期末考试: Maaß 波函数的展开

多重积分与曲面积分的计算 (共 100 分)

A1)	(10 分) 令 $C$ 为 ${\mathbb{R}}^3$ 中顶点在 $(0,0,1)$ 处, 对称轴为 $z$-轴并且底在 $z=0$ 平面上的圆锥: $$C=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|z\in [0,1],\sqrt{x^2+y^2}=1-z\right\}.$$试计算 $C$ 的曲面面积.
A2)	(10 分) 计算二重积分: $${\iint }_{[0,1]\times [0,1]}|xy-\frac{1}{4}|dxdy.$$
A3)	(10 分) 考虑 ${\mathbb{R}}^3$ 中的一个实心圆柱与球面的截面: $$S=\left\{(x,y,z)|x^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2⩽\frac{1}{4},x^2+y^2+z^2=1,z⩾0\right\}.$$试计算 $S$ 的曲面面积.
A4)	(10 分) 令 $D$ 为 ${\mathbb{R}}^3$ 中球心在原点处的单位实心球, 即$$D=\left\{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2⩽1\right\}.$$试计算三重积分: $${\iint }_D{z}^{2}dxdydz.$$
A5)	(10 分) 令 $D$ 为 ${\mathbb{R}}^3$ 中球心在原点处的单位实心球, 即$$D=\left\{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2⩽1\right\}.$$试计算三重积分: $${\iint }_D{z}^{3}dxdydz.$$
A6)	(10 分) 考虑 ${\mathbb{R}}^3$ 中球心在原点处的八分之一单位实心球, 即$$D_{+}=\left\{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2⩽1,x⩾0,y⩾0,z⩾0\right\}.$$试计算三重积分: $${\iint }_{D_{+}}xyzdxdydz.$$
A7)	(20 分) 给定 $(a,b,c)\in {\mathbb{R}}^3$, $R>0$, 考虑球面$$S=\left\{(x,y,z)|(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2\right\}.$$我们将 $S$ 上的外法向量取做指向球面的外部. 试计算第二型曲面积分$${\iint }_S{x}^{2}dydz+y^{2}dxdz+z^{2}dxdy.$$
A8)	(20 分) 假设 $X＝(X_1(x,y,z),X_2(x,y,z),X_3(x,y,z))$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 中的光滑向量场并且散度为零, 即 $\mathrm{div}X=0$. 我们用 ${\mathbf{S}}_R$ 表示 ${\mathbb{R}}^3$ 中中心在原点半径为 $R$ 的球面, 即$${\mathbf{S}}_R=\left\{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=R^2\right\}.$$证明, 以下的量不依赖于 $R$ 的选取: $$I(R)=\frac{1}{R}{\int }_{{\mathbf{S}}_R}x{X}_1(x,y,z)+y{X}_2(x,y,z)+z{X}_3(x,y,z)d\sigma ,$$其中 $d\sigma$ 是 ${\mathbf{S}}_R$ 的曲面测度.

具有非负 Fourier 系数的连续函数 (共 25 分)

给定 $\mathbb{R}$ 上以 $2\pi$ 为周期的连续函数 $f\in C^0(\mathbf{T})$, 如果对任意的 $m\in {\mathbb{Z}}_{⩾1}$, 任意的 $x_a\in \mathbb{R}$, $c_a\in \mathbb{C}$, $a=1,2,\cdots ,m$, 我们都有$$\sum _{a=1}^m\sum _{b=1}^m{c}_a\overline{c_b}f(x_a-x_b)⩾0,$$我们就称 $f$ 是正定的.

B1)	(2 分) 给定有限的 Fourier 级数$$f(x)=\sum _{|k|⩽N}\hat{f}(k)e^{ik\cdot x},$$如果对任意的 $|k|⩽N$, $\hat{f}(k)⩾0$, 证明, $f$ 是正定的.
B2)	(8 分) 假设 $f\in C^0(\mathbf{T})$ 并且对任意的 $k\in \mathbb{Z}$, $\hat{f}(k)⩾0$. 证明, $f$ 是正定的. (提示: 利用 Féjer 核)
B3)	(7 分) 假设 $f\in C^0(\mathbf{T})$ 是正定的. 证明, 对任意的 $g\in C^0(\mathbf{T})$, 我们都有$${\int }_{-\pi }^{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x-y)g(x)\overline{g(y)}\frac{dxdy}{(2\pi {)}^2}⩾0.$$
B4)	(8 分) 假设 $f\in C^0(\mathbf{T})$ 是正定的. 证明, 对任意的 $k\in \mathbb{Z}$, $\hat{f}(k)⩾0$.

Maaß 波函数 (共 45 分)

我们用 $\mathbb{H}$ 表示上半平面$$\mathbb{H}=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|y>0\}.$$对任意的 $\epsilon >0$, 令$${\mathbb{X}}_{\epsilon }=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x\in (0,1),y\in (\epsilon ,+\infty )\}\subset \mathbb{H}$$对于 $\mathbb{H}$ 上定义的复值函数 $f$, 如果对任意的 $z=(x,y)\in \mathbb{H}$, 都有$$f(x+1,y)=f(x,y),$$我们就称 $f$ 是以 $\mathbb{Z}$ 为周期的. 我们定义$$\mathcal{E}=\{f:\mathbb{H}\to \mathbb{C}|\text{f 以 Z 为周期并且对任意的 ε>0，f∣∣Xε∈L2(Xε,dxdy)}\}.$$在 $\mathbb{H}$ 上, 我们定义双曲的 Laplace 算子: $${△}_{{}_{\mathbb{H}}}=y^2\left(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\right).$$对任意的 $s\in \mathbb{R}$, 我们定义$${\mathcal{E}}_s=\{\psi \in C^2(\mathbb{H})\cap \mathcal{E}|{△}_{{}_{\mathbb{H}}}\psi =(s^2-\frac{1}{4})\psi \}.$$这个题目的目标是给出 ${\mathcal{E}}_s$ 的刻画.

