由于 $X$ 紧, $f(X)$ 紧, 因此它是 ${\mathbb{R}}_{\ge 0}$ 的有界闭集. 令 $r=\min f(X)>0$. 对任意 $x\in X$, 我们有 $f(x)\ge r$, 即 $d(x,X\setminus U)\ge r$ 对某个 $U\in \mathfrak{U}$ 成立. 于是 $B(x;r)\subset U$.

$■$

6.3紧开拓扑

令 $X$ 与 $Y$ 为拓扑空间. 令 $\mathcal{C}(X,Y)$ 为一切从 $X$ 到 $Y$ 的连续映射的全体构成的集合. 在这一小节, 我们利用紧性来定义集合 $\mathcal{C}(X,Y)$ 上的一个拓扑, 叫做紧开拓扑 (compact-open topology). 紧开拓扑是由一组拓扑子基生成的, 这个子基中的元素形如$${\mathcal{M}}_{K,U}=\{f\in \mathcal{C}(X,Y):f(K)\subset U\},$$其中 $K$ 为 $X$ 的紧子空间, $U$ 为 $Y$ 的开子空间.

今后, 凡是将 $\mathcal{C}(X,Y)$ 看作拓扑空间, 如果未加申明, 总赋予它紧开拓扑. 空间 $\mathcal{C}(X,Y)$ 有时也被称为函数空间.

我们列举几个紧开拓扑的基本性质.

1.	如果 $X$ 是离散空间, 那么 $\mathcal{C}(X,Y)$ 的紧开拓扑与乘积空间 $Y^X$ 的积拓扑一致.
2.	空间 $Y$ 可以嵌入到 $\mathcal{C}(X,Y)$ 中: 将 $y\in Y$ 送到常值映射 $c(y)(x)\equiv y$ 是从 $Y$ 到 $\mathcal{C}(X,Y)$ 的嵌入. 事实上, 我们有 $c^{-1}({\mathcal{M}}_{K,U})=U$, 因此 $c$ 是连续单射; 并且一切 $Y$ 的开集都可以如此得到, 因此 $c$ 是嵌入.
3.	函数空间 $\mathcal{C}(X,Y)$ 为 Hausdorff 的必要且充分条件是 $Y$ 为 Hausdorff 空间. 事实上, 如果 $f,g$ 为两个不同的连续映射, 必然存在 $x\in X$, 使得 $f(x)\ne g(x)$. 由于 $Y$ Hausdorff, 存在 $f(x)$ 的邻域 $U$, $g(x)$ 的邻域 $V$, 使得 $U\cap V=\varnothing$. 于是我们有$$\begin{array}{rl}f\in {\mathcal{M}}_{\{x\},U}& ,g\in {\mathcal{M}}_{\{x\},V},\\ {\mathcal{M}}_{\{x\},U}& \cap {\mathcal{M}}_{\{x\},V}=\varnothing .\end{array}$$反之, 如果 $\mathcal{C}(X,Y)$ Hausdorff, 通过嵌入 $c$ 我们可以将 $Y$ 实现为 $\mathcal{C}(X,Y)$ 的子空间. 因此 $Y$ 也 Hausdorff.
4.	如果 $Y$ 的拓扑是由一个度量 $d$ 诱导的, 那么 $\mathcal{C}(X,Y)$ 的紧开拓扑的一个拓扑基是$$B_K(f,ϵ)=\{g\in \mathcal{C}(X,Y):\sup \{d(f(x),g(x)):x\in K\}<ϵ\}.$$其中 $K$ 跑遍 $X$ 的紧子空间. 在这个拓扑下, 序列 $f_n$ 收敛到 $f$ 的意思是: 对任何的 $X$ 的紧子空间 $K$, 函数 $f_n{|}_K$ 一致收敛于 $f$. 因此, 紧开拓扑在这个情形也被叫做紧收敛拓扑 (compact convergence topology).

${}^{\star }$ 函数空间 $\mathcal{C}(X,Y)$ 的子空间的紧性的刻画在分析中颇为有用. 比较常见的是 Arzela–Ascoli 定理: 如果 $Y$ 是度量空间, $\mathcal{F}$ 为 $\mathcal{C}(X,Y)$ 的子空间, 假设 $\mathcal{F}$ “等度连续”², 并且对一切 $a\in X$, 空间$${\mathcal{F}}_a=\{f(a)\in Y:f\in \mathcal{F}\}$$在 $Y$ 中有紧的闭包, 那么 $\mathcal{F}$ 在 $\mathcal{C}(X,Y)$ 中有紧的闭包. 在我们的课程中不会使用这个定理. 因此我们略去它的证明. ${}_{\star }$

相比于函数空间的紧性, 它的连通性在这门课程中更为重要.

例 6.3.1. 作为一个导引, 我们来说明对任何拓扑空间 $X$, 函数空间 $\mathcal{C}(X,\mathbb{R})$ 都是道路连通的. 事实上, 对任意的 $f\in \mathcal{C}(X,\mathbb{R})$, 定义$$c_f:[0,1]\to \mathcal{C}(X,\mathbb{R}),c_f(t)=t\cdot f.$$为了说明 $c_f$ 连续, 我们要验证 $c_f^{-1}({\mathcal{M}}_{K,V})$ 是 $[0,1]$ 的开集. 展开定义, 它等于$$\{s\in [0,1]:s\cdot f(K)\subset V\}.$$

对任意 $s\in [0,1]$, 积空间 $[0,1]\times f(K)$ 有一个紧子集 $\{s\}\times f(K)$. 根据实数数乘$$\mu :\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R},(a,b)\mapsto a\cdot b$$的连续性, 集合$$\mathcal{U}=\{(a,b)\in [0,1]\times f(K):ab\in V\}={\mu }^{-1}(V)\cap ([0,1]\times f(K))$$是空间 $[0,1]\times f(K)$ 的一个包含了 $\{s\}\times f(K)$ 的开集. 根据管引理, 命题 6.1.7, 存在 $s$ 的邻域 $V$ 使得 $V\times f(K)\subset \mathcal{U}$. 这就证明了 $c_f^{-1}({\mathcal{M}}_{K,V})$ 是开集.

${\mathbb{R}}^n$ 的开子集 $U$ 叫做星形区域 (star-shape region) 如果存在 $p\in U$, 使得对一切 $q\in U$, 连结 $p,q$ 的线段也落在 $U$ 中. 比如 ${\mathbb{R}}^n$ 中的凸开集就是星形区域. 上一段论证对一切 ${\mathbb{R}}^n$ 的星形区域都成立.

