59. 分布的操作: 限制, 求导及复合

分布的操作

在微积分的学习中, 我们可以对一个函数做特定的操作, 比如可以把一个函数限制到比较小的定义域上、可以对一个函数求导数、两个函数可以相乘等等. 我们现在讨论如何对分布做一些特定的操作.

分布的限制

假设 ${\Omega }^{\prime }\subset \Omega$ 是开子集, 那么, 我们可以定义限制映射$$\mathrm{Res}:{\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )\to {\mathcal{D}}^{\prime }({\Omega }^{\prime }),u\mapsto \mathrm{Res}(u).$$其中, 对于每个 $\phi \in \mathcal{D}({\Omega }^{\prime })$, 它自然可以看作是 $\mathcal{D}(\Omega )$ 中的元素, 从而, 我们可以要求$$⟨\mathrm{Res}(u),\phi ⟩=⟨u,\phi ⟩.$$为了方便起见, 除了个别场合, 我们总是用 $u$ 来直接表示 $\mathrm{Res}(u)$.

求偏导数

我们先考虑一个足够光滑的函数, 比如说, $u\in C^1(\mathbb{R})$. $u$ 和 $u^{\prime }$ 都是局部可积分的函数, 我们可以把它们视作是分布. 通过分部积分, 我们有$$\begin{array}{rl}⟨u^{\prime },\phi ⟩& ={\int }_{\mathbb{R}}{u}^{\prime }(x)\phi (x)dx=-{\int }_{\mathbb{R}}u(x){\phi }^{\prime }(x)dx\\ & =-⟨u,{\phi }^{\prime }⟩.\end{array}$$这个计算启发我们对于 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$, 我们可以用下面的等式来定义它的导数: $$\begin{array}{r}⟨u^{\prime },\phi ⟩:=-⟨u,{\phi }^{\prime }⟩.\end{array}$$

定义 59.1. 假设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是有界开集, 给定 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$, 对于任意的多重指标 $\alpha$, 我们定义$$⟨{\partial }^{\alpha }u,\phi ⟩=(-1{)}^{|\alpha |}⟨u,{\partial }^{\alpha }\phi ⟩.$$

我们必须说明 ${\partial }^{\alpha }u$ 定义了 $\Omega$ 上的分布: 根据分布的定义, 对任意的紧集 $K\subset \Omega$, 存在非负整数 $p$ 和正常数 $C$ ($p$ 和 $C$ 依赖于 $K$) , 使得对任意的 $\phi \in C_K^{\infty }(\Omega )$, 都有$$\begin{array}{rl}|⟨{\partial }^{\alpha }u,\phi ⟩|& =|⟨u,{\partial }^{\alpha }\phi ⟩|\\ & ⩽C\underset{|\beta |⩽p}{\sup }\Vert {\partial }^{\beta }{\partial }^{\alpha }\phi {\Vert }_{L^{\infty }(K)}\\ & ⩽C\underset{|\gamma |⩽p+|\alpha |}{\sup }\Vert {\partial }^{\gamma }\phi {\Vert }_{L^{\infty }(K)}\end{array}$$这表明我们对任意的分布都可以求导数, 即对任意的多重指标 $\alpha$, 我们有 (连续) 线性映射: $${\partial }^{\alpha }:{\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )\to {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega ).$$我们研究两个经典的例子:

例子 (Heaviside 函数). 我们定义 Heaviside 函数$$H(x)=1_{x⩾0}.$$

直观上, 这个函数在 $0$ 之外的导数是 $0$, 在 $0$ 处函数有很大的跳跃, 导数应该是无穷大. 我们证明$$H(x{)}^{\prime }={\delta }_0.$$按照定义, 和我们有$$\begin{array}{rl}⟨H^{\prime }(x),\phi (x)⟩& =-⟨H(x),{\phi }^{\prime }(x)⟩=-{\int }_0^{\infty }{\phi }^{\prime }(x)dx\\ & =-\left(\phi (\infty )-\phi (0)\right)=\phi (0)\\ & =⟨{\delta }_0,\phi ⟩.\end{array}$$

