78. Laplace 算子的谱分解与特征函数

我们可以将上述紧算子的理论应用到 Dirichlet 问题之上 (我们在这个章节并不需要区域是光滑的, $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 只要是有界的开集即可, 而我们只在 $H_0^1(\Omega )$ 中研究问题而不再关心函数在边界 $\partial \Omega$ 上的限制) . 为此, 我们给出一个紧算子的例子. 从某种意义上说, 这是最重要的一类紧算子的例子:

定理 78.1. 任意给定有界开区域 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$, 那么, 自然的嵌入映射$$\iota :H_0^1(\Omega )\to L^2(\Omega ),u\mapsto u,$$是紧算子.

证明. 我们将利用 Fourier 级数的理论来证明这个重要的定理. 首先, 我们不妨假设 $\overline{\Omega }\subset \subset (0,2\pi {)}^n$ (否则, 我们可以把 $\overline{\Omega }$ 放到更大的一个 ${\mathbb{R}}^n$ 中的一个盒子中去, 从而用一个周期与 $2\pi$ 不同的 Fourier 级数即可) .

我们可以把 $C_0^{\infty }(\Omega )$ 中的函数在 ${\mathbb{R}}^n-\Omega$ 中用 $0$ 来延拓, 这给出连续映射$$\mathrm{Ext}:C_0^{\infty }(\Omega )\to H^1({\mathbb{R}}^n).$$其中, 上述连续性之所以成立是因为我们可以在 $\Omega$ 上运用 Poincaré 不等式. 根据 $C_0^{\infty }(\Omega )$ 在 $H_0^1(\Omega )$ 中的稠密性, 我们就得到了等距嵌入$$\iota :(H_0^1(\Omega ),\Vert \cdot {\Vert }_{H^1})\hookrightarrow H^1({\mathbb{R}}^n).$$由于 $\overline{\Omega }\subset (0,2\pi {)}^n$ 是相对紧的, 我们选取 $\chi \in C_0^{\infty }((0,2\pi {)}^n)$, 使得 $\chi {|}_{\Omega }\equiv 1,0⩽\chi ⩽1$. 我们现在证明映射$$T_{\chi }:H^1({\mathbb{R}}^n)\to L^2({\mathbb{R}}^n),f(x)\mapsto \chi (x)f(x),$$是紧算子. 我们注意到, 作为 $L^2\left((0,2\pi {)}^n\right)$ 中的函数, 利用 Fourier 级数的展开, 我们有$$\begin{array}{rl}\chi (x)f(x)& =\chi (x)\sum _{k\in {\mathbb{Z}}^n}{c}_k{e}^{ik\cdot x}\\ & =\chi (x)\sum _{k\in {\mathbb{Z}}^n}\left(\frac{1}{(2\pi {)}^n}{\int }_{(0,2\pi {)}^n}f(y)e^{-ik\cdot y}dy\right)e^{ik\cdot x}\\ & =\underset{=T_{\chi ,N}(f)}{\underbrace{\sum _{|k|<N}{c}_k\chi (x)e^{ik\cdot x}}}+\underset{=R_{\chi ,N}(f)}{\underbrace{\chi (x)\sum _{|k|⩾N}{c}_k{e}^{ik\cdot x}}}.\end{array}$$我们把 $T_{\chi }$ 分解成两个算子的和, 其中, $$T_{\chi ,N}:H^1({\mathbb{R}}^n)\to L^2({\mathbb{R}}^n),f(x)\mapsto \sum _{|k|<N}{c}_k\chi (x)e^{ik\cdot x},$$而$$R_{\chi ,N}:H^1({\mathbb{R}}^n)\to L^2({\mathbb{R}}^n),f(x)\mapsto \chi (x)\sum _{|k|⩾N}{c}_k{e}^{ik\cdot x}.$$这里, 整数 $N$ 是待定的. 由于 $T_{\chi ,N}$ 的像完全落在 $\{e^{ik\cdot x}{\}}_{|k|<N}$ 这有限多个函数所生成的有限维线性空间中, 所以它是有限秩的算子, 从而, $T_{\chi ,N}$ 是紧算子.

