5.6. 酉空间

下面我们考虑复数域, 也就是复向量空间上的内积空间, 这样的空间称为酉空间. 酉空间是欧几里得空间在复数域上的自然推广, 很多处理方法和欧几里得空间类似. 我们在论述相似的结论时也只叙不证, 细节留作练习.

定义 5.6.1. 复线性空间 $V$ 上的厄米内积指的是一个映射 $⟨ \cdot, \cdot ⟩ : V \times V \to C$ 满足以下条件:

1.	正定性: 对任意 $u \in V$ , $⟨ u, u ⟩ \geq 0$ 且 $⟨ u, u ⟩ = 0 ⟺ u = 0$
2.	共轭对称性: 对任意 $u, v \in V$ , $⟨ u, v ⟩ = \overline{⟨ v, u ⟩}$
3.	线性性: 对任意 $u, v, w \in V$ 和复数 $a, b \in C$ , $⟨ u, a v + b w ⟩ = a ⟨ u, v ⟩ + b ⟨ u, w ⟩$

注意到这里的线性性是对 $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ 的第二个分量描述的. 由共轭对称性, 厄米内积对第一个分量是共轭线性的, 即 $⟨ a v + b w, u ⟩ = \overset{a}{ˉ} ⟨ v, u ⟩ + \overset{ˉ}{b} ⟨ w, u ⟩$

注记. 有的参考文献讨论厄米内积时也会定义为对第一个分量线性, 第二个分量共轭线性. 这两种定义方式是等价的, 只是表达方式不同. 我们这里采取如上的约定, 即对第二个分量线性.

定义 5.6.2. 带厄米内积的复线性空间称为酉空间.

酉空间也可能是无穷维. 我们主要讨论有限维的情况.

例子 5.6.3. $V = C^{n}$ , 定义两个复向量的厄米内积为 $⟨ z, w ⟩ = i = 1 \sum n \overset{z}{ˉ}_{i} w_{i}$ 这里 $z_{i}, w_{i}$ 是复向量 $z, w$ 的分量. 此时 $⟨ z, z ⟩ = i = 1 \sum n ∣ z_{i} ∣^{2}$ 表示向量 $z$ 的长度. 容易验证, $(C^{n}, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ 构成一个酉空间, 称为 $n$ 维标准酉空间. 如果我们把 $C^{n}$ 中的向量写成列向量的样子, 则这个厄米内积可以用矩阵乘法表示为 $⟨ z, w ⟩ = \overset{ˉ}{z}^{T} \cdot w = [\overset{z}{ˉ}_{1} \dots \overset{z}{ˉ}_{n}] ⎣ ⎡ w_{1} ⋮ w_{n} ⎦ ⎤$

例子 5.6.4. $V = C^{n}$ , 设 $a_{i} > 0$ 是正实数. 定义两个复向量的厄米内积为 $⟨ z, w ⟩ = i = 1 \sum n a_{i} \overset{z}{ˉ}_{i} w_{i}$

对称性和线性性显然满足. 由 $⟨ z, z ⟩ = i = 1 \sum n a_{i} ∣ z_{i} ∣^{2}$ 可以很容易看出正定性. 令 $A$ 为对角方阵 $A = ⎣ ⎡ a_{1} 0 \dots 0 0 a_{2} \dots \dots \dots \dots \dots 0 00 \dots a_{n} ⎦ ⎤$ 则这个厄米内积也可以写成矩阵形式 $⟨ z, w ⟩ = \overset{ˉ}{z}^{T} A w = [\overset{z}{ˉ}_{1} \dots \overset{z}{ˉ}_{n}] ⎣ ⎡ a_{1} 0 \dots 0 0 a_{2} \dots \dots \dots \dots \dots 0 00 \dots a_{n} ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ w_{1} ⋮ w_{n} ⎦ ⎤$

例子 5.6.5. 设 $V$ 是由有限闭区间 $[a, b]$ 上取值在复数的连续函数构成的线性空间. 对任意两个函数 $f (x), g (x) \in V$ , 我们定义它们的厄米内积为 $⟨ f, g ⟩ := \int_{a}^{b} \overline{f (x)} g (x) d x$

对称性和线性性显然满足. 由 $⟨ f, f ⟩ := \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣^{2} d x$ 知 $⟨ f, f ⟩ \geq 0$ 且 $⟨ f, f ⟩ = 0$ 当且仅当 $f (x) = 0$ 是零函数, 即 $V$ 中的零向量. 因此 $(V, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ 定义了一个无穷维的酉空间.