例子. 我们考虑 $\mathbb{R}$ 上的 $\log$ 函数, 注意到$$\log |x|\in L_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R}).$$我们证明, 作为分布, 有$$(\log |x|{)}^{\prime }\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}\mathrm{vp}\frac{1}{x}.$$实际上, $$\begin{array}{rl}⟨(\log |x|{)}^{\prime },\phi ⟩& =-\underset{\epsilon \to 0}{\lim }({\int }_{-\infty }^{-\epsilon }{\phi }^{\prime }\log |x|dx+{\int }_{\epsilon }^{\infty }{\phi }^{\prime }\log |x|dx)\\ & =\underset{\epsilon \to 0}{\lim }(\phi (-\epsilon )\log (\epsilon )+{\int }_{-\infty }^{-\epsilon }\frac{1}{x}\phi dx-\phi (\epsilon )\log (\epsilon )+{\int }_{\epsilon }^{\infty }\frac{1}{x}\phi dx).\end{array}$$我们注意到$$\phi (-\epsilon )-\phi (\epsilon )=O(\epsilon ).$$所以, $$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\phi (-\epsilon )\log (\epsilon )-\phi (\epsilon )\log (\epsilon )=0.$$从而, $$\begin{array}{rl}⟨(\log |x|{)}^{\prime },\phi ⟩& =\underset{\epsilon \to 0}{\lim }({\int }_{-\infty }^{-\epsilon }\frac{1}{x}\phi dx+{\int }_{\epsilon }^{\infty }\frac{1}{x}\phi dx)\\ & =⟨\mathrm{vp}\frac{1}{x},\phi ⟩.\end{array}$$

例子. 我们计算 $\mathbb{R}$ 上的 Dirac 函数 ${\delta }_a$ 的导数, 其中 $a\in \mathbb{R}$. 任给 $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, 我们有$$\begin{array}{r}⟨{\delta }_a^{\prime },\phi ⟩=-⟨{\delta }_a,{\phi }^{\prime }⟩=-{\phi }^{\prime }(a).\end{array}$$

$C^{\infty }(\Omega )$-模结构

对光滑函数 $f\in C^{\infty }(\Omega )$ 和分布 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$, 我们可以定义它们的乘积 $f\cdot u$:$$⟨f\cdot u,\phi ⟩:=⟨u,f\phi ⟩.$$其中, $\phi$ 是试验函数. 由于 $f\phi$ 仍然是 $\mathcal{D}(\Omega )$ 中的函数, 所以上面的等式是良好定义的. 为了说明 $f\cdot u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$, 要对 $u$ 来用分布的定义: 对任意的紧集 $K\subset \Omega$, 存在非负整数 $p$ 和正常数 $C$ ($p$ 和 $C$ 依赖于 $K$) , 使得对任意的 $\phi \in C_K^{\infty }(\Omega )$, 都有$$|⟨f\cdot u,\phi ⟩|⩽C\underset{|\alpha |⩽p}{\sup }\Vert {\partial }^{\alpha }(f\cdot \phi ){\Vert }_{L^{\infty }(K)}.$$根据 Leibniz 法则, 我们有$${\partial }^{\alpha }(f\cdot \phi )=\sum _{\beta +\gamma =\alpha }{\partial }^{\beta }f\cdot {\partial }^{\gamma }\phi .$$所以, $$\begin{array}{rl}|⟨f\cdot u,\phi ⟩|& ⩽C\underset{|\alpha |⩽p}{\sup }\sum _{\beta +\gamma =\alpha }\Vert {\partial }^{\beta }f{\Vert }_{L^{\infty }(K)}\Vert {\partial }^{\gamma }\phi {\Vert }_{L^{\infty }(K)}\\ & ⩽\underset{\text{新的常数}{C}^{\prime }}{\underbrace{C\sum _{|\beta |⩽p}\Vert {\partial }^{\beta }f{\Vert }_{L^{\infty }(K)}}}\times \underset{|\gamma |⩽p}{\sup }\Vert {\partial }^{\gamma }\phi {\Vert }_{L^{\infty }(K)}.\end{array}$$这表明 $f\cdot u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$.

例子. 我们有$$x\cdot \mathrm{vp}\frac{1}{x}=1.$$对任意的 $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, 我们知道 $x\phi (x){|}_{x=0}=0$. 根据第一次作业题的 A6), 我们有$$\begin{array}{rl}⟨x\cdot \mathrm{vp}\frac{1}{x},\phi ⟩& =⟨\mathrm{vp}\frac{1}{x},x\phi ⟩\\ & {\int }_{\mathbb{R}}\frac{1}{x}\cdot x\phi (x)dx={\int }_{\mathbb{R}}1\cdot \phi (x)dx.\end{array}$$这就证明了命题.

