6. 复数域上的椭圆曲线

椭圆积分源于计算椭圆周长的尝试. 这类包含根号的积分应当看作 Riemann 面上的线积分. 与椭圆弦长的积分相关联的 Riemann 面是复数域上的椭圆曲线.

6.1椭圆积分

设 $E$ 为 $\mathbb{C}$ 上的椭圆曲线, 有 Weierstrass 方程$$E:y^2=x(x-1)(x-\lambda ).$$

自然映射$$E(\mathbb{C})\to {\mathbb{P}}^1(\mathbb{C}),(x,y)\mapsto x$$为二重分歧覆盖, 分歧点为 $0,1,\lambda ,\infty \in {\mathbb{P}}^1(\mathbb{C})$.

复积分$${\int }_{\infty }^x\frac{dt}{\sqrt{t(t-1)(t-\lambda )}}$$并非与路径无关; 它是 $E$ 上的全纯微分形式 $\omega =dx/y$ 的积分.

使用切割分支的方法, 将两个 ${\mathbb{P}}^1(\mathbb{C})$ 拼在一起, 可以构造与上述积分相关联的 Riemann 面, 它同胚于甜甜圈. 于是, 这个积分取决于路径在甜甜圈上绕了多少圈, 即路径在 $H_1(E,\mathbb{Z})$ 中所属的类.

令 $\alpha ,\beta$ 为 $H_1(E,\mathbb{Z})$ 的基, 称$${\omega }_1={\int }_{\alpha }dx/y,{\omega }_2={\int }_{\beta }dx/y$$为 $E$ 的周期. 令 $\Lambda =\mathbb{Z}{\omega }_1+\mathbb{Z}{\omega }_2$, 于是我们有映射 $F:E(\mathbb{C})\to \mathbb{C}/\Lambda$,$$P\mapsto {\int }_O^P\omega \mathrm{mod}\Lambda .$$在第三章我们证明了 $\omega$ 的平移不变性; 因此$${\int }_P^{P+Q}\omega ={\int }_O^Q{\tau }^{\ast }\omega ={\int }_O^Q\omega ,$$从而$${\int }_O^{P+Q}\omega ={\int }_O^P\omega +{\int }_O^Q\omega ,$$即 $F$ 是加法群的同态.

商空间 $\mathbb{C}/\Lambda$ 是紧 Riemann 面当且仅当 $\Lambda$ 是一个格, 即 ${\omega }_1,{\omega }_2$ 在 $\mathbb{R}$ 上线性无关. 但我们不是直接证明这个事实, 转而研究给定的格 $\Lambda$ 对应的空间 $\mathbb{C}/\Lambda$. 在第三节, 我们构造 $F:E(\mathbb{C})\to \mathbb{C}/\Lambda$ 的逆映射, 证明 $\mathbb{C}/\Lambda$ 解析同构于某个椭圆曲线 $E_{\Lambda }(\mathbb{C})$. 在第五节, 我们使用规整化说明每个椭圆曲线都同构于某个 $E_{\Lambda }(\mathbb{C})$. 以此我们得出椭圆曲线的两个周期在 $\mathbb{R}$ 上线性无关.

6.2椭圆函数

定义 6.2.1 (椭圆函数). 关于格 $\Lambda$ 的椭圆函数是 $\mathbb{C}$ 上的亚纯函数 $f(z)$, 满足对任意 $z\in \mathbb{C},\omega \in \Lambda$, $f(z+\omega )=f(z)$.

记 $\mathbb{C}(\Lambda )$ 为此类函数构成的域.

定义 6.2.2. 格 $\Lambda$ 的一个基本平行四边形是一个形如 $D=\{a+t_1{\omega }_1+t_2{\omega }_2:0\le t_1,t_2<1\}$ 的区域, 其中 $\{{\omega }_1,{\omega }_2\}$ 为 $\Lambda$ 的基.

命题 6.2.3. 全纯的椭圆函数为常数.

