12. 局部化定理

在这一节中, 我们从几何与代数两种观点出发, 证明等变微分形式的局部化公式. 这个公式能够把等变微分形式的积分写成不动点集上的积分. 特别地, 如果不动点集是离散的, 那么这个积分就化为一个求和.

Berline–Vergne 局部化公式

设紧 Lie 群 $G$ 作用在紧流形 $M$ 上, $n=\dim M$. 我们想要证明, 一个等变形式的积分只与它在不动点附近的取值有关. 证明的思路是利用 Stokes 公式, 将整个流形上的积分化为不动点附近的积分.

这个想法可以通过下面的命题得到验证.

命题 12.1. 设 $\alpha :\mathfrak{g}\to {\Omega }^{\bullet }(M)$ 是光滑映射, 不要求等变. 假设 $d_{\mathfrak{g}}\alpha =0$. 则对任意 $X\in \mathfrak{g}$, 形式$$\alpha (X{)}_n\in {\Omega }^n(M)$$是 $M\setminus M_0(X)$ 上的恰当 (exact) 形式, 其中 $M_0(X)$ 是向量场 $M$ 的零点集.

证明. 在 $M$ 上取一个 $G$-不变的度量. 设 $\theta$ 是 $X$ 对应的 $1$-形式, 即对任意向量场 $Y$, 有$$\theta (Y)=⟨X,Y⟩.$$虽然 $\theta$ 不是等变形式, 我们也还是记 $d_{\mathfrak{g}}\theta =(d-{\iota }_X)\theta$. 因为 $X$ 的流保持 $M$ 的度量, 所以$$d_{\mathfrak{g}}^2\theta =-{\mathcal{L}}_X\theta =0.$$另外, $d_{\mathfrak{g}}^2\theta$ 在 $M\setminus M_0(X)$ 上是可逆的偶数阶形式: $$\frac{1}{d_{\mathfrak{g}}\theta }=-\frac{1}{{\iota }_X\theta }(1+\frac{d\theta }{{\iota }_X\theta }+(\frac{d\theta }{{\iota }_X\theta }{)}^2+\cdots ),$$其中, ${\iota }_X\theta =|X{|}^2$ 在 $M_0(X)$ 以外都非零. 因此, $$0=d_{\mathfrak{g}}(d_{\mathfrak{g}}\theta \wedge \frac{1}{d_{\mathfrak{g}}\theta })=d_{\mathfrak{g}}\theta \wedge d_{\mathfrak{g}}\frac{1}{d_{\mathfrak{g}}\theta }.$$由于 $d_{\mathfrak{g}}\theta$ 可逆, 知$$d_{\mathfrak{g}}\frac{1}{d_{\mathfrak{g}}\theta }=0.$$因此, 对命题叙述中的 $\alpha$, 我们有$$\alpha (X)=d_{\mathfrak{g}}\frac{\theta \wedge \alpha (X)}{d_{\mathfrak{g}}\theta },$$从而$$\alpha (X{)}_n=d[\left(\frac{\theta \wedge \alpha (X)}{d_{\mathfrak{g}}\theta }{)}_{n-1}\right].$$$\square$

下面, 我们假设 $M_0(X)$ 是离散的集合. 对每个 $p\in M_0(X)$, 子群$$H=\{{\mathrm{e}}^{tX}\mid t\in \mathbb{R}\}\subset G$$作用在切空间 $T_{p}M$ 上. 从而, 这个群的无穷小生成元 $X$ 也作用在切空间上, 我们将这个作用记为$$L_p:T_{p}M\to T_{p}M.$$事实上, $L_p$ 就是 Lie 导数, 即向量场的 Lie 括号 $L_p(-)=[X,-{]}_p$.

引理 12.2. $L_p$ 是可逆线性映射.

证明. 若不然, 则存在 $0\ne v\in T_{p}M$, 使得 $L_{p}v=0$. 这意味着 $X$ 的流将 $v$ 固定不动, 从而对任意 $t\in \mathbb{R}$, ${\exp }_p(tv)$ 都是 $H$ 作用的不动点, 其中 $H\subset G$ 是上面定义的子群 (注意 $M$ 上的度量是 $G$-不变的).

$\square$

而 $G$ 通过等距同构作用在 $M$ 上, 从而 $L_p\in \mathfrak{s}\mathfrak{o}(T_{p}M)$. 因此, 引理说明 $M$ 一定是偶数维. 此时, 我们可以得到 Pfaff 值$$\mathrm{pf}(L_p)=\pm {\det }^{1/2}(L_p),$$其中正负号取决于 $M$ 的定向.