分布的平移和变量替换

对于 $x_0\in {\mathbb{R}}^n$, 我们有如下的平移变换: $${\tau }_{x_0}:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n,x\mapsto x+x_0.$$对于局部可积的函数 $f\in L_{\mathrm{loc}}^1({\mathbb{R}}^n)$, 我们可以定义 (这是一种特殊的变量替换) : $$\left({\tau }_{x_0}f\right)(x):=f(x+x_0).$$如果将 $f$ 视为是分布, 对于试验函数 $\phi$ 而言, 我们有$$\begin{array}{rl}⟨f(\cdot +x_0),\phi (\cdot )⟩& ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x+x_0)\phi (x)dx={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x)\phi (x-x_0)dx\\ & =⟨f(\cdot ),\phi (\cdot -x_0)⟩=⟨f(\cdot ),({\tau }_{-x_0}\phi )(\cdot )⟩.\end{array}$$对于一般的分布 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$, $x_0\in {\mathbb{R}}^n$, 我们定义$$⟨{\tau }_{x_0}u,\phi ⟩:=⟨u,\phi (x-x_0)⟩.$$容易验证, ${\tau }_{x_0}u$ 给出了一个分布. 实际上, 我们稍后在进行变量替换的时候, 也会给出这个命题的证明.

下面的命题给出了在分布意义下方向导数的另一个 (直观) 刻画:

命题 59.2. 给定分布 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$, 给定向量 $v=(v_1,\cdots ,v_n)\in {\mathbb{R}}^n$, 在分布意义下, 我们有$$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\tau }_{tv}u-u}{t}\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}\sum _{j=1}^n{v}_j{\partial }_{j}u.$$

证明. 按照定义, 我们有$$\begin{array}{rl}⟨\frac{{\tau }_{tv}u-u}{t}-\sum _{j=1}^n{v}_j{\partial }_{j}u,\phi ⟩& =⟨u,\underset{{\phi }_t}{\underbrace{\frac{\phi (x-tv)-\phi (x)}{t}+\sum _{j=1}^n{v}_j{\partial }_j\phi (x)}}⟩.\end{array}$$根据带有积分余项的 Taylor 展开, 我们有$${\phi }_t(x)=-\sum _{j=1}^n{\int }_0^1{v}_j({\partial }_j\phi (x-tsv)-{\partial }_j\phi (x))ds.$$由于 $t$ 很小, 上述函数 ${\phi }_t(x)$ 的支撑集是紧的, 从而第一个等式的右边是良好定义的. 我们来证明在 $\mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$ 中, 上述 ${\phi }_t(x)$ 的极限是 $0$, 也就是说对任意的多重指标 $\alpha$, 我们有 ${\partial }^{\alpha }{\phi }_t(x)\stackrel{L^{\infty }}{⟶}0$: 根据 Lebesgue 控制收敛定理 (的推论, 积分与求导数可交换, 请参考上学期笔记) , 我们有$$\begin{array}{rl}\Vert {\partial }^{\alpha }{\phi }_t(x){\Vert }_{L^{\infty }}& =\Vert \sum _{j=1}^n{\int }_0^1{v}_j({\partial }_j{\partial }^{\alpha }\phi (x-tsv)-{\partial }_j{\partial }^{\alpha }\phi (x))ds{\Vert }_{L^{\infty }}\\ & ⩽\Vert \sum _{j=1}^n{\int }_0^1|v_j||v|\Vert {\partial }^{|\alpha |+2}\phi {\Vert }_{\infty }tds{\Vert }_{L^{\infty }}.\end{array}$$其中, 最后一步我们用到了 Lagrange 中值定理. 再次利用 Lebesgue 控制收敛定理, 上面的极限为 $0$. 命题得证.

