10. 指标定理 (下)

下面, 我们完成上一节中忽略的关于热核的计算, 然后在上一节的基础上, 引入 Lie 群的作用, 得到计算等变指标的公式. 和通常的指标定理不同, 在等变指标定理中, 我们不需要在整个流形上积分, 只需要在不动点集上积分. 当不动点的个数有限时, 这个积分化为求和, 我们就得到 Atiyah–Bott 的不动点公式, 它是 Lefschetz 不动点公式的推广.

热核的计算

首先, 我们完成 (9.4) 的证明, 也就是通过热核 $k_t(x,y)$ 当 $t\to 0$ 时在对角线附近的渐进行为, 得到流形的 $\hat{A}$ 示性类和向量丛的陈特征.

设 $x_0\in M$, 取法坐标系 $x={\exp }_{x_0}\mathbf{x}$, 其中 $\mathbf{x}\in U\subset {\mathbb{R}}^n$. 我们使用沿径向的平行移动来将 $E$ 平凡化, 得到 $U$ 上的平凡丛 $E\simeq V\times U$. 我们记$$L=D^2:C^{\infty }(U,V)\to C^{\infty }(U,V)$$为相应的广义 Laplace 算子, 并记$$k(t,\mathbf{x})=k_t(x,x_0)\in \mathrm{End}(V).$$它满足热方程$$({\partial }_t+L)k(t,\mathbf{x})=0.$$

证明的关键想法是对 $t$ 和 $\mathbf{x}$ 做缩放. 定义$$k_{\epsilon }(t,\mathbf{x})={\epsilon }^{n/2}k(\epsilon t,{\epsilon }^{1/2}\mathbf{x}).$$这里, $\mathbf{x}$ 的系数 ${\epsilon }^{1/2}$ 出现的原因是, 热方程对 $\mathbf{x}$ 求二阶导数, 而只对 $t$ 求一阶导数; 系数 ${\epsilon }^{n/2}$ 是为了保证 $t\to 0$ 时 $k_{\epsilon }(t,\mathbf{x})\to \delta (\mathbf{x})$. 例如, 欧氏空间中 $\Delta$ 算子的热核 $q(t,\mathbf{x})$ 在这个缩放下是不变的.

我们还引入 Clifford 代数上的缩放. 设 $V\simeq S\otimes W$, 并设$$\alpha (t,-)\in C^{\infty }(U,\mathrm{End}(V))\simeq \Gamma (\mathrm{Cl}({\mathbb{R}}^n,g)\otimes \mathrm{End}(W)),$$其中 $g=(g^{ij})$ 是 $M$ 的度量. 我们定义缩放算子 ${\delta }_{\epsilon }$ 如下:$${\delta }_{\epsilon }\alpha (t,\mathbf{x})=\sum _{p=0}^n{\epsilon }^{-p/2}{\alpha }_p(\epsilon t,{\epsilon }^{1/2}\mathbf{x}),$$其中 ${\alpha }_p$ 是在 Clifford 代数中分次为 $p$ 的部分.

定义 10.1. 设 $\epsilon >0$. 我们定义经过缩放的热核 $$r_{\epsilon }(t,\mathbf{x})={\epsilon }^{n/2}{\delta }_{\epsilon }k(t,\mathbf{x}),$$它满足的热方程是 $$({\partial }_t+L_{\epsilon })r_{\epsilon }(t,\mathbf{x})=0,$$其中 $L_{\epsilon }=\epsilon {\delta }_{\epsilon }L{\delta }_{\epsilon }^{-1}$.

这里, $L_{\epsilon }$ 的表达式可以从恒等式 ${\partial }_t{\delta }_{\epsilon }=\epsilon {\delta }_{\epsilon }{\partial }_t$ 得出.

命题 10.2. 作为 ${\Omega }^{\bullet }(U,\mathrm{End}(W))\simeq C^{\infty }(U,\mathrm{End}(V))$ 上的算子, 我们有 $$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{L}_{\epsilon }=K=-\sum _i({\partial }_i-\frac{1}{4}{\mathbf{x}}^j{\Omega }_{ij}(0)\wedge {)}^2+{\Omega }^W(0)\wedge ,$$这里极限的意义是 $L_{\epsilon }=K+O({\epsilon }^{1/2})$.

