11. 等变上同调

从这一节开始, 我们介绍等变上同调的理论. 我们首先从代数拓扑的角度出发, 建立这一理论, 然后把流形的等变上同调也用微分形式表示出来. 这个理论的一个有名的结论是 Atiyah–Bott 局部化公式, 这个公式把等变微分形式的积分化为不动点集上的积分.

等变上同调

是拓扑空间, 拓扑群 左作用在 上. 我们想要研究商空间 , 也就是所有轨道构成的空间.

一般来说, 这个空间不具有好的性质. 但如果这个作用是自由作用, 也就是说, 它的轨道都同构于 , 那么映射 就成为一个 -主丛. 当 是紧 Lie 群, 是紧流形时, Lie 理论的一个著名定理说明, 商空间 也是流形.

代数拓扑中的一个重要的方法是做替换, 以使坏的对象变成好的对象. 我们可以将一端有界的链复形替换成拟同构的投射或内射链复形 (即消解), 也可以将任何的空间替换成弱同伦等价的 CW 复形 (即 CW 逼近). 同样的方法可以应用到带群作用的空间上.

定义 11.1. 定义同伦商 (homotopy quotient) 其中 是满足以下条件的空间:

自由地作用在 上, 从而 -主丛.

存在 -等变的同伦等价 .

例如, 我们可以取并令 分别作用在两个分量上.

可以证明, 同伦商在同伦等价的意义下是唯一的.

定义 11.2. 是系数环. 则 等变上同调 (equivariant cohomology) 定义为

例如, 我们有

下面, 再设 -等变向量丛. 也就是说, 作用在全空间 上, 元素 把纤维 映到 , 且这个映射是线性的.

我们可以把 拉回到 上, 得到 -等变向量丛 . 例如, 若取 , 则 .

我们取同伦商, 得到向量丛

定义 11.3. 等变向量丛 等变示性类 (equivariant characteristic class) 就是向量丛 的示性类, 它是 的元素.

等变微分形式

接下来, 我们打算用微分形式来描述流形的等变上同调. 事实上, 这不是一件容易的事, 因为对 Lie 群 来说, 空间 通常不是流形, 所以我们需要合理地实现 “ 上的微分形式” 这个不存在的概念.

是紧 Lie 群, 作用在紧流形 上. 设 的 Lie 代数. 每个元素 可以看作 上的向量场. 这个操作定义了 Lie 代数同态

另外, 还可以作用在 上, 每个元素 的作用是然而, 如果我们直接取在这一作用下不变的元素的集合 , 并考虑它的上同调, 我们并不能得到等变上同调. 例如, 当 时, 我们希望得到 , 但这个链复形仍然给出 .

因此, 我们的目标是定义 “de Rham 链复形”

即使 上的作用是自由的, 复形 也不等于 . 例如, 我们考虑 , 并令 通过 方向的平移作用在 上. 则我们真正感兴趣的是第二种微分形式, 也就是下面定义中的 .

定义 11.4. 微分形式 称为水平 (horizontal) 的, 如果对任意 , 都有 . 定义 其中, 第二个空间中的微分形式叫做基础 (basic) 的.

我们还需要描述什么是 “”. 这一描述来自于 Lie 群的陈–Weil 理论. 我们回忆, 示性类对应着曲率形式的不变多项式. 对 Lie 群而言, 这个对应关系意味着这里 -元多项式环, 而 通过伴随作用作用在这个多项式环上. 也就是说, 我们把 的元素看成是万有丛 的 “曲率形式” 的多项式.

定义 11.5. Lie 代数 Weyl 代数定义为交换超代数 其中, 在第一项中 的分次为 , 在第二项中 的分次为 .

这个定义的意义如下. 设 的一组基, 则 Weyl 代数的定义式中, 两个 的生成元分别记为 . 元素分别称为万有联络 (universal connection) 和万有曲率 (universal curvature). 事实上, 对任意的 -主丛 , 若选好一个联络, 则存在唯一的映射使得 中的像就是 的联络和曲率形式. (注意, 主丛的联络形式是能在整体上定义的, 这与向量丛的联络形式不同.)

