58. 分布的定义和例子

分布理论是法国数学家 Laurent M. Schwartz 在上个世纪四十年代引入的, 他在 1950 出版了 Théorie des distributions 一书总结了分布理论的精要与应用, 这项工作也是他获得 1950 年 Fields 奖的核心贡献. 中文分布二字是书名中 distributions 的直译, 却没有说明这个理论究竟讲了什么. Schwartz 在分布理论方面的第一篇论文的题目可以解答这个疑惑: 这篇文章是 Généralisation de la notion de fonction, de dérivation, de transformation de Fourier et applications mathématiques et physiques, 即对函数、微分和 Fourier 变换的推广及在数学和物理中的应用. 我们在第一学年已经详细地学习了函数、微分和 Fourier 变换, 这个学期就秉承 Schwartz 的观点通过对之前概念的推广去欣赏分析学在数学和物理中的应用.

分布的定义与例子

如果不加说明, 我们总假设 是非空开集, 其中 . 给定紧集 , 我们用 表示 上的支集在 中的光滑函数所组成的集合, 即给定一个多重指标 , 其中每个分量都是非负整数, 符号 表示如下多重偏导数其中 . 另外, 我们令

我们用 表示在 上定义并且有紧支集的光滑函数所组成的集合, 我们把它称作是为试验函数空间. 按照定义, 对于任意的 , 存在紧集 (这是 中的紧集) , 使得 , 即对任意的 , .

定义 58.1 (试验函数空间). 在空间 上, 我们规定如下的收敛性 (拓扑) : 给定函数序列 , 所谓的该序列收敛到  (记作 ) , 指的是

1)

存在紧集 , 使得对每个 , 都有 ;

2)

对每个多重指标 , 函数序列 上一致收敛到 , 即

定义 58.2 (分布). 所谓 上的一个分布 (也称作广义函数) 指的是 上的一个线性泛函 (线性映射) : 满足如下两个条件

1)

对任意的 , 我们有

2)

对任意的紧集 , 存在非负整数 和正常数 ( 依赖于 ) , 使得对任意的 , 都有

如果上述的 的选取不依赖于紧集 的选取, 那么, 我们就把最小的这样的非负整数 称作是分布 .

我们用 表示在 上定义的分布的全体, 并规定如下的收敛性 (拓扑) : 所谓的分布序列 在分布的意义下收敛到 (这是把所有函数映射成 的线性映射) , 记作 , 指的是对任意的试验函数 , 我们都有

我们通常说一个分布可以和一个 (有紧支集的) 光滑函数配对得到一个数, 即

注记. 任意给定分布 , 它实际上是 上的连续线性泛函. 我们没有详细讨论和分布有关的拓扑线性空间的理论, 所以我们不打算对这一点做太多的展开 (这对于理解分布理论也没有影响) . 所谓的连续性, 可以用下面的序列的语言来描述: 对任意的试验函数序列 , 我们都有这个命题的证明只需要用到分布的概念, 我们把它留作作业.

作为例子, 我们先学习一些重要的分布:

例子 (Dirac 函数). 对任意的 , 我们可以定义分布 . 其中, 对于任意的 , 我们定义我们来验证 实际上是分布:

对任意的紧集 , 如果 , 那么, 对任意的 , 我们都有如果 , 那么, 使得对任意的 , 我们有所以, 我们在分布的定义中取 , 即可.

特别地, 我们还知道 的阶为 .

例子 (局部可积的函数). 给定开集 (总是装配了 Borel 代数和 Lebesgue 测度) , 所谓局部可积的函数指的是在每个紧的局部上都可积的函数, 即可测函数 (所对应的几乎处处相等的函数的等价类) , 对于任意紧集 , 函数 . 我们用 表示 上局部可积的函数.

对于任意的 , 我们定义 上的线性泛函: 由于 在它的支集 上有界, 所以, 上面的积分是良好定义的. 我们证明 上的阶为 的分布: 对任意的紧集 , 对任意的 , 我们有所以, 我们在分布的定义中取 , 即可.

注记. 为了方便起见, 我们通常把 直接写成 .