记 ${\mathrm{res}}_{w}f,{\mathrm{ord}}_{w}f$ 分别为 $f$ 在 $w$ 处的留数和阶数.

记 ${\sum }_{\omega \in \mathbb{C}/\Lambda }$ 为基本平行四边形 $D$ 上的求和.

定理 6.2.4. 设 $f$ 是关于 $\Lambda$ 的椭圆函数.

•	${\sum }_{\omega \in \mathbb{C}/\Lambda }{\mathrm{res}}_{w}f=0$.
•	${\sum }_{\omega \in \mathbb{C}/\Lambda }{\mathrm{ord}}_{w}f=0$.
•	${\sum }_{\omega \in \mathbb{C}/\Lambda }w{\mathrm{ord}}_{w}f\in \Lambda$.

证明. 注意到$${\mathrm{res}}_w\left(\frac{g(z)f^{\prime }(z)}{f(z)}\right)=g(w){\mathrm{ord}}_{w}f.$$

$\square$

定义 6.2.5. 一个椭圆函数的阶是指其在一个基本平行四边形中的极点数 (计重数).

推论 6.2.6. 非常值椭圆函数的阶至少为 $2$.

定义除子群 $\mathrm{Div}(\mathbb{C}/\Lambda )$ 是形式线性组合 $D={\sum }_{w\in \mathbb{C}/\Lambda }{n}_w(w)$ 构成的群, 其中 $n_w\in \mathbb{Z}$, 仅对有限个 $w$ 非零. 定义 $\mathrm{deg}D=\sum n_w$.

定义 ${\mathrm{Div}}^0(\mathbb{C}/\Lambda )=\{D\in \mathrm{Div}(\mathbb{C}/\Lambda ):\mathrm{deg}D=0\}$.

由定理 6.2.4, 有同态 $\mathrm{div}:\mathbb{C}(\Lambda {)}^{\ast }\to {\mathrm{Div}}^0(\mathbb{C}/\Lambda ),$$$\mathrm{div}(f)=\sum _{w\in \mathbb{C}/\Lambda }({\mathrm{ord}}_{w}f)(w),$$(每个 ${\mathrm{ord}}_w$ 是一个赋值) 以及求和映射 $\mathrm{sum}:{\mathrm{Div}}^0(\mathbb{C}/\Lambda )\to \mathbb{C}/\Lambda ,$$$\mathrm{sum}(\sum n_w(w))=\sum n_{w}w\mathrm{mod}\Lambda .$$

定理 6.2.7. 如下序列为正合列: $$1\to {\mathbb{C}}^{\ast }\to \mathbb{C}(\Lambda {)}^{\ast }\stackrel{\mathrm{div}}{⟶}{\mathrm{Div}}^0(\mathbb{C}/\Lambda )\stackrel{\mathrm{sum}}{⟶}\mathbb{C}/\Lambda \to 0.$$

证明. ${\mathrm{Div}}^0(\mathbb{C}/\Lambda )$ 处的正合性是后面的定理 6.3.4.

$\square$

6.3椭圆函数的构造

定义 6.3.1. 设 $\Lambda$ 为格, Weierstrass $\wp$ 函数定义为$$\wp (z;\Lambda )=\frac{1}{z^2}+\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{\omega \in \Lambda }{\omega \ne 0}}\left(\frac{1}{(z-\omega {)}^2}-\frac{1}{{\omega }^2}\right).$$权为 $2k$ 的 Eisenstein 级数为$$G_{2k}(\Lambda )=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{\omega \in \Lambda }{\omega \ne 0}}{\omega }^{-2k}.$$当格 $\Lambda$ 确定时, 我们以 $\wp (z),G_{2k}$ 记之.

定理 6.3.2. 设 $\Lambda$ 为格,

1.	Eisenstein 级数 $G_{2k}(\Lambda )$ 当 $k>1$ 时绝对收敛.
2.	Weierstrass $\wp$ 函数的级数在 $\mathbb{C}\setminus \Lambda$ 的每个紧集上绝对一致收敛. 这个级数定义了一个仅在格点上有 $2$ 阶极点的亚纯函数.
3.	$\wp$ 函数为偶椭圆函数.

