58. 分布的定义和例子

分布理论是法国数学家 Laurent M. Schwartz 在上个世纪四十年代引入的, 他在 1950 出版了 Théorie des distributions 一书总结了分布理论的精要与应用, 这项工作也是他获得 1950 年 Fields 奖的核心贡献. 中文分布二字是书名中 distributions 的直译, 却没有说明这个理论究竟讲了什么. Schwartz 在分布理论方面的第一篇论文的题目可以解答这个疑惑: 这篇文章是 Généralisation de la notion de fonction, de dérivation, de transformation de Fourier et applications mathématiques et physiques, 即对函数、微分和 Fourier 变换的推广及在数学和物理中的应用. 我们在第一学年已经详细地学习了函数、微分和 Fourier 变换, 这个学期就秉承 Schwartz 的观点通过对之前概念的推广去欣赏分析学在数学和物理中的应用.

分布的定义与例子

如果不加说明, 我们总假设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是非空开集, 其中 $n⩾1$. 给定紧集 $K\subset {\mathbb{R}}^n$, 我们用 $C_K^{\infty }(\Omega )$ 表示 $\Omega$ 上的支集在 $K$ 中的光滑函数所组成的集合, 即$$C_K^{\infty }(\Omega )=\{f\in C^{\infty }(\Omega )|\mathrm{supp}(f)\subset K\}.$$给定一个多重指标 $\alpha =({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)$, 其中每个分量都是非负整数, 符号 ${\partial }^{\alpha }\phi$ 表示如下多重偏导数$${\partial }_{x_1}^{{\alpha }_1}{\partial }_{x_2}^{{\alpha }_2}\cdots {\partial }_{x_n}^{{\alpha }_n}\phi ,$$其中 ${\partial }_{x_i}^{{\alpha }_i}=\frac{{\partial }^{{\alpha }_i}}{\partial x_i^{{\alpha }_i}}$. 另外, 我们令$$|\alpha |=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i.$$

我们用 $\mathcal{D}(\Omega )=C_0^{\infty }(\Omega )$ 表示在 $\Omega$ 上定义并且有紧支集的光滑函数所组成的集合, 我们把它称作是为试验函数空间. 按照定义, 对于任意的 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega )$, 存在紧集 $K\subset \Omega$ (这是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的紧集) , 使得 $f{|}_{\Omega -K}\equiv 0$, 即对任意的 $x\in \Omega -K$, $f(x)=0$.

定义 58.1 (试验函数空间). 在空间 $\mathcal{D}(\Omega )$ 上, 我们规定如下的收敛性 (拓扑) : 给定函数序列 $\{{\phi }_p{\}}_{p⩾1}\subset \mathcal{D}(\Omega )$, 所谓的该序列收敛到 $0\in \mathcal{D}(\Omega )$ (记作 ${\phi }_p\stackrel{\mathcal{D}(\Omega )}{⟶}0$) , 指的是

1)	存在紧集 $K\subset \Omega$, 使得对每个 $p⩾1$, 都有 $\mathrm{supp}({\phi }_p)\subset K$;
2)	对每个多重指标 $\alpha$, 函数序列 $\{{\partial }^{\alpha }{\phi }_p{\}}_{p⩾1}$ 在 $K$ 上一致收敛到 $0$, 即$$\underset{p\to \infty }{\lim }\Vert {\partial }^{\alpha }{\phi }_p{\Vert }_{L^{\infty }(K)}=0.$$

定义 58.2 (分布). 所谓 $\Omega$ 上的一个分布 (也称作广义函数) 指的是 $\mathcal{D}(\Omega )$ 上的一个线性泛函 (线性映射) : $$u:\mathcal{D}(\Omega )\to \mathbb{C},\phi \mapsto ⟨u,\phi ⟩,$$满足如下两个条件

1)	对任意的 $\phi ,\psi \in \mathcal{D}(\Omega )$ 和 $\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$, 我们有$$⟨u,\alpha \phi +\beta \psi ⟩=\alpha ⟨u,\phi ⟩+\beta ⟨u,\psi ⟩.$$
2)	对任意的紧集 $K\subset \Omega$, 存在非负整数 $p$ 和正常数 $C$ ($p$ 和 $C$ 依赖于 $K$) , 使得对任意的 $\phi \in C_K^{\infty }(\Omega )$, 都有$$|⟨u,\phi ⟩|⩽C\underset{|\alpha |⩽p}{\sup }\Vert {\partial }^{\alpha }\phi {\Vert }_{L^{\infty }(K)}.$$

如果上述的 $p$ 的选取不依赖于紧集 $K$ 的选取, 那么, 我们就把最小的这样的非负整数 $p$ 称作是分布 $u$ 的阶.

