B.3. 条件期望的计算

本节中, 我们给出 $(X, Y)$ 为离散型或连续型随机向量时, 条件期望 $E [h (X, Y) ∣ Y]$ 的计算方法, 也就是条件期望的 law of the unconscious statistician (LOTUS).

定理 B.3.1. 设 $X, Y$ 为两个随机变量, 二元函数 $h : R^{2} \to R$ 使得 $E [h (X, Y)]$ 存在, 且对任意 $y \in R$ , $E [h (X, y)]$ 均存在.

1.	若 $(X, Y)$ 为离散型随机向量, 令 $ϕ_{X} (y) = ⎩ ⎨ ⎧ x \sum h (x, y) \cdot \frac{p _{X, Y} ( x , y )}{p _{Y} ( y )}, E [h (X, y)], 若 p_{Y} (y) > 0, 若 p_{Y} (y) = 0.$ (B.3.1)则 $E [X ∣ Y] = ϕ_{X} (Y)$ .
2.	若 $(X, Y)$ 为连续型随机向量, 令 $ϕ_{X} (y) = ⎩ ⎨ ⎧ \int_{- \infty}^{+ \infty} h (x, y) \cdot \frac{f _{X, Y} ( x , y )}{f _{Y} ( y )} d x, E [h (X, y)], 若 f_{Y} (y) > 0, 若 f_{Y} (y) = 0.$ (B.3.2)则 $E [X ∣ Y] = ϕ_{X} (Y)$ .

证明. 证明的基本思路就是验证式 (B.3.1) 或 (B.3.2) 给出的 $ϕ_{X} (Y)$ 是否满足条件期望的定义式 (B.1.1).

1.

当 $(X, Y)$ 为离散型随机向量时, 任取有界函数 $g : R \to R$ , 则有 $E [ϕ_{X} (Y) \cdot g (Y)] = = = = y \sum ϕ_{X} (y) g (y) p_{Y} (y) y \sum (x \sum h (x, y) \cdot \frac{p _{X, Y} ( x , y )}{p _{Y} ( y )}) g (y) p_{Y} (y) (x, y) \sum h (x, y) g (y) p_{X, Y} (x, y) E [h (X, Y) \cdot g (Y)],$ 其中第一步与最后一步来自于期望的 LOTUS, 第三步是因为 $p_{Y} (y) = 0$ 时必定有 $p_{X, Y} (x, y) = 0$ . 故式 (B.1.1) 对任意有界函数 $g$ 均成立.

2.

当

(X, Y)

为连续型随机向量时, 记集合

U = {y \in R ∣ f_{Y} (y) = 0}

, 任取有界函数

g : R \to R

, 则有

E [ϕ_{X} (Y) \cdot g (Y)] = \int_{- \infty}^{+ \infty} ϕ_{X} (y) g (y) f_{Y} (y) d y = \int_{R \ U} (\int_{- \infty}^{+ \infty} h (x, y) \cdot \frac{f _{X, Y} ( x , y )}{f _{Y} ( y )} d x) g (y) f_{Y} (y) d y = \iint_{R^{2}} h (x, y) g (y) f_{X, Y} (x, y) d x d y = E [h (X, Y) \cdot g (Y)],

其中第一步与最后一步来自于期望的 LOTUS, 第三步将累次积分化为了重积分并利用了

f_{X, Y} (x, y) = 0, \forall (x, y) \in R \times U

. 故式 (B.1.1) 对任意有界函数

g

均成立.

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