为了研究 $R_{\chi ,N}$, 我们将利用 $\nabla f$ 也是 $L^2$ 的函数这个事实. 实际上, 我们有$$\begin{array}{rl}\Vert R_{\chi ,N}(f){\Vert }_{L^2({\mathbb{R}}^n)}^2⩽& {\Vert \sum _{|k|⩾N}{c}_k{e}^{ik\cdot x}\Vert }_{L^2\left((0,2\pi {)}^n\right)}^2⩽\frac{1}{N^2}\sum _{|k|⩾N}|k{|}^2|c_k{|}^2\\ & ⩽\frac{1}{N^2}\Vert \nabla f{\Vert }_{L^2}^2.\end{array}$$其中, 我们把导数转化为频率空间上衰减. 这表明, $T_{\chi }$ 这个算子可以用一列紧算子 $T_{\chi ,N}$ 来逼近, 其中, $N\to \infty$, 所以 $T_{\chi }$ 为紧算子.

最后, 我们把嵌入$$\iota :H_0^1(\Omega )\to L^2(\Omega )$$写成如下两个连续线性映射的复合: $$H_0^1(\Omega )\to H^1({\mathbb{R}}^n)\stackrel{T_{\chi }}{⟶}{L}^2(\Omega )\subset L^2({\mathbb{R}}^n).$$由于任何算子与紧算子复合之后是紧算子, 所以我们就证明了 $\iota$ 也是紧算子.

$\square$

我们现在考虑如下的交换图表: $$H^{-1}(\Omega )H_0^1(\Omega )L^2(\Omega )L^2(\Omega )(-△{)}^{-1}\iota \iota (-△{)}^{-1}$$据此, 通过复合, 我们就可以定义$$(-△{)}^{-1}:L^2(\Omega )⟶L^2(\Omega ).$$从此之后, 当我们谈论 $(-△{)}^{-1}$ 的时候, 我们总假设它的定义域和值域都是 $L^2(\Omega )$.

由于右边竖列的箭头是紧算子, 复合之后的算子 $(-△{)}^{-1}$ 也是紧的. 我们现在验证 $(-△{)}^{-1}$ 是自伴算子: 对任意的 $f_1,f_2\in L^2(\Omega )$, 令 $u_1=(-△{)}^{-1}{f}_1$, $u_2=(-△{)}^{-1}{f}_2$, 我们知道, $u_1,u_2\in H_0^1(\Omega )$, 所以, $$((-△{)}^{-1}{f}_1,f_2)=-(u_1,△u_2)=(\nabla u_1,\nabla u_2),$$这里, 我们用到了 $u_1\in H_0^1(\Omega )$ 事实, 请参考引理 73.7. 类似地, 我们还有$$(f_1,(-△{)}^{-1}{f}_2)=(\nabla u_1,\nabla u_2).$$这就证明了自伴性. 此时, 就可以对 $(-△{)}^{-1}$ 使用抽象的紧算子理论了.

另外, 我们之前还证明了 $(-△{)}^{-1}$ 是连续的正线性算子, 即对任意的 $f\in L^2(\Omega )$, 我们有$${\left((-△{)}^{-1}f,f\right)}_{L^2}⩾0.$$这个不等式中等号成立当且仅当 $f=0$. 这表明, $(-△{)}^{-1}$ 的所有特征值都是正实数 (没有 $0$!) .