证明概要. 记 $c^i$ 为 Clifford 作用. 我们有 Lichnerowicz 公式 [BGV92, §3.5] $$D^2={\Delta }^E+\frac{1}{2}{\Omega }^W(e_i,e_j)c^i{c}^j+\frac{1}{4}R,$$其中 $R$ 是标量曲率. 事实上, 这个公式就是通过 Dirac 算子与 Clifford 联络的关系, 来计算 $D^2$ 得到的结果. 它是 Weitzenböck 恒等式的一个推广形式. 由这一表达式, 我们能立即得出 $L_{\epsilon }$ 的表达式. 记 ${\nabla }^{\epsilon }={\epsilon }^{1/2}{\delta }_{\epsilon }{\nabla }^E{\delta }_{\epsilon }^{-1}$, 则 $$\begin{gathered} L_{\epsilon }=-\sum _i(({\nabla }_i^{\epsilon }{)}^2-{\epsilon }^{1/2}{\nabla }_{{\nabla }_i{e}_i}^{\epsilon }) \\ +\frac{1}{2}{\Omega }^W({\epsilon }^{1/2}\mathbf{x})(e_i,e_j)(e^i-\epsilon {\iota }^i)(e^j-\epsilon {\iota }^j)+\frac{1}{4}\epsilon R({\epsilon }^{1/2}\mathbf{x}). \end{gathered}$$另外, 计算表明 $$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\nabla }_i^{\epsilon }={\partial }_i-\frac{1}{4}{\mathbf{x}}^j{\Omega }_{ij}(0)\wedge .$$现在, 我们可以直接计算 ${\lim }_{\epsilon \to 0}{L}_{\epsilon }$ 了. 在 $L_{\epsilon }$ 的表达式中, 带 $\epsilon$ 的项通通消失, 剩下的项就给出了要证的公式.

$\square$

我们回忆热核 $k_t$ 的渐进展开式 (7.17). 它给出了热核 $r_{\epsilon }$ 的渐进展开$$\begin{array}{rl}{r}_{\epsilon }(t,\mathbf{x}{)}_p& \sim {\epsilon }^{-p/2}q(t,\mathbf{x})\sum _{i=0}^{\infty }(\epsilon t{)}^i{\Phi }_i({\epsilon }^{1/2}\mathbf{x}{)}_p\\ & =q(t,\mathbf{x})\sum _{i=-n}^{\infty }{\epsilon }^{i/2}{\gamma }_i(t,\mathbf{x}{)}_p,\end{array}$$其中下标 $p$ 表示在 Clifford 代数中分次为 $p$ 的部分, ${\gamma }_i(t,\mathbf{x}{)}_p$ 是由这一等式定义的, 即定义为式中 ${\epsilon }^{i/2}$ 的系数. 对 $p$ 求和, 得到$$r_{\epsilon }(t,\mathbf{x})\sim q(t,\mathbf{x})\sum _{i=-n}^{\infty }{\epsilon }^{i/2}{\gamma }_i(t,\mathbf{x}),$$(10.2.1)其中, 我们把 ${\gamma }_i$ 看成微分形式$${\gamma }_i(t,-)\in C^{\infty }(U,\mathrm{End}(V))\simeq {\Omega }^{\bullet }(U,\mathrm{End}(W)).$$

注意到$${\gamma }_i(0,\mathbf{x})\equiv \{\begin{array}{ll}1,& i=0,\\ 0,& i\ne 0,\end{array}$$因为 $t=0$ 时只有 ${\Phi }_0(\mathbf{x})={\mathrm{i}\mathrm{d}}_V$ 一项有贡献. 我们对 (10.2.1) 作用算子 ${\partial }_t+L_{\epsilon }$. 则由 (10.2), 若 ${\gamma }_i$ 是 $i$ 最小的非零项, 那么它应满足$$({\partial }_t+K){\gamma }_i(t,\mathbf{x})=0.$$因此, 当 $i<0$ 时必有 ${\gamma }_i\equiv 0$, 因为若不然, 则使 $i$ 最小的那个 ${\gamma }_i$ 满足以 $0$ 为初值的热方程, 从而恒为 $0$, 矛盾. 作为推论, 我们有$$({\partial }_t+K){\gamma }_0(t,\mathbf{x})=0.$$