定理 12.3 (Berline–Vergne 公式). 设 $\alpha :\mathfrak{g}\to {\Omega }^{\bullet }(M)$ 是光滑映射, 不要求等变. 假设 $d_{\mathfrak{g}}\alpha =0$. 固定一个元素 $X\in \mathfrak{g}$. 如果 $M_0(X)$ 是离散的集合, 那么$${\int }_M\alpha (X)=(-2\pi {)}^{n/2}\sum _{p\in M_0(X)}\frac{\alpha (X{)}_0(p)}{\mathrm{pf}(L_p)},$$其中 $n=\dim M$, 下标 $0$ 表示取 $0$-形式的部分.

证明. 取 $T_{p}M$ 的一组与定向相符的标准正交基, 使得 $L_p$ 表示为分块对角阵$$\mathrm{diag}\left(\right(\begin{array}{cc}0& a_1\\ -a_1& 0\end{array}),\dots ,(\begin{array}{cc}0& a_{n/2}\\ -a_{n/2}& 0\end{array}\left)\right).$$在 $p$ 附近建立法坐标系, 则 $X$ 的表达式是$$X=a_1(x^2{\partial }_1-x^1{\partial }_2)+\cdots +a_{n/2}(x^n{\partial }_{n-1}-x^{n-1}{\partial }_n).$$事实上, $X$ 是一个 Killing 向量场 (也就是说, 它的流保持 $M$ 的度量), 它在整个流形上的值能由一个点处的信息确定.

和 (12.1) 的证明中一样, 我们令$$\theta =\frac{1}{a_1}(x^{2}d{x}^1-x^{1}d{x}^2)+\cdots +\frac{1}{a_{n/2}}(x^{n}d{x}^{n-1}-x^{n-1}d{x}^n).$$则 ${\mathcal{L}}_X\theta =0$, 且 ${\iota }_X\theta ={\sum }_i(x^i{)}^2$.

我们在每个 $p\in M_0(X)$ 附近构造这样的 $\theta$, 然后通过单位分解, 得到整个 $M$ 上的 $1$-形式 $\theta$, 满足

•	${\mathcal{L}}_X\theta =0$, 并且在 $M_0(X)$ 以外, 有 ${\iota }_X\theta \ne 0$.
•	在每个 $p\in M_0(X)$ 附近, $\theta$ 与上面构造的 $\theta$ 相同.

借助 (12.1) 中的计算, 我们有$$\begin{array}{rl}{\int }_M\alpha (X)& =\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\int }_{M\setminus {\bigcup }_p{B}_{\epsilon }(p)}\alpha (X)\\ & =\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\int }_{M\setminus {\bigcup }_p{B}_{\epsilon }(p)}d\frac{\theta \wedge \alpha (X)}{(d-{\iota }_X)\theta }\\ & =-\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\sum _{p\in M_0(X)}{\int }_{\partial B_{\epsilon }(p)}\frac{\theta \wedge \alpha (X)}{(d-{\iota }_X)\theta }.\end{array}$$此时, 式中的每个形式都有具体的坐标表达式. 通过初等的计算, $\partial B_{\epsilon }(p)$ 上的积分等于$$(-2\pi {)}^{n/2}\cdot \frac{\alpha (X{)}_0(p)}{a_1\cdots a_{n/2}}=(-2\pi {)}^{n/2}\cdot \frac{\alpha (X{)}_0(p)}{\mathrm{pf}(L_p)}.$$$\square$

几个应用

下面, 我们介绍这个结论的两个应用. 第一个应用是计算示性数的 Bott 公式. 我们回忆, 若$$\Phi \in \mathbb{C}[\mathfrak{s}\mathfrak{o}(n){]}^{\mathrm{S}\mathrm{O}(n)}\simeq \mathbb{C}[p_1,\dots ,p_{n/2-1},e]$$是不变多项式 (参见 3.12), 则 $\Phi$ 所对应的 $M$ 的示性数是$$\Phi (M)=(\frac{-1}{2\pi }{)}^{n/2}{\int }_M\Phi (\Omega ).$$

定理 12.4 (Bott 公式). 如果 $S^1$ 作用在 $M$ 上, 其不动点集是离散的, 那么$$\Phi (M)=\sum _{p:\text{不动点}}\frac{\Phi (L_p)}{\mathrm{pf}(L_p)}.$$

这里我们说的 $L_p$ 是相对于 $S^1$ 的 Lie 代数的一个生成元 $X$ 而言的, 但事实上, 不难看出这个表达式的值不依赖于生成元的选取.