运用 Hilbert–Schmidt 定理, 那么, 我们可把 $(-△{)}^{-1}$ 的特征值的集合写成$$\sigma ((-△{)}^{-1})=\{{\mu }_k{\}}_{k⩾1}$$使得$${\mu }_1⩾{\mu }_2⩾{\mu }_3⩾\cdots ,\underset{k\to \infty }{\lim }{\mu }_k=0.$$我们用 ${\phi }_k(x)\in L^2(\Omega )$ 表示与 ${\mu }_k$ 相对应的长度 ($L^2$-范数) 为 $1$ 的特征函数. 我们再令 ${\lambda }_k={\mu }_k^{-1}$, 所以, $$-△{\phi }_k={\lambda }_k{\phi }_k.$$由于 ${\phi }_k\in L^2(\Omega )$, 根据 Dirichlet 问题的解, 我们知道 ${\phi }_k\in H_0^1(\Omega )$. 综上所述, 我们证明了如下关于 $(-△{)}^{-1}$ 的谱分解定理:

定理 78.2. 假设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是有界的开区域, 那么, 存在单调上升的无界序列$$0<{\lambda }_1⩽{\lambda }_2⩽{\lambda }_3⩽\cdots ,\underset{k\to \infty }{\lim }{\lambda }_k=+\infty ,$$以及 $L^2(\Omega )$ 的一组 Hilbert 基 $\{{\phi }_k{\}}_{k⩾1}$, 使得$$-△{\phi }_k={\lambda }_k{\phi }_k.$$进一步, 对任意的 $k⩾1$, 我们有 ${\phi }_k\in H_0^1(\Omega )$.

注记. 这个定理的证明没有用到 $\Omega$ 边界的正则性.

例子. 我们现在考虑 $\Omega =(0,d{)}^n$ 是一个正方体的情况, 其中 $d>0$ 是常数. (我们注意到 $\Omega$ 的边界并不是光滑的. ) 我们要详细地计算 $-△$ 在 $\Omega$ 上的所有特征值和特征函数. 根据 Fourier 级数的理论, $L^2(\Omega )$ 的一族 Hilbert 基可以取作$${\left\{d^{-\frac{n}{2}}{e}^{\frac{2\pi i}{d}k\cdot x}\right\}}_{k\in {\mathbb{Z}}^n}.$$由于我们要求 $\phi {|}_{\partial \Omega }=0$, 所以, 我们希望选取 $\sin$ 型的函数.

先研究 $n=1$ 的情形, 我们选取 ${\left\{\sin \left(\frac{k\pi }{d}x\right)\right\}}_{k\in {\mathbb{Z}}_{⩾1}}$ 作为备选. 我们指出这里和 Fourier 级数的不同之处: 指数中的 $2\pi$ 变成了 $\pi$. 很明显, 我们有

•	$-△\left(\sin \right(\frac{k\pi }{d}x\left)\right)=\frac{{\pi }^2{k}^2}{d^2}\sin \left(\frac{k\pi }{d}x\right)$;
•	$\sin \left(\frac{k\pi }{d}x\right){|}_{\partial (0,d)}=0$, 所以, 根据一维的 $H_0^1$ 空间的描述, 我们有 $\sin \left(\frac{k\pi }{d}x\right)\in H_0^1((0,d))$;
•	当 $k\ne l$ 时, 我们有如下的正交性: $${\left(\sin \left(\frac{k\pi }{d}x\right),\sin \left(\frac{l\pi }{d}x\right)\right)}_{L^2}={\int }_0^d\sin \left(\frac{k\pi }{d}x\right)\sin \left(\frac{l\pi }{d}x\right)dx=0.$$

为了说明这给出了 $-△=-\frac{d^2}{d{x}^2}$ 的所有特征函数, 我们在区间 $(0,d)$ 上解 (常) 微分方程$$-u^{\prime \prime }={\lambda }^{2}u,$$其中 $\lambda >0$. 注意到, 我们要找的 $u$ 满足 $u\in H_0^1((0,d))$, 根据 Sobolev 嵌入定理, $u\in C^0((0,d))$. 据此, 根据方程, $u^{\prime \prime }\in C^0$, 所以, $u\in C^2$, 再代入方程, $u^{\prime \prime }\in C^2$, 所以, $u\in C^4$. 如此迭代, 我们知道 $u$ 是足够光滑的函数, 从而可以能用经典的常微分方程理论 (解存在唯一) . 所以, 这个方程的通解可写成$$u(x)=A{e}^{i\lambda x}+B{e}^{-i\lambda x},$$其中, $A,B$ 是复数. 再利用 $u(0)=u(d)=0$, 我们有$$A+B=0,A{e}^{i\lambda d}+B{e}^{-i\lambda d}=0,$$这说明$$B=-A,A\sin \left(\lambda d\right)=0.$$由于 $A\ne 0$, 所以, $$u(x)=C\sin \left(\frac{\pi }{d}kx\right).$$这说明, 我们已经列出了所有的特征函数和特征值.

