3.6. Ankeny & Onishi 方法

在前一节中, 我们计算了 $G(x,z)$ 在 $x\le z$ 时的渐近展开式, 但这个结果在 $S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)$ 的上界估计中是明显不足的. 因此在本文中我们将引入 Ankeny 和 Onishi [1] 的方法来处理 $G(x,z)$ 在 $x\ge z$ 时的估计. 而这种方法本质上就是对 $G(x,z)$ 关于 $z$ 进行迭代.

3.6.1迭代公式

设 $p<p^{\prime }$ 为两个相邻的素数, 则根据定义可知:

$$G(x,p^{\prime })-G(x,p)=\sum _{\begin{array}{c}d|P(p^{\prime })\\ d<x\\ p|d\end{array}}h(d)=h(p)\sum _{\begin{array}{c}t|P(p)\\ x/p\end{array}}h(d)=G\left(\frac{x}{p},p\right).$$

将这个式子迭代使用, 便知这当 $2\le w\le z$ 时总有:

$$G(x,z)=G(x,w)+\sum _{w\le p<z}h(p)G\left(\frac{x}{p},p\right).$$(3.6.1)

3.6.2函数 $j_{\kappa }(c)$

根据定理 3.5.4.2, 我们要求:

$$j_{\kappa }(c)=\frac{e^{-\gamma \kappa }}{\Gamma (\kappa +1)}{c}^{\kappa },\text{\hspace{1em}(0≤c≤1)}$$

则对于固定的 $0<c\le 1$, 总有:

$$G(z^c,z)=\frac{j_{\kappa }(c)}{V(z)}\left\{1+O\left(\frac{1}{\log z}\right)\right\}.$$(3.6.2)

3.6.3$j_{\kappa }(c)$ 的迭代公式

通过拓展 $j_{\kappa }(c)$ 的定义, 我们就可以扩大 (3.6.2) 的成立范围. 现在我们就不妨设 $\ell$ 为正整数, 并假设 $j_{\kappa }(c)$ 在 $0<c\le \ell$ 都有定义了, 则当 $\ell <c\le \ell +1$ 时结合 (3.6.1), 可知:

$$G(x,x^{1/c})=G(x,x^{1/\ell })-\sum _{x^{1/\ell }\le p<x^{1/c}}h(p)G\left(\frac{x}{p},p\right).$$

由于 $x^{1/\ell }\le p<x^{1/c}$ 时总有:

$$\ell -1\le \frac{\log x/p}{\log p}<\ell ,$$

所以我们就可以根据归纳假设得到:

$$\begin{array}{rl}V(x^{1/c})& G(x,x^{1/c})=j_{\kappa }(\ell )\frac{V(x^{1/c})}{V(x^{1/\ell })}\\ & -\sum _{x^{1/\ell }\le p<x^{1/c}}h(p)\frac{V(x^{1/c})}{V(p)}{j}_{\kappa }\left(\frac{\log x}{\log p}-1\right)+O\left(\frac{1}{\log x}\right).\end{array}$$

结合先前定义的双边条件 ${\Omega }_2(\kappa )$, 便可将右侧的 $V(z)$ 更换成对数函数:

$$\begin{array}{rl}{c}^{-\kappa }V(x^{1/c})& G(x,x^{1/c})={\ell }^{-\kappa }{j}_{\kappa }(\ell )\\ & -\sum _{x^{1/\ell }\le p<x^{1/c}}h(p)j_{\kappa }\left(\frac{\log x}{\log p}-1\right){\left(\frac{\log x}{\log p}\right)}^{-\kappa }+O\left(\frac{1}{\log x}\right).\end{array}$$(3.6.3)

接下来对最右侧的和式套用引理 7.4.0.1 (即 “核武器” 引理) , 便得积分:

$$\sum _{x^{1/\ell }\le p<x^{1/c}}=\kappa {\int }_{x^{1/\ell }}^{x^{1/c}}{j}_{\kappa }\left(\frac{\log x}{\log t}-1\right){\left(\frac{\log x}{\log t}\right)}^{-\kappa }\frac{\mathrm{d}t}{t\log t}+O\left(\frac{1}{\log x}\right).$$

