B.1. 一般情形条件期望的定义

我们首先给出如下两个命题, 来铺垫一般情形下条件期望的定义.

命题 B.1.1. 设 $(X,Y)$ 为离散型或连续型随机向量, 且 $\mathbb{E}[X]$ 存在. ${\varphi }_X(Y)$ 为满足定义 4.4.4 的 $\mathbb{E}\left[X|Y\right]$ 的一个版本. 则对任意有界函数 $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, 均有$$\mathbb{E}\left[{\varphi }_X(Y)\cdot g(Y)\right]=\mathbb{E}\left[X\cdot g(Y)\right].$$(B.1.1)

证明. 这里只给出 $(X,Y)$ 为连续型随机向量时的证明; 离散情形的证明是类似的.

利用期望的 LOTUS, 可得$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}\left[{\varphi }_X(Y)\cdot g(Y)\right]& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\varphi }_X(y)g(y)\cdot f_Y(y)\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{y:f_Y(y)>0}\left({\int }_{-\infty }^{+\infty }x\cdot \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}\mathrm{d}x\right)g(y)\cdot f_Y(y)\mathrm{d}y\\ & ={\iint }_{{\mathbb{R}}^2}x\cdot g(y)\cdot f_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\mathbb{E}[X\cdot g(Y)],\end{array}$$其中最后一步将累次积分化为重积分, 且因为 $f_Y(y)=0$ 时也有 $f_{X,Y}(x,y)=0$, 故将积分区域扩大为全平面 ${\mathbb{R}}^2$ 对积分值没有影响.

$\square$

命题 B.1.2. 设 $X,Y$ 为两个随机变量, 且 $\mathbb{E}[X]$ 存在. ${\varphi }_{X,1},{\varphi }_{X,2}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 为两个函数, 使得对任意有界函数 $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, 均有$$\mathbb{E}\left[{\varphi }_{X,1}(Y)\cdot g(Y)\right]=\mathbb{E}\left[{\varphi }_{X,2}(Y)\cdot g(Y)\right]=\mathbb{E}[X\cdot g(Y)],$$则$$\mathbb{P}\left({\varphi }_{X,1}(Y)={\varphi }_{X,2}(Y)\right)=1.$$

证明. 令 $h(y)={\varphi }_{X,1}(y)-{\varphi }_{X,2}(y)$, 则由命题条件可得, 对任意有界函数 $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, 有$$\mathbb{E}[h(Y)\cdot g(Y)]=0.$$若 $h$ 本身也是有界函数, 则可以直接令 $g=h$ 得到 $\mathbb{E}[h(Y{)}^2]=0$, 再由定理 3.6.5 可得 $\mathbb{P}(h(Y)=0)=1$. 若 $h$ 不是有界函数, 则需要用期望的单调收敛定理 (超出本讲义范围, 读者可参阅 [2][12] 等文献) 来处理, 这里不做详细展开而只是给出大致思路: 首先令$$h_n(y)=\{\begin{array}{ll}|h(y)|,& \text{若}|h(y)|\le n,\\ 0,& \text{若}|h(y)|>n.\end{array}$$则将 $g(y)=\mathrm{sgn}(h(y))\cdot h_n(y)$ 代入 $\mathbb{E}[h(Y)\cdot g(Y)]=0$ 即可得到 ¹$$\mathbb{E}\left[|h(Y)|\cdot h_n(Y)\right]=\mathbb{E}\left[h_n(Y{)}^2\right]=0.$$再由期望的单调收敛定理, 得 $\mathbb{E}\left[|h(Y){|}^2\right]=\underset{n\to \infty }{\lim }\mathbb{E}\left[h_n(Y{)}^2\right]=0$, 故 $\mathbb{P}(h(Y)=0)=1$.

$\square$

命题 B.1.1 与 B.1.2 指出, 式 (B.1.1) 实际上可以看成是条件期望的定义性性质: 定义 4.4.4 给出的条件期望满足式 (B.1.1), 而满足式 (B.1.1) 的随机变量 ${\varphi }_X(Y)$ 又在几乎必然相等的意义下是唯一的 ². 此外, 无论 $(X,Y)$ 服从怎样的联合分布, 只要 $\mathbb{E}[X]$ 存在且 $g$ 有界, 则式 (B.1.1) 总是有意义的. 因此我们可以基于式 (B.1.1) 来定义一般情形的条件期望.