证明. 选取 $M$ 上的 $S^1$-不变度量, 我们有等变曲率形式$${\Omega }_{\mathfrak{g}}(X)=\Omega +\mu (X),$$其中 $\mu$ 是动量映射 (11.16). 由陈–Weil 理论, $d_{\mathfrak{g}}\Phi ({\Omega }_{\mathfrak{g}})=0$. 利用局部化公式, 我们得到$$\begin{array}{rl}\Phi (M)& =(\frac{-1}{2\pi }{)}^{n/2}{\int }_M\Phi (\Omega +\mu (X))\\ & =\sum _{p:\text{不动点}}\frac{\Phi (\mu (X))}{\mathrm{pf}(L_p)}.\end{array}$$而由 (11.16), $\mu (X)={\mathcal{L}}_X-{\nabla }_X$, 后一项在不动点处消失, 而前一项就给出了我们需要的 $L_p$.

$\square$

我们要介绍的第二个应用是 Duistermaat–Heckman 公式, 它描述了辛流形的 Liouville 测度沿动量映射的前推.

定理 12.5 (Duistermaat–Heckman 公式). 设 $(M,\omega )$ 是紧辛流形, $(G\curvearrowright M,\mu )$ 是 Hamilton 作用. 取一个元素 $X\in \mathfrak{g}$, 假定 $M_0(X)$ 是离散的集合. 则$${\int }_M{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mu (X)}\frac{{\omega }^{n/2}}{(n/2)!}=(2\pi \mathrm{i}{)}^{n/2}\sum _{p\in M_0(X)}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mu (X)(p)}}{\mathrm{pf}(L_p)}.$$

事实上, 这个公式就是使用稳定相位法近似计算左边的积分得到的公式, 但误差项消失了. 也就是说, 这个近似结果实际上是精确的.

定理中, $n$-形式 ${\omega }^{n/2}/(n/2)!$ 称为 Liouville 测度, 它是辛流形上典范的测度. 通过动量映射 $\mu :M\to {\mathfrak{g}}^{\vee }$, 我们可以定义 ${\mathfrak{g}}^{\vee }$ 上的测度 $\nu$, 使得$${\int }_{{\mathfrak{g}}^{\vee }}fd\nu ={\int }_M(f\circ \mu )\frac{{\omega }^{n/2}}{(n/2)!}.$$测度 $\nu$ 称为 Duistermaat–Heckman 测度, 它是 Liouville 测度沿动量映射的前推. 这样, 定理中等式的左边就能写成$${\int }_{{\mathfrak{g}}^{\vee }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}⟨-,X⟩}d\nu ,$$被积分的项其实是 Duistermaat–Heckman 测度的 Fourier 变换. 从这个角度出发, 可以证明 Duistermaat–Heckman 公式的一个等价形式, 即度量 $\nu$ 实际上是由 ${\mathfrak{g}}^{\vee }$ 中的一些多面体上的多项式函数拼起来而得到的. 读者可参见 [AB84].

定理 12.5 的证明. 我们有$$\begin{array}{rl}{\int }_M{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mu (X)}\frac{{\omega }^{n/2}}{(n/2)!}& =(-\mathrm{i}{)}^{n/2}{\int }_M{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mu (X)}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega }\\ & =(-\mathrm{i}{)}^{n/2}{\int }_M{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\tilde{\omega }(X)},\end{array}$$其中, 等变辛形式 $\tilde{\omega }=\omega +\mu$ 是等变闭形式, 因此, $d_{\mathfrak{g}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\tilde{\omega }}=0$. 使用局部化公式就完成了证明.

$\square$

一般的局部化公式

下面, 我们不再要求 $M_0(X)$ 是离散的. 和我们介绍等变指标定理时类似, 这时 $M_0(X)$ 是 $M$ 的子流形, 但可能是不同维数的子流形的不交并. 设 $N$ 是法丛. 与之前不同, 现在 $M$ 可能是奇数维的, 但 $N$ 的秩一定是偶数, 其原因和 (12.2) 相同.