6.4环绕数

在这一段里, 我们考虑函数空间 $\Lambda =\mathcal{C}({\mathbb{S}}^1;{\mathbb{R}}^2\setminus \{0\})$. 我们将说明这个拓扑空间不是连通的. 因此, 根据例 6.3.1, ${\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$ 与 ${\mathbb{R}}^2$ 不同胚.

为此, 我们将构造一个 $\Lambda$ 上的一个局部常值函数, 但它不是常值. 这个函数叫做映射 $l:{\mathbb{S}}^1\to {\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$ 的环绕数 (winding number). 定义环绕数的方法很多, 我们使用微积分的方法.

首先, 我们对可微映射 $l:{\mathbb{S}}^1\to {\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$ 来定义 (关于原点的) 环绕数. 我们说 $l$ 是可微的, 如果复合映射$$c:[0,1]\stackrel{q}{\to }{\mathbb{S}}^1\stackrel{l}{\to }{\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$$的每个分量都可以扩张成可微的周期函数, 这里, $q(t)=(\cos (2\pi t),\sin (2\pi t))$ 是粘合 $\{0,1\}$ 的商映射.

对可微的 $l$, 我们定义$$\begin{array}{rl}W(l)& =\frac{1}{2\pi }{\int }_c\frac{y\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y}{x^2+y^2}\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^1\frac{x^{\prime }(t)y(t)-y^{\prime }(t)x(t)}{x(t{)}^2+y(t{)}^2}\mathrm{d}t\end{array}$$(路径积分).

如果 $l$ 不是可微的, 我们用逼近的手段来定义 $l$ 的环绕数.

定义 6.4.1. 我们称两个映射 $l_1,l_2\in \Lambda$ 叫做 “非常接近” 的, 如果存在正整数 $r$, $[0,1]$ 的分划$$0=a_0<a_1<\cdots <a_r=1,$$以及 ${\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$ 的凸开集 $U_1,\dots ,U_r$, 使得$$l_1,l_2\in \bigcap _{0=1}^{r-1}{\mathcal{M}}_{q([a_i,a_{i+1}]),U_i}.$$“非常接近” 生成了一个等价关系, 等价的道路叫做 “接近” 的.

类似于例 6.3.1中的论证, 我们知道如果 $l_1$ 与 $l_2$ 非常接近, 那么映射$$s\mapsto s{l}_1+(1-s)l_2:[0,1]\to \Lambda$$就是一个 $\Lambda$ 中连结 $l_1$ 与 $l_2$ 的道路.

我们对不一定可微的映射 $l$, 定义它的环绕数为 $W(l^{\prime })$, 其中 $l^{\prime }$ 是一个与 $l$ 接近的可微映射. 为了说明这个定义有意义, 需要验证两件事:

$\diamond$	存在与 $l$ 接近的可微映射;
$\diamond$	互相接近的可微映射有一样的环绕数.

上述第一款可以用微积分课程中学到的逼近定理予以证明. 为了今后方便, 我们将证明稍微强一点的结论.

命题 6.4.2. 设 $l:{\mathbb{S}}^1\to {\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$ 为连续映射. 设 $o$ 为 ${\mathbb{S}}^1$ 上一点. 则存在与 $l$ 非常接近的可微的映射 $\tilde{l}:{\mathbb{S}}^1\to {\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$, 满足 $\tilde{l}(o)=l(o)$.

而第二款则是因为环绕数的一个特别性质.

命题 6.4.3. 对任何可微映射 $l\in \Lambda$, $W(l)$ 是整数.

如果承认命题 6.4.3, 那么对两条非常接近的可微映射 $l_1$, $l_2$, 数值$$W(s{l}_1+(1-s)l_2)$$一方面是整数, 另一方面按公式看又是 $s$ 的连续函数, 它只能是常数.

这样就完成了对任何映射 $l\in \Lambda$ 的环绕数的定义. 按照定义, 对任何 $l$, 环绕数在它的某个形如 ${\bigcap }_{0=1}^{r-1}{\mathcal{M}}_{[a_i,a_{i+1}],U_i}$ 的邻域上是常数. 因此我们得到了局部常值整值函数$$W:\Lambda \to \mathbb{Z}.$$然而, $W$ 不是常值函数. 读者可以平凡地验证, 映射$$c:t\mapsto (\cos (2n\pi t),\sin (2n\pi t)),$$其中 $n\in \mathbb{Z}$, 的环绕数是 $n$.

命题 6.4.2 的证明. 在这一段里, 我们将 ${\mathbb{S}}^1$ 上的连续函数等同于 $\mathbb{R}$ 上周期为 1 的连续函数.

我们先来回忆数学分析的内容. 考虑函数$$F_N(t)=\frac{1}{N}\frac{{\sin }^2(N\pi t)}{{\sin }^2(\pi t)},t\in [0,1]$$(“Fejér 核”). 由于 $F_N(0)=F_N(1)$, 函数 $F_N$ 决定了 ${\mathbb{S}}^1$ 上的一族可微函数. 运用分析学的知识, 可以验证 $F_N$ 满足如下条件.

$\diamond$	对一切 $n\ge 1$, $${\int }_0^1{F}_n(t)\mathrm{d}t=1.$$
$\diamond$	存在常数 $M>0$, 使得 ${\int }_0^1|F_n|\mathrm{d}t\le M$ 对一切 $n\ge 1$ 成立.
$\diamond$	对每个 $1>\delta >0$, $${\int }_{\delta }^{1-\delta }|F_n|\mathrm{d}t\to 0(n\to \infty ).$$

对连续函数 $u:{\mathbb{S}}^1\to \mathbb{R}$, 定义$$u_n(t)={\int }_0^{1}u(y)F_n(t-y)\mathrm{d}y.$$则根据分析的知识可以验证, $u_n$ 是可微函数, 并且对任何 $ϵ>0$, 存在 $N$, 使得对 $n>N$, 和一切 $t\in {\mathbb{S}}^1$, 都有$$|u_n(t)-u(t)|<ϵ.$$

现在回到我们的问题. 我们有一个回路 $l:{\mathbb{S}}^1\to {\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$. 通过坐标, 可以将 $l$ 写成 $l(t)=(u(t),v(t))$. 根据上述回忆, 对任意 $ϵ>0$, 我们可以找到 ${\mathbb{S}}^1$ 上的可微函数 $\tilde{l}(t)=(\tilde{u}(t),\tilde{v}(t))$, 满足$$|\tilde{l}(t)-l(t)|<ϵ,$$对一切 $t\in {\mathbb{S}}^1$ 成立. 由于 $l({\mathbb{S}}^1)$ 是 ${\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$ 的紧子集, 根据 Lebesgue 数引理 (命题 6.2.4), 存在 $0=a_0<\dots <a_{n-1}<a_n=1$, 使得 $l(q([a_i,a_{i+1}]))$ 落在某个半径为 $ϵ$ 的开圆盘 $D_i$ 中并且这些圆盘都与 $0$ 不交. 按照 $\tilde{l}$ 的选取, $\tilde{l}\in {\bigcap }_i{\mathcal{M}}_{q[a_i,a_{i+1}],D_i}$, 即 $\tilde{l}$ 与 $l$ 非常接近.

