代数几何–解析几何对应

代数几何–解析几何对应 (法文简称 GAGA) 是联系复代数几何与复解析几何的一系列结论. 复代数几何研究的对象是复代数簇, 也就是仿射空间 ${\mathbb{C}}^n$ 中多项式的零点集拼成的空间. 而这些零点集也可以视为复解析空间, 也就是可能带有奇点的复流形. 因此, 每个复代数簇 $X$ 都有其对应的复解析空间 $X^{\mathrm{an}}$, 称为其解析化. 两者具有不同的拓扑: 前者使用 Zariski 拓扑, 而后者使用通常的拓扑, 例如复流形上的拓扑. 但由于 $X$ 与 $X^{\mathrm{an}}$ 本质上是同样的空间, 故它们应具有同样的性质, 这些性质分别通过代数几何、解析几何表述出来, 就能得到一些不平凡的结论.

这种不平凡性常常来自于复几何的某种 “刚性”. 例如, 某些复流形是代数的, 即它是某个代数簇的解析化. 然而, 复流形上的全纯函数并不对应于代数簇上的正则函数, 例如复流形 $\mathbb{C}$ 上就有很多 “不代数” 的全纯函数, 例如指数函数 $\exp :\mathbb{C}\to \mathbb{C}$. 但是, 如果加上某些紧合的假设, 就能使得这些反例不再存在. 例如, Liouville 定理说明, 紧复流形上的全纯函数都是常数函数, 从而都是正则函数. 又例如, 复流形 ${\mathbb{C}}^2$ 的子流形 $\{y=\exp (x)\}$ 不是代数的, 但对于代数的紧复流形而言, 例如对复射影空间 ${\mathbb{CP}}^n$, 则由周定理, 其闭子流形也都是代数的.

1主要结论

对应定理

代数几何–解析几何对应定理, 常简称 GAGA 定理, 是指下面的关于凝聚层的结论.

定理 1.1 (对应定理). 设 $X$ 是紧合复代数簇, $X^{\mathrm{an}}$ 为其解析化. 则有范畴等价$$\begin{array}{rl}\mathsf{Coh}(X)& \stackrel{\sim }{⟶}\mathsf{Coh}(X^{\mathrm{an}}),\\ \mathcal{F}& ⟼{\mathcal{F}}^{\mathrm{an}},\end{array}$$这里 $\mathsf{Coh}$ 表示凝聚层范畴, ${\mathcal{F}}^{\mathrm{an}}$ 表示 $\mathcal{F}$ 的解析化. 并且, 对任何 $\mathcal{F}\in \mathsf{Coh}(X)$ 和 $i\ge 0$, 有$$H^i(X,\mathcal{F})\simeq H^i(X^{\mathrm{an}},{\mathcal{F}}^{\mathrm{an}}).$$即相应的层上同调相同.

周定理

周定理说明, 复代数簇中的闭子解析空间都是代数的, 即都是闭子簇.

定理 1.2 (周定理). 设 $X$ 是紧合复代数簇, 记它的解析化为 $X^{\mathrm{an}}$. 则 $X$ 的闭子簇和 $X^{\mathrm{an}}$ 的闭子解析空间一一对应.

比较定理

定理 1.3 (平展–奇异比较). 设 $X$ 是复代数簇, 记 $X^{\mathrm{an}}$ 为它的解析化, $A$ 为环 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, ${\mathbb{Z}}_p$, ${\mathbb{Q}}_p$ 之一. 则有环同构$$H_{\text{平展}}^{\bullet }(X;A)\simeq H_{\text{奇异}}^{\bullet }(X^{\mathrm{an}};A),$$其中左边表示平展上同调, 右边表示奇异上同调.

2相关概念

•	Kodaira 嵌入定理
•	Riemann 存在定理
•	代数几何–形式几何对应
•	代数几何–刚性几何对应

术语翻译

代数几何–解析几何对应 • 英文 algebraic geometry and analytic geometry • 德文 algebraische Geometrie und analytische Geometrie • 法文 géométrie algébrique et géométrie analytique (GAGA) • 拉丁文 geometria algebraica et geometria analytica • 古希腊文 μεταριθμικὴ γεωμετρία καὶ ἀναλυτικὴ γεωμετρία • 日文 代数幾何学と解析幾何学 • 韩文 가가