命题 10.3. 我们有 $$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{r}_{\epsilon }(t,\mathbf{x})=\frac{1}{(4\pi t{)}^{n/2}}{\det }^{1/2}\left(\frac{t\Omega /2}{\sinh (t\Omega /2)}\right)\exp (-\frac{1}{4t}(\frac{t\Omega }{2}\coth \frac{t\Omega }{2})(\mathbf{x},\mathbf{x})-t{\Omega }^W).$$

证明. 事实上, $$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{r}_{\epsilon }(t,\mathbf{x})=q(t,\mathbf{x}){\gamma }_0(t,\mathbf{x}).$$因此, 剩下的工作就是解出热方程 $$({\partial }_t+K){\gamma }_0(t,\mathbf{x})=0.$$实际上, 我们只需验证命题中的表达式确实给出了热方程的解. 我们就不把计算过程写出来了, 读者可参见 [BGV92, §4.2].

$\square$

定理 9.4 的证明. 在 (10.3) 中取 $t=1$, $\mathbf{x}=0$, 就得到了我们要的表达式.

$\square$

等变指标

接下来, 我们进入这一节的主题, 即等变指标定理.

设 $M$ 是偶数维可定向 Riemann 流形, $H$ 是紧拓扑群, 它作用在 $M$ 上. 我们要求这个作用保持 $M$ 的度量和定向.

设 $E\to M$ 是等变 Clifford 模, 带有一个 Hermite 度量. 也就是说, $E$ 也带有 $H$ 的作用, 每个元素 $\gamma \in H$ 把纤维 $E_x$ 映到 $E_{\gamma (x)}$. 我们要求这个作用保持 Clifford 作用, 也保持 $E$ 的度量.

命题 10.4. 在上述情况下, $H$-等变的 Dirac 算子与 $H$-等变的 Clifford 超联络一一对应.

$\square$

设 $D$ 是 $H$-等变的 Dirac 算子. 在以前, 我们把 ${\mathbb{Z}}_2$-分次空间 $\ker D$ 的维数定义成 $D$ 的指标. 但现在, $\ker D$ 是 $H$ 的一个 ${\mathbb{Z}}_2$-分次的酉表示. 这里, 元素 $\gamma \in H$ 作用在截面 $s\in \Gamma (E)$ 上的方式是$$(\gamma \cdot s)(x)={\gamma }^{E}s({\gamma }^{-1}x),$$其中 ${\gamma }^E:E_{{\gamma }^{-1}x}\to E_x$ 是 $\gamma$ 在 $E$ 上的作用.

定义 10.5. 设 $\gamma \in H$. 我们定义等变指标 (equivariant index) $$\mathrm{ind}(\gamma ,D)={\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}(\gamma {|}_{\ker D}).$$

注意到 $\mathrm{ind}(1,D)=\mathrm{ind}(D)$. 和之前的情况类似, 我们通过算子 $D^2$ 的谱理论, 得到等变指标的 McKean–Singer 公式.

定理 10.6 (McKean–Singer). 我们有 $$\mathrm{ind}(\gamma ,D)={\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}(\gamma {\mathrm{e}}^{-t{D}^2})={\int }_M{\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{k}_{t,\gamma }(x,x)dx,$$其中 $k_{t,\gamma }$ 是算子 $\gamma {\mathrm{e}}^{-t{D}^2}$ 的核.

$\square$

证明. 和 (9.3) 的证明一样, 设 $V_{\lambda }=V_{\lambda }^{+}\oplus V_{\lambda }^{-}$ 是算子 $D^2$ 的 $\lambda$-特征子空间. 因为 $D$ 是 $\gamma$-等变的, 所以 $V_{\lambda }^{\pm }$ 都是 $\gamma$ 的不变子空间. 并且, 当 $\lambda \ne 0$ 时, 同构 $$D:V_{\lambda }^{+}\to V_{\lambda }^{-}$$保持 $\gamma$ 的作用. 这说明 ${\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}(\gamma {\mathrm{e}}^{-t{D}^2}{|}_{V_{\lambda }})=0$. 我们就得到了第一个等号. 第二个等号的证明和 (9.3) 的证明同理.