我们可以将 $\tilde{l}$ 稍微平移一下, 使得 $\tilde{l}(o)=l(o)$, 但是三角形不等式保证了新的 $\tilde{l}$ 与 $l$ 之间的距离不会超过 $2ϵ$. 因此我们总可以保证 $\tilde{l}$ 与 $l$ 在点 $o$ 处取值相等.

$■$

命题 6.4.3 的证明. 令 $U={\mathbb{R}}^2\setminus \{(x,0):x>0\}$, $V={\mathbb{R}}^2\setminus \{(x,0):x<0\}$, 则 ${\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}=U\cup V$. 定义 ${\vartheta }_U:U\to \left]-\pi ,\pi \right[$ 为点 $(x,y)$ 与 $x$ 正方向所构成的夹角, 辐角取在开区间 $\left]0,2\pi \right[$, 类似定义 ${\vartheta }_V:V\to \left]-\pi ,\pi \right[$. 可以写下来这些函数的公式, 比如$${\vartheta }_U(x,y)=\{\begin{array}{ll}\arccos \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right),& y\ge 0;\\ 2\pi -\arccos \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)& y\le 0.\end{array}$$则 ${\vartheta }_U$ 分段可微. 通过复合函数求导, $\mathrm{d}{\vartheta }_U=\omega {|}_U$. 读者可以类似处理 ${\vartheta }_V$.

对任意可微映射 $c:[a,b]\to U$, 应用微积分基本定理, 有$${\int }_c\omega ={\vartheta }_U(c(b))-{\vartheta }_U(c(a)).$$类似地, 对可微映射 $c:[a,b]\to V$, 有$${\int }_c\omega ={\vartheta }_V(c(b))-{\vartheta }_V(c(a)).$$

利用 Lebesgue 数引理 (命题 6.2.4), 对任意道路 $c:[0,1]\to {\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$, 存在分割$$0=a_0<a_1<\cdots <a_n=1$$使得要么 $c([a_i,a_{i+1}])\subset U$, 要么 $c([a_i,a_{i+1}])\subset V$. 如果 $l:[0,1]\to {\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$ 是一条回路, 即 $l(0)=l(1)$, 那么 ${\int }_l\omega$ 是 $2\pi$ 的整数倍. 由此推出对可微映射 $l:{\mathbb{S}}^1\to {\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$, $W(l)$ 是整数.

$■$

6.4.4 (回路的极坐标表示). 设 $l:[0,1]\to {\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$ 为可微回路, 坐标表示为 $t\mapsto (u(t),v(t))$. 定义$$\theta (t)={\int }_{l{|}_{[0,t]}}\omega ={\int }_0^t\frac{u(s)v^{\prime }(s)-v(s)u^{\prime }(s)}{u(s{)}^2+v(s{)}^2}\mathrm{d}s.$$则利用微分学可以验证$$l(t)=\sqrt{u(t{)}^2+v(t{)}^2}\cdot (\cos \theta (t),\sin \theta (t)).$$(6.1)用中学数学的语言, $(|l(t)|,\theta (t))$ 是可微回路 $l$ 的极坐标表示.

6.5局部紧空间

拓扑空间 $X$ 叫做局部紧 (locally compact) 的, 如果对任何 $x\in X$, 存在 $x$ 的邻域 $U$, 使得 $U$ 含于一个 $X$ 的紧子空间中. 这个概念通常只对 Hausdorff 空间来定义, 因为这时这个概念的行为比较良好.

命题 6.5.1. 设 $X$ 为 Hausdorff 空间. 则下面的陈述等价.

1.	$X$ 局部紧;
2.	对任意 $x$, 任意 $x$ 的邻域 $U$, 存在 $x$ 的邻域 $V$, 满足: $\overline{V}$ 紧, $V\subset \overline{V}\subset U$;
3.	对任意 $X$ 的紧子空间 $K$ 和任意包含 $K$ 的开子空间 $U$, 存在开集 $V$, 满足: $\overline{V}$ 紧, $K\subset V\subset \overline{V}\subset U$;
4.	$X$ 有一个拓扑基, 它的成员都是具紧闭包的开子集.

证明. (1) $\Rightarrow$ (2). 令 $G$ 为 $x$ 的邻域使得 $G$ 包含于一个 $X$ 的紧子空间中. 根据命题 6.1.5 和命题 6.1.3, $\overline{G}$ 紧. 由于 $\{x\}$ 和 $\overline{G}\setminus \overline{G}\cap U$ 是紧 Hausdorff 空间 $\overline{G}$ 的两个互不相交的的闭子空间, 由命题 6.1.8 知, 存在 $\overline{G}$ 的开子空间 $V,W$, 使得$$x\in V,\left((\overline{G}\setminus G)\cup (\overline{G}\setminus \overline{G}\cap U)\right)\subset W,$$并且 $V\cap W=\varnothing$. 由于 $V\cap (\overline{G}\setminus G)=\varnothing$, 我们有 $V\subset G$. 故它是 $G$ 的开子空间, 因而是 $X$ 的开子空间. 同时, 上面的等式还推出$$\overline{V}\subset \overline{G}\setminus W\subset G\cap U\subset U$$即 (2) 成立.

(2) $\Rightarrow$ (3). 对每个 $x\in K$ 都选择一个 (2) 中的 $V$. 利用有限覆盖性即得.

(2) $\Rightarrow$ (4). 取闭包为紧的开集即可.

(4) $\Rightarrow$ (1) 和 (3) $\Rightarrow$ (2) 为显然.

$■$

${}^{\star }$ 任何局部紧 Hausdorff 空间只需多添入一个点, 都可以变成紧 Hausdorff 空间— 这叫做局部紧 Hausdorff 空间的 Alexandrov 紧化. 见习题 6.8.9. ${}_{\star }$

日常生活中遇到的许多空间都是局部紧的 Hausdorff 空间. 局部紧 Hausdorff 空间的子空间未必局部紧 (比如有理数空间 $\mathbb{Q}$), 但是它有一大类好的子空间仍然局部紧.

定义 6.5.2. 拓扑空间 $X$ 的子空间 $A$ 叫做局部闭 (locally closed) 的, 如果 $A$ 形如 $G\cap F$, 其中 $G$ 是 $X$ 的开集, $F$ 是 $X$ 的闭集.