$\square$

给定 ${\mathbb{R}}^n$ 的两个开集 ${\Omega }_1$ 和 ${\Omega }_2$, 我们假定$$\Phi :{\Omega }_1\to {\Omega }_2$$是微分同胚. 对任意一个 ${\Omega }_2$ 上的局部可积的函数 $f$ 和 ${\Omega }_1$ 上的试验函数 $\phi$, 根据换元积分公式, 我们有$$\begin{array}{rl}⟨{\Phi }^{\ast }f,\phi (x)⟩& ={\int }_{{\Omega }_1}f(\Phi (x))\phi (x)dx={\int }_{{\Omega }_2}f(y)\phi ({\Phi }^{-1}(y))|{\mathbf{J}}_{{\Phi }^{-1}}(y)|dy\\ & ={\int }_{{\Omega }_2}f(y)\frac{\phi ({\Phi }^{-1}(y))}{|{\mathbf{J}}_{\Phi }({\Phi }^{-1}(y))|}dy\\ & =⟨f,\frac{\phi ({\Phi }^{-1}(y))}{|{\mathbf{J}}_{\Phi }({\Phi }^{-1}(y))|}⟩.\end{array}$$根据这个计算, 我们定义: $${\Phi }^{\ast }:{\mathcal{D}}^{\prime }({\Omega }_2)\to {\mathcal{D}}^{\prime }({\Omega }_1),u\mapsto {\Phi }^{\ast }u.$$其中, 对于 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\Omega }_2)$ 和 $\phi \in \mathcal{D}({\Omega }_1)$, 对于我们定义 ${\Phi }^{\ast }u$ 如下: $$⟨{\Phi }^{\ast }u,\phi (x)⟩:=⟨u,\phi ({\Phi }^{-1}(y))|{\mathbf{J}}_{{\Phi }^{-1}}(y)|⟩=⟨u,\frac{\phi ({\Phi }^{-1}(y))}{|{\mathbf{J}}_{\Phi }({\Phi }^{-1}(y))|}⟩.$$为了证明 ${\Phi }^{\ast }u$ 的确定义了 ${\Omega }_1$ 上的一个分布, 我们利用定义: 对任意的紧集 $K\subset \Omega$, 存在非负整数 $p$ 和正常数 $C$ ($p$ 和 $C$ 依赖于 $K$) , 使得对任意的 $\phi \in C_K^{\infty }(\Omega )$, 都有$$|⟨{\Phi }^{\ast }u,\phi ⟩|⩽C\underset{|\alpha |⩽p}{\sup }\Vert {\partial }^{\alpha }\left(\frac{\phi ({\Phi }^{-1}(y))}{|{\mathbf{J}}_{\Phi }({\Phi }^{-1}(y))|}\right){\Vert }_{L^{\infty }(K)}.$$我们需要利用链式法则多次求导数. 重要的观察是上述导数最多给出 $\phi$ 的不超过 $p$ 次的导数的线性组合, 其中, 这些线性系数都是 $\Phi (y)$ 的不超过 $p+1$ 阶的导数的多项式. 由于我们限制在紧集 $K$ 上, 所以这些系数是一致有界的 (这个界可能依赖于 $K$) , 从而, 通过改变一下上面不等式中的常数 $C$, 我们最终得到$$|⟨{\Phi }^{\ast }u,\phi ⟩|⩽C^{\prime }\underset{|\alpha |⩽p}{\sup }\Vert {\partial }^{\alpha }\phi {\Vert }_{L^{\infty }(K)}.$$

注记 (记号). 因为在光滑函数情况下, ${\Phi }^{\ast }u$ 就是函数的复合, 我们还把上面的拉回映射写成$$u\circ \Phi ={\Phi }^{\ast }u.$$

给定微分同胚 $\Phi :{\Omega }_1\to {\Omega }_2$, 它把 ${\Omega }_2$ 上的 Dirac 函数拉回, 得到 ${\Omega }_1$ 上的 Dirac 函数, 这给出了 Jacobi 行列式的一个精确的解释: 这是一点处体积的变化.

例子. 假设 $x_0\in {\Omega }_1$, $y_0\in {\Omega }_2$ 并且 $\Phi (x_0)=y_0$. 那么, 我们有$${\Phi }^{\ast }{\delta }_{y_0}=\frac{1}{|{\mathbf{J}}_{\Phi }(x_0)|}{\delta }_{x_0}.$$实际上, 利用定义, 对于任意的 $\phi \in \mathcal{D}({\Omega }_1)$, 我们有$$⟨{\Phi }^{\ast }{\delta }_{y_0},\phi (x)⟩=⟨{\delta }_{y_0},\frac{\phi ({\Phi }^{-1}(y))}{|{\mathbf{J}}_{\Phi }({\Phi }^{-1}(y))|}⟩=\frac{\phi ({\Phi }^{-1}(y_0))}{|{\mathbf{J}}_{\Phi }({\Phi }^{-1}(y_0))|}=\frac{\phi (x_0)}{|{\mathbf{J}}_{\Phi }(x_0)|}.$$很明显, $$\frac{\phi (x_0)}{|{\mathbf{J}}_{\Phi }(x_0)|}=⟨\frac{1}{|{\mathbf{J}}_{\Phi }(x_0)|}{\delta }_{x_0},\phi ⟩.$$

给定微分同胚 $\Phi$, 如果 $u$ 是 $C^1$ 的函数, 我们可以对求导数运算运用链式法则:$${\partial }_j(u\circ \Phi )=\sum _{k=1}^n{\partial }_j{\Phi }_k(x_1,\cdots ,x_n)\cdot ({\partial }_{k}u\circ \Phi )(x_1,\cdots ,x_n).$$对于一般的分布 $u$, 我们实际上 (后来) 可以先用光滑函数逼近这个分布, 然后上面的链式法则在极限的情况下仍然成立.