现在假设维数是 $n$, 我们记 $k=(k_1,\cdots ,k_n)\in {\left({\mathbb{Z}}_{⩾1}\right)}^n$, 那么$${\left\{\prod _{j=1}^n\sin (\frac{\pi }{d}{k}_j\cdot x_j)\right\}}_{(k_1,\cdots ,k_n)\in {\left({\mathbb{Z}}_{⩾1}\right)}^n}$$是所有的特征函数.

我们首先计算$$-△\left(\prod _{j=1}^n\sin \right(\frac{\pi }{d}{k}_j\cdot x_j\left)\right)=\frac{{\pi }^2|k{|}^2}{d^2}\prod _{j=1}^n\sin (\frac{\pi }{d}{k}_j\cdot x_j).$$其次, 我们仍然有正交关系: 当 $k\ne k^{\prime }$ 时, 我们就有$${\int }_{(0,d{)}^n}\prod _{j=1}^n\sin (\frac{\pi }{d}{k}_j\cdot x_j)\prod _{j=1}^n\sin (\frac{\pi }{d}{k}_j^{\prime }\cdot x_j)dx=0.$$对于 $k\in {\left({\mathbb{Z}}_{⩾1}\right)}^n$, 我们定义$${\phi }_k=\prod _{j=1}^n\sin (\frac{\pi }{d}{k}_j\cdot x_j),$$我们来证明 ${\phi }_k\in H_0^1\left((0,d{)}^n\right)$: 这显然是一个 $H^1\left((0,d{)}^n\right)$ 中的函数, 下面用光滑的有紧支集的函数来逼近它: 由于对每个 $j$, $\sin \left(\frac{\pi }{d}{k}_j\cdot x\right)\in H_0^1((0,d))$, 所以, 存在 $\{{\phi }_j^{(p)}(x){\}}_{p⩾1}\subset C_0^{\infty }((0,d))$, 使得$$\underset{p\to \infty }{\lim }{\Vert {\phi }_j^{(p)}(x)-\sin \left(\frac{\pi }{d}{k}_j\cdot x\right)\Vert }_{H^1}=0.$$所以, $$\begin{array}{r}{\Vert \prod _{j=1}^n{\phi }_j^{(p)}(x_j)-\prod _{j=1}^n\sin \left(\frac{\pi }{d}{k}_j\cdot x_j\right)\Vert }_{H^1}^2=\prod _{j=1}^n{\Vert {\phi }_j^{(p)}-\sin \left(\frac{\pi }{d}{k}_j\cdot x_j\right)\Vert }_{H_0^1}^2\to 0.\end{array}$$最终, 为了证明这是所有的特征函数, 我们来证明 $\{{\phi }_k(x){\}}_{k\in {\left({\mathbb{Z}}_{⩾1}\right)}^n}$ 构成 $L^2$ 的 Hilbert 基. 我们假设 $n⩾2$ ($n=1$ 的情形已经完成) , 只要证明与 $\{{\phi }_k{\}}_{k\in {\left({\mathbb{Z}}_{⩾1}\right)}^n}$ 都垂直的函数只有 $0$ 即可 (这表明这些函数所张成的空间的闭包是整个 $L^2$) . 这与证明高维的 Fourier 级数是一组基是完全一样的 (利用 Fubini 定理) , 请参考上学期 5 月 14 日的讲义.

