1. 代数曲线入门

约定. 在本文中,

• $K$ 是完美域, $\bar{K}$ 是固定的代数闭包, $G_{\bar{K}/K}:=\mathrm{Gal}(\bar{K}/K)$ 是 Galois 群.

1.1仿射簇

$\bar{K}$ 上 $n$ 维仿射空间是集合 ${\mathbb{A}}^n=\{P=(x_1,\cdots ,x_n)\mid x_i\in \bar{K}\}.$ 类似地, ${\mathbb{A}}^n$ 中的 $K$-有理点是集合 ${\mathbb{A}}^n(K)=\{P=(x_1,\cdots ,x_n)\in {\mathbb{A}}^n\mid x_i\in K\}.$ 点 $P$ 上有自然的 Galois 作用, 因此 ${\mathbb{A}}^n(K)=\{P\in {\mathbb{A}}^n\mid P^{\sigma }=P,\forall \sigma \in G_{\bar{K}/K}\}$.

令 $\bar{K}[X]=\bar{K}[X_1,\cdots ,X_n]$ 是 $n$ 元多项式环, 理想 $I\subset \bar{K}[X]$, 可以考虑 $I$ 中多项式的公共零点集$$V(I)=\{P\in {\mathbb{A}}^n\mid f(P)=0,\forall f\in I\}.$$形如 $V(I)$ 的集合称为代数集. 对于代数集, 可以考虑其定义理想$$I(V)=\{f\in \bar{K}[X]\mid f(P)=0,\forall P\in V\}.$$如果 $I(V)$ 可以由 $K[X]$ 中元素生成, 则称 $V$ 是 $K$ 上代数集. 类似地, 可定义 $I(V/K):=I(V)\cap K[X]=\{f\in K[X]\mid f(P)=0\}$.

例 1.1.1. 考虑 $V=V(x^2-y^2-1)$, 在 $\mathrm{char}K\ne 2$ 时, 有一一对应 ${\mathbb{A}}^1(K)-\{0\}⟶V$.

注 1.1.2. 根据几何约化定理, 如果 $I$ 由 $K[X]$ 中的元素生成, 那么 $I(V(I))$ 也可由 $K[X]$ 中的元素生成, 即 $V(I)$ 是定义在 $K$ 上的.

定义 1.1.3. 称代数集 $V$ 为仿射簇, 若 $I(V)$ 是 $\bar{K}[X]$ 的素理想.

如果 $V$ 是 $K$ 上仿射簇, $V/K$ 的仿射坐标环是 $K[V]=K[X]/I(V/K)$, 其分式域 $K(V)$ 称为函数域. 类似地定义 $\bar{K}[V]$ 和 $\bar{K}(V)$.

定义 1.1.4. $V$ 是仿射簇, 令 $\dim (V)={\mathrm{trdeg}}_{\bar{K}}(\bar{K}(V))$.

注 1.1.5. 一些维数理论告诉我们, $\dim V$ 实际上是坐标环的 Krull 维数. 例如 $\dim {\mathbb{A}}^n=n$, 若 $V$ 有不可约多形式 $f$ 决定, 则 $\dim V=n-1$.

如果是复流形或实流形, 我们有隐函数定理来描述子流形的光滑性. 对于一般域上的仿射簇, 可以模仿定义 Jacobi 矩阵, 来描述仿射簇的光滑性.

定义 1.1.6. 设 $I(V)$ 由 $f_1,\cdots ,f_m\in \bar{K}[X]$ 生成. $V$ 在点 $P$ 光滑/非奇异若 $m\times n$ 矩阵$${\left(\frac{\partial f_i}{\partial X_j}(P)\right)}_{i,j}$$的秩为 $n-\dim V$. 若 $V$ 在每一点光滑, 则称 $V$ 光滑.

例 1.1.7. 考虑 $V_1:Y^2=X^3+X$ 以及 $V_2:Y^2=X^3+X^2$. 计算可知第一个没有非奇异点, 第二个曲线有唯一的非奇异点 $(0,0)$, 是一个结点.

回忆微积分中, 导数表示的是一阶近似, 在这里也可以通过 “一阶近似” 的方法来研究光滑性. 定义 ${\mathfrak{m}}_P=\{f\in \bar{K}[V]\mid f(P)=0\}$. 我们有同构$$\bar{K}[V]/{\mathfrak{m}}_P⟶\bar{K},f⟼f(P).$$(也有纯粹交换代数的道理, 有限生成 $K$-代数的同态, 极大理想的收缩仍然为极大理想, 有限维的性质纯粹来自于一个交换代数的结论.

引理 1.1.8. $R$ 是环, $M$ 是有限生成 $R$-模. 对任意 $R$ 的理想 $I$, 均有 $M/IM$ 是 $R/I$ 的有限生成模.

证明. 设 $M$ 的一组生成元是 $x_1,\cdots ,x_n$, 则对任意 $x\in M$, 有 $x={\sum }_i{r}_i{x}_i$. 进而有 $x+IM={\sum }_i(r_i+I)(x_i+IM)$, 即证.

$\square$

命题 1.1.9. $V$ 在点 $P$ 光滑当且仅当$${\dim }_{\bar{K}}({\mathfrak{m}}_P/{\mathfrak{m}}_P^2)=\dim V.$$

定义 1.1.10. $V$ 在 $P$ 的局部环 (或茎), 记作 $\bar{K}[V{]}_P$, 是 $\bar{K}[V{]}_P$ 在 ${\mathfrak{m}}_P$ 处的局部化, 即$$\bar{K}[V{]}_P=\{F\in \bar{K}(V)\mid F=\frac{f}{g},\text{其中}g(P)\ne 0\}.$$有时这样的函数 $V$ 也叫在 $P$ 处正则的函数.