这个万有性质说明, Weyl 代数 就是我们要找的 “”.

为了真正地将这两者等同起来, 我们还需要在 上定义外微分和缩并. 我们定义其中 的结构常数. 这么定义是为了满足 , 以及 Bianchi 恒等式 . 这样, 我们就有

定义 11.6. 上的等变微分形式 (equivariant differential form) 是指 的元素. 这个链复形的上同调 称为 等变 de Rham 上同调.

可以证明, 等变 de Rham 上同调和通过代数拓扑定义的等变上同调是同构的.

等变微分形式还有另一种看上去不太相同的定义.

命题 11.7. 我们有 其中右边的 的分次是 . 等号左边的外微分 对应右边的算子 这里 看作从 的多项式映射.

证明. 只需要证明 这样, 在两边与 做张量积, 并取 -不变的部分, 就得到了要证明的同构. 我们定义从左边到右边的映射为取出 的部分, 也就是说, 将所有 都映到 . 我们把这个映射叫做 . 再来定义它的逆映射 . 也就是说, 给定 上的形式, 我们要找出它在 中缺失的部分, 使得它变成水平的. 我们定义 因为 , 所以 , 从而 . 这说明我们确实给出了 的逆映射. 最后, 我们来计算微分 . 若 , 我们有 由于我们把 视为 中的 方向, 我们就证明了要证的等式.

通过这个命题, 我们可以写下等变微分形式的第二种定义.

定义 11.8. 上的等变微分形式是一个多项式映射 它在 的作用下不变. 换言之, 对任意 , , 有 等变外微分

当然, 这一定义的动机是之前的那一个定义.

例 11.9. 如果 , 那么等变微分形式就是一个元素 也就是 上的一个 -不变多项式. 这和我们的预期是一致的.

再例如, 设 是交换 Lie 群. 则伴随作用 是平凡的, 从而, 一个等变微分形式就确实是一族 -不变的微分形式.

等变辛形式

下面, 我们来了解等变微分形式的一个例子, 即等变辛形式.

是辛流形. 也就是说, 是偶数维流形, 上的闭 -形式, 它定义的切空间上的双线性型是非退化的. 一个典型的例子是其中 是流形, 的切向, 而 是余切丛 所对应的方向. 这样定义的 不依赖于坐标的选取.

在 Hamilton 力学中, 若 是一个力学系统的位置空间, 那么余切丛 的纤维就是相应的动量空间. 力学系统的 Hamilton 函数 (Hamiltonian)指定了每个状态的总能量, 即动能与势能的和. 系统随时间的演化由 上的 Hamilton 向量场的流给出, 其中 表示每个点处的同构 的逆映射.

设 Lie 群 作用在 上, 并保持其辛形式, 这个作用描述了力学系统的一些对称性.

定义 11.10. 是辛流形, 是 Lie 群. 一个 Hamilton 作用是指二元组 , 满足以下条件:

辛形式 的作用下不变.

是等变微分形式, 也就是说, 它满足 映射 被称为动量映射 (moment map).

对任意 , 函数 的 Hamilton 向量场是 , 也就是说,

我们通过一个例子来解释这个定义的意义. 这个例子也是 “动量映射” 这一称呼的来源.

例 11.11. 我们仍考虑辛流形 , 其中 是 Riemann 流形. 我们把 看作系统的位置空间. 令 通过等距自同构作用在 上. 例如, 可以取 , . 定义动量映射 每个点 描述了系统的位置和动量, 而 就是这个动量沿 方向的分量. 通过动量映射, 我们也得到了一个元素 , 时, 这个 的元素就是质点的角动量.

通过动量映射, 我们可以把辛形式 变成等变微分形式.

