B.2. 条件期望的性质

本节将对定理 4.4.8 列出的部分条件期望的性质给出一般性的证明.

定理 B.2.1. 设 $X,Y,Z$ 为随机变量, 且 $\mathbb{E}[X],\mathbb{E}[Y]$ 存在, 则如下命题成立:

1.	线性: 对任意实数 $\alpha ,\beta$, 有$$\mathbb{E}\left[\alpha X+\beta Y|Z\right]=\alpha \mathbb{E}\left[X|Z\right]+\beta \mathbb{E}\left[Y|Z\right]a.s.$$
2.	若 $X\ge 0$ 几乎必然成立, 则 $\mathbb{E}\left[X|Z\right]\ge 0$ 几乎必然成立.
3.	全期望公式: $$\mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[X|Z\right]\right]=\mathbb{E}[X].$$
4.	若函数 $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 使得 $\mathbb{E}[h(Z)X]$ 存在, 则$$\mathbb{E}\left[h(Z)X|Z\right]=h(Z)\mathbb{E}\left[X|Z\right]a.s.$$
5.	若 $X$ 与 $Z$ 相互独立, 则$$\mathbb{E}\left[X|Z\right]=\mathbb{E}[X]a.s..$$

证明.

1.	为证明条件期望的线性, 只需证明 $\alpha \mathbb{E}\left[X|Z\right]+\beta \mathbb{E}\left[Y|Z\right]$ (式中条件期望的版本任取) 能够给出 $\mathbb{E}\left[\alpha X+\beta Y|Z\right]$ 的一个版本即可. 显然 $\alpha \mathbb{E}\left[X|Z\right]+\beta \mathbb{E}\left[Y|Z\right]$ 依然是随机变量 $Z$ 的一个函数. 现任取有界函数 $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, 则$$\begin{array}{rl}& \mathbb{E}\left[(\alpha \mathbb{E}\left[X|Z\right]+\beta \mathbb{E}\left[Y|Z\right])\cdot g(Z)\right]\\ =& \alpha \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[X|Z\right]\cdot g(Z)\right]+\beta \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[Y|Z\right]\cdot g(Z)\right]\\ =& \alpha \mathbb{E}\left[X\cdot g(Z)\right]+\beta \mathbb{E}\left[Y\cdot g(Z)\right]\\ =& \mathbb{E}\left[(\alpha X+\beta Y)\cdot g(Z)\right],\end{array}$$其中第二步用到了 (非条件) 期望的线性, 第三步则来自于 $\mathbb{E}\left[X|Z\right]$ 与 $\mathbb{E}\left[Y|Z\right]$ 作为条件期望的定义, 第四步又再次利用了 (非条件) 期望的线性．由有界函数 $g$ 的任意性, 可得 $\alpha \mathbb{E}\left[X|Z\right]+\beta \mathbb{E}\left[Y|Z\right]$ 给出了 $\mathbb{E}\left[\alpha X+\beta Y|Z\right]$ 的一个版本.
2.	采用反证法, 若 $\mathbb{P}(\mathbb{E}\left[X|Z\right]<0)>0$, 则由概率的单调性, 可知存在 $ϵ>0$ 使得 $\mathbb{P}(\mathbb{E}\left[X|Z\right]<-ϵ)>0$. 再令 $g(Z)=1_{\{\mathbb{E}\left[X|Z\right]<-ϵ\}}$, 则$$\mathbb{E}[\mathbb{E}\left[X|Z\right]\cdot g(Z)]\le \mathbb{E}\left[(-ϵ)\cdot 1_{\{\mathbb{E}\left[X|Z\right]<-ϵ\}}\right]=-ϵ\mathbb{P}(\mathbb{E}\left[X|Z\right]<-ϵ)<0,$$但由于 $X\cdot g(Z)\ge 0a.s.$, 故$$\mathbb{E}[X\cdot g(Z)]\ge 0,$$与 $\mathbb{E}[X\cdot g(Z)]=\mathbb{E}[\mathbb{E}\left[X|Z\right]\cdot g(Z)]$ 相矛盾.
3.	直接令 $g$ 为取值为 $1$ 的常函数并代入式 (B.1.1) 中即可．
4.	先假设 $h$ 本身为有界函数. 任取有界函数 $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, 则有$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}\left[\left(h(Z)\mathbb{E}\left[X|Z\right]\right)\cdot g(Z)\right]& =\mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[X|Z\right]\cdot (h(Z)g(Z))\right]\\ & =\mathbb{E}\left[X\cdot (h(Z)g(Z))\right]\\ & =\mathbb{E}\left[(h(Z)X)\cdot g(Z)\right]\end{array}$$其中第二步利用了 $\mathbb{E}\left[X|Z\right]$ 的定义并注意到 $h\cdot g$ 为有界函数. 再由有界函数 $g$ 的任意性, 可得 $h(Z)\cdot \mathbb{E}\left[X|Z\right]$ 为 $\mathbb{E}\left[h(Z)X|Z\right]$ 的一个版本． 对于一般情形的函数 $h$, 需要取用一列有界函数 $h_1,h_2,\dots$ 对 $h$ 进行逼近, 则有$$\mathbb{E}[h_n(Z)\mathbb{E}\left[X|Z\right]\cdot g(Z)]=\mathbb{E}\left[(h_n(Z)X)\cdot g(Z)\right],$$再用期望的控制收敛定理 (超出本讲义范围, 读者可参阅 [2][12] 等文献) 取 $n\to \infty$ 的极限即可. 具体的步骤这里略去.
5.	显然 $\mathbb{E}[X]$ 可以看成 $Z$ 的一个常函数. 而对任意有界函数 $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, 有$$\mathbb{E}\left[X\cdot g(Z)\right]=\mathbb{E}[X]\cdot \mathbb{E}\left[g(Z)\right]=\mathbb{E}\left[\mathbb{E}[X]\cdot g(Z)\right],$$其中我们用到了 $X$ 与 $g(Z)$ 的独立性. 故 $\mathbb{E}[X]$ 给出了 $\mathbb{E}\left[X|Z\right]$ 的一个版本. $\square$