1.2射影簇

仿射的东西不总是好的, 它几乎没有 “紧性”. 对比一维流形 $\mathbb{R}$, 我们需要通过 Alexandrov 紧化来得到有紧性的流形 ${\mathbb{S}}^1$, 或是说 ${\mathbb{RP}}^1$. 而对于仿射簇, 会像构造射影空间一样, 将仿射簇粘贴起来得到射影簇.

$\bar{K}$ 上 $n$ 维射影空间是等价类的集合$${\mathbb{P}}^n={\mathbb{P}}^n(\bar{K})=({\mathbb{A}}^{n+1}-\{0\})/{\bar{K}}^{\times }.$$等价类 $\{(\lambda x_0,\cdots ,\lambda x_n)\mid \lambda \in {\bar{K}}^{\times }\}$ 也记作 $[x_0,\cdots ,x_n]$, 称为齐次坐标. 同样可以定义 $K$-有理点 ${\mathbb{P}}^n(K)$, 是每个坐标都落在 $K$ 里的等价类构成的集合.

和仿射情形类似, 只不过考虑的多形式需要换成齐次多项式. 理想 $I\subset \bar{K}[X]=\bar{K}[X_0,\cdots ,X_n]$ 若由齐次多形式生成, 则称 $I$ 为齐次理想. 对于齐次理想 $I$, 令$$V(I)=\{P\in {\mathbb{P}}^n\mid f(P)=0,\forall \text{齐次}f\in I\}.$$形如 $V(I)$ 的集合 $V$ 称为 (射影) 代数集. 对这类集合, 可定义生成理想 $I(V)$ 是由如下集合生成的理想$$\{f\in \bar{K}[X]\mid f\text{齐次},f(P)=0\forall P\in V\}.$$

例 1.2.1. 考虑 $V=V(X^2+Y^2-Z^2)\in {\mathbb{P}}^2$, $\mathrm{char}K\ne 2$ 时, 有同构$${\mathbb{P}}^1(K)\to V(K),[s,t]\mapsto [s^2-t^2,2st,s^2+t^2].$$

定义 1.2.2. 称射影代数集 $V$ 是射影簇, 若 $I(V)$ 是 $\bar{K}[X]$ 的素理想.

类似地, 可以定义齐次坐标环 $\bar{K}[V]=\bar{K}[X]/I(V)$. 等价地 $F(X)=f(X)/g(X)$, 且满足:

$\diamond$	$f,g$ 齐次且次数相同;
$\diamond$	$g\notin I(V)$;
$\diamond$	$f_1/g_1=f_2/g_2$ 当且仅当 $f_1{g}_2-g_1{f}_2\in I(V)$.

下面来研究 ${\mathbb{P}}^n$ 的 “仿射坐标卡”, 令$$U_i=\{P=[x_0,\cdots ,x_n]\in {\mathbb{P}}^n:x_0\ne 0\},$$有自然的一一对应$$\begin{array}{rl}{\varphi }_i^{-1}:U_i& ⟶{\mathbb{A}}_i^n,\\ [x_0,\cdots ,x_n]& ⟼(\frac{x_0}{x_i},\cdots ,\frac{x_n}{x_i}).\end{array}$$假设 $V$ 是射影簇, $I(V)$ 是齐次理想. 考虑 $V\cap {\mathbb{A}}_i^n:={\varphi }_i^{-1}(V\cap U_i)$, 是关于理想 $I(V\cap {\mathbb{A}}_i^n)$ 的代数集, 其中$$I(V\cap {\mathbb{A}}_i^n)=\{f(Y_0,\cdots ,Y_{i-1},Y_{i+1},\cdots ,Y_n)\mid f(X_0,\cdots ,X_n)\in I(V)\}.$$注意到 $U_0,\cdots ,U_n$ 是 ${\mathbb{P}}^n$ 的覆盖, 则若 $V$ 是射影簇, 有 $V$ 可以被 $n+1$ 个仿射簇 $V\cap U_0,\cdots ,V\cap U_n$ 覆盖 (直接验证知上述理想是素理想). 通过 $f(X_0,\cdots ,X_n)$ 得到 $f(Y_0,\cdots ,Y_{i-1},Y_{i+1},Y_n)$ 的过程叫去齐次化.

注 1.2.3. 如果赋予 Zariski 拓扑, 仿射坐标卡可以实现为同胚上述的覆盖可以真正实现为 “拓扑上的覆盖”, 但这里我们并不关心.

反过来, 对 $f(Y)\in \bar{K}[Y]$, 定义$$f^{\ast }(X_0,\cdots ,X_n)=X_i^{d}f(\frac{X_0}{X_i},\cdots ,\frac{X_{i-1}}{X_i},\frac{X_{i+1}}{X_i},\cdots ,\frac{X_n}{X_i}),$$是 $f$ 关于 $X_i$ 的齐次化, 其中 $d=\mathrm{deg}f$.

定义 1.2.4. 设 $V\subset {\mathbb{A}}^n$ 是仿射代数集, 通过 ${\varphi }_i$ 将 $V$ 视为 ${\mathbb{P}}^n$ 的子集. $V$ 的射影闭包是仿射代数集, 其定义理想 $I(\bar{V})$ 是$$\{f^{\ast }(X)\mid f\in I(V)\}$$生成的理想.

注 1.2.5. 直观上, 这无非是添加上了无穷远点. 且我们有 $\bar{V}$ 是射影簇, 若 $V$ 是仿射簇.