Gram 矩阵

设 $V$ 是一个酉空间, ${α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}}$ 是 $V$ 的一组基. 考虑这些基向量之间的厄米内积 $定义 G_{ij} := ⟨ α_{i}, α_{j} ⟩, i, j = 1, \dots, n$ 由此我们得到一个 $n$ 阶复方阵 $G = (G_{ij})$ .

定义 5.6.6. 设 $(V, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ 是 $n$ 维酉空间, ${α_{1}, \dots, α_{n}}$ 为 $V$ 的一组基. 我们称 $n$ 阶方阵

$G = ⎣ ⎡ ⟨ α_{1}, α_{1} ⟩ ⟨ α_{2}, α_{1} ⟩ \dots ⟨ α_{n}, α_{1} ⟩ ⟨ α_{1}, α_{2} ⟩ ⟨ α_{2}, α_{2} ⟩ \dots ⟨ α_{n}, α_{2} ⟩ \dots \dots \dots \dots ⟨ α_{1}, α_{n} ⟩ ⟨ α_{2}, α_{n} ⟩ \dots ⟨ α_{n}, α_{n} ⟩ ⎦ ⎤$ 为厄米内积 $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ 在基 ${α_{1}, \dots, α_{n}}$ 下的 Gram 矩阵.

设 $G = (G_{ij})$ 是厄米内积 $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ 在 $V$ 的一组基 ${α_{1}, \dots, α_{n}}$ 下的 Gram 矩阵. 对 $V$ 中任意两个向量 $u, v$ , 它们通过这组基的线性展开记为 $u v = z_{1} α_{1} + \dots z_{n} α_{n} = w_{1} α_{1} + \dots w_{n} α_{n}$ 则 $⟨ u, v ⟩ = [\overset{z}{ˉ}_{1} \dots \overset{z}{ˉ}_{n}] G ⎣ ⎡ w_{1} ⋮ w_{n} ⎦ ⎤$

定义 5.6.7. 对于复矩阵 $A = (a_{ij})$ , 我们定义它的复共轭 $\overset{ˉ}{A} = (\overset{a}{ˉ}_{ij})$ , 其中 $\overset{a}{ˉ}_{ij}$ 是复数 $a_{ij}$ 的共轭. 复共轭和转置的复合 $\overset{ˉ}{A}^{T}$ 称为 $A$ 的共轭转置.

命题 5.6.8. 对于复方阵的乘积, 我们有 $\overline{A_{1} A_{2} \dots A_{m}} \overline{A_{1} A_{2} \dots A_{m}}^{T} = \overset{ˉ}{A}_{1} \overset{ˉ}{A}_{2} \dots \overset{ˉ}{A}_{m} = \overset{ˉ}{A}_{m}^{T} \dots \overset{ˉ}{A}_{2}^{T} \overset{ˉ}{A}_{1}^{T}$

证明: 留作练习.

$□$

定义 5.6.9. $n$ 阶复方阵 $A$ 称为是厄米方阵, 如果 $A = \overset{ˉ}{A}^{T}$

复数域上的厄米方阵类比于实数域上的对称方阵.

定义 5.6.10. 一个 $n$ 阶厄米方阵 $A = (a_{ij})$ 称为正定的 (半正定的) , 如果对任意非零列向量 $z \in C^{n}$ , 都有 $\overset{ˉ}{z}^{T} A z > 0 (\geq 0) 即 i, j = 1 \sum n a_{ij} \overset{z}{ˉ}_{i} \overset{z}{ˉ}_{j} > 0 (\geq 0)$

注意到对于厄米方阵 $A$

$\overline{\overset{ˉ}{z}^{T} A z} = \overline{(\overset{ˉ}{z}^{T} A z)}^{T} = \overset{ˉ}{z}^{T} \overset{ˉ}{A}^{T} z = \overset{ˉ}{z}^{T} A z$ 即 $\overset{ˉ}{z}^{T} A z$ 一定是实数.

命题 5.6.11. 设 $G$ 是酉空间一组基 ${α_{1}, \dots, α_{n}}$ 下的 Gram 矩阵. 则 $G$ 是正定厄米方阵.

证明与欧几里得空间类似: 厄米内积的共轭对称性和正定性保证了

G

是正定厄米方阵. 因此在给定

V

的一组基的情况下, Gram 矩阵

厄米内积 ⟺ Gram 厄米正定矩阵

给出厄米内积和正定厄米矩阵之间的一一对应.

范数

定义 5.6.12. 设 $(V, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ 是一个酉空间. 对于任意向量 $u \in V$ , $u$ 的长度 (或范数) 定义为 $∥ u ∥ = ⟨ u, u ⟩$

命题 5.6.13 (Cauchy-Schwarz 不等式). 设 $(V, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ 是一个酉空间. 则对任意两个向量 $u, v \in V$ $∣ ⟨ u, v ⟩ ∣ \leq ∥ u ∥∥ v ∥$ 等号成立当且仅当 $u, w$ 线性相关.