定义 B.1.3. 设 $X,Y$ 为两个随机变量, 且 $\mathbb{E}[X]$ 存在, ${\varphi }_X:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 为一函数. 若对任意有界函数 $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, 均有$$\mathbb{E}\left[{\varphi }_X(Y)\cdot g(Y)\right]=\mathbb{E}\left[X\cdot g(Y)\right],$$则称 ${\varphi }_X(Y)$ 为给定 $Y$ 的条件下 $X$ 的条件期望的一个版本 (version), 记作 $\mathbb{E}\left[X|Y\right]={\varphi }_X(Y)$, 并对任意 $y\in \mathbb{R}$, 记 $\mathbb{E}\left[X|Y=y\right]={\varphi }_X(y)$.

定义 B.1.3 中并未对条件期望进行具体构造．在高等概率论中, 条件期望的构造一般是通过实分析理论中的 Radon–Nikodym 定理, 或是在函数空间上对 $L^2$ 范数进行最小化得到的, 本讲义不对其进行展开, 感兴趣的读者可参考 [2] 第 9 章的内容, 或 [12] 第 32 与 34 节的内容．最终可以证明, 对任意随机变量 $X,Y$, 只要 $\mathbb{E}[X]$ 存在, 那么条件期望 $\mathbb{E}\left[X|Y\right]$ 必定存在.

至此, 我们给出对条件期望 $\mathbb{E}\left[X|Y\right]$ 的一般性定义．这里再补充说明几点:

1.	由于条件期望通常有多个版本, 但在几乎必然相等的意义下又是唯一的, 故经常会用形如$$f(\mathbb{E}\left[X|Y\right],\mathbb{E}\left[Z|W\right])=0a.s.$$的写法, 来表示任取 $\mathbb{E}\left[X|Y\right]$ 的一个版本 ${\varphi }_X(Y)$ 与 $\mathbb{E}\left[Z|W\right]$ 的一个版本 ${\varphi }_Z(W)$ 后, 等式 $f({\varphi }_X(Y),{\varphi }_Z(W))=0$ 几乎必然成立, 其中 $a.s.$ 是 almost surely 的缩写. 而当条件期望外面又套了一层期望 $\mathbb{E}[\cdot ]$ 之后, 许多情况下该期望的值就不依赖于条件期望版本的选择了, 此时就直接写作$$\mathbb{E}\left[f(\mathbb{E}\left[X|Y\right],\mathbb{E}\left[Z|W\right])\right]=0$$等等.
2.	给定随机变量 $Y$ 的条件下, 事件 $E$ 的条件概率可通过$$\mathbb{P}\left(E|Y\right)=\mathbb{E}\left[1_E|Y\right]$$来定义, 也就是说, 我们把条件概率作为条件期望的一种特殊情形处理. 注意到最原始的条件概率的定义 1.6.1 与上式定义的条件概率有如下联系: $$\mathbb{P}\left(E|1_F\right)(\omega )=\{\begin{array}{ll}\mathbb{P}\left(E|F\right),& \text{若}\omega \in F,\\ \mathbb{P}\left(E|F^c\right),& \text{若}\omega \in F^c,\end{array}$$其中假定 $0<\mathbb{P}(F)<1$．也就是说, 随机变量 $\mathbb{P}\left(E|1_F\right)$ 在 $F$ 发生时等于 $\mathbb{P}\left(E|F\right)$, 而在 $F$ 不发生时等于 $\mathbb{P}\left(E|F^c\right)$．
3.	利用勒贝格积分的微分理论 (不要求读者了解, 可参见 [34] 第 7 章) 可证明, 若令 $\phi$ 为$${\phi }_X(y)=\{\begin{array}{ll}\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }\mathbb{E}\left[X||Y-y|\le ϵ\right],& \text{若该极限存在},\\ 0,& \text{其它情况},\end{array}$$则有 $\mathbb{E}\left[X|Y\right]={\phi }_X(Y)$, 即 $\mathbb{E}\left[X|Y=y\right]={\phi }_X(y)$. 这意味着我们可以将 $\mathbb{E}\left[X|Y=y\right]$ 不严格地理解为 $ϵ>0$ 非常小时, $X$ 在 $\{|Y-y|\le ϵ\}$ 条件下的条件期望.

脚注

1.	^ $\mathrm{sgn}$ 为符号函数, 满足 $x\ne 0$ 时 $\mathrm{sgn}(x)=x/|x|$, 而 $x=0$ 时 $\mathrm{sgn}(x)=0$.
2.	^ 讲义正文中给出的条件期望的定义 (定义 4.4.4) 也只能保证条件期望在几乎必然相等意义下的唯一性, 而不能保证绝对的唯一性.