我们现在研究 $\Omega =(0,d{)}^n$ 上 Laplace 算子的特征值分布问题. 我们定义$$\Psi (\lambda )=\left|\{{\lambda }_k\mid {\lambda }_k⩽\lambda \}\right|.$$按照上述计算, 我们有$$\Psi (\lambda )=\left|\{(k_1,\cdots ,k_n)|k_i⩾1,k_1^2+\cdots +k_n^2⩽\frac{d^2}{{\pi }^2}\lambda \}\right|.$$这是在圆内的整点问题 (Gauss) : $\Psi (\lambda )$ 是半径为 $\frac{d}{\pi }\sqrt{\lambda }$ 的球在第一卦限中的整点的个数, 从而$$\Psi (\lambda )\sim c_n{\lambda }^{\frac{n}{2}}\iff \underset{\lambda \to \infty }{\lim }\frac{\Psi (\lambda )}{c_n{\lambda }^{\frac{n}{2}}}=1,$$其中 $c_n$ 是只依赖于维数的常数, 实际上, 通过计算半径为 $\frac{d}{\pi }\sqrt{\lambda }$ 的球在第一卦限中的体积, 我们知道$$c_n=\frac{|B_n(1)|d^n}{(2\pi {)}^n},$$其中 $|B_n(1)|=\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\Gamma (\frac{n}{2}+1)}$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中单位球的体积, 所以, $$\Psi (\lambda )\sim \frac{d^n}{(2\sqrt{\pi }{)}^n\Gamma (\frac{n}{2}+1)}{\lambda }^{\frac{n}{2}}.$$

我们考虑 ${\lambda }_k$ 的渐近大小, 其中 $k\to \infty$. 我们在上式中取 $\lambda ={\lambda }_k$, 按照定义, $\Psi ({\lambda }_k)=k$, 从而$$k\sim \frac{d^n}{(2\sqrt{\pi }{)}^n\Gamma (\frac{n}{2}+1)}{\lambda }_k^{\frac{n}{2}}=\frac{|\Omega |}{(2\sqrt{\pi }{)}^n\Gamma (\frac{n}{2}+1)}{\lambda }_k^{\frac{n}{2}}.$$所以, $${\lambda }_k\sim \frac{(2\pi {)}^2}{|B_n(1){|}^{\frac{2}{n}}|\Omega {|}^{\frac{2}{n}}}{k}^{\frac{2}{n}},k\to \infty .$$我们将证明, 这个公式对于一般的区域 $\Omega$ 都成立, 这就是所谓的 Weyl 渐近公式.

注记. 如果 $\Omega$ 是连通的, 我们可以证明 ${\lambda }_1<{\lambda }_2$, 也就是说第一特征值的重数是 $1$.

对于上面的例子, 这一点很容易验证. 在这个例子中, 我们还看到, ${\lambda }_2={\lambda }_3=\cdots ={\lambda }_{n+1}$.

注记. 我们现在说明, 特征函数 ${\phi }_k(x)$ 是 $\Omega$ 上的光滑函数.

由于光滑性是局部性质, 所以, 我们只要证明对任意的 $\chi \in C_0^{\infty }(\Omega )$, 我们都有 $\chi (x){\phi }_k(x)\in C^{\infty }(\Omega )$ 即可. 为了书写方便, 我们令 $u={\phi }_k(x)$ 并且 $\lambda ={\lambda }_k$, 所以, $$-△u=\lambda u.$$所以, $$-△(\chi \cdot u)=\chi \lambda u-2\nabla \chi \cdot \nabla u-u△\chi =\underset{\in L^2}{\underbrace{\left(\lambda \chi -△\chi \right)u}}-\underset{\in L^2}{\underbrace{2\nabla \chi \cdot \nabla u}}.$$按照定义, 由于 $u\in H^1(\Omega )$, 所以右边都是 $L^2$ 的函数, 根据 $△$ 的正则性 (注意到, 由于 $\chi \cdot u$ 的支集远离 $\partial \Omega$, 我们不妨假设 $\partial \Omega$ 是光滑的即可) , 我们知道 $\chi \cdot u\in H^2$. 所以, 根据 $\chi$ 选取的任意性, $u$ 限制在任意的紧集 $K\subset \Omega$ 上都是 $H^2$ 的.

