79. 利用特征函数刻画函数空间

由于 $\{{\phi }_k{\}}_{k⩾1}$ 是 $L^2(\Omega )$ 的一族 Hilbert 基, 所以$$L^2(\Omega )=\{f=\sum _{k=1}^{\infty }{c}_k{\phi }_k|\sum _{k=1}^{\infty }|c_k{|}^2<\infty \}.$$利用这些特征函数, 我们可以刻画 $L^2(\Omega )$ 的子空间:

推论 79.1 ($H_0^1(\Omega )$). 作为 $L^2(\Omega )$ 的子空间, 我们有$$\begin{array}{r}{H}_0^1(\Omega )=\left\{f=\sum _{k=1}^{\infty }{c}_k{\phi }_k|\sum _{k=1}^{\infty }|c_k{|}^2<\infty ,\sum _{k=1}^{\infty }{\lambda }_k|c_k{|}^2<\infty \right\}.\end{array}$$进一步, ${\left\{\frac{1}{\sqrt{{\lambda }_k}}{\phi }_k\right\}}_{k⩾1}$ 是 $H_0^1(\Omega )$ 的 Hilbert 基, 其中, 我们在 $H_0^1(\Omega )$ 上用如下的内积: $$(f,g{)}_{H_0^1}={\int }_{\Omega }\nabla f\cdot \overline{\nabla g}dx.$$

证明. 这个命题的证明表面上是平凡的, 其实蕴涵着分析上很容易被忽略的一个细微但是重要的细节. 我们首先回忆 $(-△{)}^{-1}$ 是自伴算子的证明: 对任意的 $f_1,f_2\in L^2(\Omega )$, 令 $u_1=(-△{)}^{-1}{f}_1$, $u_2=(-△{)}^{-1}{f}_2$, 我们知道, $u_1,u_2\in H_0^1(\Omega )$, 所以, $$((-△{)}^{-1}{f}_1,f_2)=(u_1,△u_2)=-(\nabla u_1,\nabla u_2),$$这里, 我们用到了 $u_1\in H_0^1(\Omega )$ 事实, 请参考引理 73.7. 这一部分的论断表明, 对任意的 $u_1,u_2\in H_0^1(\Omega )$, 我们有$$(△u_1,u_2{)}_{L^2}=-(\nabla u_1,\nabla u_2{)}_{L^2}=(u_1,△u_2{)}_{L^2},$$这个等式的成立强烈地依赖于 $u_1,u_2\in H_0^1(\Omega )$.

利用上面的等式, 我们对每个 $f\in H_0^1(\Omega )$, 我们有$$\begin{array}{r}(f,{\phi }_k{)}_{H_0^1}=(\nabla f,\nabla {\phi }_k{)}_{L^2}=(f,(-△){\phi }_k{)}_{L^2}={\lambda }_k(f,{\phi }_k{)}_{L^2}.\end{array}$$令 $f={\phi }_l$, 我们得到$${\left(\frac{1}{\sqrt{{\lambda }_l}}{\phi }_l,\frac{1}{\sqrt{{\lambda }_k}}{\phi }_k\right)}_{H_0^1}={\delta }_{lk}.$$这表明 ${\left\{\frac{1}{\sqrt{{\lambda }_k}}{\phi }_k\right\}}_{k⩾1}$ 是一族两两正交的向量, 为了说明它们是一族 Hilbert 基, 我们只要说明如果对任意的 $k⩾1$, ${\left(f,\frac{{\phi }_k}{\sqrt{{\lambda }_k}}\right)}_{H_0^1}=0$, 那么 $f=0$. 实际上, 根据上面的公式 (以及 ${\lambda }_k>0$) , ${\left(f,\frac{{\phi }_k}{\sqrt{{\lambda }_k}}\right)}_{H_0^1}=0$ 意味着 $(f,{\phi }_k{)}_{L^2}=0$, 由于 ${\left\{{\phi }_k\right\}}_{k⩾1}$ 是 $L^2(\Omega )$ 的 Hilbert 基, 所以, $f=0$.

现在, 每个 $f\in H_0^1$ 都可以写成$$f=\sum _{k=1}^{\infty }{c}_k{\phi }_k=\sum _{k=1}^{\infty }(\sqrt{{\lambda }_k}{c}_k)\cdot \frac{{\phi }_k}{\sqrt{{\lambda }_k}},$$从而, $$\Vert f{\Vert }_{H_0^1}^2=\sum _{k⩾1}{\lambda }_k|c_k{|}^2.$$这就完成了证明.