我们用 ${\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ 表示在 $\Omega$ 上定义的分布的全体, 并规定如下的收敛性 (拓扑) : 所谓的分布序列 $\{u_p{\}}_{p⩾1}\subset {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ 在分布的意义下收敛到 $0\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ (这是把所有函数映射成 $0$ 的线性映射) , 记作 $u_p\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )}{⟶}0$, 指的是对任意的试验函数 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega )$, 我们都有$$\underset{p\to \infty }{\lim }⟨u_p,\phi ⟩=0.$$

我们通常说一个分布可以和一个 (有紧支集的) 光滑函数配对得到一个数, 即$${\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )\times \mathcal{D}(\Omega )\to \mathbb{C},(u,\phi )\mapsto ⟨u,\phi ⟩.$$

注记. 任意给定分布 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$, 它实际上是 $\mathcal{D}(\Omega )$ 上的连续线性泛函. 我们没有详细讨论和分布有关的拓扑线性空间的理论, 所以我们不打算对这一点做太多的展开 (这对于理解分布理论也没有影响) . 所谓的连续性, 可以用下面的序列的语言来描述: 对任意的试验函数序列 ${\phi }_p\stackrel{\mathcal{D}}{⟶}0$, 我们都有$$\underset{p\to \infty }{\lim }⟨u,{\phi }_p⟩=0.$$这个命题的证明只需要用到分布的概念, 我们把它留作作业.

作为例子, 我们先学习一些重要的分布:

例子 (Dirac 函数). 对任意的 $a\in \Omega$, 我们可以定义分布 ${\delta }_a\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$. 其中, 对于任意的 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega )$, 我们定义$$⟨{\delta }_a,\phi ⟩=\phi (a).$$我们来验证 ${\delta }_a$ 实际上是分布:

对任意的紧集 $K\subset \Omega$, 如果 $a\notin K$, 那么, 对任意的 $\phi \in C_K^{\infty }(\Omega )$, 我们都有$$⟨{\delta }_a,\phi ⟩=0.$$如果 $a\in K$, 那么, 使得对任意的 $\phi \in C_K^{\infty }(\Omega )$, 我们有$$|⟨{\delta }_a,\phi ⟩|=|\phi (a)|⩽1\cdot \underset{|\alpha |⩽0}{\sup }\Vert {\partial }^{\alpha }\phi {\Vert }_{L^{\infty }(K)}.$$所以, 我们在分布的定义中取 $q=0$, $C=1$ 即可.

特别地, 我们还知道 ${\delta }_a$ 的阶为 $0$.

例子 (局部可积的函数). 给定开集 $\Omega$ (总是装配了 Borel 代数和 Lebesgue 测度) , 所谓局部可积的函数指的是在每个紧的局部上都可积的函数, 即可测函数 $f$ (所对应的几乎处处相等的函数的等价类) , 对于任意紧集 $K\subset \Omega$, 函数 $f\cdot 1_K\in L^1(\Omega )$. 我们用 $L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega )$ 表示 $\Omega$ 上局部可积的函数.

对于任意的 $f\in L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega )$, 我们定义 $\mathcal{D}(\Omega )$ 上的线性泛函: $$T_f:\mathcal{D}(\Omega )\to \mathbb{C},\phi \mapsto ⟨T_f,\phi ⟩={\int }_{\Omega }f(x)\phi (x)dx.$$由于 $\phi$ 在它的支集 $K$ 上有界, 所以, 上面的积分是良好定义的. 我们证明 $T_f$ 是 $\Omega$ 上的阶为 $0$ 的分布: 对任意的紧集 $K\subset \Omega$, 对任意的 $\phi \in C_K^{\infty }(\Omega )$, 我们有$$\begin{array}{rl}|⟨T_f,\phi ⟩|& =|{\int }_{K}f(x)\phi (x)dx|\\ & ⩽\Vert f{\Vert }_{L^1(K)}\Vert \phi {\Vert }_{L^{\infty }(K)}.\end{array}$$所以, 我们在分布的定义中取 $q=0$, $C=\Vert f{\Vert }_{L^1(K)}$ 即可.

注记. 为了方便起见, 我们通常把 $⟨T_f,\phi ⟩$ 直接写成 $⟨f,\phi ⟩$.