局部闭的两个等价刻画如下:

$\diamond$	$A\subset X$ 局部闭当且仅当对任意 $a\in A$, 存在 $a$ 在 $X$ 中的邻域 $U$, 使得 $A\cap U$ 是 $U$ 的闭子集.
$\diamond$	$A\subset X$ 局部闭当且仅当 $A$ 是它的闭包的开子空间.

命题 6.5.3. 局部紧 Hausdorff 空间的子空间是局部紧的当且仅当它是局部闭的.

证明. 首先假设 $A$ 是局部紧 Hausdorff 空间 $X$ 的局部闭子集. 假设 $A=G\cap F$, 其中 $G$ 是 $X$ 的开集, $F$ 是 $X$ 的闭集. 任取 $a\in A$. 根据命题 6.5.1, 存在 $a$ 在 $X$ 里的邻域 $U$, $\overline{U}$ 紧, 且$$a\in U\subset \overline{U}\subset G.$$由于 $F$ 是闭集, $\overline{U}\cap F$ 是紧空间 $\overline{U}$ 中闭集, 因此紧. 容易验证 $\overline{U}\cap F$ 是 $U\cap F$ 在 $F$ 中的闭包. 因此 $U\cap F$ 就是 $a$ 在 $A=G\cap F$ 中的一个闭包为紧的邻域.

反之, 假设 $A$ 局部紧. 则对任何 $a\in A$, 存在它在 $X$ 中的邻域 $U$, 使得 $U\cap A$ 在 $A$ 中的闭包 $E$ 是紧的. 但 $X$ 是 Hausdorff 空间, $E$ 从而是 $X$ 中闭集 (命题 6.1.3). 于是 $U\cap A=U\cap E$ 是 $U$ 中闭集. 因此 $A$ 局部闭.

$■$

流形是局部紧的.

${}^{\star }$ 射影空间 $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^n$ 关于 Zariski 拓扑 (习题 3.8.6) 的局部闭子集叫做拟射影代数簇 (quasi-projective algebraic variety) 如果我们赋予一个拟射影代数簇来自 $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^n$ 的标准拓扑 (而不是 Zariski 拓扑), 那么它是局部紧的 Hausdorff 空间. ${}_{\star }$

6.6指数法则

在集合的范围内, 映射$$X\times Y\to Z,(x,y)\mapsto f(x,y)$$会诱导映射$$X\to Z^Y,x\mapsto f_x\text{其中}{f}_x(y)=f(x,y).$$即存在典则的一一映射$$(Z^Y{)}^X\stackrel{\sim }{\to }{Z}^{X\times Y}.$$这称为指数法则 (exponential law). 我们希望在拓扑空间的范围内得到类似的结果, 以函数空间 $\mathcal{C}(Y,Z)$ 替代乘积集合 $Z^Y$. 拓扑的指数法只对一部分空间, 比如局部紧 Hausdorff 空间, 成立.

${}^{\star }$ 然而局部紧 Hausdorff 空间的全体对于其它重要的拓扑操作不封闭 (比如取商空间). 经过一系列努力, 现在已经知道了, 存在一类空间 (叫做 k-空间), 它们涵盖了所有同伦论意义下重要的拓扑空间, 满足指数法则, 且对重要的拓扑操作封闭. 只是对于 k-空间, 不仅空间的概念变化了, 函数空间的构造也发生了变化. 我们在这个启蒙课程中对这个问题不予讨论. 对此有兴趣的读者可以阅读 Ronnie Brown 的书 “Topology and groupoids” 的 5.9 节. ${}_{\star }$

命题 6.6.1. 令 $X,Y$ 和 $Z$ 为拓扑空间. 令 $f:X\times Y\to Z$ 为连续映射. 对任意 $x\in X$, 令 $f_x:Y\to Z$ 为 $f_x(y)=f(x,y)$ (显然 $f_x$ 为连续映射). 则映射$$\alpha :X\to \mathcal{C}(Y,Z),x\mapsto f_x$$为连续映射.

证明. 令 ${\mathcal{M}}_{K,U}$ 为 $\mathcal{C}(Y,Z)$ 的一个基本开集. 只需验证 ${\alpha }^{-1}({\mathcal{M}}_{K,U})$ 为 $X$ 的开集. 展开定义, $${\alpha }^{-1}({\mathcal{M}}_{K,U})=\{x\in X:f(x,y)\in U,\forall y\in K\}.$$若 $x\in {\alpha }^{-1}({\mathcal{M}}_{K,U})$, 则 $f^{-1}(U)$ 包含了 $\{x\}\times K$. 根据管引理, 命题 6.1.7, 存在开箱子 $V\times W$ 包含 $\{x\}\times K$, 满足 $f(V\times W)\subset U$. 于是 $V\subset {\alpha }^{-1}({\mathcal{M}}_{K,U})$. 这就证明了 ${\alpha }^{-1}({\mathcal{M}}_{K,U})$ 为 $X$ 的开子集, 从而验证了 $\alpha$ 的连续性.

$■$

命题 6.6.2. 设 $Y$ 是局部紧 Hausdorff 空间. 则映射$$\mathrm{e}\mathrm{v}:\mathcal{C}(Y,Z)\times Y\to Z,\mathrm{e}\mathrm{v}(f,y)=f(y)$$是连续映射.

证明. 令 $f\in \mathcal{C}(Y,Z)$, $y\in Y$. 令 $U$ 是 $f(y)$ 的邻域. 根据命题 6.5.1, 存在 $y$ 的闭包为紧的邻域 $V$, 满足$$y\in V\subset \overline{V}\subset f^{-1}(U).$$因此 ${\mathcal{M}}_{\overline{V},U}\times V$ 是一个包含 $(f,y)$ 的开集, 并且 $\mathrm{e}\mathrm{v}({\mathcal{M}}_{\overline{V},U}\times V)\subset U$, 所以 $\mathrm{e}\mathrm{v}$ 连续.

$■$

系 6.6.3. 设 $X,Y$ 和 $Z$ 为拓扑空间, $Y$ 局部紧 Hausdorff. 设 $\alpha :X\to \mathcal{C}(Y,Z)$ 为连续映射, 则$$X\times Y\to Z,(x,y)\mapsto \alpha (x)(y)$$为连续映射.

证明. 题设中的映射为下列连续映射的复合$$X\times Y\stackrel{\alpha \times {\mathrm{I}\mathrm{d}}_Y}{\to }\mathcal{C}(Y,Z)\times Y\stackrel{\mathrm{e}\mathrm{v}}{\to }Z$$因此连续.