我们现在给出一个直接的证明: 设 $\Psi ={\Phi }^{-1}$ 是 $\Phi$ 的逆映射. 按照分布与一个微分同胚的复合的定义, 我们有$$\begin{array}{rl}⟨\sum _{k=1}^n\frac{\partial {\Phi }_k}{\partial x_j}\cdot \frac{\partial u}{\partial y_k}\circ \Phi ,\phi ⟩& =\sum _{k=1}^n⟨\frac{\partial u}{\partial y_k}\circ \Phi ,\frac{\partial {\Phi }_k}{\partial x_j}\cdot \phi ⟩\\ & =\sum _{k=1}^n⟨\frac{\partial u}{\partial y_k},(\frac{\partial {\Phi }_k}{\partial x_j}\circ \Psi )(\phi \circ \Psi )|J_{\Psi }|⟩\\ & =-\sum _{k=1}^n⟨u,\frac{\partial }{\partial y_k}\left[\right(\frac{\partial {\Phi }_k}{\partial x_j}\circ \Psi \left)\right(\phi \circ \Psi )|J_{\Psi }|]⟩\end{array}$$另外, 对任意 $g\in C_0^{\infty }(\Omega )$, 我们有$$\begin{array}{rl}0& ={\int }_{{\Omega }_1}\frac{\partial }{\partial x_j}(g\circ \Phi )dx=\sum _{k=1}^n{\int }_{{\Omega }_1}\frac{\partial {\Phi }_k}{\partial x_j}\cdot \frac{\partial g}{\partial y_k}\circ \Phi dx\\ & =\sum _{k=1}^n{\int }_{{\Omega }_2}\frac{\partial {\Phi }_k}{\partial x_j}\circ \Psi \cdot \frac{\partial g}{\partial y_k}\cdot |{\mathbf{J}}_{\Psi }(y)|dy\\ & =-\sum _{k=1}^n{\int }_{{\Omega }_2}g\frac{\partial }{\partial y_k}(\frac{\partial {\Phi }_k}{\partial x_j}\circ \Psi \cdot |{\mathbf{J}}_{\Psi }(y)|)dy\end{array}$$根据 $L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega )$ 到 ${\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ 嵌入的单射性, 上面的等式等价于说$$\sum _{k=1}^n\frac{\partial }{\partial y_k}(\frac{\partial {\Phi }_k}{\partial x_j}\circ \Psi \cdot |{\mathbf{J}}_{\Psi }(y)|)=0.$$从而$$\begin{array}{rl}⟨\sum _{k=1}^n\frac{\partial {\Phi }_k}{\partial x_j}\cdot \frac{\partial u}{\partial y_k}\circ \Phi ,\phi ⟩& =-\sum _{k=1}^n⟨u,\frac{\partial }{\partial y_k}(\phi \circ \Psi )\left[\right(\frac{\partial {\Phi }_k}{\partial x_j}\circ \Psi )|{\mathbf{J}}_{\Psi }|]⟩\\ & =-⟨u,\frac{\partial \phi }{\partial x_j}\circ \Psi |{\mathbf{J}}_{\Psi }|⟩\\ & =-⟨u\circ \Phi ,\frac{\partial \phi }{\partial x_j}⟩.\end{array}$$这就证明如下关于分布的链式法则: $${\partial }_j({\Phi }^{\ast }u)=\sum _{k=1}^n{\partial }_j{\Phi }_k\cdot {\Phi }^{\ast }\left(\left({\partial }_{k}u\right)\right).$$

关于分布的 Stokes 公式

我们用分布的语言来表述 Stokes 公式. 我们上个学期证明了:

