微分形式

微分形式是流形上的一种几何对象, 它的主要用处之一是在流形上以坐标无关的形式定义积分. 在局部坐标 $x^1,\dots ,x^n$ 下, 形如$$\omega =fd{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{i_k}$$的表达式被称为微分形式 (注 1.2), 其中 $i_1<\cdots <i_k$, 并且 $f$ 是流形到 $\mathbb{R}$ 的光滑函数. 这也给微积分中无穷小量的记号 (例如 $dx$) 赋予了几何意义.

微分形式与流形的拓扑有着密切联系. 事实上, de Rham 定理说明, 流形的上同调同构于其 de Rham 上同调, 即恰当形式的空间商掉闭形式的空间.

1定义

定义 1.1 (微分形式). 设 $X$ 是 $n$ 维光滑流形, $0\le k\le n$ 是整数. $X$ 上的微分 $\mathbf{k}$-形式, 或简称 $\mathbf{k}$-形式, 是指 $X$ 的余切丛的 $k$ 次外积$${\wedge }^k(T^{\ast }X)$$的一个光滑截面.

$X$ 上所有 $k$-形式构成的线性空间通常记为 ${\mathcal{A}}^k(X)$ 或 ${\Omega }^k(X)$.

注 1.2 (Euclid 空间上的微分形式). 当 $X={\mathbb{R}}^n$ 时, $X$ 上的 $k$-形式一定能写成以下形式: $$\omega =\sum _{1\le i_1<\cdots <i_k\le n}{f}_{i_1,\dots ,i_k}d{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{i_k},$$其中 $f_{i_1,\dots ,i_k}:X\to \mathbb{R}$ 是光滑函数.

对一般的流形 $X$, 在局部坐标下 (通过定义 2.1 将微分形式拉回到 Euclid 空间上), $X$ 上的微分形式也具有上面的形式.

2操作

拉回

定义 2.1 (拉回). 设 $f:X\to Y$ 是光滑流形之间的光滑映射, 设 $\omega$ 是 $Y$ 上的 $k$-形式. 则由余切丛的拉回映射$$f^{♯}:f^{\ast }(T^{\ast }Y)\to T^{\ast }X$$诱导其外代数的映射, 从而诱导其外代数的全局截面的映射, 记为$$f^{\ast }:{\mathcal{A}}^k(Y)\to {\mathcal{A}}^k(X).$$微分形式 $\omega$ 在该映射下的像 $f^{\ast }\omega$ 称为 $\omega$ 沿 $f$ 的拉回.

注 2.2 (拉回的坐标表示). 若 $x^1,\dots ,x^n$ 为 $X$ 的局部坐标, $y^1,\dots ,y^m$ 为 $Y$ 的局部坐标, 且对 $y\in Y$ 有$$\omega (y)=\sum _{1\le j_1<\cdots <j_k\le n}{g}_{j_1,\dots ,j_k}(y)d{y}^{j_1}\wedge \cdots \wedge d{y}^{j_k},$$那么$$f^{\ast }\omega (x)=\sum _{\begin{array}{c}1\le i_1<\cdots <i_k\le n\\ 1\le j_1<\cdots <j_k\le m\end{array}}{g}_{j_1,\dots ,j_k}(f(x))|\frac{\partial y^{j_1,\dots ,j_k}}{\partial x^{i_1,\dots ,i_k}}(x)|d{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{i_k},$$其中 $|\frac{\partial y^{j_1,\dots ,j_k}}{\partial x^{i_1,\dots ,i_k}}(x)|$ 表示 $f$ 在 $x$ 处的 Jacobi 矩阵中相应的 $k$ 阶子式.

外微分

定义 2.3 (外微分). 设 $X$ 是光滑流形. $X$ 上微分形式的外微分是 ${\mathcal{A}}^{\bullet }(X)$ 上的一组算子 $d$: $${\mathcal{A}}^0(X)\stackrel{d}{⟶}{\mathcal{A}}^1(X)\stackrel{d}{⟶}{\mathcal{A}}^2(X)\stackrel{d}{⟶}\cdots ,$$它由如下性质唯一决定:

•	如果 $f\in {\mathcal{A}}^0(X)\simeq C^{\infty }(X)$, 那么对 $X$ 上任意向量场 $v\in \Gamma (TX)$, 有$$df(v)=v(f),$$其中 $v(f)$ 表示方向导数.
•	如果 $f\in {\mathcal{A}}^0(X)\simeq C^{\infty }(X)$, 那么$$ddf=0.$$
•	$d$ 是 ${\mathcal{A}}^{\bullet }(X)$ 上的分次导子: 如果 $\alpha \in {\mathcal{A}}^p(X)$, 且 $\beta \in {\mathcal{A}}^q(X)$, 那么$$d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1{)}^p\alpha \wedge d\beta .$$