重复这个做法, 由于$$-△(\chi \cdot u)=\underset{\in H^1}{\underbrace{\left(\lambda \chi -△\chi \right)u}}-\underset{\in H^1}{\underbrace{2\nabla \chi \cdot \nabla u}},$$所以, $u$ 限制在任意的紧集 $K\subset \Omega$ 上都是 $H^3$ 的.

以此类推, 对任意的 $\chi \in C_0^{\infty }(\Omega )$, $\chi \cdot u\in H^k({\mathbb{R}}^n)$. 根据 Sobolev 嵌入定理, 我们就知道 $\chi \cdot u$ 是光滑的.

我们可以对 $-△$ 的特征值进行如下的变分表述:

定理 78.3. 假设 $u\in H_0^1(\Omega )$ 并且 $u\ne 0$, 我们令$$R(u)=\frac{⟨-△u,\overline{u}{⟩}_{L^2}}{\Vert u{\Vert }^2}\stackrel{\text{形式上}}{=}\frac{(-△u,u{)}_{L^2}}{\Vert u{\Vert }^2}.$$上面的定义之所以有意义是因为 $-△u\in H^{-1}(\Omega )$ 而 $u\in H_0^1(\Omega )$. 记 $H=H_0^1(\Omega )$, 那么, 我们有

1)	对于 ${\lambda }_1$, 我们有$${\lambda }_1=\underset{u\in H,u\ne 0}{\inf }R(u).$$
2)	对于 $k⩾2$, 我们有$${\lambda }_k=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{u\perp {\phi }_1,\cdots ,u\perp {\phi }_{k-1},}{u\ne 0}}{\inf }R(u),$$其中, 上面的垂直关系是 (可以是) 用 $L^2$-内积来定义的.
3)	令 ${\mathrm{Gr}}_{k-1}(H)$ 为 $H$ 的所有 $k-1$ 维线性子空间所构成的集合, 其中 $k⩾1$. 对于 $P\in {\mathrm{Gr}}_{k-1}(H)$, 令$$\mu (P)=\underset{u\perp P,u\ne 0}{\inf }R(u).$$那么, $${\lambda }_k=\underset{P\in {\mathrm{Gr}}_{k-1}(H)}{\sup }\mu (P).$$
4)	对于 $Q\in {\mathrm{Gr}}_k(H)$, 定义$$\nu (Q)=\underset{u\in Q,u\ne 0}{\sup }R(u).$$那么, $${\lambda }_k=\underset{Q\in {\mathrm{Gr}}_k(H)}{\inf }\nu (Q).$$

证明. 我们先证明 1) 和 2):

考虑 $u=\sum _{j⩾1}{\alpha }_j{\phi }_j\in L^2(\Omega )$. 由于 $u\perp {\phi }_1,\cdots ,u\perp {\phi }_{k-1}$, 所以, $$u=\sum _{j⩾k}{\alpha }_j{\phi }_j.$$从而, (根据定理之前的注记, ) 我们可以计算$$\begin{array}{rl}R(u)& =\frac{{\lambda }_k|{\alpha }_k{|}^2+{\lambda }_{k+1}|{\alpha }_{k+1}{|}^2+\cdots }{|{\alpha }_k{|}^2+|{\alpha }_{k+1}{|}^2+\cdots }\\ & ⩾\frac{{\lambda }_k|{\alpha }_k{|}^2+{\lambda }_k|{\alpha }_{k+1}{|}^2+\cdots }{|{\alpha }_k{|}^2+|{\alpha }_{k+1}{|}^2+\cdots }\\ & ={\lambda }_k.\end{array}$$另外, $R({\phi }_k)={\lambda }_k$, 这就给出了 1) 和 2).