$\square$

注记. 给定 $f\in H^1(\Omega )$, 我们自然可以把它写成$$f=\sum _{k=1}^{\infty }{c}_k{\phi }_k,$$其中 $\Vert f{\Vert }_{H_0^1}^2=\sum _{k⩾1}{\lambda }_k|c_k{|}^2$, 因为 $f$ 先验的是 $L^2$ 的. 但是, 我们未必有$$\sum _{k⩾1}{\lambda }_k|c_k{|}^2<\infty .$$比如说, 当 $\Omega =(0,d)$ 时, 我们有$${\phi }_k(x)=\sin \left(\frac{k\pi }{d}x\right),{\lambda }_k=\frac{{\pi }^2{k}^2}{d^2}.$$为了计算方便, 我们令 $d=\pi$, 即 $\Omega =(0,\pi )$, 所以$${\phi }_k(x)=\sin (kx),{\lambda }_k=k^2.$$令 $f(x)\equiv 1$, 很明显, $f\in H^1(\Omega )-H_0^1(\Omega )$ (它在端点处不为 $0$) . 我们首先计算它在 $L^2$ 意义下的展开: $$(f,{\phi }_k{)}_{L^2}={\int }_0^{\pi }\sin (kx)dx=\frac{2}{k}.$$从而, $c_k=\frac{2}{k}$. 特别地, 我们知道$$\sum _{k⩾1}{\lambda }_k|c_k{|}^2=\sum _{k⩾1}{k}^2\frac{2}{k^2}=+\infty$$

注记. 对任意的 $u_1,u_2\in H_0^1(\Omega )$, 我们有$$(△u_1,u_2{)}_{L^2}=-(\nabla u_1,\nabla u_2{)}_{L^2}=(u_1,△u_2{)}_{L^2},$$我们令 $u_1=f$, $u_2={\phi }_k$, 这表明$$(△f,{\phi }_k{)}_{L^2}=(f,△{\phi }_k{)}_{L^2}=-{\lambda }_k{c}_k.$$注意到 $△f\in H^{-1}(\Omega )$ 未必是 $L^2$ 中的元, 所以, 等式$$-△f\stackrel{?}{=}\sum _{k⩾1}{\lambda }_k{c}_k{\phi }_k,$$未必有意义. 然而, 对于任意的 $g\in H_0^1(\Omega )$, 由于 $H^{-1}$ 可以实现为 $H_0^1(\Omega )$ 的对偶 (连续) , 所以, 如果$$g=\sum _{k⩾1}{b}_k{\phi }_k,$$那么, $$⟨-△f,\overline{g}⟩=\sum _{k⩾1}{\lambda }_k{c}_k\overline{b_k},$$这由 $(△f,{\phi }_k{)}_{L^2}={\lambda }_k{c}_k$ 以及 $H^{-1}$ 作为 $H_0^1(\Omega )$ 上的连续线性泛函的性质所决定.

假设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是有界的开区域, 我们证明了如下的结论: 存在单调上升的无界序列$$0<{\lambda }_1⩽{\lambda }_2⩽{\lambda }_3⩽\cdots ,\underset{k\to \infty }{\lim }{\lambda }_k=+\infty ,$$以及 $L^2(\Omega )$ 的一组 Hilbert 基 $\{{\phi }_k{\}}_{k⩾1}$, 使得$$-△{\phi }_k={\lambda }_k{\phi }_k.$$并且对于任意的 $k⩾1$, 我们有 ${\phi }_k\in H_0^1(\Omega )$. 从此往后, 我们固定这样的一族特征函数 (这种选取并不唯一) .

如果 $\Omega$ 具有光滑的边界, 我们还可以对指数更高的 Sobolev 空间进行一定的描述:

定理 79.2. 假设 $\Omega$ 具有光滑的边界, 那么, 作为 $L^2(\Omega )$ 的子空间, 我们有$$\begin{array}{r}{H}_0^1(\Omega )\cap H^2(\Omega )=\left\{u=\sum _{k=1}^{\infty }{c}_k{\phi }_k|\sum _{k=1}^{\infty }{\lambda }_k^2|c_k{|}^2<\infty \right\}.\end{array}$$进一步, 假设 $m⩾2$ 是整数并且 $u=\sum _{k=1}^{\infty }{c}_k{\phi }_k\in L^2(\Omega )$ 满足$$\sum _{k=1}^{\infty }{\lambda }_k^m|c_k{|}^2<\infty ,$$那么, $u\in H_0^1(\Omega )\cap H^m(\Omega )$.