$\square$

Atiyah–Bott 不动点公式

Atiyah–Bott 不动点公式是等变指标定理的一个特例, 但放宽了一些假设. 它也是 Lefschetz 不动点公式的一个推广.

下面, 我们设 $M$ 是紧可定向流形, 拓扑群 $H$ 作用在 $M$ 上. 我们不要求 $H$ 是紧的, 也不要求其作用保持度量. 设 $E\to M$ 是 $H$-等变复超向量丛, $d$ 是 $E$ 上的 $H$-等变微分算子, 满足

•	$d^2=0$.
•	上同调 $H(d)=H(\Gamma (E),d)$ 是有限维超向量空间.
•	存在 $M$ 上的 Riemann 度量和 $E$ 上的 Hermite 度量 (不必等变), 使得 $D=d+d^{\ast }$ 是 Dirac 算子.

对 $\gamma \in H$, 我们定义$$\mathrm{ind}(\gamma ,d)={\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}(H(\gamma ):H(d)\to H(d)).$$

定理 10.7 (Atiyah–Bott 不动点公式). 假设 $\gamma \in H$ 在 $M$ 上的作用具有离散的不动点集. 则当下面和式中每一项的分母都不为零时, 有 $$\mathrm{ind}(\gamma ,d)=\sum _{x:\text{不动点}}\frac{{\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{\gamma }_x^E}{|\det (1-{\gamma }_x^{-1})|},$$其中 ${\gamma }_x:T_{x}M\to T_{x}M$ 和 ${\gamma }_x^E:E_x\to E_x$ 都是 $\gamma$ 的作用.

在证明定理之前, 我们先推出 Lefschetz 不动点公式的一个特殊情形.

推论 10.8 (Lefschetz 不动点公式). 在上述假设下, $$\sum _{x:\text{不动点}}\pm 1=\sum _{i=0}^n(-1{)}^i\mathrm{tr}{H}^i(\gamma ),$$其中 $H^i(\gamma ):H^i(M)\to H^i(M)$ 是 $\gamma$ 诱导的映射, 式中的 $\pm 1$ 等于 $\mathrm{sgn}\det (1-{\gamma }_x^{-1})$.

证明. 取 $E={\wedge }^{\bullet }{T}_x^{\ast }M\otimes \mathbb{C}$, 则等式右边就是 $\mathrm{ind}(\gamma ,d)$, 其中 $d$ 是 de Rham 微分. 我们再来计算 ${\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{\gamma }_x^E$. 此时 $E_x\simeq {\wedge }^{\bullet }{T}_x^{\ast }M$. 通过考虑 ${\gamma }_x$ 的特征值, 不难证明 $${\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{\gamma }_x^E=\det (1-{\gamma }_x^{-1}).$$$\square$