类似于微分流形, 可以通过选取局部坐标来研究局部性质. 如果相信射影簇的维数, 光滑性都是局部性质, 我们只需选取某个仿射坐标卡然后通过之前的方式来研究.

定义 1.2.6. $V/K$ 是射影簇, 取 ${\mathbb{A}}^n\subset {\mathbb{P}}^n$ 使得 $V\cap {\mathbb{A}}^n\ne \varnothing$, 则定义 $\dim V=\dim V\cap {\mathbb{A}}^n$. 同样定义 $V$ 在点 $P$ 光滑, 若 $V\cap {\mathbb{A}}^n$ 在点 $P$ 光滑, $V$ 在 $P$ 的局部环 (茎) 是 $V\cap {\mathbb{A}}^n$ 在点 $P$ 的局部环.

$F\in \bar{K}(V)$ 称为在 $P$ 处正则, 若 $F\in \bar{K}[V{]}_P$.

注 1.2.7. 如果引入 Zariski 拓扑, 上述的维数实际上都是拓扑空间维数的特例.

1.3簇间的态射

有了研究的几何对象, 我们需要描述它们之间的态射.

对于射影簇 $V_1,V_2\subset {\mathbb{P}}^n$. 最简单的映射, 称为有理映射, 形如 $\varphi =[{\varphi }_0,\cdots ,{\varphi }_n]:V_1\to V_2$, 使得 $f_i\in \bar{K}(V_1)$ 且对任意 $P\in V_1$, 有 $f_i$ 在 $P$ 处正则 (分母不为 $0$, 良定义). 但这明显是不够的, 射影空间中的点要求齐次坐标中至少有一项非零, 同样, 定义在 $K$ 上的映射是指 Galois 作用不变的映射, 即 $[{\varphi }_0(P),\cdots ,{\varphi }_n(P)]=[{\varphi }_0^{\sigma }(P),\cdots ,{\varphi }_n^{\sigma }(P)]$ 对任意 $\sigma \in G_{\bar{K}/K}$ 成立.

定义 1.3.1. 有理映射 $\varphi =[{\varphi }_0,\cdots ,{\varphi }_n]:V_1\to V_2$ 在点 $P$ 正则, 若存在齐次多项式 ${\psi }_0,\cdots ,{\psi }_n\in \bar{K}[X]$ 使得

$\diamond$	${\psi }_0,\cdots ,{\psi }_n$ 有相同次数;
$\diamond$	${\varphi }_i{\psi }_j\equiv {\varphi }_j{\psi }_i(\mathrm{mod}I(V_1))$ 对任意 $0\le i,j\le n$ 成立;
$\diamond$	存在 $0\le i\le n$ 使得 $\psi (P)\ne 0$.

此时, 令 $\varphi (P)=[{\psi }_0(P),\cdots ,{\psi }_n(P)]$.

处处正则的有理映射称为态射, 自此, 我们有射影簇同构的概念.

例 1.3.2. 假设 $\mathrm{char}K\ne 2$, $V=V(X^2+Y^2-Z^2)$, 考虑有理映射$$\varphi :V\to {\mathbb{P}}^1,\varphi =[X+Z,Y].$$$\varphi$ 在点 $[1,0,-1]$ 之外都正则. 但我们有 $(X+Z)(X-Z)\equiv -Y^2(\mathrm{mod}I(V))$. 因此有 $\varphi =[-Y,X-Z]$, 在 $[1,0,-1]$ 正则, 是射影簇间的态射. 且$$\psi :{\mathbb{P}}^1\to V,\psi =[S^2-T^2,2ST,S^2+T^2]$$给出了逆映射. 因此 $V(X^2+Y^2-Z^2)\simeq {\mathbb{P}}^1$.

1.4代数曲线

接下来, 会把目光放到 1 维射影簇上, 也叫做代数曲线. 我们研究的对象椭圆曲线就是其中一类. 令曲线 $C$ 在点 $P$ 光滑, 则有 ${\dim }_{\bar{K}}{\mathfrak{m}}_P/{\mathfrak{m}}_P^2=1$, 则 $\bar{K}[C{]}_P$ 是离散赋值环, 简记为 DVR. 具体来说

定义 1.4.1. $\bar{K}[C{]}_P$ 上有离散赋值$${\mathrm{ord}}_P:\bar{K}[C{]}_P⟶\{0,1,2,\cdots \}\cup \{\infty \},$$满足 ${\mathrm{ord}}_P(f)=\sup \{d\in \mathbb{Z}\mid f\in {\mathfrak{m}}_P^d\}$. 利用 ${\mathrm{ord}}_P(f/g)={\mathrm{ord}}_P(f)-{\mathrm{ord}}_P(g)$, 可以将赋值延拓到 $\bar{K}(C)\to \mathbb{Z}\cup \{\infty \}$. $C$ 在 $P$ 出的素元是满足 ${\mathrm{ord}}_P(t)=1$ 的函数 $t$, 也是 ${\mathfrak{m}}_P$ 的生成元.

对函数 $f\in \bar{K}(C)$, 赋值大于 $0$ 的点叫零点, 赋值小于 $0$ 的点叫极点.

注 1.4.2. 事实上, 素元可以定义在 $K$ 上. 即若 $P\in C(K)$, 存在 $t\in K(C)$ 满足上述要求.