我们记$${\mathfrak{g}}_0=\{Y\in \mathfrak{g}\mid [Y,X]=0\}\subset \mathfrak{g},$$并设 $G_0=\exp {\mathfrak{g}}_0\subset G$. 则作用 $G_0\curvearrowright M$ 保持向量场 $X$ 不变, 从而 $G_0$ 的作用也保持了子流形 $M_0(X)$ (但并非将它固定不动). 这又诱导了 $G_0$ 在法丛 $N$ 上的作用.

在 $N$ 上取 $G_0$-不变的度量和联络, 我们能得到 $G_0$-等变的曲率形式$${\Omega }_{{\mathfrak{g}}_0}^N(Y)={\Omega }^N+{\mu }^N(Y),$$其中 $Y\in {\mathfrak{g}}_0$.

定理 12.6 (Berline–Vergne 公式). 设 $\alpha :\mathfrak{g}\to {\Omega }^{\bullet }(M)$ 是光滑映射, 不要求等变. 假设 $d_{\mathfrak{g}}\alpha =0$. 固定一个元素 $X\in \mathfrak{g}$. 则对足够靠近 $X$ 的 $Y\in {\mathfrak{g}}_0$, 有$${\int }_M\alpha (Y)={\int }_{M_0(X)}(2\pi {)}^{n_1/2}\frac{\alpha (Y)}{e_{{\mathfrak{g}}_0}(N)(Y)},$$其中 $n_1(x)=n-{\dim }_x{M}_0$, 而 $e_{{\mathfrak{g}}_0}$ 是等变 Euler 类. 特别地, $${\int }_M\alpha (X)={\int }_{M_0(X)}(-2\pi {)}^{n_1/2}\frac{\alpha (X)}{\mathrm{pf}({\Omega }^N+L^N)},$$其中 $L^N$ 的定义和之前的 $L_p$ 同理.

定理的证明方法与之前类似, 但涉及冗长的曲率计算. 详细的证明可见 [BGV92, §7.2]. 不过, 我们在下一节将给出这一公式的另一证明路径.

Atiyah–Bott 局部化定理

设紧 Lie 群 $G$ 作用在流形 $M$ 上, 设 $T\subset G$ 是极大环面. 则有一个自然的映射$$i^{♯}:H_G^{\bullet }(M;\mathbb{C})\to H_T^{\bullet }(M;\mathbb{C}).$$可以证明, 这一映射是单射, 且其像是 $H_T^{\bullet }(M;\mathbb{C}{)}^W$, 其中 $W$ 是 Weyl 群. 因此, 我们可以只研究 $H_T^{\bullet }(M)$, 然后将 $H_G^{\bullet }(M)$ 从其中恢复出来.

设 $F\subset M$ 是 $T$-不动点的集合. 我们将证明, 映射$$i^{\ast }:H_T^{\bullet }(M;\mathbb{C})\to H_T^{\bullet }(F;\mathbb{C})$$几乎是一个同构, 并从中得到局部化公式.

设 $X_1,\dots ,X_{\ell }$ 是 $T$ 的 Lie 代数 $\mathfrak{t}$ 的一组基. 则$$H_T^{\bullet }(\{\ast \};\mathbb{C})\simeq \mathbb{C}[\mathfrak{t}{]}^T\simeq \mathbb{C}[\mathfrak{t}]\simeq \mathbb{C}[X_i].$$因此, 等变上同调环 $H_T^{\bullet }(M)$ 实际上是一个 $\mathbb{C}[X_i]$-代数.

从代数几何的角度看, $\mathbb{C}[X_i]$-代数 $H_T^{\bullet }(M;\mathbb{C})$ 实际上是仿射空间$$\mathrm{Spec}\mathbb{C}[X_i]\simeq {\mathbb{C}}^{\ell }\simeq \mathfrak{t}\otimes \mathbb{C}$$上的一个拟凝聚代数层. 我们将这个拟凝聚层记为 $\mathcal{H}$. 这个代数层的支集是$$\mathrm{supp}H=\bigcap _{\begin{array}{c}f\in \mathbb{C}[X_i]\\ fH=0\end{array}}V(f)=V(\mathrm{ann}H),$$其中 $H=H_T^{\bullet }(M;\mathbb{C})$, 记号 $V(f)$ 表示 $f$ 的零点集, $\mathrm{ann}H$ 是 $H$ 的零化子.