对于 $u\in H_0^1(\Omega )\cap H^m(\Omega )$, 如果令 $f=-△u$, 那么, $f\in H^{m-2}$. 另外, 如果 $u$ 解如下的方程: $$\{\begin{array}{l}-△u=f,\\ u{|}_{\partial \Omega }=0.\end{array}$$并且 $f\in H^{m-2}(\Omega )$, 那么, 根据正则性理论 (这里用到了 $\partial \Omega$ 是光滑的) , $u\in H^m(\Omega )\cap H_0^1(\Omega )$. 所以, 我们就有如下的结论:

•	假设 $u\in H_0^1(\Omega )$ (其中 $\Omega$ 是有界的光滑带边区域) , 那么, 对任意的 $m⩾1$, $u\in H^m(\Omega )$ 当且仅当 $△u\in H^{m-2}(\Omega )$.

注记 (伪证). 我们先给出定理的一个 “错误” 的证明: 因为$$u=\sum _{k=1}^{\infty }{c}_k{\phi }_k$$在 $L^2(\Omega )$ 中成立, 所以它也在 ${\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ 的意义下成立. 据此, 在分布的意义下, 我们有 (因为求导数与分布的极限可以交换) $$△u\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}\sum _{k=1}^{\infty }{c}_k△{\phi }_k\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}-\sum _{k=1}^{\infty }{\lambda }_k{c}_k{\phi }_k.$$利用 $u\in H^2(\Omega )$, 我们知道 $△u\in L^2(\Omega )$, 所以, $$\sum _{k=1}^{\infty }|{\lambda }_k{c}_k{|}^2<\infty .$$

如果同学仔细阅读上面的证明, 我们发现这个证明只用到了 $u\in H^2(\Omega )$ 而不需要 $u\in H_0^1(\Omega )$ 的条件. 为了看出其中的错误, 我们需要搞清楚$$△u\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}-\sum _{k=1}^{\infty }{\lambda }_k{c}_k{\phi }_k$$的含义: 这个等式指的是$$△u\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}-\underset{N\to \infty }{\lim }\left(\sum _{k=1}^N{\lambda }_k{c}_k{\phi }_k\right),$$即对任意的 $\varphi (x)\in \mathcal{D}(\Omega )$, 我们有$$⟨△u,\varphi ⟩=-\underset{N\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^N{\lambda }_k{c}_k{\int }_{\Omega }{\phi }_k(x)\varphi (x)dx.$$这个基本等价于 (弱于) 在 $L^2(\Omega )$ 中的弱收敛: $$\sum _{k=1}^{\infty }{\lambda }_k{c}_k{\phi }_k\rightharpoonup -△u.$$我们知道, $x_k\rightharpoonup x_0$ 不意味着 $x_k$ 的范数是控制的.

证明. 假设 $u\in H_0^1(\Omega )\cap H^2(\Omega )$, 那么 $f=-△u\in L^2(\Omega )$. 我们把 $f$ 用 $L^2(\Omega )$ 中的特征函数展开: $$f(x)\stackrel{L^2}{=}\sum _{k=1}^{\infty }{f}_k{\phi }_k(x).$$特别地, 我们知道$$\sum _{k=1}^{\infty }|f_k{|}^2<\infty .$$现在定义函数$$v(x)=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{f_k}{{\lambda }_k}{\phi }_k(x).$$由于 ${\lambda }_k\to +\infty$, $v$ 显然是 $L^2$ 的函数. 另外, 我们知道$$\sum _{k=1}^{\infty }{\lambda }_k|\frac{f_k}{{\lambda }_k}{|}^2<\infty .$$所以, $v(x)\in H_0^1(\Omega )$. 再者, 利用 $v$ 的表达式, 我们知道$$-△v\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}-\sum _{k=1}^{\infty }{\lambda }_k\frac{f_k}{{\lambda }_k}{\phi }_k=f.$$所以, $v(x)\in H_0^1(\Omega )$ 和 $u\in H_0^1(\Omega )$ 都满足如下分布意义下的方程: $$-△v\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}f,-△u\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}f.$$根据 Dirichlet 问题解的唯一性, 我们知道$$u=v.$$特别地, 我们有$$u(x)\stackrel{L^2}{=}\sum _{k=1}^{\infty }\frac{f_k}{{\lambda }_k}{\phi }_k(x).$$所以, $c_k={\lambda }_k^{-1}{f}_k$, 从而$$\sum _{k=1}^{\infty }{\lambda }_k^2|c_k{|}^2=\sum _{k=1}^{\infty }|f_k{|}^2<\infty .$$

接下来, 我们只要证明对任意整数 $m⩾0$, $u=\sum _{k=1}^{\infty }{c}_k{\phi }_k\in L^2(\Omega )$ 并且$$\sum _{k=1}^{\infty }{\lambda }_k^m|c_k{|}^2<\infty ,$$那么, $u\in H_0^1(\Omega )\cap H^m(\Omega )$.