定理 10.7 的证明. 设 $x_1,\dots ,x_m$ 是所有的不动点. 由 (10.6), 我们有 $$\mathrm{ind}(\gamma ,d)={\int }_M{\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{k}_{t,\gamma }(x,x)dx=\sum _{i=0}^m{\int }_M{\psi }_i(x){\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{k}_{t,\gamma }(x,x)dx,$$其中函数 ${\psi }_i$ 取得使 ${\sum }_i{\psi }_i=1$, 并且当 $i>0$ 时, ${\psi }_i$ 在 $x_i$ 附近恒等于 $1$. 我们想要证明 $$\underset{t\to 0}{\lim }{\psi }_i(x)k_{t,\gamma }(x,x)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\gamma }_{x_i}^E}{|\det (1-{\gamma }_{x_i}^{-1})|}{\delta }_{x_i},& i>0,\\ 0,& i=0,\end{array}$$然后积分并取迹, 就得到了要证的等式. 事实上, 热核 $k_{t,\gamma }$ 是能算出来的: $$k_{t,\gamma }(x,y)=\gamma \cdot k_t({\gamma }^{-1}x,y),$$其中 $\cdot$ 表示 $\gamma$ 在截面上的作用. 设 $\phi \in \Gamma (E)$ 是测试函数. 记 $V=T_{x_i}M$, 并将 $0\in V$ 的一个邻域通过法坐标系与 $x_i$ 的邻域等同起来, 以便计算积分. 则 $$\begin{array}{rl}& \underset{t\to 0}{\lim }{\int }_M{\psi }_i(x)k_{t,\gamma }(x,x)\phi (x)dx\\ =& \underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{(4\pi t{)}^{n/2}}{\int }_V{\mathrm{e}}^{-|{\gamma }_{x_i}^{-1}\mathbf{x}-\mathbf{x}{|}^2/4t}\gamma \cdot \phi (\mathbf{x})(1+O(\mathbf{x}))d\mathbf{x}\\ =& \frac{{\gamma }_{x_i}^E}{|\det (1-{\gamma }_{x_i}^{-1})|}\phi (0),\end{array}$$其中最后一步是初等计算. 这一计算也说明 ${\lim }_{t\to 0}{\psi }_0(x)k_{t,\gamma }(x,x)=0$.

$\square$

等变指标定理

在上一小节中, 我们已经知道, 算子的指标可以通过不动点处几何量的求和来计算. 在等变指标定理中, 我们不再要求不动点是离散的, 并把算子的指标写成不动点集上几何量的积分.

下面, 设 $M$ 是偶数维紧可定向 Riemann 流形, 紧 Lie 群 $H$ 作用在 $M$ 上, 并保持其度量和定向. 对 $\gamma \in H$, 记 $$M^{\gamma }=\{x\mid \gamma x=x\}\subset M.$$由 Lie 群的理论, $M^{\gamma }$ 是 $M$ 的子流形, 但需要注意的是, 它可能是不同维数的子流形的不交并.

在 $M^{\gamma }$ 上, 我们有$$TM{|}_{M^{\gamma }}=T{M}^{\gamma }\oplus N,$$其中 $N$ 是法丛. 因为 $\gamma$ 的作用是等距同构, 所以 $M^{\gamma }$ 是全测地子流形, 从而 $TM$ 的 Levi-Civita 联络 分解成两个子丛上的联络的直和, 我们记为$$\nabla ={\nabla }^0\oplus {\nabla }^N,$$其中 ${\nabla }^0$ 是 $T{M}^{\gamma }$ 上的 Levi-Civita 联络.

定义 10.9. 若 $W\to M$ 是 $H$-等变的超向量丛, 我们定义等变陈特征 $$\mathrm{ch}(\gamma ,W)={\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}^W(\gamma \cdot {\mathrm{e}}^{-{\Omega }^W})\in {\Omega }^{\bullet }(M^{\gamma }),$$其中 ${\Omega }^W$ 是 $W$ 上的一个 $H$-等变的联络的曲率形式.

定理 10.10 (等变指标定理, Atiyah–Segal–Singer). 等变 Dirac 算子 $D$ 的指标等于 $$\mathrm{ind}(\gamma ,D)={\int }_{M^{\gamma }}\frac{(-2\mathrm{i}{)}^{n_1/2}}{(2\pi \mathrm{i}{)}^{n_0/2}}{T}_M\left(\frac{\hat{A}(M^{\gamma }){\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}^W(({\gamma }^E{)}_{n_1}{\mathrm{e}}^{-{\Omega }^W})}{{\det }^{1/2}(1-{\gamma }^N){\det }^{1/2}(1-{\gamma }^N{\mathrm{e}}^{-{\Omega }^N})}\right)dx,$$其中 $n_0(x)={\dim }_x{M}^{\gamma }$, $n_1=n-n_0$, $T_M$ 是 Березин 积分, $({\gamma }^E{)}_{n_1}$ 的下标表示 Clifford 分次. 如果 $M$ 具有 $H$-等变的旋量结构, 并且 $M^{\gamma }$ 也具有旋量结构, 那么这个公式可以简化成 $$\mathrm{ind}(\gamma ,D)={\int }_{M^{\gamma }}\frac{(-1{)}^{n_1/2}}{(2\pi \mathrm{i}{)}^{n_0/2}}{T}_M\left(\frac{\hat{A}(M^{\gamma })\mathrm{ch}(\gamma ,W)}{\mathrm{ch}(\gamma ,S(N))}\right)dx,$$其中, 旋量丛 $S(N)$ 定义为 $$S(N)={\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Cl}(M^{\gamma })}(S(M^{\gamma }),S(M){|}_{M^{\gamma }}).$$