$■$

系 6.6.4 (J. H. C. Whitehead). 设 $f:X\to X^{\ast }$ 为商映射, $Y$ 为局部紧 Hausdorff 空间. 则乘积映射 $f\times {\mathrm{I}\mathrm{d}}_Y:X\times Y\to X^{\ast }\times Y$ 为商映射.

证明. 设 $h:X^{\ast }\times Y\to T$ 为任意满足 $\tilde{h}=h\circ (f\times {\mathrm{I}\mathrm{d}}_Y)$ 连续的映射. 我们要证明 $h$ 连续.

映射 $\tilde{h}$ 诱导了连续映射 $\tilde{\alpha }:X\to \mathcal{C}(Y,T)$ (命题 6.6.1). 对任何满足 $f(x)=f(x^{\prime })$ 的点 $x,x^{\prime }\in X$, 以及任意 $y\in Y$, 我们有$$\tilde{\alpha }(x)(y)=\tilde{h}(x,y)=h(f(x),y)=h(f(x^{\prime }),y)=\tilde{\alpha }(x^{\prime })(y).$$因此终拓扑的的泛性质 (命题 3.2.2) 给出了连续映射$$\alpha :X^{\ast }\to \mathcal{C}(Y,T)$$使得下图交换通过系 6.6.3, 我们知道映射$$X^{\ast }\times Y\to T,(f(x),y)\mapsto \alpha (f(x))(y)=\tilde{h}(x,y)=h(f(x),y)$$连续. 命题因此得证.

$■$

6.7紧拓扑空间的无限乘积

这一小节证明 Andrey Nikolayevich Tikhonov 的著名定理: 一族紧拓扑空间的积空间仍然是紧的. 为此, 我们先陈述所谓的 Alexander 子基定理.

定理 6.7.1 (Alexander). 令 $X$ 为拓扑空间. $\mathfrak{S}$ 为 $X$ 的一个拓扑子基. 下列条件等价.

1.	$X$ 紧.
2.	若 $(U_i{)}_{i\in I}$ 是 $\mathfrak{S}$ 的成员, 且 $X={\bigcup }_{i\in I}{U}_i$, 那么一定存在 $I$ 的有限子集 $\{i_1,\dots ,i_n\}$, 使得 $X=U_{i_1}\cup \cdots \cup U_{i_n}$.

假设 Alexander 子基定理, 我们来证明 Tikhonov 定理.

定理 6.7.2 (Tikhonov). 设 $(X_i{)}_{i\in I}$ 为一族紧拓扑空间, 则 ${\prod }_{i\in I}{X}_i$ 是紧的.

证明. 令 $X={\prod }_{i\in I}{X}_i$, ${\mathrm{p}\mathrm{r}}_i:X\to X_i$ 为投影映射. 根据积拓扑的定义, $\{{\mathrm{p}\mathrm{r}}_i^{-1}(U_i):i\in I,U_i\text{ 开}\}$ 构成了 $X$ 的拓扑子基 (它们叫做 “柱状开集”). 令 $\mathfrak{S}$ 为一个由这些子基中的开集构成的集族, 它的成员覆盖了 $X$. 根据 Alexander 子基定理, 定理 6.7.1, 我们只需要证明 $\mathfrak{S}$ 有一个有限子覆盖.

为此, 我们使用反证法. 对任何 $i\in I$, 考虑投影映射$${\mathrm{p}\mathrm{r}}_i:X\to X_i$$我们断言, 一定存在 $x_i\in X_i$, 使得 ${\mathrm{p}\mathrm{r}}_i^{-1}(x_i)$ 不能被有限个 $\mathfrak{S}$ 中元素覆盖. 事实上, 如果 ${\mathrm{p}\mathrm{r}}_i^{-1}(x_i)$ 能够被有限个柱状开集覆盖, 那么有两种可能:

1.	有 $x_i$ 的邻域 $U_{x_i}$, ${\mathrm{p}\mathrm{r}}_i^{-1}(U_{x_i})\in \mathfrak{S}$,
2.	${\mathrm{p}\mathrm{r}}_i^{-1}(x_i)\subset {\mathrm{p}\mathrm{r}}_{j_1}^{-1}(V_1)\cup \cdots \cup {\mathrm{p}\mathrm{r}}_{j_r}^{-1}(V_r)$, 其中 $V_k\subset X_{j_k}$ 为开集, $j_k\ne i$.

对于第二种情形, 开集 ${\mathrm{p}\mathrm{r}}_{j_1}^{-1}(V_1),\dots ,{\mathrm{p}\mathrm{r}}_{j_r}^{-1}(V_r)$ 已经覆盖了 $X$, 见下图. 这是个矛盾. 如果对每个 $x\in X_i$, 第一种情况都发生了, 那么 $\mathfrak{S}$ 中的柱状开集 ${\mathrm{p}\mathrm{r}}_i^{-1}(U_x)$ 构成了 $X$ 的开覆盖. 但是由于 $X_i$ 紧, 这个覆盖有有限子覆盖. 又产生了矛盾.

现在考虑通过上述步骤造出的点 $(x_i{)}_{i\in I}$. 则不存在任何柱状邻域包含它: 如果 ${\mathrm{p}\mathrm{r}}_j^{-1}(V)$ 包含 $(x_i{)}_{i\in I}$, 那么 ${\mathrm{p}\mathrm{r}}_j^{-1}(x_j)$ 就可以被一个柱状邻域覆盖, 矛盾.

$■$

为了证明 Alexander 子基定理, 我们顺便介绍 Zorn 引理和滤子的收敛.

定义 6.7.3. 令 $M$ 为集合. $M$ 上的关系 $\le$ 叫做一个偏序 (partial order), 如果它是自反的和传递的 (见 §3.1), 并且满足$$a\le b\text{且}b\le a⟹a=b.$$

一个偏序集 (partially ordered set) 是一个偶对 $(M,\le )$, 其中 $M$ 是集合, $\le$ 是 $M$ 上的一个偏序. 偏序集 $(M,\le )$ 的子集 $K$ 叫做一条链 (chain), 如果对任意 $x,y\in K$, 要么 $x\le y$, 要么 $y\le x$.

称 $x\in M$ 为子集 $N$ 的上界 (upper bound), 如果 $n\le x$ 对一切 $n\in N$ 成立. 称 $x\in M$ 为极大元 (maximal element), 如果不存在 $y\in M$, $y\ne x$, 使得 $x\le y$.

命题 6.7.4 (Zorn 引理). 令 $(M,\le )$ 为偏序集. 如果 $M$ 中任意的链都有上界, 那么 $M$ 中存在极大元.

