8.4. 习题选编

习题 8.4.1. 考虑对正态总体 $\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$ 的期望 $\mu$ 进行区间估计, 其中 ${\sigma }^2$ 已知, 样本容量为 $n$, 并取置信水平为 $1-\alpha$. 证明对于如下形式的置信区间$$\left[\overline{X}-z_{\lambda \alpha }\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{(1-\lambda )\alpha }\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right],$$取 $\lambda =1/2$ 将使置信区间宽度达到最小.

习题 8.4.2. 某个评测机构需要对两种型号的汽车在行驶速度为 $90\text{km/h}$ 时的油耗进行比较. 该机构对 $12$ 台 A 型号汽车与 $10$ 台 B 型号汽车的每升油行驶里程进行了测试, 测得 $12$ 台 A 型号汽车每升油行驶里程的样本均值为 $16\text{km}$, 样本标准差为 $1.0\text{km}$; $10$ 台 B 型号汽车每升油行驶里程的样本均值为 $11\text{km}$, 样本标准差为 $0.8\text{km}$. 假设这两种汽车的每升油行驶里程都服从正态分布, 且方差相等. 试求这两种汽车每升油平均行驶里程之差的置信区间, 取置信水平为 $90\%$.

注: 本题选自 [19] 第 9 章习题 9.42.

习题 8.4.3 (配对样本下的区间估计). 下表给出了某区随机选取的 9 名高三学生生物科目的一模考试与二模考试的分数:

学生编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
一模分数	83	68	80	86	89	74	82	76	83
二模分数	90	70	76	83	95	78	81	85	88

设该区高三学生生物科目二模平均分为 ${\mu }_2$, 一模平均分为 ${\mu }_1$. 此外, 任选一名该区的高三学生, 其生物科目的二模分数与一模分数的差服从正态分布. 试求 ${\mu }_2-{\mu }_1$ 的一个置信水平为 $95\%$ 的置信区间.

提示: 在这个问题中, 我们不能将一模分数与二模分数看成来自两个不同总体的相互独立的样本, 这是因为一名学生的一模分数与二模分数之间通常存在相关性.

习题 8.4.4. 设总体 $X$ 服从正态分布 $\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$, 其中期望 $\mu$ 为未知参数, 样本容量记为 $n$.

1.	若 ${\sigma }^2$ 已知, 则 $n$ 应当满足什么条件, 能保证 $\mu$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间的宽度小于等于 $\sigma /4$?
2.	现设 ${\sigma }^2$ 未知. 1. 试求 $\mu$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间的宽度的期望. 2. $n$ 应当满足什么条件, 能保证 $\mu$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间的宽度能以 $0.9$ 的概率小于等于 $\sigma /4$?

注: 本题改编自 [14] 第 9 章习题 9.34 与 9.35.

习题 8.4.5. 设总体 $X$ 服从期望为 $\theta$ 的指数分布, 其中 $\theta >0$ 未知. 试用枢轴量法求出 $\theta$ 的一个置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间.

提示: 利用习题 6.4.4 的结论.

习题 8.4.6. 设总体服从区间 $[0,\theta ]$ 上的均匀分布, 其中 $\theta >0$ 为未知参数, $X_1,\dots ,X_n$ 为该总体的一组样本. 任取 $0<\alpha <1$, 试求 $\theta$ 的一个置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间.

提示: 试求 ${\theta }^{-1}\max \{X_1,\dots ,X_n\}$ 的概率密度函数. 它是否可以作为一个枢轴量?

注: 本题取自 [20] 第 8.9 节习题 22.