命题 58.3. 任意选定 $\chi (x)\in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$ (我们通常偏爱之前所构造的那个 $\chi (x)$) , 我们假定$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}\chi (x)dx=1.$$对任意的 $\epsilon >0$, 我们定义$${\chi }_{\epsilon }(x)=\frac{1}{{\epsilon }^n}\chi \left(\frac{x}{\epsilon }\right).$$那么, 在分布的意义下, 当 $\epsilon \to 0$ 时, 我们有 ${\chi }_{\epsilon }\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{⟶}{\delta }_0$.

注记. 由于 ${\chi }_{\epsilon }$ 是局部可积的 (因为在紧集上有最大最小值) , 我们通过$$\int {\chi }_{\epsilon }(x)\phi (x)dx$$把 ${\chi }_{\epsilon }$ 视作分布, 请参考上一个例子 (之后不再重复) .

证明. 通过换元积分公式, 我们知道对任意的 $\epsilon >0$, 我们都有$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\chi }_{\epsilon }(x)dx={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\chi (x)dx,{\int }_{{\mathbb{R}}^n}|{\chi }_{\epsilon }(x)|dx={\int }_{{\mathbb{R}}^n}|\chi (x)|dx.$$任意选定试验函数 $\phi$, 我们要证明$$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }⟨{\chi }_{\epsilon }-{\delta }_0,\phi ⟩=0.$$利用 ${\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\chi }_{\epsilon }(x)dx=1$, 我们有$$\begin{array}{rl}⟨{\chi }_{\epsilon }-{\delta }_0,\phi ⟩& ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\chi }_{\epsilon }(x)\phi (x)dx-\phi (0)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\chi }_{\epsilon }(x)(\phi (x)-\phi (0))dx\\ & =\underset{{\mathbf{I}}_1}{\underbrace{{\int }_{|x|⩽\delta }{\chi }_{\epsilon }(x)(\phi (x)-\phi (0))dx}}+\underset{{\mathbf{I}}_2}{\underbrace{{\int }_{|x|⩾\delta }{\chi }_{\epsilon }(x)(\phi (x)-\phi (0))dx}}\end{array}$$对于 ${\mathbf{I}}_1$ 而言, 当 $\epsilon \to 0$ 时, $\phi (x)$ 一致收敛到 $\phi (0)$ (因为 $|x|⩽\epsilon$) , 所以, 我们有$$|{\mathbf{I}}_1|⩽o(1){\int }_{|x|⩽\delta }|{\chi }_{\epsilon }(x)|dx=o(1)\Vert \chi {\Vert }_{L^1}.$$其中 $o(1)$ 是满足 ${\lim }_{\delta \to 0}o(1)=0$ 的量.
所以, 可以先选 $\delta$, 使得$$|{\mathbf{I}}_1|⩽ϵ,$$其中, $ϵ$ 是任意给定的正实数. 对于 ${\mathbf{I}}_2$, 现在已经固定了 $\delta$, 我们有$$\begin{array}{rl}|{\mathbf{I}}_2|& ⩽2\Vert \phi {\Vert }_{L^{\infty }}{\int }_{|x|⩾\delta }|{\chi }_{\epsilon }(x)|dx=2\Vert \phi {\Vert }_{L^{\infty }}{\int }_{|x|⩾\frac{\delta }{\epsilon }}|\chi (x)|dx\\ & =2\Vert \phi {\Vert }_{L^{\infty }}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}|\chi (x)|1_{|x|⩾\frac{\delta }{\epsilon }}dx.\end{array}$$由于当 $\epsilon \to 0$ 时, $|\chi (x)|1_{|x|⩾\frac{\delta }{\epsilon }}$ 是逐点收敛到 $0$ 的, 所以, 根据 Lebesgue 控制收敛定理, $$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\mathbf{I}}_2=0.$$特别地, 对足够小的 $\epsilon >0$, 我们就有$$|{\mathbf{I}}_2|⩽ϵ.$$这表明, $$|{\mathbf{I}}_1+{\mathbf{I}}_2|⩽2ϵ.$$从而命题成立.

$\square$

例子 (Radon 测度). 假设 $\mu$ 是 $(\Omega ,\mathcal{B}(\Omega ))$ 上的测度, 其中, $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是开集, $\mathcal{B}(\Omega )$ 是 Borel 代数 (包含所有开集的最小 $\sigma$-代数) . 如果每个紧集 $K\subset \Omega$, $\mu (K)<\infty$, 我们就把这种测度称作是一个 Radon 测度.