Zorn 引理在 Zermelo–Fraenkel 集合论中基本等价于选择公理. 在我们的教程中不予证明.

接下来我们介绍滤子的概念.

定义 6.7.5. 令 $X$ 为集合. $X$ 的一个子集族 $\mathfrak{F}$ 叫做 $X$ 上的一个滤子 (filter), 如果它满足下面三个条件:

$\diamond$	若 $U\subset X$, $A\in \mathfrak{F}$, $A\subset U$, 则 $U\in \mathfrak{F}$;
$\diamond$	若 $A,B\in \mathfrak{F}$, 则 $A\cap B\in \mathfrak{F}$;
$\diamond$	空集不属于 $\mathfrak{F}$.

一个滤子 $\mathfrak{F}$ 被称为超滤 (ultrafilter), 如果不存在滤子 ${\mathfrak{F}}^{\prime }$, 使得 ${\mathfrak{F}}^{\prime }$ 包含了 $\mathfrak{F}$.

称拓扑空间 $X$ 上的点 $x$ 是滤子 $\mathfrak{F}$ 的极限, 或者滤子收敛于 $x$, 如果任意 $x$ 的邻域都是 $\mathfrak{F}$ 的成员.

例 6.7.6. 设 $X$ 是拓扑空间, $E$ 是 $X$ 的子空间. 称 $X$ 的子集 $F$ 是 $E$ 的 “广义邻域”, 如果存在开集 $U$, 使得 $E\subset U\subset F$. 则包含 $E$ 的所有广义邻域构成了一个 $X$ 上的滤子, 记为 $\mathfrak{V}(E)$.

如果 $X$ 是一个无限集合, 那么有限集合的补集构成了 $X$ 上的一个滤子. 这个滤子叫做 Fréchet 滤子.

如果 $\{a_n\}$ 是集合 $X$ 上的一个序列. 则 ${\mathfrak{F}}_{\{a_n\}}=\{U\subset X:\exists N,\forall n>N,a_n\in U\}$ 是 $X$ 上的一个滤子. 若 $X$ 是拓扑空间, 则序列 $\{a_n\}$ 收敛于点 $a$ 的必要且充分条件是 $a$ 是滤子 ${\mathfrak{F}}_{\{a_n\}}$ 的极限.

命题 6.7.7. 令 $\mathfrak{F}$ 是集合 $X$ 上的滤子. 则存在一个 $X$ 上的超滤包含 $\mathfrak{F}$.

证明. 我们应用 Zorn 引理来证明这个命题. 为此, 考虑集合$$\mathcal{S}=\{\text{一切包含}\mathfrak{F}\text{的滤子}\},$$用集合的包含关系赋予它偏序 $\subset$. 如果 $K$ 是 $\mathcal{S}$ 中的一条链, 那么可以验证 ${\bigcup }_{\mathfrak{G}\in K}\mathfrak{G}$ 仍然是 $X$ 上的滤子. 它于是是 $K$ 的一个上界. 应用 Zorn 引理, 我们就得到了包含 $\mathfrak{F}$ 的超滤的存在性.

$■$

命题 6.7.8. 令 $\mathfrak{F}$ 是集合 $X$ 上的超滤. 则对任何 $X$ 的子集 $A$, 要么 $A\in \mathfrak{F}$, 要么 $X\setminus A\in \mathfrak{F}$.

证明. 假设 $A\notin \mathfrak{F}$, 且 $X\setminus A\notin \mathfrak{F}$. 如果存在 $U,V\in \mathfrak{F}$, 使得 $U\cap A=\varnothing$, $V\cap (X\setminus A)=\varnothing$, 那么 $U\subset X\setminus A$, $V\subset A$, 于是 $U\cap V=\varnothing$, 矛盾. 从而 $A$ 与 $X\setminus A$ 之一与 $\mathfrak{F}$ 中元都相交. 无妨设 $A$ 满足这个性质. 如果 $A\notin \mathfrak{F}$, 则我们可以构造出比 $\mathfrak{F}$ 更大的滤子: $${\mathfrak{F}}^{\prime }=\{Z\subset X:\exists F\in \mathfrak{F},Z\supset F\cap A\}$$这就与 $\mathfrak{F}$ 是超滤矛盾. 因此必然有 $A\in \mathfrak{F}$.

$■$

Alexander 子基定理是下述命题的推论.

命题 6.7.9. 令 $X$ 为拓扑空间. 则下列条件等价.

1.	$X$ 紧.
2.	对任何 $X$ 的拓扑子基 $\mathfrak{S}$, 任何 $\mathfrak{S}$ 的成员构成的 $X$ 的开覆盖都有有限子覆盖.
3.	$X$ 上的超滤都收敛.

证明. (1) $\Rightarrow$ (2) 为显然.

(2) $\Rightarrow$ (3). 我们来证明 $X$ 上的任何超滤 $\mathfrak{F}$ 都收敛. 如果 $\mathfrak{F}$ 不收敛, 那么任何 $x\in X$ 都有一个属于 $\mathfrak{S}$ 的开邻域 $U_x$ 不属于 $\mathfrak{F}$ (不然任何 $\mathfrak{S}$ 中的有限交都属于 $\mathfrak{F}$, 从而任意 $x$ 的开邻域就都属于 $\mathfrak{F}$, 从而 $\mathfrak{F}$ 收敛于 $x$). 根据假设, 存在 $x_1,\dots ,x_n$, 使得$$X=U_{x_1}\cup \cdots \cup U_{x_n}.$$于是$$\varnothing =A_1\cap \cdots \cap A_n$$其中 $A_i=X\setminus U_{x_i}$. 由于 $\mathfrak{F}$ 是超滤, $U_{x_i}\notin \mathfrak{F}$, 命题 6.7.8 说明 $A_i\in \mathfrak{F}$, 从而 $\varnothing \in \mathfrak{F}$, 矛盾.

(3) $\Rightarrow$ (1). 假设 $X$ 上的超滤一定收敛. 我们来证明 $X$ 是紧拓扑空间. 令 $(U_i{)}_{i\in I}$ 为 $X$ 的开覆盖. 令 $A_i=X\setminus U_i$. 如果 $(U_i{)}_{i\in I}$ 没有有限子覆盖, 则对任意有限集 $J\subset I$, ${\bigcap }_{j\in J}{A}_j$ 非空. 令$$\mathfrak{G}=\left\{E\subset X:\exists J\subset I,\#J<\infty ,E\supset \bigcap _{j\in J}{A}_j\right\}.$$则 $\mathfrak{G}$ 是一个滤子. 根据命题 6.7.7, 存在一个超滤 $\mathfrak{F}$ 包含 $\mathfrak{G}$. 根据题设, $\mathfrak{F}$ 具有极限 $x\in X$. 由于 $(U_i{)}_{i\in I}$ 是空间 $X$ 的开覆盖, 存在 $i$ 使得 $x\in U_i$. 因此根据收敛的定义, $U_i\in \mathfrak{F}$. 另一方面, 按照定义 $A_i=X\setminus U_i\in \mathfrak{F}$. 因此空集属于 $\mathfrak{F}$, 与滤子的定义矛盾.