我们对 $m$ 进行归纳: $m=0$ (Poincaré 不等式) 和 $m=1$ 的情况已经证明. 假设对一切小于 $m$ 的整数命题都成立 ($m⩾2$) , 那么, $$△u\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}-\sum _{k=1}^{\infty }{\lambda }_k{c}_k{\phi }_k.$$我们注意到作用 $-△$ 使得 Sobolev 指数降 $2$, 所以, 我们归纳的基础需要两个相邻的整数. 根据 $m⩾2$ 以及$$\sum _{k=1}^{\infty }{\lambda }_k^m|c_k{|}^2<\infty ,$$我们知道 $u\in H_0^1(\Omega )$ 并且 (利用归纳假设) $$\sum _{k=1}^{\infty }{\lambda }_k{c}_k{\phi }_k\in H^{m-2}(\Omega )，$$所以, 根据椭圆正则性, 我们就知道 $u\in H_0^1(\Omega )\cap H^m(\Omega )$.

$\square$

注记. 证明的过程表明, 对任意的 $m⩾1$ 时, 如果$$u\stackrel{L^2}{=}\sum _{k=1}^{\infty }{c}_k{\phi }_k\in L^2(\Omega )$$并且$$\sum _{k=1}^{\infty }{\lambda }_k^m|c_k{|}^2<\infty ,$$那么, $u\in H_0^1(\Omega )\cap H^m(\Omega )$ 并且存在常数 $C$, 使得$$\Vert u{\Vert }_{H^m(\Omega )}⩽C\sqrt{\sum _{k=1}^{\infty }{\lambda }_k^m|c_k{|}^2}.$$证明的想法是在归纳假设中用所谓的椭圆估计: 我们已经证明了如下的结论:

•	$\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是有界光滑带边区域, $k⩾1$ 是整数. 假设 $u\in H^1(\Omega )$ 满足如下的边值问题: $$\{\begin{array}{l}-△u=f,\\ u{|}_{\partial \Omega }=g.\end{array}$$如果 $f\in H^{k-1}(\Omega )$ 并且 $g\in H^{k+\frac{1}{2}}(\partial \Omega )$, 那么, $u\in H^{k+1}(\Omega )$.

实际上, 证明的过程还给出了如下的估计: 存在仅依赖于 $\Omega$ 和 $k$ 的常数, 使得$$\Vert u{\Vert }_{H^{k+1}(\Omega )}⩽C\left(\Vert f{\Vert }_{H^{k-1}(\Omega )}+\Vert g{\Vert }_{H^{k+\frac{1}{2}}(\Omega )}\right).$$

注记. 当 $m⩾3$ 时, 并非每个 $u\in H_0^1(\Omega )\cap H^m(\Omega )$ 中的函数都可以写成$$u\stackrel{L^2}{=}\sum _{k=1}^{\infty }{c}_k{\phi }_k\in L^2(\Omega )$$并且$$\sum _{k=1}^{\infty }{\lambda }_k^m|c_k{|}^2<\infty .$$我们考虑 $m=3$ 的情况. 任选 $f\in H^1(\Omega )$ 但是 $f\notin H_0^1(\Omega )$, 考虑如下方程的解$$\{\begin{array}{l}-△u=f,\\ u{|}_{\partial \Omega }=0.\end{array}$$我们知道, $u\in H_0^1(\Omega )\cap H^3(\Omega )$. 如果 $u\stackrel{L^2}{=}\sum _{k=1}^{\infty }{c}_k{\phi }_k\in L^2(\Omega )$ 满足$$\sum _{k=1}^{\infty }{\lambda }_k^3|c_k{|}^2<\infty ,$$根据定理中最后一部分的证明, $f=-△u\in H_0^1(\Omega )$, 矛盾.

推论 79.3. 假设 $\Omega$ 具有光滑的边界, 对任意的 $k⩾1$, 特征函数 ${\phi }_k(x)\in C^{\infty }(\Omega )\cap C\left(\overline{\Omega }\right)$ (连续到边界) . 特别地, ${\phi }_k$ 在边界上的限制是 $0$.

证明. 根据定理, 我们知道 ${\phi }_k\in H^N(\Omega )$ 其中 $2N>n$, 所以, 我们可以任意选取 ${\phi }_k$ 在 $H^N({\mathbb{R}}^n)$ 中的扩张, 从而, 根据 Sobolev 嵌入定理, ${\phi }_k$ 在 $\overline{\Omega }$ 上连续. 注意到, 我们此时同时证明了 ${\phi }_k$ 在 $\Omega$ 内部是光滑的 (一直到边界) . 由于 ${\phi }_k{|}_{\partial \Omega }\stackrel{H^{\frac{1}{2}}}{=}0$, 所以, ${\phi }_k$ 在边界上的限制是 $0$.

$\square$