定理的第一个公式看起来很吓人, 但它其实就是在第二个公式中, 把陈特征的计算公式写开来的结果. 另外, 如果我们在第二个公式中取 $\gamma =1$, 我们就得到了非等变情形的指标定理 (9.5).

证明概要. 我们在 (10.6) 中已经知道, $$\mathrm{ind}(\gamma ,D)={\int }_M{\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{k}_{t,\gamma }(x,x)dx.$$和之前的证明方法类似, 我们把等变热核在对角线上做渐进展开: $$k_{t,\gamma }(x,x)\sim \frac{1}{(4\pi t{)}^{n_0/2}}\sum _{i=0}^{\infty }{t}^i{\Phi }_{i,\gamma }(x).$$这里, 系数中 $t$ 的次数是 $-n_0/2$, 因为热方程实际上只沿着 $M^{\gamma }$ 的方向进行演化. 注意, 这里的 ${\Phi }_{i,\gamma }$ 都是分布截面, 即允许例如 $\delta$-函数出现. 为了研究这些 ${\Phi }_{i,\gamma }$, 我们固定一个 $x_0\in M^{\gamma }$, 并取法坐标系 $x={\exp }_{x_0}\mathbf{x}$. 这个指数映射诱导了 $x_0$ 的邻域 $V$ 到 $0$ 的邻域 $V^{\prime }$ 的微分同胚. 设 $\phi$ 是 $M$ 上的光滑函数, 其支集包含于 $V$. 我们做渐进展开 $${\int }_{N_{x_0}}{k}_{t,\gamma }(\mathbf{x},\mathbf{x})\phi (\mathbf{x})d\mathbf{x}\sim \frac{1}{(4\pi t{)}^{n_0/2}}\sum _{i=0}^{\infty }{t}^i{\Phi }_{i,\gamma ,\phi }(x_0).$$通过对等变热核的计算 [BGV92, §§6.5–6.7], 可以得到 $${\Phi }_{i,\gamma ,\phi }(x_0{)}_p=\{\begin{array}{ll}{I}_{\gamma }(x_0{)}_p\phi (x_0),& p=2i+n_1,\\ 0& p>2i+n_1,\end{array}$$(10.10.1)其中下标 $p$ 表示 Clifford 分次, $I_{\gamma }\in \Gamma (M^{\gamma },{\wedge }^{\bullet }{T}^{\ast }M\otimes {\mathrm{End}}_{\mathrm{Cl}(M)}(E))$ 定义为 $$I_{\gamma }=\frac{\hat{A}(M^{\gamma })({\gamma }^E{)}_{n_1}{\mathrm{e}}^{-{\Omega }^W}}{{\det }^{1/2}(1-{\gamma }^N){\det }^{1/2}(1-{\gamma }^N{\mathrm{e}}^{-{\Omega }^N})}.$$事实上, 当 $\dim M^{\gamma }=0$ 时, 这个等式的本质就是我们在证明 (10.7) 时计算的 Gauß 积分. 这一计算结果蕴涵了 $${\Phi }_{i,\gamma }(x_0)=I_{\gamma }\cdot {\delta }_{M^{\gamma }},$$其中 $\delta$-函数 ${\delta }_{M^{\gamma }}$ 作用在测试函数 $\phi$ 上, 给出的是 $\phi$ 在 $M^{\gamma }$ 上的积分. 我们在 $M$ 上取一单位分解, 将热核的积分化为局部的计算: $${\int }_M{\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{k}_{t,\gamma }(x,x)dx\sim {\int }_{U}d{x}_0{\int }_{N_{x_0}}{\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{k}_{t,\gamma }(\mathbf{x},\mathbf{x})\psi (\mathbf{x})b_{x_0}(\mathbf{x})d\mathbf{x},$$其中我们省略了求和号, $U\subset M^{\gamma }$ 是开集, $\psi$ 是单位分解, $b_{x_0}(\mathbf{x})$ 是坐标变换的系数. 