5.7. 酉矩阵

酉矩阵

定义 5.7.1. 设 $V$ 是一个酉空间. 线性变换 $T:V\to V$ 称为正交变换, 如果对于任意向量 $\mathbf{u}\in V$, 都有$$\Vert T(\mathbf{u})\Vert =\Vert \mathbf{u}\Vert$$即正交变换保持向量的范数 (长度) 不变.

命题 5.7.2. 酉空间 $V$ 上的线性变换 $T:V\to V$ 是一个正交变换当且仅当 $T$ 保持厄米内积不变, 即对 $V$ 中的任意向量 $\mathbf{u},\mathbf{v}$ $$⟨T(\mathbf{u}),T(\mathbf{v})⟩=⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩$$

证明: 类似命题 5.3.4.

$\square$

与欧几里得空间类似, 我们同样可以选标准正交基来具体刻画正交变换.

命题 5.7.3. 设 $\{{\vec{\gamma }}_1,\cdots ,{\vec{\gamma }}_n\}$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 的一组标准正交基. 则线性映射 $T:V\to V$ 是正交变换当且仅当$$\{T({\vec{\gamma }}_1),\cdots ,T({\vec{\gamma }}_n)\}$$也是 $V$ 的标准正交基.

证明: 类似命题 5.3.5.

$\square$

定义 5.7.4. 一个 $n$ 阶复方阵 $A$ 称为酉矩阵, 如果它满足$${\bar{A}}^{T}A=A{\bar{A}}^T=I_n$$其中 ${\bar{A}}^T$ 表示 $A$ 的共轭转置, $I_n$ 表示 $n$ 阶单位矩阵. 所有 $n$ 阶酉矩阵组成的集合记为 $U(n)$.

即 $A$ 是酉矩阵当且仅当 $A$ 的共轭转置是它的逆$${\bar{A}}^T=A^{-1}$$

命题 5.7.5. 设 $T:V\to V$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 的线性变换. 则 $T$ 是酉变换当且仅当 $T$ 在 $V$ 的一组标准正交基下的表示矩阵 $A$ 是 $n$ 阶酉矩阵.

证明: 类似命题 5.3.7.

$\square$

命题 5.7.6. 设 $A$ 是 $n$ 阶复方阵, 则如下条件等价:

1.	$A$ 是酉矩阵
2.	$A$ 的列向量构成 ${\mathbb{C}}^n$ 的标准正交基
3.	$A$ 的行向量构成 ${\mathbb{C}}^n$ 的标准正交基

证明: 类似命题 5.3.8.

$\square$

命题 5.7.7. 设 $A,B$ 是 $n$ 阶酉矩阵, 则 $A^{-1}(={\bar{A}}^T),AB$ 均为 $n$ 阶酉矩阵. 即 $U(n)$ 构成一个群, 称为 $n$ 阶酉群.

证明: 类似命题 5.3.10.

$\square$

定义 5.7.8. 行列式为 $1$ 的 $n$ 阶酉矩阵构成的集合记为 $\mathrm{SU}(n)$, 称为 $n$ 阶特殊酉群$$\mathrm{SU}(n)=\{A\in U(n)|\det A=1\}$$$\mathrm{SU}(n)$ 是 $U(n)$ 的子群.

定义 5.7.9. 设 $A$ 和 $B$ 是两个 $n$ 阶复方阵. 如果存在一个 $n$ 阶酉矩阵 $U$, 使得$$B=UA{U}^{-1}(\text{即}=UA{\bar{U}}^T)$$则称矩阵 $A$ 和 $B$ 酉相似.

酉相似是比相似更强的关系. 如果两个矩阵酉相似, 则它们一定相似; 反之不一定成立.

命题 5.7.10. 任意 $n$ 阶复方阵酉相似于一个上三角方阵.

证明: 类似命题 5.4.3.

$\square$

正规矩阵

可对角矩阵具有非常好的性质. 我们这里给出判断 $n$ 阶复方阵是否可以通过酉相似对角化的一个简单方法.

定义 5.7.11. $n$ 阶复方阵 $A$ 称为正规矩阵, 如果 $A$ 与它的共轭转置 ${\bar{A}}^T$ 交换$$A{\bar{A}}^T={\bar{A}}^{T}A$$

命题 5.7.12. $n$ 阶复方阵 $A$ 酉相似于对角方阵当且仅当 $A$ 是正规矩阵.

证明: 假设 $A$ 酉相似于对角方阵, 即存在酉矩阵 $U$ 和对角方阵 $\Lambda =\mathrm{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$ 使得$$A=U\Lambda {\bar{U}}^T$$则 ${\bar{A}}^T=U\bar{\Lambda }{\bar{U}}^T$, 因此 $A{\bar{A}}^T={\bar{A}}^{T}A=U\Lambda \bar{\Lambda }{\bar{U}}^T$. 这里我们用到 $\Lambda \bar{\Lambda }=\bar{\Lambda }\Lambda$.

