B. (⋆) 一般情形的条件期望

本章将对条件期望的一般理论进行简要的介绍. 为了数学上的严格性, 我们先简要介绍一下 Borel 集与 Borel 可测函数的概念.

定义 B.1. 我们将 ${\mathbb{R}}^n$ 上包含了所有方块的最小事件域称作 ${\mathbb{R}}^n$ 的 Borel 代数 (Borel algebra), 并将其记作 $\mathcal{B}({\mathbb{R}}^n).$ 这里的 “方块” 是指任何能表示成 $n$ 个一维区间的笛卡尔积的集合. 换句话说, 若 ${\mathbb{R}}^n$ 上的一个事件域 $\mathcal{F}\subseteq 2^{{\mathbb{R}}^n}$ 包含了所有方块, 则必定有 $\mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\subseteq \mathcal{F}$.

Borel 代数 $\mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)$ 中的元素被称为 Borel 集.

可以证明, 所有 ${\mathbb{R}}^n$ 的开子集、闭子集, 以及可数多个开子集或闭子集经过若干步并集、交集、差集运算所得到的集合都属于 $\mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)$; 也就是说, 绝大多数常见的 ${\mathbb{R}}^n$ 的子集都是 Borel 集. 然而, 基于集合论的选择公理, 可以证明存在 ${\mathbb{R}}^n$ 的子集不是 Borel 集, 直观上我们会认为这样的集合是病态的.

定义 B.2. 我们称函数 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 是 Borel 可测的 (Borel measurable), 若对任意区间 $I\subseteq \mathbb{R}$, 它在 $f$ 下的原像 $f^{-1}(I)=\{x\mid f(x)\in I\}$ 都是 ${\mathbb{R}}^n$ 的 Borel 集.

由于非 Borel 集的存在, 可证明不 Borel 可测的函数也是存在的. 不过以下定理说明, 常见的函数都是 Borel 可测函数; 我们在这里不给出其证明, 感兴趣的读者可参考 [12] 第 13 节的内容.

定理 B.3.

1.	定义在 ${\mathbb{R}}^n$ 上的连续函数可测.
2.	设 $f,g:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 为可测函数, 则 $f+g,f-g,f\cdot g,\max \{f,g\},\min \{f,g\}$ 可测. 若进一步有 $g(x)\ne 0,\forall x$, 则 $f/g$ 可测.
3.	Borel 可测函数的经过复合后是 Borel 可测的. 例如, 若 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 与 $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是可测的, 则 $g\circ f$ 可测; 又如, 若 $f:{\mathbb{R}}^m\to \mathbb{R},g:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 与 $h:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ 可测, 则函数 $(x,y)\mapsto h(f(x),g(y))$ 可测.
4.	设 $f_1,f_2,\dots$ 为一列可测函数, 令$$f_{\infty }(x)=\{\begin{array}{ll}\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x),& \text{若极限存在},\\ 0,& \text{若极限不存在},\end{array}\forall x,$$则 $f_{\infty }$ 可测.

此外也可以证明, 若 $g:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 为 Borel 可测函数, 那么对任意 $n$ 个随机变量 $X_1,\dots ,X_n$, 其函数 $g(X_1,\dots ,X_n)$ 也必定是随机变量.

在条件期望的一般理论中, 一些技术细节会对函数的 Borel 可测性有要求. 本讲义不会对这些技术细节进行展开, 但为了严格起见, 本章其余内容中, 一旦谈到函数 (包括一元与多元函数) 则都是指 Borel 可测函数.

目录

	B.1 一般情形条件期望的定义
	B.2 条件期望的性质
	B.3 条件期望的计算