定理 6.3.3. 设 $\Lambda$ 为格, 那么$$\mathbb{C}(\Lambda )=\mathbb{C}(\wp (z),{\wp }^{\prime }(z)),$$即任何椭圆函数都是 $\wp ,{\wp }^{\prime }$ 的有理函数.

证明. 设 $f\in \mathbb{C}(\Lambda )$, 只需证 $f$ 为偶函数的情形, 我们断言此时$$\mathrm{div}f=\sum _{w\in H}{n}_w((w)+(-w)),$$其中 $H$ 是基本平行四边形 $D$ 的一半. 这是因为, ${\mathrm{ord}}_{w}f={\mathrm{ord}}_{-w}f$, 且当 $w=-w\mathrm{mod}\Lambda$ 时, $f^{(i)}(w)=f^{(i)}(-w)=(-1{)}^i{f}^{(i)}(w)$, 从而 ${\mathrm{ord}}_{w}f$ 是偶数.

考虑$$g(z)=\prod _{w\in H\setminus \{0\}}(\wp (z)-\wp (w){)}^{n_w}.$$因为 $\mathrm{div}(\wp (z)-\wp (w))=(w)+(-w)-2(0)$, 所以 $f,g$ 有完全相同的零点和极点, 从而由结论 6.2.3, $f/g$ 是常数.

$\square$

定理 6.3.4. 设 $n_1,\cdots ,n_r\in \mathbb{Z}$, $z_1,\cdots ,z_r\in \mathbb{C}$ 满足$$\sum n_i=0,\sum n_i{z}_i\in \Lambda .$$那么存在椭圆函数 $f\in \mathbb{C}(\Lambda )$ 满足$$\mathrm{div}(f)=\sum n_i{z}_i.$$

定理 6.3.5. (a) $\wp (z)$ 在 $z=0$ 处的 Laurent 级数为$$\wp (z)=\frac{1}{z^2}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}{z}^{2k}.$$

(b) 对 $z\in \mathbb{Z}\setminus \Lambda$, Weierstrass $\wp$ 函数与其导数满足$${\wp }^{\prime }(z{)}^2=4\wp (z{)}^3-60G_4\wp (z)-140G_6.$$

记 $g_2=60G_4$, $g_3=140G_6$.

命题 6.3.6. (a) 多项式$$f(x)=4x^3-g_{2}x-g_3$$有相异的根, 其判别式$$\Delta (\Lambda )=g_2^3-27g_3^2$$非零.

(b) 令 $E/\mathbb{C}$ 为椭圆曲线$$E:y^2=4x^3-g_{2}x-g_3,$$则映射 $\varphi :\mathbb{C}/\Lambda \to E(\mathbb{C})\subset {\mathbb{P}}^2(\mathbb{C}),$ $$z\mapsto [\wp (z),{\wp }^{\prime }(z),1]$$为复 Lie 群的解析同构, 即同时为 Riemann 面的同构与群的同态.

证明. (a) 记 ${\omega }_3={\omega }_1+{\omega }_2$. 因为 $\wp$ 是以 ${\omega }_i$ 为周期的偶函数, 所以 ${\wp }^{\prime }({\omega }_i/2)=0(i=1,2,3)$. 由定理 6.3.5, $\wp ({\omega }_i/2)$ 是 $f$ 的零点.

因为 $\wp (z)-\wp ({\omega }_i/2)$ 为偶函数, 它在 $z={\omega }_i/2$ 有至少二重零点. 但它是一个 $2$ 阶椭圆函数, 所以除此之外没有零点. 这证明了三个值 $\wp ({\omega }_i/2)$ 互不相同.

(b) 首先, 由定理 6.3.5, $\varphi$ 的像确实落在 $E(\mathbb{C})$ 中. 为证明 $\varphi$ 为满射, 对 $(x,y)\in E(\mathbb{C})$, 因为 $\wp (z)-x$. 是非常值的椭圆函数, 它有一个零点 $a$. 故 $y={\wp }^{\prime }(\pm a)$, $(x,y)=\varphi (\pm a)$.