比如说, 对任意的正函数 (几乎处处) $f\in L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega )$, 对任意的 $B\in \mathcal{B}(\Omega )$, 我们可以定义$${\mu }_f(B)={\int }_{\Omega }{1}_B\cdot f(x)dx.$$这就是一个 Radon 测度.

任意给定一个 Radon 测度 $\mu$, 我们可以定义一个分布 $T_{\mu }$: 对于 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega )$, 我们要求$$⟨T_{\mu },\phi ⟩={\int }_{\Omega }\phi (x)d\mu (x).$$我们证明 $T_{\mu }$ 是 $\Omega$ 上阶为 $0$ 的分布:

对任意的紧集 $K\subset \Omega$, 对任意的 $\phi \in C_K^{\infty }(\Omega )$, 我们有$$\begin{array}{rl}|⟨T_{\mu },\phi ⟩|& =|{\int }_K\phi (x)d\mu (x)|\\ & ⩽\mu (K)\Vert \phi {\Vert }_{L^{\infty }(K)}.\end{array}$$所以, 我们在分布的定义中取 $q=0$, $C=\mu (K)$ 即可.

特别地, 我们可以把 $L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega )$ 中的元素看作是某个 Radon 测度的密度函数, 从而, 定义出了同样的分布.

注记. 利用所谓的 Riesz 表示定理, 我们可以证明, $\Omega$ 上所有的 $0$ 阶分布都是 (由如上方式给出的) Radon 测度.

我们自然还有阶非零的分布, 比如说, 我们可以定义 $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ 上的线性泛函: $$⟨{\delta }^{\prime },\phi ⟩=-{\phi }^{\prime }(0),$$和$$⟨u,\phi ⟩=\sum _{k=0}^{\infty }{\phi }^{(k)}(k).$$我们将在作业题中证明两个定义给出了分布, 第一个的阶为 $1$, 而第二个的阶不能定义 (无穷大) .

命题 58.4 (局部可积的函数). 给定开集 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$, 我们已经定义如下的线性映射 (把局部可积函数视为分布) $$T:L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega )\to {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega ),f\mapsto T_f.$$这是单射.

注记. 根据这个命题, 局部可积的函数可以看做是分布的子集合. 在分析中, 我们把 $L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega )$ 的元素称作是 $\Omega$ 上的 “函数” (这个类已经足够大了) , 由于某些分布不是 “函数”, 所以我们也经常把分布称作是 “广义函数”. 我们在课程中不使用这个名称.

证明. 假设 $T_f\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}0$, 即对任意的 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega )$, 我们都有$${\int }_{\Omega }f(x)\phi (x)dx=0,$$我们要说明 $f=0$ (几乎处处) . 为此, 只需要说明对每个紧集 $K\subset \Omega$, 我们都有 $f{|}_K=0$ (几乎处处) 即可.

我们定义函数$${\phi }_K(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\overline{f(x)}}{|f(x)|}{1}_K(x),& \text{如果}f(x)\ne 0;\\ 0,& \text{如果}f(x)=0.\end{array}$$这是一个有紧支集 $K$ 的函数. 当 $\epsilon$ 较小时, ${\chi }_{\epsilon }\ast {\phi }_K$ 的支集仍然在 $\Omega$ 中: 按照卷积的定义, 对任意的 $x\in \mathrm{supp}({\chi }_{\epsilon }\ast {\phi }_K)$, 这个点距离 $K$ 的不超过 $\epsilon$, 然而, 距离 $K$ 的不超过 $\epsilon$ 点是在 $\Omega$ 中的 (利用紧性) . 特别地, 我们得到一个试验函数 ${\chi }_{\epsilon }\ast {\phi }_K\in \mathcal{D}(\Omega )$, 从而$$⟨T_f,{\chi }_{\epsilon }\ast {\phi }_K⟩=0.$$我们令 $\epsilon <\delta$ 并且要求距离 $K$ 的不超过 $\epsilon$ 点都落在 $\Omega$ 中. 我们令$$K+B(\delta )=\{x+y|x\in K,|y|⩽\delta \}.$$根据定义, 我们就有$$\begin{array}{rl}0& ={\int }_{\Omega }f(x)({\chi }_{\epsilon }\ast {\phi }_K)(x)dx={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x)({\chi }_{\epsilon }\ast {\phi }_K)(x)dx\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}(f\cdot 1_{K+B(\delta )})({\chi }_{\epsilon }\ast {\phi }_K)dx\\ & \stackrel{\mathrm{Fubini}}{=}\int {\int }_{{\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n}(f(x)1_{K+B(\delta )}(x)){\chi }_{\epsilon }(x-y){\phi }_K(y)dxdy\\ & \stackrel{\mathrm{Fubini}}{=}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\left({\int }_{{\mathbb{R}}^n}(f(x)1_{K+B(\delta )}(x)){\chi }_{\epsilon }(x-y)dx\right){\phi }_K(y)dy\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\left(\right(f{1}_{K+B(\delta )})\ast {\chi }_{\epsilon })(y){\phi }_K(y)dy.\end{array}$$然而, 我们上个学期证明过 $\left(f{1}_{K+B(\delta )}\right)\ast {\chi }_{\epsilon }\stackrel{L^1}{⟶}f{1}_{K+B(\delta )}$, 从而 (由于 ${\phi }_K(y)$ 有界) 当 $\epsilon \to 0$, 我们有$$\begin{array}{rl}0& =\underset{\epsilon \to 0}{\lim }⟨T_f,{\chi }_{\epsilon }\ast {\phi }_K⟩\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\left(f{1}_{K+B(\delta )}\right)(y){\phi }_K(y)dy={\int }_K|f(y)|dy.\end{array}$$所以对几乎处处的 $x\in K$, 我们有 $f(x)=0$, 命题得证.