作为例子, 假设 $\mathrm{char}K\ne 2$, 考虑 $\bar{K}$ 上的曲线 $y^2=(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)$ 其中 $e_i$ 互不相同. 我们计算 $x-e_1$ 在 $P_i=(e_i,0)$ ($i=1,2,3$) 及 $P_{\infty }=[0,1,0]$ 的阶数. 对任意 $i=1,2,3$, ${\mathfrak{m}}_{P_i}=(x-e_i,y)$, 即若 $j\ne i$ 就有 $x-e_j$ 不属于 ${\mathfrak{m}}_{P_i}$, 从而在 $\bar{K}[C{]}_{P_i}$ 中可逆. 因此 $x-e_1=y^2(x-e_2{)}^{-1}(x-e_3{)}^{-1}\in {\mathfrak{m}}_{P_1}^2$, 则有 ${\mathrm{ord}}_{P_1}(x-e_1)=2$.

有了赋值, 我们可以很好的研究曲线到其它射影簇的有理映射

命题 1.4.3. $C$ 是曲线, $V\subset {\mathbb{P}}^n$ 是射影簇. 若 $\varphi :C\to V$ 是有理映射, $C$ 在 $P$ 光滑, 则有 $\varphi$ 在点 $P$ 正则. 特别地, $C$ 光滑蕴含 $\varphi$ 是簇间的态射.

证明. 令 $\varphi =[{\varphi }_0,\cdots ,{\varphi }_n]$, 取 $t\in \bar{K}(C)$ 是 $P$ 处的素元. 设 $n={\min }_i{\mathrm{ord}}_P(f_i)$, 则有 $t^{-n}{f}_i$ 在点 $P$ 正则.

$\square$

定理 1.4.4. 设 $\varphi :C_1\to C_2$ 是曲线间的态射. 则 $\varphi$ 是满射或常值映射.

证明. 这是因为 $C_1/\bar{K}$ 紧合, 有 $f(C_1)$ 在 $\bar{K}$ 上紧合且 $f(C_1)$ 是 $C_2$ 的闭子簇. 由于 $C_2$ 是曲线, 其不可约闭子簇只有单点集和自身, 因此 $f(C_1)$ 是常值或 $f(C_1)=C_2$.

$\square$

注 1.4.5. 参考是 GTM 52, Algebraic Geometry 第二章习题 4.4.

若 $C/K$ 光滑, $f\in K(C)$. 可以定义有理映射, 也记作 $f$$$f:C\to {\mathbb{P}}^1,P\mapsto [f(P),1].$$这是态射, 具体的 $f(P)=[f(P),1]$ 若 $f$ 在 $P$ 正则; $f(P)=[1,0]$ 若 $P$ 是 $f$ 的极点. 反过来, 对 $K$ 上的有理映射 $\varphi :C\to {\mathbb{P}}^1$, 则 $\varphi =[1,0]$ 或对应于 $f/g\in K(C)$, 从而我们又一一对应$$K(C)\cup \{\infty \}⟷\{K\text{态射}C\to {\mathbb{P}}^1\}.$$

这其实告诉我们曲线间的态射联系了它们的函数域, 一般地. $C_1/K$ 和 $C_2/K$ 是曲线, $\varphi :C_1\to C_2$ 是非常值有理映射, $\varphi$ 自然地诱导函数域间的同态$${\varphi }^{\ast }:K(C_2)\to K(C_1),{\varphi }^{\ast }f=f\circ \varphi .$$

我们有如下事实

定理 1.4.6. $K(C_1)$ 是 ${\varphi }^{\ast }(K(C_2))$ 的有限扩张. 扩张次数定义为 $\varphi$ 的次数, 若是常值映射, 规定其次数为 $0$.

定理 1.4.7. $K$-域同态 $\iota :K(C_2)\to K(C_1)$ 是嵌入, 则存在唯一非零映射 $\varphi :C_1\to C_2$ 使得 ${\varphi }^{\ast }=\iota$.

证明. 设 $C_1\subset {\mathbb{P}}^N$, 令 $g_i$ 是函数 $X_i/X_0$ 的像 (适当的换序, 可不妨设 $C_2$ 不含于曲面 $X_0=0$). 可考虑映射$$\varphi =[1,\iota (g_1),\cdots ,\iota (g_N)].$$

$\square$

称 $\varphi$ 可分, 不可分或纯不可分若对应的扩张 $K(C_1)/{\varphi }^{\ast }K(C_2)$ 是可分扩张, 不可分扩张或纯不可分扩张.

我们可以定义前推函子, 其中 $\mathrm{Nm}$ 是域扩张的范映射$${\varphi }_{\ast }:K(C_1)\to K(C_2),{\varphi }_{\ast }=({\varphi }^{\ast }{)}^{-1}\circ {\mathrm{Nm}}_{K(C_1)/{\varphi }^{\ast }K(C_2)}.$$

映射的次数和纤维的个数紧密联系. 考虑 $k=\mathbb{C}$, 以及光滑曲线 $y=x^2$ 以及 ${\mathbb{A}}^1(\mathbb{C})$. 有自然的投影映射 $\varphi :(x,y)\mapsto y$, 对应到函数域的同态 ${\varphi }^{\ast }:\mathbb{C}(y)\to \mathrm{Frac}\mathbb{C}[x,y]/(y-x^2)=\mathbb{C}(\sqrt{y})$, 是二次扩张, $\varphi$ 在除一点外纤维都是二元集. 为准确描述这件事, 我们需要引入分歧指数的概念.

定义 1.4.8. $\varphi :C_1\to C_2$ 的是光滑曲线间的非常值映射. 设 $P\in C_1$, $\varphi$ 在 $P$ 的分歧指数是$$e_{\varphi }(P)={\mathrm{ord}}_P({\varphi }^{\ast }{t}_{\varphi (p)}),$$其中 $t_{\varphi (p)}$ 是 $\varphi (p)$ 处的素元. 按定义有 $e_{\varphi }(P)\ge 1$, 等于 $1$ 时称 $\varphi$ 在 $P$ 非分歧. 若在任意点都分歧, 则称 $\varphi$ 非分歧.