令 $\phi (\mathbf{x})=\psi (\mathbf{x})b_{x_0}(\mathbf{x})$, 则上述积分关于 $t$ 的渐进展开是 $$\frac{1}{(4\pi t{)}^{n_0/2}}\sum _{i=0}^{\infty }{t}^i{\int }_U{\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{\Phi }_{i,\gamma ,\phi }(x_0{)}_{n}d{x}_0,$$这里, 我们可以只考虑分次 $n$ 的项, 因为只有这些项能有非零的超迹. 令 $t\to 0$, 由 (10.10.1), 我们得到 $$\begin{array}{rl}\underset{t\to 0}{\lim }{\int }_M{\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{k}_{t,\gamma }(x,x)dx& =\frac{1}{(4\pi {)}^{n_0/2}}{\int }_{M^{\gamma }}{\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}{\Phi }_{n_0/2,\gamma ,\phi }dx\\ & =\frac{(-2\mathrm{i}{)}^{n/2}}{(4\pi {)}^{n_0/2}}{\int }_{M^{\gamma }}{T}_M\left({\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}^W{I}_{\gamma }\right)dx,\end{array}$$其中最后一步利用了 (9.5.1). 我们就证明了定理的第一个公式. 为了证明第二个公式, 我们先来计算 $\mathrm{ch}(\gamma ,W)$. 因为对任意 $\alpha \in N_x^{\vee }$, 都有 ${\gamma }^{S}c(\alpha )=c({\gamma }^N\alpha ){\gamma }^S$, 所以 ${\gamma }^S$ 作为 $\mathrm{Cl}(M)$ 的截面, 实际上是 $\mathrm{Cl}(N^{\vee })$ 的截面. 由于 ${\gamma }^E={\gamma }^W\otimes {\gamma }^S$, 我们有 $$({\gamma }^E{)}_{n_1}=T({\gamma }^S){\gamma }^W,$$其中 $T$ 是 $\mathrm{Cl}(N^{\vee })$ 上的 Березин 积分. 对 $\alpha \in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(2k)\subset \mathrm{Cl}(2k)$, 有如下公式: $$T(\alpha )=\pm {\det }^{1/2}(1-\tau (\alpha ))/2^k,$$(10.10.2)其中映射 $\tau$ 是到 $\mathrm{S}\mathrm{O}(2k)$ 的覆叠. 这个公式不难证明. 事实上, 只需验证 $k=1$ 的情况即可. 在式中取 $\alpha ={\gamma }^S$, 则 $\tau (\alpha )={\gamma }^N$. 从而 $$\begin{array}{rl}\mathrm{ch}(\gamma ,W)& =\frac{1}{T({\gamma }^S)}{\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}^W(({\gamma }^E{)}_{n_1}{\mathrm{e}}^{-{\Omega }^W})\\ & =\pm 2^{n_1/2}\frac{{\mathrm{tr}}_{\mathrm{s}}^W(({\gamma }^E{)}_{n_1}{\mathrm{e}}^{-{\Omega }^W})}{{\det }^{1/2}(1-{\gamma }^N)}.\end{array}$$再来考虑 $S(N)$ 的陈特征. 可以证明, 对 $S(N)$ 来说, (9.5.1) 和 (10.10.2) 的相应版本也成立, 从而 $$\begin{array}{rl}\mathrm{ch}(\gamma ,S(N))& =(-2\mathrm{i}{)}^{n_1/2}T({\gamma }^{S(N)}\cdot {\mathrm{e}}^{-{\Omega }^{S(N)}})\\ & =\pm (-\mathrm{i}{)}^{n_1/2}{\det }^{1/2}(1-{\gamma }^N{\mathrm{e}}^{-{\Omega }^N}).\end{array}$$通过更仔细的计算 [BGV92, §6.4], 可知两处正负号是相同的. 我们就导出了第二个公式.

$\square$