$■$

6.8习题

6.8.1. 我们称拓扑空间 $X$ 为弱 Hausdorff 空间 (weakly Hausdorff space), 如果对任何紧 Hausdorff 空间 $K$, 任意连续映射 $f:K\to X$, $f(K)$ 在 $X$ 中是闭集. 我们称拓扑空间 $X$ 为 KC 空间, 如果 $X$ 的紧子集是闭的.

1.	证明$$\text{Hausdorff}\Rightarrow \text{KC}\Rightarrow \text{弱 Hausdorff}.$$
2.	有两个原点的仿射直线 (例 3.5.2) 是 KC 空间吗?

6.8.2. 设 $X$ 是紧 Hausdorff 空间, $f:X\to Y$ 是闭的商映射. 如果 $Y$ 的单点子空间是闭的, 证明 $Y$ 是 Hausdorff 空间.

6.8.3. $\boxed{†}$ 除非 $n=0$, ${\mathbb{C}}^n$ 和 $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^n$ 上的 Zariski 拓扑都不是 Hausdorff 的. 但是它们是紧的.

6.8.4. 设 $X$ 是一维连通流形, 并且 $X$ 可以写成两个同胚于 $\mathbb{R}$ 的开集的并. 证明 $X$ 要么同胚于 $\mathbb{R}$, 要么同胚于 ${\mathbb{S}}^1$. 由此证明紧连通一维流形一定同胚于 ${\mathbb{S}}^1$.

6.8.5. 证明如果 $Y$ 是 Hausdorff 空间, 那么第 6.3 节第 2 款中定义的嵌入是闭嵌入.

6.8.6 (序列紧性). 拓扑空间 $X$ 叫做序列紧的, 如果 $X$ 上的序列都有收敛子列 (习题 2.6.1).

1.	设 $X$ 是第一可数 (习题 2.6.2) 的紧拓扑空间. 则 $X$ 序列紧.
2.	如果 $X$ 是序列紧的拓扑空间, $A_1\supset A_2\supset \cdots$ 是一系列 $X$ 的非空闭子空间. 则 ${\bigcap }_{i=1}^{\infty }{A}_i\ne \varnothing$.
3.	令 $X$ 为拓扑空间. 设 $X$ 满足如下条件: 对任何 $X$ 的非空闭子空间的序列 $A_1\supset A_2\supset \cdots$, 有 ${\bigcap }_{i=1}^{\infty }{A}_i\ne \varnothing$. 设 $(U_n{)}_{n=1}^{\infty }$ 是 $X$ 的一个可数开覆盖, 证明存在 $i_1,\dots ,i_m$ 使得 $X={\bigcup }_{j=1}^m{U}_{i_j}$.
4.	如果 $X$ 是第二可数 (习题 2.6.3) 的拓扑空间, 并且它上面的序列都有收敛子列, 那么 $X$ 是紧的.

6.8.7 (Brouwer 不动点定理). 令 $D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x^2+y^2\le 1\}$. 在这个习题中, 我们利用环绕数的性质来证明 Brouwer 不动点定理的二维情形: 任何连续映射 $f:D\to D$ 都有不动点.

1.	设 $F:D\to {\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$ 为连续映射. 令 $c=F{|}_{{\mathbb{S}}^1}$. 证明 $W(c)=0$.
2.	证明不存在收缩 (习题 3.8.2) $r:D\to {\mathbb{S}}^1$.
3.	设 $f:D\to D$ 为连续映射. 假设 $f$ 没有不动点. 定义 $h(P)$ 为从 $f(P)$ 出发经过 $P$ 的射线与 ${\mathbb{S}}^1$ 的交点. 证明 $h$ 连续, 并且是到 $D$ 到 ${\mathbb{S}}^1$ 的收缩. 这与上一款矛盾.

6.8.8. 设 $X$ 是一个局部紧致的 Hausdorff 空间. 令 ${\mathcal{H}}_X$ 为一切从 $X$ 到 $X$ 的同胚构成的集合. 将 ${\mathcal{H}}_X$ 看作 $\mathcal{C}(X,X)$ 子集, 赋予它子空间拓扑.

1.	证明映射的复合 $(f,g)\mapsto f\circ g:{\mathcal{H}}_X\times {\mathcal{H}}_X\to {\mathcal{H}}_X$ 是连续映射.
2.	假设 $X$ 还是紧的. 证明取逆映射可以定义一个同胚 $f\mapsto f^{-1}:{\mathcal{H}}_X\to {\mathcal{H}}_X$.

对 ${\mathcal{H}}_X$ 有兴趣的读者可以阅读 Jan J. Dijkstra 的文章 “On Homeomorphism Groups and the Compact-Open Topology” (The American Mathematical Monthly, Vol. 112, No. 10 (Dec., 2005), pp. 910-912)

6.8.9 (参考 Munkres 定理 29.1). 令 $X$ 为拓扑空间. 它的 Alexandrov 扩张 $X^{\star }$ 定义如下.

$\diamond$	作为集合, $X^{\star }=X\cup \{\infty \}$, 其中 $\infty$ 是一个点, 它不在 $X$ 中.
$\diamond$	定义 $X^{\star }$ 的子集为开集, 如果它是 $X$ 的开集, 或者它形如 $\{\infty \}\cup (X\setminus K)$, $K$ 是 $X$ 的紧的闭子集.

如此定义, 我们有显然的嵌入 $\iota :X\to X^{\star }$.

1.	证明 $X^{\star }$ 是紧空间, 且自然的映射 $\iota :X\to X^{\star }$ 是开嵌入.
2.	若 $X$ 的单点集是闭的, 那么 $X^{\star }$ 也具有这个性质.
3.	若 $X$ 为局部紧 Hausdorff 空间, 那么 $X^{\star }$ 是紧 Hausdorff 空间. 此时, $X^{\star }$ 叫做 $X$ 的 Alexandrov 紧化 (Alexandrov compactification), 或者一点紧化 (one-point compactification).
4.	${\mathbb{R}}^n$ 的 Alexandrov 紧化同胚于 ${\mathbb{S}}^n$. ${\mathbb{N}}^{\star }$ 同胚于 $\{1/n:n\in \mathbb{N}\}$ 在 $\mathbb{R}$ 中的闭包.
5.	证明 ${\mathbb{Q}}^{\star }$ 不是 Hausdorff 空间.
6.	证明 ${\mathbb{Q}}^{\star }$ 是 KC 空间 (习题 6.8.1).