$\square$

6.4解析映射和代数映射

本节研究复环面之间的解析映射. 我们将看到, 这样的映射对应椭圆曲线的同源映射, 即有理函数.

设 ${\Lambda }_1,{\Lambda }_2$ 是 $\mathbb{C}$ 中的格, $\alpha \in \mathbb{C}$ 满足 $\alpha {\Lambda }_1\subset {\Lambda }_2$. 定义 ${\varphi }_{\alpha }:\mathbb{C}/{\Lambda }_1\to \mathbb{C}/{\Lambda }_2$, $z\mapsto \alpha z\mathrm{mod}{\Lambda }_2$.

定理 6.4.1.

•	用上述记号, $\alpha \mapsto {\varphi }_{\alpha }$ 给出了满足 $\alpha {\Lambda }_1\subset {\Lambda }_2$ 的复数 $\alpha$ 与全纯映射 $\varphi :\mathbb{C}/{\Lambda }_1\to \mathbb{C}/{\Lambda }_2$ 的一一对应.
•	设 $E_1,E_2$ 为椭圆曲线, 对应格 ${\Lambda }_1,{\Lambda }_2$. 则 $E_1$ 到 $E_2$ 的同源映射给出了全部的全纯映射 $\varphi :\mathbb{C}/{\Lambda }_1\to \mathbb{C}/{\Lambda }_2$.

证明.

•

假设 ${\varphi }_{\alpha }={\varphi }_{\beta }$, 即 $\alpha z=\beta z\mathrm{mod}{\Lambda }_2$, $\forall z\in \mathbb{C}$. 由 ${\Lambda }_2$ 的离散性, 知 $\alpha =\beta$. 因此 $\alpha \mapsto {\varphi }_{\alpha }$ 是单射. 设 $\varphi :\mathbb{C}/{\Lambda }_1\to \mathbb{C}/{\Lambda }_2$ 为全纯映射, $\varphi (0)=0$. 因为 $\mathbb{C}$ 单连通, 可将 $\varphi$ 提升为全纯映射 $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$, 使得 $f(0)=0$, 且下图交换: 那么 $f(z+\omega )=f(z)\mathrm{mod}{\Lambda }_2$, $\forall \omega \in {\Lambda }_1$ $\forall z\in \mathbb{C}$. 由 ${\Lambda }_2$ 的离散性, 知 $f(z+\omega )-f(z)$ 与 $z$ 无关, 故 $f^{\prime }(z+\omega )-f^{\prime }(z)=0$, $f^{\prime }$ 为常函数, $f(z)=\alpha z$. 于是有 $\varphi ={\varphi }_{\alpha }$.

•

对于满足 $\alpha {\Lambda }_1\subset {\Lambda }_2$ 的复数 $\alpha$, 映射 $E_1\to E_2$ 由下式给出: $$[\wp (z,{\Lambda }_1),{\wp }^{\prime }(z,{\Lambda }_1),1]\mapsto [\wp (\alpha z,{\Lambda }_2),{\wp }^{\prime }(\alpha z,{\Lambda }_2),1].$$因为 $\alpha {\Lambda }_1\subset {\Lambda }_2$, 所以 $\wp (\alpha z,{\Lambda }_2),{\wp }^{\prime }(\alpha z,{\Lambda }_2)$ 均属于 $\mathbb{C}({\Lambda }_1)$, 从而 (由定理 6.3.3) 是 $\wp (z,{\Lambda }_1),{\wp }^{\prime }(z,{\Lambda }_1)$ 的有理函数.

$\square$

推论 6.4.2. 设 $E_1/\mathbb{C}$, $E_2/\mathbb{C}$ 为椭圆曲线, 对应格 ${\Lambda }_1,{\Lambda }_2$. 那么 $E_1,E_2$ 同构当且仅当 ${\Lambda }_1,{\Lambda }_2$ 位似, 即 ${\Lambda }_1=\alpha {\Lambda }_2$.