反之, 假设 $A$ 是正规矩阵. 由命题 5.7.10, 存在酉矩阵 $U$ 和上三角方阵$$\Lambda =\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& \cdots & 0& a_{nn}\end{array}\right]$$使得 $A=U\Sigma {\bar{U}}^T$. 代入正规条件 $A{\bar{A}}^T={\bar{A}}^{T}A$, 得到 $\Sigma {\bar{\Sigma }}^T={\bar{\Sigma }}^T\Sigma$, 即$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& \cdots & 0& a_{nn}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{\bar{a}}_{11}& 0& \cdots & 0\\ {\bar{a}}_{12}& {\bar{a}}_{22}& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {\bar{a}}_{1n}& \cdots & \ast & {\bar{a}}_{nn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\bar{a}}_{11}& 0& \cdots & 0\\ {\bar{a}}_{12}& {\bar{a}}_{22}& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {\bar{a}}_{1n}& \cdots & \ast & {\bar{a}}_{nn}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& \cdots & 0& a_{nn}\end{array}\right]\end{array}$$

比较两边第 1 行第 1 列矩阵元得$$|a_{11}{|}^2+|a_{12}{|}^2+\cdots +|a_{1n}{|}^2=|a_{11}{|}^2$$由此得 $a_{12}=\cdots =a_{1n}=0$. 然后比较两边第 2 行第 2 列矩阵元, 依次类推我们得到$$\Lambda =\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ 0& a_{22}& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& \cdots & 0& a_{nn}\end{array}\right]$$是对角方阵.

$\square$

命题 5.7.13. 设 $A$ 是 $n$ 阶厄米方阵, 即 $A={\bar{A}}^T$, 则 $A$ 可以酉相似于对角方阵.

证明: 由 $A$ 是 $n$ 阶厄米方阵$$A{\bar{A}}^T=A^2={\bar{A}}^{T}A$$故 $A$ 是正规矩阵. 由命题 5.7.12, $A$ 可以酉相似于对角方阵.

$\square$

命题 5.7.14. 设 $A$ 是 $n$ 阶厄米方阵, 则 $A$ 的特征值均为实数. $A$ 是正定 (半正定) 当且仅当 $A$ 的特征值均为正数 (非负数) .

证明: 类似命题 5.4.4、命题 5.4.6 和命题 5.4.8.

$\square$

命题 5.7.15. 设 $A$ 是 $n$ 阶半正定厄米方阵. 则存在唯一的半正定厄米方阵 $B$ 使得 $A=B^2$. 记 $B=\sqrt{A}$.

证明: 类似命题 5.4.9.

$\square$

奇异值分解

设 $A$ 是 $m\times n$ 复矩阵. 考虑 $n$ 阶方阵 ${\bar{A}}^{T}A$. 对于任意 $\mathbf{z}\in {\mathbb{C}}^n$$${\bar{\mathbf{z}}}^T({\bar{A}}^{T}A)\mathbf{z}={\overline{(A\mathbf{z})}}^T(A\mathbf{z})\ge 0$$因此 ${\bar{A}}^{T}A$ 是 $n$ 阶半正定厄米方阵. 同理, $A{\bar{A}}^T$ 是 $m$ 阶半正定厄米方阵. 并且 ${\bar{A}}^{T}A$ 和 $A{\bar{A}}^T$ 具有相同的非零特征值.

定义 5.7.16. 设 $A$ 是 $m\times n$ 复矩阵. 半正定厄米方阵 ${\bar{A}}^{T}A$ (或 $A{\bar{A}}^T$) 的非零特征值的平方根称为 $A$ 的奇异值.

设 ${\bar{A}}^{T}A$ 的所有非零特征值为 ${\mu }_1,\cdots ,{\mu }_r$, 则 $A$ 的所有奇异值为 ${\sigma }_1=\sqrt{{\mu }_1},\cdots ,{\sigma }_r=\sqrt{{\mu }_r}$.

命题 5.7.17. 设 $A$ 是 $n$ 阶厄米方阵. 则 $A$ 的所有奇异值为所有非零特征值的绝对值.

证明: 类似命题 5.4.11.

$\square$

对于非厄米方阵, 奇异值和特征值没有这样的直接联系.

定理 5.7.18 (奇异值分解). 设 ${\sigma }_1\ge \cdots \ge {\sigma }_r>0$ 是 $m\times n$ 阶复矩阵 $A$ 的所有奇异值. 则存在 $m$ 阶酉矩阵 $U$ 和 $n$ 阶酉矩阵 $V$ 使得 $A=U\Sigma {\bar{V}}^T$, 其中

$$\Sigma =\left[\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{cccc}{\sigma }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\sigma }_2& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& \cdots & 0& {\sigma }_r\end{array}\right]& 0_{r\times (n-r)}\\ 0_{(m-r)\times r}& 0_{(m-r)\times (n-r)}\end{array}\right]$$这里 $0_{k\times l}$ 表示 $k\times l$ 的零矩阵.

证明: 类似定理 5.4.13.

$\square$