6.8.10 (关于滤子的习题).

1.	令 $X$ 为拓扑空间, $\mathfrak{F}$ 为 $X$ 上的滤子. 如果 $\mathfrak{F}$ 收敛于 $x$, 则任何包含了 $\mathfrak{F}$ 的滤子也收敛于 $x$.
2.	令 $\mathfrak{B}$ 为集合 $X$ 的一个子集族. 证明$${\mathfrak{F}}_{\mathfrak{B}}=\{V\subset X:\exists A\in \mathfrak{B},A\subset V\}$$是滤子的必要且充分条件是 $\mathfrak{B}$ 满足下面两个性质: $\diamond$ 对任意 $A,B\in \mathfrak{B}$, 存在 $C\in \mathfrak{B}$, 使得 $C\subset A\cap B$, $\diamond$ $\mathfrak{B}$ 非空, 且不包含空集. 满足上面两条性质的 $X$ 的子集族叫做 $X$ 的一个滤子基 (filter basis).
3.	证明拓扑空间 $X$ 为 Hausdorff 空间的必要且充分条件是任何它上面的滤子都至多有一个极限.
4.	证明拓扑空间 $X$ 为紧的必要且充分条件是, 对任何滤子 $\mathfrak{F}$, 都存在滤子 ${\mathfrak{F}}^{\prime }$, ${\mathfrak{F}}^{\prime }$ 收敛, 并且 ${\mathfrak{F}}^{\prime }\supset \mathfrak{F}$. (包含 $\mathfrak{F}$ 的滤子的极限叫做 $\mathfrak{F}$ 的凝聚点 (cluster point).)

6.8.11 (滤子定义的拓扑). 令 $X$ 为集合. $\mathfrak{F}$ 为 $X$ 上的一个滤子. 令 $X^{\prime }=X\cup \{\omega \}$ 是集合 $X$ 与单点集合 $\{\omega \}$ 的不交并. 令 ${\mathfrak{F}}^{\prime }=\{M\cup \{\omega \}:M\in \mathfrak{F}\}$.

1.	证明 ${\mathfrak{F}}^{\prime }$ 是 $X^{\prime }$ 上的滤子.
2.	证明存在唯一的 $X^{\prime }$ 上的拓扑, 使得 $X$ 是 $X^{\prime }$ 的离散子空间, 而 $\omega$ 的邻域是 ${\mathfrak{F}}^{\prime }$ 中元素. 这个拓扑叫做与滤子 $\mathfrak{F}$ 相配的拓扑.
3.	证明滤子 ${\mathfrak{F}}^{\prime }$ 收敛于 $\omega$.
4.	证明 $X$ 在 $X^{\prime }$ 中稠密.

6.8.12 (紧性的映射刻画). 设 $X$ 为拓扑空间.

1.	若 $X$ 紧. 则对任何拓扑空间 $T$, ${\mathrm{p}\mathrm{r}}_T:X\times T\to T$ 是闭映射.
2.	设拓扑空间 $X$ 满足性质: 对任何拓扑空间 $T$, ${\mathrm{p}\mathrm{r}}_T:X\times T\to T$ 是闭映射. 按下列步骤证明 $X$ 是紧拓扑空间. 1. 设 $\mathfrak{F}$ 为 $X$ 上的一个滤子. 令 $X^{\prime }$ 为与 $\mathfrak{F}$ 相配的拓扑空间 (习题 6.8.11). 令 $F$ 为 $\{(x,x)\in X\times X^{\prime }:x\in X\}$ 在积空间 $X\times X^{\prime }$ 中的闭包. 证明存在 $x\in X$, $(x,\omega )\in F$. 2. 利用上一款的结论, 证明如果 $\mathfrak{F}$ 是超滤, 那么 $x$ 是 $\mathfrak{F}$ 的极限. 利用命题 6.7.9 导出 $X$ 紧.

6.8.13 (真映射). 拓扑空间之间的连续映射 $f:X\to Y$ 叫做真映射 (proper map), 如果对任何连续映射 $T\to Y$, 纤维积的投影映射 $f_T:X{\times }_{Y}T\to T$ 是闭映射.

1.	$\boxed{†}$ 对连续映射 $f:X\to Y$, 下列陈述等价. 1. $f$ 是真映射, 2. 对任何拓扑空间 $T$, $f\times {\mathrm{I}\mathrm{d}}_T:X\times T\to Y\times T$ 是闭映射. 3. $f$ 是闭映射, 并且对任何 $Y$ 的紧子集 $K$, $f^{-1}(K)$ 是紧的. 4. $f$ 是闭映射, 并且对任何 $y\in Y$, $f^{-1}(y)$ 是紧的.
2.	设 $f:X\to Y$ 是连续映射, $Y$ 局部紧 Hausdorff, 且对一切 $Y$ 的紧子空间 $K$, $f^{-1}(K)$ 是紧的. 证明 $f$ 是闭映射. (这样, 根据上题, $f$ 是真映射.) [提示: $Y$ 满足: $Z\subset Y$ 是闭子空间当且仅当它和任意 $Y$ 的紧子空间 $K$ 相交是 $K$ 的闭子集.]

6.8.14. 设 $f:X\to Y$ 为非空拓扑空间之间的局部同胚 (习题 2.6.5).

1.	如果 $f$ 是分离映射, 并且存在正整数 $n$ 使得对任何 $y\in Y$, $f^{-1}(y)$ 都恰好有 $n$ 个原像. 证明对任意 $y\in Y$, 存在 $y$ 的开邻域 $V$, 使得 $f^{-1}(V)={\coprod }_{i=1}^n{U}_i$, 其中 $f{|}_{U_i}$ 都是同胚. 证明 $f$ 为真映射.
2.	如果 $f$ 是分离的真映射, $Y$ 连通, 证明存在正整数 $n$, 使得对任何 $y\in Y$, $f^{-1}(y)$ 都恰好有 $n$ 个原像.
3.	举例说明, 在第 2 款中额外加上如下条件: $f$ 满, $X$ 是连通流形, $Y$ 是紧流形, 但去掉 $f$ 是真映射的条件, 则结论不对.

脚注

1.	见习题 6.8.9.
2.	$\forall y\in Y,\forall ϵ>0,\exists x$ 的邻域 $U$, 使得 $\forall f\in \mathcal{F}$, 有 $f(U)\subset B(f(x);ϵ)$.