$\square$

例子 ($\frac{1}{x}$ 的主值部分).

我们注意到$$\frac{1}{x}\notin L_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R}).$$这是因为我们不能在 $0$ 附近对 $x^{-1}$ 积分 (积出来无穷大) . 所以, 我们不能通过直接与试验函数配对积分的方式定义一个分布. 我们想用取极限 (逼近) 的方式来定义: 对任意的 $n⩾1$, 我们显然有$$\frac{1}{x}{1}_{|x|⩾\frac{1}{n}}(x)\in L_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R}).$$作为分布, 我们就有$$\begin{array}{rl}⟨\frac{1}{x}{1}_{|x|⩾\frac{1}{n}},\phi ⟩& ={\int }_{-\infty }^{\frac{1}{n}}\frac{\phi (x)}{x}dx+{\int }_{\frac{1}{n}}^{\infty }\frac{\phi (x)}{x}dx\\ & ={\int }_{\frac{1}{n}}^{\infty }\frac{\phi (x)-\phi (-x)}{x}dx.\end{array}$$其中, $\phi$ 是 $\mathbb{R}$ 上的一个试验函数.

我们现在有个简单但是重要的观察: $$[\phi (x)-\phi (-x)]{|}_{x=0}=0.$$根据下面的引理 (证明参考第一次作业)

引理 58.5. 假设 $\psi (x)\in C^{\infty }(\mathbb{R})$ 并且 $\psi (0)=0$, 那么, $\frac{\psi (x)}{x}$ 也是光滑函数.

得到 $\frac{\phi (x)-\phi (-x)}{x}$ 是光滑函数 (自然是局部可积的) . 从而, 当 $n\to \infty$ 时, 上述积分的极限存在: $$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_{\frac{1}{n}}^{\infty }\frac{\phi (x)-\phi (-x)}{x}dx={\int }_0^{\infty }\frac{\phi (x)-\phi (-x)}{x}dx.$$我们现在定义$$⟨\mathrm{vp}\frac{1}{x},\phi ⟩={\int }_0^{\infty }\frac{\phi (x)-\phi (-x)}{x}dx.$$为了证明这是分布, 我们利用中值定理: 对任意的紧集 $K=[-M,M]\subset \mathbb{R}$, 对任意的支集在 $K$ 上的光滑函数 $\phi$, 我们有$$|\phi (x)-\phi (-x)|=|2x{\phi }^{\prime }(\xi )|⩽2\Vert {\phi }^{\prime }{\Vert }_{L^{\infty }(K)}x.$$所以, $$|⟨\mathrm{vp}\frac{1}{x},\phi ⟩|⩽{\int }_0^{M}2\Vert {\phi }^{\prime }{\Vert }_{L^{\infty }(K)}dx=2M\Vert {\phi }^{\prime }{\Vert }_{L^{\infty }(K)}.$$所以 $\mathrm{vp}\frac{1}{x}$ 是一个阶不超过 $1$ 的分布. 在作业中, 我们将证明 $\mathrm{vp}\frac{1}{x}$ 的阶恰好是 $1$.

另外, $\mathrm{vp}$ 是法语 valeur principale 的缩略, 英文文献经常用 $\mathrm{pv}\frac{1}{x}$, 因为他们把主值写为 principal value.