引理 12.7. 设 $K\subset T$ 是闭子群. 如果存在 $T$-等变的映射 $M\to T/K$ (换言之, $M$ 中的 $T$-轨道至多被压缩成 $T/K$), 那么$$\mathrm{supp}H\subset \mathfrak{k}\otimes \mathbb{C},$$其中 $\mathfrak{k}$ 是 $K$ 的 Lie 代数. 特别地, 如果 $K\ne T$, 那么 $H$ 是挠模.

证明. 设 $f\in \mathbb{C}[\mathfrak{t}]$, 满足 $f{|}_{\mathfrak{k}\otimes \mathbb{C}}=0$. 我们只需要证明 $fH=0$.

我们有$$H_T^{\bullet }(T/K)\simeq H^{\bullet }\left(\frac{T/K\times \mathrm{E}T}{T}\right)\simeq H^{\bullet }(\mathrm{E}T/K)\simeq H_K^{\bullet }(\{\ast \})\simeq \mathbb{C}[\mathfrak{k}],$$其中第三个等号是因为 (1.23). 而由假设, 我们有 $H_T^{\bullet }(T/K)$-模的交换图$$H_T^{\bullet }(T/K)H_T^{\bullet }(M)H_T^{\bullet }(T/K)H_T^{\bullet }(M)\text{ .}ff$$因为 $f{|}_{\mathfrak{k}\otimes \mathbb{C}}=0$, 所以左边的竖直映射为零, 而右边的竖直映射由左边的映射诱导, 故也为零.

$\square$

我们回忆, 如果子群 $K\subset T$ 是某个点 $p\in M$ 的稳定子, 即$$K=\{t\in T\mid tp=p\},$$就称 $K$ 是一个迷向子群 (isotropy subgroup).

引理 12.8. 沿用上面的记号, 则作为 $\mathfrak{t}\otimes \mathbb{C}$ 的子集, 有$$\mathrm{supp}H\subset \bigcup _{K\subset T\text{迷向}}\mathfrak{k}\otimes \mathbb{C},$$并且, 这样的迷向子群只有有限个.

证明. 设 $O\simeq T/K\subset M$ 是一个 $T$-轨道. 通过不变度量的指数映射, 我们能得到 $O$ 的一个 $T$-不变的管状邻域 $U$, 它有一个 $T$-等变的投影映射 $U\to T/K$. 因此, 对任何 $T$-不变的开集 $U^{\prime }\subset U$, 都有$$\mathrm{supp}{H}_T^{\bullet }(U^{\prime };\mathbb{C})\subset \mathfrak{k}\otimes \mathbb{C}.$$

我们把 $U$ 和轨道 $O$ 的法丛中零截面的 $\epsilon$-邻域等同起来. 则 $T$ 在 $U$ 上的作用可以如下描述: 首先把 $K$ 作用在法丛的纤维上, 然后通过 $T/K$ 的作用移动到别的纤维上. 并且, $K$ 在纤维上的作用是线性的, 且在每个纤维上作用的方式相同. 因此, 这些纤维中的点的稳定子群, 实际上就是 $K$ 关于这个线性作用的迷向子群.

因为 $\mathrm{G}\mathrm{L}(n)$ 的交换子群的所有元素可同时对角化, 所以 $T\curvearrowright U$ 的所有迷向子群就是 $K$ 的有限个子群. 而紧流形 $M$ 可被有限个这样的 $U$ 覆盖, 从而 $T\curvearrowright M$ 只有有限个迷向子群.

最后, 关于支集的命题不难通过 Mayer–Vietoris 序列得到.

$\square$

设 $F\subset M$ 是 $T$-不动点的集合. 则 $F$ 以外的点的稳定子群都是 $T$ 的真子群. 上面的命题说明, $M$ 的等变上同调在这些地方都是 “几乎为零” 的. 下面的定理就是这个想法的严格表述.

定理 12.9 (Atiyah–Bott 局部化定理). 在上面的记号下, 映射$$i^{\ast }:H_T^{\bullet }(M;\mathbb{C})\to H_T^{\bullet }(F;\mathbb{C})$$的核与余核的支集都包含于$$\bigcup _{K⊊T\text{迷向}}\mathfrak{k}\otimes \mathbb{C}.$$特别地, 其核与余核作为 $\mathbb{C}[\mathfrak{t}]$-模都是挠模.