注 1.4.9. 这和域扩张的分歧是几乎一样的. 在上例中, 对应的环扩张 $\mathbb{C}[y]\subset \mathbb{C}[\sqrt{y}]$ 只在素理想 $(y)$ 处完全分歧, 即 $(y)=(\sqrt{y}{)}^2$; 在素理想 $(y-a)$ 处完全分裂, 即 $(\sqrt{y}-\sqrt{a})(\sqrt{y}+\sqrt{a})$.

我们有

命题 1.4.10. 对任意 $Q\in C_2$, $$\sum _{P\in {\varphi }^{-1}(Q)}{e}_{\varphi }(P)=\mathrm{deg}\varphi .$$除此之外, 除去有限个 $Q\in C_2$, 我们均有 $\#{\varphi }^{-1}(Q)={\mathrm{deg}}_s(\varphi )$, 即可分次数.

1.5除子和微分

曲线 $C$ 的除子群是有 $C$ 上所有点生成的自由 Abel 群. 因此, 对 $D\in \mathrm{Div}(C)$, $D$ 可以写为如下形式和$$D=\sum _{P\in C}{n}_P\cdot P,$$其中 $n_P\in \mathbb{Z}$, 且除了有限多项都为 $0$. $D$ 的次数是所有 $n_P$ 求和, 零次除子构成一个子群$${\mathrm{Div}}^0(C)=\{D\in \mathrm{Div}(C)\mid \mathrm{deg}D=0\}.$$除子 $D$ 带有自然的 Galois 作用, 称 $D$ 是 $K$ 上的除子, 若 $D^{\sigma }=D$ 对任意 $\sigma \in G_{\bar{K}/K}$. 这类除子也可以构成子群, 记作 ${\mathrm{Div}}_K(C)$, 类似地, ${\mathrm{Div}}_K^0(C)$. 假设 $C$ 光滑, 取 $f\in \bar{K}(C{)}^{\times }$, 我们可以定义除子$$\mathrm{div}(f)=\sum _{P\in C}{\mathrm{ord}}_P(f)\cdot P.$$这给出了 Abel 群同态 $\mathrm{div}:\bar{K}(C{)}^{\times }\to \mathrm{Div}(C)$. 其像中的元素称为主除子.

注 1.5.1. 考虑经典的复分析, 对于 ${\mathbb{S}}^2=\mathbb{C}{\mathbb{P}}^1$ 上的亚纯函数 $f$, 我们可以考虑其零点和极点的阶. 并且 $f$ 一定是有理函数, 也即 ${\mathbb{S}}^2$ 亚纯函数环极像函数域 (里面全是有理函数), 这是 GAGA 的例子.

此外, 如果我们相信数域和函数域有着深刻的联系, $\mathbb{Q}$ 上的素因子唯一分解可以视作除子的例子, 因为素数可以看作 $\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$ 的点.

定义 1.5.2. $C$ 的除子类群 (Picard 群) 是商群$$\mathrm{Pic}(C):=\mathrm{Div}(C)/\mathrm{im}(\mathrm{div}).$$而 $\mathrm{Pic}(C)$ 自然带有 Galois 作用, 定义 ${\mathrm{Pic}}_K(C)=\mathrm{Pic}(C{)}^{G_{\bar{K}/K}}$.

注 1.5.3. 一般来说, ${\mathrm{Pic}}_K(C)$ 不是 ${\mathrm{Div}}_K(C)$ 商掉其主除子子群.

主除子很重要的性质是它们的次数都为 $0$, 特别地, 如果一个函数 $f\in \bar{K}(C{)}^{\times }$ 没有极点, 那一定有 $f$ 是常函数.

命题 1.5.4. $C$ 是光滑曲线, 令 $f\in \bar{K}(C{)}^{\times }$, 则有

(1)	$\mathrm{div}(f)=0$ 当且仅当 $f\in {\bar{K}}^{\times }$;
(2)	$\mathrm{deg}(\mathrm{div}(f))=0$.

证明. (1): 由于 $\mathrm{div}(f)=0$, 知 $f$ 没有极点. 其对应的映射 $f:C\to {\mathbb{P}}^1$ 不是满射. 由命题 1.4.4, 知 $f$ 是常函数.

(2): 利用命题 1.4.7, 我们有 $\mathrm{deg}({\varphi }^{\ast }D)=\mathrm{deg}\varphi \mathrm{deg}D$. 按定义, 对任意 $f\in \bar{K}(C)$, 都对应于映射 $f:C\to {\mathbb{P}}^1$, 有 $\mathrm{div}(f)=f^{\ast }(0-\infty )$. 即有 $\mathrm{deg}\mathrm{div}(f)=\mathrm{deg}f-\mathrm{deg}f=0$.

$\square$

例 1.5.5. 我们以球面 ${\mathbb{S}}^2$ 和甜甜圈 ${\mathbb{T}}^1$ 为例, 这时 $K=\mathbb{C}$. 对于 $\mathbb{C}{\mathbb{P}}^1$, 我们可以选取 $\left|r\right|\le M$ 和 $\left|r\right|\ge M$ 两个紧区域, 如果 $f$ 在 $\mathbb{C}{\mathbb{P}}^1$ 上全纯, 由 Liouville 定理, 知 $f$ 必为常函数. 类似地, 对于 ${\mathbb{T}}^1=\mathbb{C}/\Lambda$, 在一个基本域里使用 Liouville 定理, 知 ${\mathbb{T}}^1$ 上的全纯函数只有常函数. 而零点数和极点数相同, 只需考虑留数定理.