注 6.4.3. 由此, $E_1(\mathbb{C})$ 到 $E_2(\mathbb{C})$ 的复解析映射一定是群同态. 类比第三章的一个结论: 椭圆曲线的同源映射是群同态.

6.5规整化

椭圆曲线可由椭圆函数参数化. 这个事实最自然的证明要用到模函数, 即定义域为 $\mathbb{C}$ 中全体格的函数, 例如 $g_2(\Lambda ),g_3(\Lambda )$.

定理 6.5.1. 设 $A,B\in \mathbb{C}$, $A^3-27B^2\ne 0$. 那么存在唯一的格 $\Lambda \subset \mathbb{C}$ 使得 $g_2(\Lambda )=A,g_3(\Lambda )=B$.

推论 6.5.2. 设 $E/\mathbb{C}$ 为椭圆曲线. 存在位似意义下唯一的格 $\Lambda$ 与复解析同构 $\varphi :\mathbb{C}/\Lambda \to E(\mathbb{C})$, $$\varphi (z)=[\wp (z,\Lambda ),{\wp }^{\prime }(z,\Lambda ),1].$$

现在处理 6.1 节末尾未完成的问题.

命题 6.5.3. 设 $E/\mathbb{C}$ 为椭圆曲线, 具有 Weierstrass 坐标 $x,y$. (a) 令 $\alpha ,\beta$ 为 $E(\mathbb{C})$ 中的闭曲线, 作为 $H_1(E,\mathbb{Z})$ 的基. 那么$${\omega }_1={\int }_{\alpha }dx/y,{\omega }_2={\int }_{\beta }dx/y$$在 $\mathbb{R}$ 上线性无关.

(b) 令 $\Lambda$ 为 ${\omega }_1,{\omega }_2$ 生成的格, 则映射 $F:E(\mathbb{C})\to \mathbb{C}/\Lambda$, $$F(P)={\int }_O^{P}dx/y\mathrm{mod}\Lambda$$为 Lie 群的复解析同构. 其逆映射正是推论 6.5.2 中定义的映射.

证明. (a) 由推论 6.5.2, 存在某个格 ${\Lambda }_1$ 与复解析同构 ${\varphi }_1:\mathbb{C}/{\Lambda }_1\to E(\mathbb{C})$, $z\mapsto [\wp (z,{\Lambda }_1),{\wp }^{\prime }(z,{\Lambda }_1),1]$.

将 $\alpha ,\beta$ 视为 $S^1$ 到 $E$ 的映射, 那么 ${\varphi }_1^{-1}\circ \alpha ,{\varphi }_1^{-1}\circ \beta$ 是 $H^1(\mathbb{C}/{\Lambda }_1;\mathbb{Z})$ 的基. 观察到两个事实:

•	$H_1(\mathbb{C}/{\Lambda }_1;\mathbb{Z})$ 作为加法群同构于 ${\Lambda }_1$, 圈 $\gamma$ 对应 ${\int }_{\gamma }dz$.
•	$E$ 上的微分形式 $dx/y$ 被 ${\varphi }_1$ 拉回得到$${\varphi }_1^{\ast }\left(\frac{dx}{y}\right)=\frac{d\wp (z)}{{\wp }^{\prime }(z)}=dz.$$

所以两个周期$${\omega }_1={\int }_{\alpha }dx/y={\int }_{{\varphi }_1^{-1}\circ \alpha }dz,{\omega }_2={\int }_{\alpha }dx/y={\int }_{{\varphi }_1^{-1}\circ \alpha }dz$$是 ${\Lambda }_1$ 的 $\mathbb{Z}$-基, 从而是 $\mathbb{R}$-线性无关的. 换言之, 推论 6.5.2 中的格是由 $E$ 的两个 $\mathbb{R}$-线性无关的周期生成的.