证明: 类似命题 5.1.9.

$□$

命题 5.6.14 (三角不等式). 对酉空间中任意两个向量 $u, v$ $∥ u + v ∥ \leq ∥ u ∥ + ∥ v ∥$

证明; 类似命题 5.1.11.

$□$

命题 5.6.15 (平行四边形法则). 对酉空间中任意两个向量 $u, v$ $∥ u + v ∥^{2} + ∥ u - v ∥^{2} = 2∥ u ∥^{2} + 2∥ v ∥^{2}$

证明: 类似命题 5.1.12.

$□$

正交性

定义 5.6.16. 酉空间中满足如下条件的两个向量 $⟨ u, v ⟩ = 0$ 称为是正交的, 记作 $u ⊥ v$ .

命题 5.6.17. 设 ${α_{1}, \dots, α_{m}}$ 是酉空间 $V$ 中 $m$ 个两两正交的非零向量, 即 $⟨ α_{i}, α_{j} ⟩ = 0 i \neq = j, i, j = 1, \dots, m$ 则 ${α_{1}, \dots, α_{m}}$ 线性无关.

证明: 类似命题 5.2.1.

$□$

定义 5.6.18. 酉空间 $V$ 的一组基如果由两两正交的向量构成, 则称这组基为正交基. 如果正交基的每个基向量范数都是 $1$ , 则这组基称为酉空间的标准正交基.

给定酉空间 $V$ 的任一组基 ${α_{1}, \dots, α_{n}}$ , 我们同样可以用 Gram-Schmidt 正交化依次定义 $β_{k} = α_{k} - i = 1 \sum k - 1 \frac{⟨ α _{k} , β _{i} ⟩}{⟨ β _{i} , β _{i} ⟩} β_{i}$ 得到一组正交基 ${β_{1}, \dots, β_{k}}$ . 此时从基 ${α_{i}}$ 到 ${β_{i}}$ 的过渡矩阵 $P$ 是上三角矩阵 $[β_{1} β_{2} \dots β_{n}] = [α_{1} α_{2} \dots α_{n}] P$ 我们可以进一步对 $β_{i}$ 作归一化, 得到一组标准正交基. 由此证明了如下结论.

命题 5.6.19. $n$ 维酉空间存在标准正交基.

定义 5.6.20. 设 $(V, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ 是一个 $n$ 维酉空间, $W \subset V$ 是复线性子空间. 我们定义 $W$ 在 $V$ 中的正交补空间为 $W^{⊥} := {u \in V ∣ ⟨ u, v ⟩ = 0 对 W 中任意向量 v 成立}$ 即 $u \in W^{⊥}$ 如果 $u$ 与 $W$ 中的任意向量都正交.

如果我们选 $W$ 中的一组基 ${β_{1}, \dots, β_{m}}$ , 则 $u \in W^{⊥}$ 当且仅当 $u$ 与这组基向量正交 $⟨ u, β_{i} ⟩ = 0 i = 1, \dots, m$ 这给出了正交补空间向量的一个判别方法.

命题 5.6.21. 设 $(V, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ 是一个 $n$ 维酉空间, $W \subset V$ 是线性子空间. 则我们有直和分解 $V = W \oplus W^{⊥}$

证明: 类似命题 5.2.9.

$□$

因此任意向量 $u \in V$ 可以唯一地写为 $u = u^{∥} + u^{⊥} ，其中 u^{∥} \in W, u^{⊥} \in W^{⊥}$ 称为 $u$ 关于 $W$ 的正交分解. 线性映射 $p_{W} : V \to W, u \to u^{∥}$ 称为 $V$ 向 $W$ 的正交投影.

命题 5.6.22. 设 $(V, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ 是 $n$ 维酉空间, $W \subset V$ 是线性子空间. 设 $u$ 是 $V$ 中任意向量, 则 $∥ u - p_{W} (u) ∥ = w \in W min ∥ u - w ∥$ 即 $p_{W} (u)$ 是 $W$ 中与 $u$ 的距离最短的向量.

证明: 类似命题 5.2.12.

$□$

等价而言, 如果向量 $u$ 关于 $W$ 的正交分解为 $u = u^{∥} + u^{⊥}$ 则 $u$ 与 $W$ 中向量间的最短距离为分量 $u^{⊥}$ 的长度 $w \in W min ∥ u - w ∥ = ∥ u^{⊥} ∥$ 这个值也称为向量 $u$ 与子空间 $W$ 的距离.

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