为了证明 3), 我们先选取 $P_k={\phi }_1\wedge \cdots \wedge {\phi }_{k-1}$, 这个符号代表的是由 ${\phi }_1,\cdots ,{\phi }_{k-1}$ 所张成的 $k-1$-维线性子空间. 根据上面的计算, 我们知道$$\mu (P_k)={\lambda }_k.$$所以, $$\underset{P\in {\mathrm{Gr}}_{k-1}(H)}{\sup }\mu (P)⩾{\lambda }_k.$$为了证明反过来的不等式, 我们利用下面的观察:

•	对每一个 $P\in {\mathrm{Gr}}_{k-1}(H)$, 总有不全为零的 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_k$, 使得 ${\alpha }_1{\phi }_1+\cdots +{\alpha }_k{\phi }_k\perp P$.

这是一道标准的线性代数习题: 为了让 ${\alpha }_1{\phi }_1+\cdots +{\alpha }_k{\phi }_k\perp P$, 我们假设 $v_1,\cdots ,v_{k-1}$ 是 $P$ 的一组基, 那么, 这个垂直的条件等价于$$\{\begin{array}{l}{\alpha }_1\cdot ({\phi }_1,v_1)+\cdots +{\alpha }_k\cdot ({\phi }_k,v_1)=0,\\ \cdots \cdots ,\\ {\alpha }_1\cdot ({\phi }_1,v_{k-1})+\cdots +{\alpha }_k\cdot ({\phi }_k,v_{k-1})=0.\end{array}$$这是 $k$ 个未知数 $k-1$ 个方程, 所以有解.

利用这个观察, 我们有$$\begin{array}{rl}\mu (P)& ⩽R({\alpha }_1{\phi }_1+\cdots +{\alpha }_k{\phi }_k)\\ & =\frac{{\lambda }_1|{\alpha }_1{|}^2+\cdots +{\lambda }_k|{\alpha }_k{|}^2}{|{\alpha }_1{|}^2+\cdots +|{\alpha }_k{|}^2}\\ & ⩽\frac{{\lambda }_k|{\alpha }_1{|}^2+\cdots +{\lambda }_k|{\alpha }_k{|}^2}{|{\alpha }_1{|}^2+\cdots +|{\alpha }_k{|}^2}={\lambda }_k.\end{array}$$所以, $$\underset{P\in {\mathrm{Gr}}_{k-1}(H)}{\sup }\mu (P)⩽{\lambda }_k.$$这就证明了 3).

最后, 我们来证明 4). 通过选取 $Q_k={\phi }_1\wedge \cdots \wedge {\phi }_k$, 那么, 我们有$$\begin{array}{rl}\nu (Q_k)& =\underset{{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_k\in \mathbb{C}}{\sup }\frac{(-△({\sum }_{j⩽k}{\alpha }_j{\phi }_j),{\sum }_{j⩽k}{\alpha }_j{\phi }_j)}{({\sum }_{j⩽k}{\alpha }_j{\phi }_j,{\sum }_{j⩽k}{\alpha }_j{\phi }_j)}\\ & =\underset{{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_k\in \mathbb{C}}{\sup }\frac{{\lambda }_1|{\alpha }_1{|}^2+\cdots +{\lambda }_k|{\alpha }_k{|}^2}{|{\alpha }_1{|}^2+\cdots +|{\alpha }_k{|}^2}\\ & ⩽\underset{{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_k\in \mathbb{C}}{\sup }\frac{{\lambda }_k|{\alpha }_1{|}^2+\cdots +{\lambda }_k|{\alpha }_k{|}^2}{|{\alpha }_1{|}^2+\cdots +|{\alpha }_k{|}^2}\\ & ={\lambda }_k.\end{array}$$又因为 ${\phi }_k$ 可以实现上面的最大值, 所以$$\nu (Q_k)={\lambda }_k.$$从而, $$\underset{Q\in {\mathrm{Gr}}_k(H)}{\inf }\nu (Q)⩽{\lambda }_k.$$为了证明反过来的不等式, 我们利用下面的线性代数事实 (证明仿照前述) :

•	对每一个 $Q\in {\mathrm{Gr}}_k(H)$, 总有不为零的 $u\in Q$, 使得 $u\perp {\phi }_1,\cdots ,u\perp {\phi }_{k-1}$.