定义 11.12. 沿用上面的记号, 我们定义 等变辛形式它将元素 映到微分形式 .

形式 确实是等变闭形式, 因为特别地, 它确定了一个等变上同调类.

注 11.13. 几何量子化 (geometric quantisation) 是数学物理中的一个著名的方法. 给定一个经典力学系统, 即辛流形, 我们想要构造对应的量子力学系统, 这就是量子化问题. 几何量子化的第一步就是寻找一个 Hermite 线丛, 使得其曲率等于 , 其中 是辛形式, 然后将量子态定义为这个线丛的截面. 在 -等变的情形下, 要考虑的辛形式 就是我们定义的等变辛形式 .

等变示性类

下面, 设 是一个 -等变的超向量丛. 我们想要通过等变微分形式, 来描述 的等变示性类.

首先, 我们定义 -取值的等变微分形式的代数:当然, 等变微分形式也可以看成 的多项式.

我们也定义等变联络的概念, 使得它与等变微分形式的外微分 相容.

定义 11.14. 上的一个 -不变的超联络. 我们定义 从而, 它满足以下 Leibniz 法则: 对齐次元素 , , 映射 称为一个 -等变超联络.

从等变联络出发, 我们可以定义等变曲率, 并通过等变曲率的不变多项式得到等变示性类.

定义 11.15. 等变超联络 等变曲率 定义为 其中 , 记号 表示 Lie 导数.

这里, 加入 Lie 导数的项是为了使 成为一个张量 (即零阶微分算子). 事实上, 当原先的联络 是普通联络时, 我们有其中 的曲率形式. 特别地, 当 时, Cartan 公式说明 , 从而 .

注 11.16. 参照 (11.12), 我们可以定义动量映射 是普通联络时, 它就等于 . 我们已经在 (11.13) 中提到了曲率形式与辛形式的关系.

接下来, 我们来建立等变上同调的陈–Weil 理论.

定理 11.17. 是多项式. 则等变微分形式 -闭的, 并且, 它决定的等变上同调类不依赖于超联络的选取.

证明. 和非等变的情形类似, 对 , 我们有 由于 , 我们有

定理最后一部分的证明和 (5.12) 的证明同理.

推论 11.18 (等变陈–Weil 理论). 等变曲率形式 的不变多项式给出了等变示性类, 通过这种方式, 不变多项式能与等变示性类一一对应.

例如, 我们可以定义等变陈特征或者采用 (9.4.2) 之前的约定, 定义为 .

我们也可以定义等变 Euler 类我们在 §6 中介绍的 Mathai–Quillen 理论也有等变的版本, 也就是构造出等变 Thom 类. 这里, 我们就不详细介绍了.

Кириллов 公式

上一节, 我们概述了等变指标定理 (10.10) 的证明. 我们把等变指标表示成了不动点集上的积分:

事实上, 如果我们从等变示性类出发, 我们也能得到等变指标的一个表达式, 它将等变指标写成等变示性类在整个 上的积分.

设紧 Lie 群 作用在偶数维紧可定向 Riemann 流形 上, 保持其度量和定向. 设 的 Lie 代数. 设 是等变 Clifford 模 上的等变 Dirac 算子.

定理 11.19 (Кириллов 公式). 附近的元素. 则

注意到, 这个表达式其实就是在 (9.5) 中, 把示性类换成等变示性类得到的结果.

我们给出了等变指标的两个表达式, 它们是有联系的. 这一联系就是下一节中将要介绍的局部化公式, 这个公式把等变微分形式的积分转换为不动点集合上的积分. 通过局部化公式, 我们能从 (10.10) 推出 (11.19). 详细过程可见 [BGV92, §8.1].

Кириллов 公式还有另一个证明方法, 也就是模仿 (9.5) 的证明过程, 对等变热核做渐进展开, 但仅考虑 的无穷小作用, 就能得到等变示性类. 详细的证明可见 [BGV92, §8.3].