定理 59.3 (Stokes 公式). 假设 $\Omega$ 是一个有界带边光滑区域, $\nu (x)=({\nu }_1(x),\cdots ,{\nu }_n(x))$ 为 $\partial \Omega$ 的单位外法向量, $d\sigma$ 为 $\partial \Omega$ 上的曲面测度. 对任意的 $\phi \in C^1({\mathbb{R}}^n,\mathbb{C})$, 我们有$${\int }_{\Omega }\frac{\partial \phi }{\partial x_i}(x)dx={\int }_{\partial \Omega }\phi (x){\nu }_i(x)d\sigma .$$

给定了上面 Stokes 公式中所述的 $\Omega$, 它的边界 $\partial \Omega$ 的曲面测度 $d\sigma$ 在如下的意义下定义了 ${\mathbb{R}}^n$ 上一个分布: $$d\sigma :\mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)\to \mathbb{C},\phi \mapsto {\int }_{\partial \Omega }\phi (x)d\sigma (x).$$这是一个 $0$ 阶的分布, 我们把证明的细节留给不放心的同学来验证. 类似地, 对每一个 $i⩽n$, 如下的公式也定义了一个分布: $${\nu }_{i}d\sigma :\mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)\to \mathbb{C},\phi \mapsto {\int }_{\partial \Omega }\phi (x){\nu }_i(x)d\sigma (x).$$

我们可以把 Stokes 公式改写成如下的形式: $$⟨1_{\Omega },{\partial }_i\phi ⟩={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{1}_{\Omega }(x)\frac{\partial \phi }{\partial x_i}(x)dx={\int }_{\partial \Omega }\phi (x){\nu }_i(x)d\sigma .$$所以, 用分布的语言来写, 我们有

定理 59.4 (Stokes 公式). 假设 $\Omega$ 是一个有界带边光滑区域, $\nu (x)=({\nu }_1(x),\cdots ,{\nu }_n(x))$ 为 $\partial \Omega$ 的单位外法向量, $d\sigma$ 为 $\partial \Omega$ 上的曲面测度, 作为分布, 我们有等式$${\partial }_i{1}_{\Omega }\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)}{=}-{\nu }_{i}d\sigma .$$如果用向量值分布的语言 (可以望文生义地定义) 来写, 我们有$$\nabla 1_{\Omega }\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)}{=}-\nu d\sigma .$$

我们现在回到 1 维的情形, 此时的 Stokes 公式就是 Newton-Leibniz 公式.

引理 59.5. 对于 $f(x)\in L^1((a,b))$, 我们定义其原函数为$$F(x)={\int }_a^{x}f(y)dy.$$那么, $F(x)$ 是连续函数. 在分布的意义下, 我们有$$F(x{)}^{\prime }\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}f(x).$$

证明. 为了证明 $F$ 是连续的, 我们把它写成$$F(x)={\int }_{[a,b]}f\cdot 1_{(a,x]}d\mu ,$$其中 $d\mu$ 是 Lebesgue 测度. 对任意的 $x_k\to x$, 我们知道 $f\cdot 1_{(a,x_k]}$ 逐点地收敛到 $f\cdot 1_{(a,x]}$, 利用 $|f|$ 作为控制函数, Lebesgue 控制收敛定理告诉我们$$\underset{k\to \infty }{\lim }F(x_k)=F(x).$$

我们用定义计算 $F^{\prime }$. 对于任意的试验函数 $\phi \in \mathcal{D}((a,b))$, 我们有$$\begin{array}{rl}⟨F^{\prime },\phi ⟩& =-⟨F,{\phi }^{\prime }⟩={\int }_{(a,b)}\left({\int }_{(a,b)}f\cdot 1_{(a,x]}(y)dy\right){\phi }^{\prime }(x)dx\\ & =\int {\int }_{(a,b)\times (a,b)}{1}_A(x,y)f(y){\phi }^{\prime }(x)dxdy.\end{array}$$这里, $A=\{(x,y)\in (a,b)\times (a,b)|y⩽x\}$ 并且我们是利用了 Fubini 定理把它化成了 2 维的积分. 再次利用 Fubini 定理, 我们先对 $x$ 积分再对 $y$ 积分, 就有$$\begin{array}{rl}⟨F^{\prime },\phi ⟩& ={\int }_{(a,b)}f(y)\left({\int }_a^y{\phi }^{\prime }(x)dx\right)dy\\ & ={\int }_a^{b}f(y)\phi (y)dy=⟨T_f,\phi ⟩.\end{array}$$其中, 我们用到了 $\phi (a)=0$ (因为 $\mathrm{supp}(\phi )\subset (a,b)$) . 这就是说, 在分布的意义下, $F^{\prime }=f$.

$\square$