(b) 考虑复合映射$$F\circ \varphi :\mathbb{C}/\Lambda \to \mathbb{C}/\Lambda .$$由定理 6.4.1, 它形如 $z\mapsto az$. 而$$F^{\ast }(dz)=dx/y,{\varphi }^{\ast }(dx/y)=dz,$$故 $F\circ \varphi ={\mathrm{id}}_{\mathbb{C}/\Lambda }$.

命题 6.3.6 已经说明 $\varphi$ 为解析同构, 故 $F={\varphi }^{-1}$ 为解析同构.

$\square$

定理 6.5.4. 如下几个范畴等价:

•	$\mathbb{C}$ 上的椭圆曲线与同源映射构成的范畴;
•	$\mathbb{C}$ 上的椭圆曲线与保持 $O$ 点的复解析映射构成的范畴;
•	$\mathbb{C}$ 中的格 (位似的格视为等同) 构成的范畴, 其中 ${\Lambda }_1$ 到 ${\Lambda }_2$ 的态射为满足 $\alpha {\Lambda }_1\subset {\Lambda }_2$ 的复数 $\alpha$.

注 6.5.5. 上述范畴等价是 GAGA 的例子.

命题 6.5.6. 设 $E/\mathbb{C}$ 为椭圆曲线, $m\ge 1$ 为整数.

(a) $E[m]$ 作为抽象的群同构于 $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^2$.

(b) 乘以 $m$ 映射 $[m]:E\to E$ 具有度数 $m^2$.

定义 6.5.7. 数域 $\mathcal{K}$ 的一个阶是指一个子环 $\mathcal{R}$, 满足 $\mathcal{R}$ 作为 $\mathbb{Z}$ 模有限生成, 且 $\mathcal{R}\otimes \mathbb{Q}=\mathcal{K}$.

定理 6.5.8. 设 $E/\mathbb{C}$ 为椭圆曲线, ${\omega }_1,{\omega }_2$ 为相对应的格 $\Lambda$ 的基. 那么以下两者之一成立:

(i) $\mathrm{End}(E)=\mathbb{Z}$;

(ii) 域 $\mathbb{Q}({\omega }_1/{\omega }_2)$ 是虚二次扩域, 且 $\mathrm{End}(E)$ 同构于 $\mathbb{Q}({\omega }_1/{\omega }_2)$ 的一个阶.

证明. 不妨设 $\Lambda =\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau$. 令$$\mathcal{R}=\{\alpha \in \mathbb{C}:\alpha \Lambda \subset \Lambda \},$$则 $\mathcal{R}\simeq \mathrm{End}(E)$. 对任意 $\alpha \in \mathcal{R}$, 存在整数 $a,b,c,d$ 使得 $\alpha =a+b\tau$, $\alpha \tau =c+d\tau$, 可验证 (或由 Cayley-Hamilton 定理), $${\alpha }^2-(a+d)\alpha +(ad-bc)=0.$$故 $\mathcal{R}$ 是 $\mathbb{Z}$ 的整扩张. 假设 $\alpha \notin \mathbb{Z}$, 即 $b\ne 0$, 那么$$(a+b\tau {)}^2-(a+d)(a+b\tau )+(ad-bc)=0.$$化简得$$b{\tau }^2+(a-d)\tau -c=0.$$故 $\mathbb{Q}(\tau )$ 为虚二次扩域. 因为 $\mathcal{R}\subset \mathbb{Q}(\tau )$ 且 $\mathcal{R}$ 在 $\mathbb{Z}$ 上整, 所以 $\mathcal{R}$ 是 $\mathbb{Q}(\tau )$ 的一个阶.

$\square$

命题 6.5.9. 设 $E/\mathbb{C}$ 为椭圆曲线, 固定一个同构 $E(\mathbb{C})\simeq \mathbb{C}/\Lambda$.

6.6Lefschetz 原理

Lefschetz 原理大致是说特征 $0$ 代数闭域上的代数几何可当作 $\mathbb{C}$ 上的代数几何.