M1)	(2 分) 任给 $f\in \mathcal{E}$. 证明, 对几乎处处的 $y\in (0,+\infty )$, 一元函数$$(0,1)\to \mathbb{C},x\mapsto f(x,y)$$落在 $L^2((0,1),dx)$ 中.
M2)	(3 分) 任给 $f\in \mathcal{E}$, 对任意的 $k\in \mathbb{Z}$, 证明, 积分$$a_k(f,y)={\int }_0^{1}f(x,y)e^{-2\pi ikx}dx$$对几乎处处 $y>0$ 有定义. 将 $a_k(f,y)$ 视作是 $y$ 的函数, 证明, 对任意 $\epsilon >0$, $a_k(f,y)\in L^2((\epsilon ,\infty ),dy)$.
M3)	(4 分) 对任意的 $y>0$ 和 $s\in \mathbb{R}$, 我们定义$$K_s(y)={\int }_0^{\infty }{e}^{-y(u+u^{-1})}{u}^{s-1}du.$$证明, $K_s(y)$ 对一切 $y>0$ 有定义并且是光滑函数. 我们还有公式$$K_s^{(n)}(y)={\left(\frac{d}{dy}\right)}^n{K}_s(y)=(-1{)}^n{\int }_1^{\infty }{e}^{-y(u+u^{-1})}(u^{s-1}+u^{-s-1})(u+u^{-1}{)}^{n}du.$$
M4)	(3 分) 证明, 对任意的 $n⩾0$, $K_s(y)$ 在 $\infty$ 附近有如下的渐近行为: $$\underset{y\to +\infty }{\lim }\sqrt{y}{e}^{2y}{K}_s^{(n)}(y)=(-2{)}^n\sqrt{\pi }.$$(提示: 可以考虑变量替换: $u\mapsto 1+\frac{v}{\sqrt{y}}$)
M5)	(4 分) 定义微分算子 $D$: $$Df(y)=y^2\frac{d^{2}f}{d{y}^2}+y\frac{df}{dy}-4y^{2}f.$$证明, $$D{K}_s=s^2{K}_s.$$(所有代数运算, 如果无相对具体的步骤而说经整理得到, 视作无效)
M6)	(4 分) 假设在 $(0,+\infty )$ 上的定义的 $C^2$ 函数 $f$ 满足$$Df=s^{2}f.$$证明, 存在复常数 $c_1$ 和 $c_2$, 使得 $$f=\left(c_1+c_2{\int }_0^y\frac{d{y}^{\prime }}{K_s(y^{\prime }{)}^2\cdot y^{\prime }}\right)K_s(y).$$
M7)	(3 分) 假设在 $(0,+\infty )$ 上的定义的 $C^2$ 函数 $f$ 满足$$Df=s^{2}f.$$证明, 极限 $\underset{y\to +\infty }{\lim }\sqrt{y}{e}^{-2y}f(y)$ 存在. 进一步证明, $\underset{y\to +\infty }{\lim }\sqrt{y}{e}^{-2y}f(y)=0$ 当且仅当存在常数 $c_3\in \mathbb{C}$, 使得$$f(y)\equiv c_3\cdot K_s(y).$$ 以下我们假设 $s>1$.
M8)	(2 分) 证明, 任给的 $f\in {\mathcal{E}}_s$, 对任意的 $(x,y)\in \mathbb{H}$, 级数 $\sum _{n\in \mathbb{Z}}{a}_k(f,y)e^{2\pi ikx}$ 收敛并且$$\sum _{n\in \mathbb{Z}}{a}_k(f,y)e^{2\pi ikx}=f(x,y).$$
M9)	(2 分) 任给的 $f\in {\mathcal{E}}_s$. 证明, 对任意的 $k\in \mathbb{Z}$, $a_k(f,y)e^{2\pi ikx}\in {\mathcal{E}}_s$.
M10)	(4 分) 证明, 如果 $k\in \mathbb{Z}$ 且 $k\ne 0$, 那么, 存在常数 $a_k(f)\in \mathbb{C}$, 使得$$a_k(f,y)=a_k(f)\cdot y^{\frac{1}{2}}\cdot K_s(\pi \cdot |k|\cdot y).$$
M11)	(4 分) 证明, 存在常数 $a_0(f)\in \mathbb{C}$, 使得$$a_0(f,y)=a_0(f)\cdot y^{\frac{1}{2}-s}.$$
M12)	(5 分) 证明, 对任意的 $z\in \mathbb{C}$, $|z|<1$, 级数$$\sum _{k=1}^{\infty }\left(|a_k(f)|+|a_{-k}(f)|\right)z^k$$收敛.
M13)	(5 分) 任意给定 $\{a_k{\}}_{k\in \mathbb{Z}}\subset \mathbb{C}$, 假定对任意的 $z\in \mathbb{C}$, $|z|<1$, 级数$$\sum _{k=1}^{\infty }\left(|a_k|+|a_{-k}|\right)z^k$$收敛. 证明, 对任意的 $(x,y)$, 级数$$a_0{y}^{\frac{1}{2}-s}+\sum _{k\ne 0}{a}_k{y}^{\frac{1}{2}}{K}_s(\pi \cdot |k|\cdot y)e^{2\pi ikx}$$所定义的函数落在 ${\mathcal{E}}_s$ 中.