命题 58.3. 任意选定 (我们通常偏爱之前所构造的那个 ) , 我们假定对任意的 , 我们定义那么, 在分布的意义下, 当 时, 我们有 .

MathAnalysis L0101.svg

注记. 由于 是局部可积的 (因为在紧集上有最大最小值) , 我们通过 视作分布, 请参考上一个例子 (之后不再重复) .

证明. 通过换元积分公式, 我们知道对任意的 , 我们都有任意选定试验函数 , 我们要证明利用 , 我们有对于 而言, 当 时, 一致收敛到 (因为 ) , 所以, 我们有其中 是满足 的量.
所以, 可以先选 , 使得其中, 是任意给定的正实数. 对于 , 现在已经固定了 , 我们有由于当 时, 是逐点收敛到 的, 所以, 根据 Lebesgue 控制收敛定理, 特别地, 对足够小的 , 我们就有这表明, 从而命题成立.

例子 (Radon 测度). 假设 上的测度, 其中, 是开集, 是 Borel 代数 (包含所有开集的最小 -代数) . 如果每个紧集 , , 我们就把这种测度称作是一个 Radon 测度.

比如说, 对任意的正函数 (几乎处处) , 对任意的 , 我们可以定义这就是一个 Radon 测度.

任意给定一个 Radon 测度 , 我们可以定义一个分布 : 对于 , 我们要求我们证明 上阶为 的分布:

对任意的紧集 , 对任意的 , 我们有所以, 我们在分布的定义中取 , 即可.

特别地, 我们可以把 中的元素看作是某个 Radon 测度的密度函数, 从而, 定义出了同样的分布.

注记. 利用所谓的 Riesz 表示定理, 我们可以证明, 上所有的 阶分布都是 (由如上方式给出的) Radon 测度.

我们自然还有阶非零的分布, 比如说, 我们可以定义  上的线性泛函: 我们将在作业题中证明两个定义给出了分布, 第一个的阶为 , 而第二个的阶不能定义 (无穷大) .

命题 58.4 (局部可积的函数). 给定开集 , 我们已经定义如下的线性映射 (把局部可积函数视为分布) 这是单射.

注记. 根据这个命题, 局部可积的函数可以看做是分布的子集合. 在分析中, 我们把 的元素称作是 上的 “函数” (这个类已经足够大了) , 由于某些分布不是 “函数”, 所以我们也经常把分布称作是 “广义函数”. 我们在课程中不使用这个名称.

证明. 假设 , 即对任意的 , 我们都有我们要说明 (几乎处处) . 为此, 只需要说明对每个紧集 , 我们都有 (几乎处处) 即可.

我们定义函数这是一个有紧支集 的函数. 当 较小时, 的支集仍然在 中: 按照卷积的定义, 对任意的 , 这个点距离 的不超过 , 然而, 距离 的不超过 点是在 中的 (利用紧性) . 特别地, 我们得到一个试验函数 , 从而我们令 并且要求距离 的不超过 点都落在 中. 我们令根据定义, 我们就有然而, 我们上个学期证明过 , 从而 (由于 有界) 当 , 我们有所以对几乎处处的 , 我们有 , 命题得证.

例子 ( 的主值部分).

我们注意到这是因为我们不能在 附近对 积分 (积出来无穷大) . 所以, 我们不能通过直接与试验函数配对积分的方式定义一个分布. 我们想用取极限 (逼近) 的方式来定义: 对任意的 , 我们显然有作为分布, 我们就有其中, 上的一个试验函数.

我们现在有个简单但是重要的观察: 根据下面的引理 (证明参考第一次作业)

引理 58.5. 假设 并且 , 那么, 也是光滑函数.

得到 是光滑函数 (自然是局部可积的) . 从而, 当 时, 上述积分的极限存在: 我们现在定义为了证明这是分布, 我们利用中值定理: 对任意的紧集 , 对任意的支集在 上的光滑函数 , 我们有所以, 所以 是一个阶不超过 的分布. 在作业中, 我们将证明 的阶恰好是 .

另外, 是法语 valeur principale 的缩略, 英文文献经常用 , 因为他们把主值写为 principal value.