据此以及 1) 和 2) 证明的过程, 我们有$$\begin{array}{rl}\mu (Q)& ⩾R(u)⩾{\lambda }_k.\end{array}$$也就是说, $$\underset{Q\in {\mathrm{Gr}}_k(H)}{\inf }\nu (Q)⩾{\lambda }_k.$$这就完成了证明.

$\square$

注记 (${\lambda }_1$ 与 Poincaré 不等式). 根据 1), 我们知道对任意的 $u\in H_0^1(\Omega )$, 有$$\Vert \nabla u{\Vert }_{L^2(\Omega )}^2⩾{\lambda }_1\Vert u{\Vert }_{L^2(\Omega )}^2.$$这表明 ${\lambda }_1$ 是使得 Poincaré 不等式成立的最佳常数.

推论 78.4 (相互包含区域的特征值比较). 给定两个有界开区域 ${\Omega }_1\subset {\Omega }_2\subset {\mathbb{R}}^n$, 对于每个 $k⩾1$, 我们都有$${\lambda }_k({\Omega }_1)⩾{\lambda }_k({\Omega }_2).$$

证明. 通过将函数用零来延拓, 我们已经构造了自然的 (连续) 嵌入映射: $$\iota :H_0^1({\Omega }_1)\to H_0^1({\Omega }_2).$$我们用 $\{{\phi }_j{\}}_{j⩾1}$ 表示 Laplace 算子在小区域 ${\Omega }_1$ 上的特征函数. 根据上面的定理, 我们有$$\begin{array}{rl}{\lambda }_k({\Omega }_1)& =\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{u\in {\phi }_1\wedge \cdots \wedge {\phi }_k}{u\ne 0}}{\sup }R(u)=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{u\in \iota ({\phi }_1)\wedge \cdots \wedge \iota ({\phi }_k)}{u\ne 0}}{\sup }R(u).\end{array}$$其中, 第二个等号已经开始在 $H_0^1({\Omega }_2)$ 中进行计算. 所以, $$\begin{array}{rl}{\lambda }_k({\Omega }_1)& =\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{u\in \iota ({\phi }_1)\wedge \cdots \wedge \iota ({\phi }_k)}{u\ne 0}}{\sup }R(u)\\ & =\nu (\iota ({\phi }_1)\wedge \cdots \wedge \iota ({\phi }_k))\\ & ⩾{\lambda }_k({\Omega }_2).\end{array}$$最后一个等号利用的是 ${\lambda }_k({\Omega }_2)$ 在 4) 中的表述. 证明完毕.

$\square$

推论 78.5 (弱化版本的 Weyl 渐近公式). 对任意的有界开区域 $\Omega$, 我们可以找到常数 $c_1$ 和 $c_2$, 使得当 $k\to \infty$ 时, 我们有$$c_1{k}^{\frac{2}{n}}⩽{\lambda }_k(\Omega )⩽c_2{k}^{\frac{2}{n}},k\to \infty .$$

证明. 由于 $\Omega$ 是有界开区域, 所以我们总能找到 $d,D>0$, 使得 $(0,d{)}^n\subset \Omega \subset (0,D{)}^n$ (通过平行移动, 这不改变特征值) . 从而, 根据特征值的比较定理, 我们有$${\lambda }_k\left((0,D{)}^n\right)⩽{\lambda }_k(\Omega )⩽{\lambda }_k\left((0,d{)}^n\right).$$根据我们之前的例子, $${\lambda }_k\left((0,D{)}^n\right)\sim \frac{(2\pi {)}^2}{|B_n(1){|}^{\frac{2}{n}}{D}^2}{k}^{\frac{2}{n}},{\lambda }_k\left((0,d{)}^n\right)\sim \frac{(2\pi {)}^2}{|B_n(1){|}^{\frac{2}{n}}{d}^2}{k}^{\frac{2}{n}},$$所以, 我们选取$$c_1=\frac{(2\pi {)}^2}{|B_n(1){|}^{\frac{2}{n}}{D}^2},c_2=\frac{(2\pi {)}^2}{|B_n(1){|}^{\frac{2}{n}}{d}^2}$$即可.

$\square$