有了上述命题的保证, 我们可以完善对于椭圆曲线除子的计算, 有 $\mathrm{div}(x-e_i)=2\cdot P_i-2\cdot P_{\infty }$, 对 $i$ 求和, 可得 $\mathrm{div}(y)=P_1+P_2+P_3-3\cdot P_{\infty }$.

对于最简单的光滑曲线 ${\mathbb{P}}^1$, 可以证明所有次数为 $0$ 的除子都是主除子. 考虑 $D=\sum n_P\cdot P$, 令 $P=[{\alpha }_P,{\beta }_P]\in {\mathbb{P}}^1$, 知$$D=\mathrm{div}\left[\prod _{P\in P^1}({\beta }_{P}X-{\alpha }_{P}Y{)}^{n_P}\right].$$而 $\sum n_P=0$ 保证了该函数落在 $K({\mathbb{P}}^1)$ 里, 因此 $\mathrm{Pic}(C)\simeq \mathbb{Z}$.

定义 1.5.6. 由于主除子都是 $0$ 次的, 自然可以定义 ${\mathrm{Pic}}^0(C)$ 以及 ${\mathrm{Pic}}_K^0(C)$.

命题 1.5.7. 有长正合列 $1\to {\bar{K}}^{\times }\to \bar{K}(C{)}^{\times }\stackrel{\mathrm{div}}{\to }{\mathrm{Div}}^0(C)\to {\mathrm{Pic}}^0(C)\to 0$.

除子群上也有自然的前推映射和拉回映射, 具体地写出$${\varphi }_{\ast }:\mathrm{Div}(C_1)\to \mathrm{Div}(C_2),P\mapsto \varphi (P).$$对于拉回映射, 稍显复杂$${\varphi }^{\ast }:\mathrm{Div}(C_2)\to \mathrm{Div}(C_1),Q\mapsto \sum _{P\in {\varphi }^{-1}(Q)}{e}_{\varphi }(P)\cdot P,$$这无非是说不能 “眼见为实”, 例如 $x^2=y\to {\mathbb{A}}_y^1$, 在 $0$ 的原像只有一个点, 但它带有分歧指数.

除了函数诱导的除子, 还有一类重要的除子, 叫做典范除子, 为此我们先引入微分形式空间.

定义 1.5.8. $C$ 是曲线. $C$ 上所有 (亚纯) 微分形式是由 $dx$ ($x\in \bar{K}(C)$) 张成的 $\bar{K}$-线性空间 ${\Omega }_C$, 满足如下性质

(1)	对任意 $x,y\in \bar{K}(C)$, 有 $d(x+y)=dx+dy$.
(2)	对任意 $x,y\in \bar{K}(C)$, 有 $d(xy)=xdy+ydx$.
(3)	对任意 $a\in \bar{K}$, 有 $da=0$.

对于曲线的映射 $\varphi :C_1\to C_2$, 有微分形式空间的拉回映射$${\varphi }^{\ast }:{\Omega }_{C_2}\to {\Omega }_{C_1},{\varphi }^{\ast }(\sum f_{i}d{x}_i)=\sum ({\varphi }^{\ast }{f}_i)d({\varphi }^{\ast }x).$$对于曲线 $C$, ${\Omega }_C$ 实际上是一维 $\bar{K}(C)$ 向量空间, 直观上, 就是求导, 剩下的微分形式只有关于局部坐标的微分 $dx$.

命题 1.5.9. $P$ 是 $C$ 上的点, $t\in \bar{K}(C)$ 是 $P$ 处的素元. 对任意 $\omega \in {\Omega }_C$, 存在唯一 $g\in \bar{K}(C)$, 只依赖于 $\omega ,t$, 使得 $\omega =gdt$. 也记作 $\frac{\omega }{dt}$, 定义 ${\mathrm{ord}}_P(\omega ):={\mathrm{ord}}_P(\omega /dt)$.

我们相信, 如果 $f$ 在点 $P$ 正则, 则有 $f/dt$ 在点 $P$ 正则. 因此, 对于点 $P$ 的两个素元 $t,t^{\prime }$, 有$$\frac{dt}{d{t}^{\prime }},\frac{d{t}^{\prime }}{dt}$$都在点 $P$ 正则, 因此它们在点 $P$ 的阶都是零. 由 $\omega =gd{t}^{\prime }=g(d{t}^{\prime }/dt)dt$ 可得结论.

定义 1.5.10. 令 $\omega \in {\Omega }_C$. $\omega$ 相伴的除子是$$\mathrm{div}(w)=\sum _{P\in C}{\mathrm{ord}}_P(w)\cdot P\in \mathrm{Div}(C).$$若对任意 $P\in C$, 都有 ${\mathrm{ord}}_P(w)\ge 0$, 称 $\omega$ 为全纯微分形式. 若对任意 $P\in C$, 都有 ${\mathrm{ord}}_P(w)\le 0$, 称 $\omega$ 为处处非零的微分形式.

对于非零微分 ${\omega }_1,{\omega }_2\in {\Omega }_C$, 则存在 $f\in \bar{K}(C{)}^{\times }$ 使得 ${\omega }_1=f{\omega }_2$. 因此有 $\mathrm{div}({\omega }_1)=\mathrm{div}(f)+\mathrm{div}({\omega }_2)$. 因此可以定义典范除子类, 即 $\mathrm{div}({\Omega }_C)$ 在 $\mathrm{Pic}(C)$ 中的像.