证明. 我们有上同调的长正合列$$\cdots \to H_T^{\bullet }(M,F)\to H_T^{\bullet }(M)\to H_T^{\bullet }(F)\to H_T^{\bullet +1}(M,F)\to \cdots ,$$其中 $H_T^{\bullet }(M,F)$ 是相对等变上同调, 读者不难猜出其定义.

为了证明定理, 我们只需要证明$$\mathrm{supp}{H}_T^{\bullet }(M,F)\subset \bigcup _{K\subset T\text{迷向}}\mathfrak{k}\otimes \mathbb{C},$$其中 $K$ 取遍 $T\curvearrowright M\setminus F$ 的所有 (有限个) 迷向子群.

通过不变度量的指数映射, 我们可以取 $F$ 的 $T$-等变管状邻域 $U$. 将 (12.8) 的证明稍作修改, 也就是把这里的 $U$ 加入到证明中的开覆盖中, 我们实际上证明了$$\mathrm{supp}{H}_T^{\bullet }(M,\overline{U})\subset \bigcup _{K⊊T\text{迷向}}\mathfrak{k}\otimes \mathbb{C},$$因为我们可以把 $\overline{U}$ 中未被其它开集覆盖的部分用切除引理移走.

最后, 因为 $\overline{U}$ 可以 $T$-等变地形变收缩到 $F$, 所以它们的等变上同调同构. 利用 $(M,\overline{U})$ 和 $(M,F)$ 的上同调长正合列和五引理, 我们就完成了证明.

$\square$

接下来, 我们通过这个方法, 推导出等变微分形式积分的局部化公式.

我们回忆 Thom 同构定理 (2.12). 在非等变的情形下, 如果我们记 $c={\mathrm{codim}}_{M}F$, 则有图表$$\cdots H^{\bullet -1}(M\setminus F)H^{\bullet }(M,M\setminus F)H^{\bullet }(M)H^{\bullet }(M\setminus F)\cdots H^{\bullet -c}(F)\text{ ,}\delta \simeq i^{\ast }{i}_{\ast }$$其中虚线表示其次数与标注的不符, 映射 $i_{\ast }$ 定义为它上方两个映射的复合. 我们回忆$$i^{\ast }{i}_{\ast }=e(N),$$其中 $N$ 是 $F$ 的法丛.

类似地, 映射 $i_{\ast }$ 在等变的情形也可以定义, 此时 $i^{\ast }{i}_{\ast }$ 就等于等变 Euler 类 $e_{\mathfrak{t}}(N)$. 这一事实是等变示性类的 (代数拓扑) 定义的直接推论.

推论 12.10. 映射$$i_{\ast }:H_T^{\bullet }(F;\mathbb{C})\to H_T^{\bullet +c}(M;\mathbb{C})$$的核与余核的支集都包含于$$\bigcup _{K⊊T\text{迷向}}\mathfrak{k}\otimes \mathbb{C}.$$

证明. 由 (12.9) 和上面的长正合列的等变版本, 命题立即得证.

$\square$

选一个 $f\in \mathbb{C}[\mathfrak{t}]$, 使得 (12.10) 中的支集包含于 $V(f)$. 我们将 $\mathbb{C}[\mathfrak{t}]$ 局部化为 $\mathbb{C}[\mathfrak{t}{]}_f$. 则$$(i_{\ast }{)}_f:H_T^{\bullet }(F{)}_f\to H_T^{\bullet +c}(M{)}_f$$是同构. 这说明, 对任何等变上同调类 $\alpha \in H_T^{\bullet }(M)$, 有$$\alpha =i_{\ast }\frac{i^{\ast }}{e_{\mathfrak{t}}(N)}\alpha +(f\text{-挠元}).$$然而, 如果 $\beta$ 是 $f$-挠元, 也就是说, 对任意 $X\in \mathfrak{t}$, 微分形式 $f(X)\beta (X)$ 都是 $d_{\mathfrak{t}}$-恰当形式, 那么, 对任意 $X\in \mathfrak{t}$ 都有 ${\int }_M\beta (X)=0$. 从而,$${\int }_M\alpha (X)={\int }_M{i}_{\ast }\frac{i^{\ast }\alpha (X)}{e_{\mathfrak{t}}(N)(X)}={\int }_F(2\pi {)}^{c/2}\frac{\alpha (X)}{e_{\mathfrak{t}}(N)(X)},$$其中 $(2\pi {)}^{c/2}$ 是 Thom 形式的积分值. 我们就重新得到了局部化公式 (12.6).