注 2.4. 定义 2.3 迫使外微分 $d$ 由以下公式给出: 设在局部坐标下有$$\omega =\sum _{1\le i_1<\cdots <i_k\le n}{f}_{i_1,\cdots ,i_k}d{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{i_k},$$其中 $f_{i_1,\dots ,i_k}:X\to \mathbb{R}$ 是光滑函数, 那么$$d\omega =\sum _{1\le i_1<\cdots <i_k\le n}\sum _{i=1}^n\frac{\partial f_{i_1,\cdots ,i_k}}{\partial x^i}d{x}^i\wedge d{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{i_k}.$$

积分

定义 2.5 (紧支微分形式). 设 $X$ 是光滑流形, $\omega \in {\mathcal{A}}^{\bullet }(X)$. 则 $\omega$ 称为紧支的, 如果其支集$$\mathrm{supp}\omega =(\{x\in X\mid \omega (x)\ne 0\}\text{ 的闭包})$$是紧集. $X$ 上所有紧支形式的空间记为 ${\mathcal{A}}_0^{\bullet }(X)$.

定义 2.6 (微分形式的积分). 设 $X$ 是 $n$ 维已定向光滑流形. $X$ 上微分形式的积分是一个线性映射$$\begin{array}{rl}{\int }_X:{\mathcal{A}}_0^n(X)& \to \mathbb{R},\\ \omega & \mapsto {\int }_X\omega ,\end{array}$$其中 ${\mathcal{A}}_0^n(X)$ 是 $X$ 上紧支 $n$-形式的空间, 它由如下性质唯一确定:

•	如果 $\phi :{\mathbb{R}}^n\hookrightarrow X$ 是保持定向的局部坐标, 且 $\omega \in {\mathcal{A}}_0^n({\mathbb{R}}^n)$ 能写成$$\omega =fd{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^n,$$那么$${\int }_X\omega ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}fd{x}^1\cdots d{x}^n,$$这里, 右边是 ${\mathbb{R}}^n$ 上紧支函数 $f$ 的 Riemann 积分或 Lebesgue 积分 (二者结果相同).

通过积分是线性映射这一条件, 利用单位分解, 就能确定 $X$ 上任一 $n$-形式的积分.

注 2.7. 对于非紧支的微分形式, 或非光滑 (但至少需要 Lebesgue 可测) 的微分形式, 也能定义积分: 在 $n$ 维已定向流形上, 每个 $n$-形式对应了一个符号测度, 该符号测度的积分 (如果收敛) 就是该微分形式的积分.

注 2.8. 在不可定向流形上, 也能定义积分. 此时, 微分形式的概念要换成密度的概念.

缩并

定义 2.9 (缩并). 设 $X$ 是光滑流形, $\omega \in {\mathcal{A}}^k(X)$. 设 $v$ 是 $X$ 上的一个向量场. 定义 $\omega$ 关于 $v$ 的缩并为 ${\iota }_v(\omega )\in {\mathcal{A}}^{k-1}(X)$, 满足对任意向量场 $v_1,\cdots ,v_{k-1}$, 有$${\iota }_v(\omega )\left(v_1,\cdots ,v_{k-1}\right)=\omega (v,v_1,\cdots ,v_{k-1}).$$也即, ${\iota }_v(\omega )$ 是 $v$ 和 $\omega$ 的第一分量的张量缩并.

有如下性质成立:

命题 2.10. 设 $\alpha \in {\mathcal{A}}^p(X)$, 那么

•	${\iota }_v\circ {\iota }_v(\alpha )=0$;
•	${\iota }_v(\alpha \wedge \beta )={\iota }_v(\alpha )\wedge \beta +(-1{)}^p\alpha \wedge {\iota }_v(\beta )$.

缩并也可以和外微分 (定义 2.3) 以及 Lie 导数联系, 这就是 Cartan 公式.

3相关概念

•	Stokes 公式
•	Cartan 公式
•	de Rham 上同调
•	向量场
•	多向量场

术语翻译

微分形式 • 英文 differential form • 德文 Differentialform • 法文 forme différentielle • 拉丁文 forma differentialis • 古希腊文 διαφορικὴ μορφή