例 1.5.11. ${\mathbb{P}}^1$ 上没有全纯微分形式. 取 $t$ 是 ${\mathbb{P}}^1$ 的局部坐标, 对 $\alpha \in \bar{K}$, $t-\alpha$ 是 $\alpha$ 处的素元. 从而有 ${\mathrm{ord}}_{\alpha }(dt)={\mathrm{ord}}_{\alpha }(d(t-\alpha ))=0$. 对于 $\infty \in {\mathbb{P}}^1$, $\frac{1}{t}$ 是 $\infty$ 处的素元, 有$${\mathrm{ord}}_{\infty }(dt)={\mathrm{ord}}_{\infty }(-t^{2}d(\frac{1}{t}))=-2.$$对于任意 $\omega \ne 0\in {\Omega }_{{\mathbb{P}}^1}$, 有 $\omega =gdt$, 进而$$\mathrm{deg}\mathrm{div}(\omega )=\mathrm{deg}\mathrm{div}(dt)=-2.$$

对于曲线 $y^2=(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)$, 计算稍微复杂一些. 具体的, 由之前的计算 ${\mathrm{ord}}_{\infty }(x-e_i)=-2$ 及 ${\mathrm{ord}}_{\infty }(y)=-3$, 知 ${\mathrm{ord}}_{\infty }(\frac{x-e_i}{y})=1$, 有 $\frac{x-e_i}{y}$ 是一个素元. $$\begin{array}{rl}d\frac{x-e_1}{y}& =\frac{yd(x-e_1)-(x-e_1)dy}{y^2}\\ & =dx\cdot \frac{1}{y}(1-\frac{x-e_1}{x-e_2}-\frac{x-e_1}{x-e_3}).\end{array}$$即有 ${\mathrm{ord}}_{\infty }(dx)={\mathrm{ord}}_{\infty }(y)=-3$. 对于非无穷的点, 由于 $y$ 是素元, 可以轻松得到 ${\mathrm{ord}}_{P_i}(dx)=1$. 从而 $\mathrm{div}(dx)=P_1+P_2+P_3-3P_{\infty }$.

1.6Riemann–Roch 定理

定义 1.6.1. 有效除子 (正除子) $D=\sum n_P\cdot P$ 是满足 $n_P\ge 0$ 恒成立得除子, 记作 $D\ge 0$. 对除子 $D_1,D_2\in \mathrm{Div}(C)$, 记 $D_1\ge D_2$ 若 $D_1-D_2\ge 0$.

定义 1.6.2. 对 $D\in \mathrm{Div}(C)$, 令$$\mathcal{L}(D)=\{f\in \bar{K}(C{)}^{\times }\mid \mathrm{div}(f)\ge -D\}\cup \{0\}.$$我们有 $\mathcal{L}(D)$ 是有限维 $\bar{K}$-线性空间. 令 $\ell (D)={\dim }_{\bar{K}}\mathcal{L}(D)$.

若 $K_C$ 是典范除子, 即 $K_C=\mathrm{div}(\omega )$. 则对任意 $f\in \mathcal{L}(K_C)$, 有 $\mathrm{div}(f)\ge -\mathrm{div}(\omega )$, 即 $\mathrm{div}(f\omega )\ge 0$. 也就是说 $f\omega$ 是全纯形式. 因此, 我们有 $\bar{K}$ 线性空间同构$$\mathcal{L}(K_C)\simeq \{\omega \in {\Omega }_C\mid \omega \text{全纯}\}.$$$\ell (K_C)$ 是曲线 $C$ 的重要不变量.

定理 1.6.3. (Riemann–Roch 定理) $C$ 是光滑曲线, $K_C$ 是 $C$ 上典范除子. 存在整数 $g\ge 0$, 称作 $C$ 的亏格. 使得对任意 $D\in \mathrm{Div}(C)$, 都有$$\ell (D)-\ell (K_C-D)=\mathrm{deg}D-g+1.$$

有一些简单的推论, 由于 $0=\bar{K}$, 知 $\ell (K_C)=g$. 接着取 $D=K_C$, 可以得到 $\mathrm{deg}{K}_C=2g-2$. 从而 $D$ 的次数大于 $2g-2$ 时, 有 $\ell (D)=\mathrm{deg}D-g+1$.

例 1.6.4. 还是以 ${\mathbb{P}}^1$ 为例, 由于 ${\mathbb{P}}^1$ 上没有全纯微分形式, 则有 ${\mathbb{P}}^1$ 的亏格是 $0$.

对于曲线 $C:y^2=(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)$, 由于 $\mathrm{div}(dx/y)=0$, 即典范除子类是平凡的. 取 $K_C=0$, $D=0$, 有 $g=1$. 我们还能从 Riemann–Roch 定理得到更多的信息. 譬如,$\ell (2\cdot P_{\infty })=2$, 有 $\{1,x\}$ 是 $\mathcal{L}(2\cdot P_{\infty })$ 的一组基. $\{1,x,y\}$ 是 $\mathcal{L}(3\cdot P_{\infty })$ 的一组基.

定理 1.6.5. (Hurwitz) $\varphi :C_1\to C_2$ 是光滑曲线间的非常值可分映射, 它们的亏格分别为 $g_1,g_2$. 则有$$2g_1-2\ge (\mathrm{deg}\varphi )(2g_2-2)+\sum _{P\in C_1}(e_{\varphi }(P)-1).$$等号成立当且仅当 $\mathrm{char}(K)=0$ 或 $\mathrm{char}(K)=p>0$ 且对任意 $P\in C_1$ 都有 $p$ 不整除 $e_{\varphi }(P)$.