此刻设 $u=\log x/\log t$, 则有 $\mathrm{d}u/u=-\mathrm{d}t/t\log t$, 于是:

$$\sum _{x^{1/\ell }\le p<x^{1/c}}=-\kappa {\int }_{\ell }^c{u}^{-\kappa -1}{j}_{\kappa }(u-1)\mathrm{d}u+O\left(\frac{1}{\log x}\right).$$

代入到 (3.6.3) 中并结合归纳假设, 就能得到结论:

$$c^{-\kappa }{j}_{\kappa }(c)={\ell }^{-\kappa }{j}_{\kappa }(\ell )-\kappa {\int }_{\ell }^c{u}^{-\kappa -1}{j}_{\kappa }(u-1)\mathrm{d}u.$$

于是我们将能通过这个迭代公式不断地拓展 (3.6.2) 的成立范围了.

3.6.4$j_{\kappa }(c)$ 的微分方程

结合迭代公式, 不难发现对于所有的 $0<c_0<c$ 总有:

$$c^{-\kappa }{j}_{\kappa }(c)=c_0^{-\kappa }{j}_{\kappa }(c_0)-\kappa {\int }_{c_0}^c{u}^{-\kappa -1}{j}_{\kappa }(u-1)\mathrm{d}u.$$

对两侧关于 $c$ 求导, 即得:

$$[c^{-\kappa }{j}_{\kappa }(c){]}^{\prime }=-\kappa c^{-\kappa -1}{j}_{\kappa }(c-1).$$

我们可以发现这个方程表明 $j_{\kappa }(c)$ 的导数大小受 $j_{\kappa }(c)$ 和 $j_{\kappa }(c-1)$ 的影响, 所以此类微分方程也被称为差分微分方程 (differential–difference equation) . 现在结合前面的结论, 就可以用下列初值问题来刻画 $j_{\kappa }(c)$ 了:

$$\{\begin{array}{ll}{j}_{\kappa }(c)=e^{-\gamma \kappa }{c}^{\kappa }/\Gamma (\kappa +1)& 0\le c\le 1,\\ c{j}_{\kappa }^{\prime }(c)=\kappa j_{\kappa }(c)-\kappa j_{\kappa }(c-1)& c>1.\end{array}$$(3.6.4)

3.6.5结论

将本文的成果物与 Selberg 筛法结合, 便有:

定理 3.6.5.1 (Ankeny–Onishi). 在条件 ${\Omega }_2(\kappa )$ 下, 当 $j_{\kappa }(c)$ 满足 (3.6.4), 则对于固定的 $c>0$ 总有: $$S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)<XV(z)\left\{\frac{1}{j_{\kappa }(c)}+O\left(\frac{1}{\log z}\right)\right\}+\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<z^{2c}\end{array}}{3}^{\omega (d)}|r(d)|.$$

注 3.6.5.2. 本文的定理 3.6.5.1 实际上就是 [1] 中的定理 3.1. 他们采用的符号是 $J_{\kappa }(c)$, 而本讲义的 $j_{\kappa }(c)$ 源于 Diamond、Halberstam 和 Galway [5]. 两者满足 $j_{\kappa }(c)=e^{-\gamma \kappa }{J}_{\kappa }(c)/\Gamma (\kappa )$.

通过更加精密的估计, Halberstam 和 Richert [7] 得到了对 $c>1$ 一致成立的渐近公式:

$$G(z^c,z)=\frac{j_{\kappa }(c)}{V(z)}\left\{1+O\left(\frac{c^{2\kappa }}{\log z}\right)\right\}.$$

将此结果与定理 3.5.4.2 结合, 便得对所有 $c>0$ 一致成立的 Selberg 上界筛:

定理 3.6.5.3 (Halberstam–Richert). 在条件 ${\Omega }_2(\kappa )$ 下, 当 $j_{\kappa }(c)$ 满足 (3.6.4), 则对所有的 $c>0$ 均有: $$S(\mathcal{A},\mathcal{P},z)<XV(z)\left\{\frac{1}{j_{\kappa }(c)}+O\left(\frac{c^{2\kappa }+c^{-\kappa -1}}{\log z}\right)\right\}+\sum _{\begin{array}{c}d|P(z)\\ d<z^{2c}\end{array}}{3}^{\omega (d)}|r(d)|,$$其中大 O 常数只与 $\kappa$ 有关.