1.7Frobenius 态射

引理 1.7.1. $C/K$ 是曲线, $t\in K(C)$ 是光滑点 $P\in C(K)$ 的素元, 则有 $k(C)/K(t)$ 是有限可分扩张.

证明. 由于 $K(C)$ 和 $K(t)$ 对于 $K$ 的超越次数相同, 知 $K(C)$ 一定是 $K(t)$ 上的有限扩张. 取任意 $x\in K(C)$, 只需证 $x$ 是 $K(t)$ 上的可分元. 由于 $x$ 是代数元, 存在多项式关系$$\sum a_{ij}{t}^i{x}^j=0,\Phi (T,X)=\sum a_{ij}{T}^i{X}^j\in K[X,T],$$且可令 $\Phi$ 是次数最小者, 即 $\Phi (t,X)$ 是关于 $x$ 在 $K(t)$ 上的极小多项式. 令 $p=\mathrm{char}(K)$, 若存在 $\Psi$ 使得 $\Phi (T,X)=\Psi (T,X^p)$. 由于我们只考虑 $K$ 是完美域的情形, 知$$\Phi (T,X)=\Psi (T,X^p)=\sum _{k=0}^{p-1}\left(\sum _{i,j}{b}_{ijk}{T}^{ip}{X}^{jp}\right)T^k=\sum _{k=0}^{p-1}{\varphi }_k(T,X{)}^p{T}^k.$$对于左边有 $\Psi (t,x)=0$, 对于右边由 $t$ 是 $P$ 处的素元知$${\mathrm{ord}}_P({\varphi }_k(t,x{)}^p{t}^k)\equiv k(\mathrm{mod}p).$$因此求和等于 $0$ 推出 ${\varphi }_k(t,x)=0$ 对任意 $0\le k\le p-1$. 而存在某一个 $k$ 使得 ${\varphi }_k(T,X)$ 中含有 $X$, 但 ${\mathrm{deg}}_X{\varphi }_k(T,X)\le \frac{1}{p}{\mathrm{deg}}_X\Phi (T,X)$. 与极小性矛盾, 则不存在这样的 $\Psi$, 从而 $\Phi$ 是可分多项式.

$\square$

定理 1.7.2. (相对 Frobenius 态射) 完美域 $K$ 特征为 $p>0$ 且令 $q=p^r$. 对任意 $f\in K[X]$, 可以将 $f$ 的系数都取 $q$ 次幂得到多项式 $f^{(q)}$. 对曲线 $C/K$, 可以定义新的曲线 $C^{(q)}/K$, 由如下集合生成的理想给出$$I(C^{(q)})=\{f^{(q)}\mid f\in I(C)\}.$$有自然的 $C$ 到 $C^{(q)}$ 的映射, 叫做相对 Frobenius 态射, 即$$\varphi :C\to C^{(q)},\varphi ([x_0,\cdots ,x_n])=[x_0^q,\cdots ,x_n^q].$$证明:

(a)	$\mathrm{deg}\varphi =q$.
(b)	若有光滑曲线的映射 $\psi :C_1\to C_2$ 且 ${\mathrm{deg}}_i\psi =q$, $\psi$ 可以分解为 $\lambda \circ \varphi$, 其中 $\varphi :C_1\to C_1^{(q)}$ 是 $q$-次 Frobenius 映射, $\lambda$ 是可分映射.

证明. (a) 先证明 ${\varphi }^{\ast }K(C^{(q)})=K(C{)}^q$. 由于 $K(C)$ 是形如 $f/g$ ($f,g$ 齐次同次数多项式) 的函数构成, 有$${\varphi }^{\ast }(\frac{f}{g})=\frac{f(X_0^q,\cdots ,X_n^q)}{g(X_0^q,\cdots ,X_n^q)}.$$而 $K(C{)}^q$ 是 $K(C)$ 中形如$$\frac{f(X_0,\cdots ,X_n{)}^q}{g(X_0,\cdots ,X_n{)}^q}$$的函数构成的子域. 由 $K$ 完美知 $K(C{)}^q={\varphi }^{\ast }K(C^{(q)})$.

通过适当的扩域, 我们总可以假设存在光滑点 $P\in K(C)$. 设 $t\in K(C)$ 是 $P$ 处的素元, 知 $K(C)$ 是 $K(t)$ 的有限可分扩张. 考虑如下扩张塔其中 $K(C)/K(C{)}^q$ 是纯不可分扩张, 从而有 $K(C)=K(C{)}^q(t)$. 下面只需证明$$\mathrm{deg}\varphi =[K(C{)}^q(t):K(C{)}^q]=q.$$这是容易的, 因为 $T^q-t^q$ 是不可约多项式.

(b) 取 $\mathbb{K}$ 是 ${\psi }^{\ast }K(C_2)$ 在 $K(C_1)$ 中的可分闭包, 有 $K(C_1)/\mathbb{K}$ 是 $q$-次纯不可分扩张. 因此有 $K(C_1{)}^q\subset \mathbb{K}$. 利用 (a) 比较扩张次数, 知有扩张塔$${\psi }^{\ast }K(C_2)\subset \mathbb{K}={\varphi }^{\ast }K(C_1^{(q)})\subset K(C_1).$$由定理 $\mathrm{1.4.7}$ 知这样的 $\lambda$ 存在.

$\square$

1.8习题

1.8.1. 令 $F(X,Y,Z)\in K[X,Y,Z]$ 是 $d\ge 1$ 次齐次多项式, 假设 $F$ 决定的曲线 $C\subset {\mathbb{P}}^2$ 是光滑的, 证明$$\mathrm{genus}(C)=\frac{(d-1)(d-2)}{2}.$$