3.4. 乘积的行列式

给定两个 $n$ 阶方阵 $A = ⎣ ⎡ a_{11} a_{21} \dots a_{n 1} a_{12} a_{22} \dots a_{n 2} \dots \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} \dots a_{nn} ⎦ ⎤ B = ⎣ ⎡ b_{11} b_{21} \dots b_{n 1} b_{12} b_{22} \dots b_{n 2} \dots \dots \dots \dots b_{1 n} b_{2 n} \dots b_{nn} ⎦ ⎤$ 它们的乘积 $A B$ 也是 $n$ 阶方阵. 我们这一节证明如下矩阵乘积的行列式公式: $det (A B) = (det A) (det B)$

行列式与线性映射

一个 $n$ 阶方阵 $A$ 对应于线性映射 $f : R^{n} \to R^{n}$ $f : ⎣ ⎡ x_{1} x_{2} \dots x_{n} ⎦ ⎤ \mapsto ⎣ ⎡ a_{11} a_{21} \dots a_{n 1} a_{12} a_{22} \dots a_{n 2} \dots \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} \dots a_{nn} ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ x_{1} x_{2} \dots x_{n} ⎦ ⎤$ 即把 $R^{n}$ 中的元素 $x$ 写成列向量, 我们有 $f (x) = A x$

特别地, $f$ 把 $R^{n}$ 的标准基向量映到 $A$ 的列向量例如 $f (e_{1}) = ⎣ ⎡ a_{11} a_{21} \dots a_{n 1} a_{12} a_{22} \dots a_{n 2} \dots \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} \dots a_{nn} ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ 10 \dots 0 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ a_{11} a_{21} \dots a_{n 1} ⎦ ⎤$

回顾我们用矩阵 $A$ 的行向量做外积来定义行列式. 由于行列式对于行和列是对称的, 我们也可以等价地用列向量做外积来得到行列式. 因此矩阵 $A$ 的行列式也可以通过如下表达式给出 $f (e_{1}) \land f (e_{2}) \land \dots \land f (e_{n}) = (det A) e_{1} \land e_{2} \land \dots \land e_{n}$ 这给出了行列式关于线性映射的解释: $det A$ 是 $f$ 把 $R^{n}$ 中的体积元伸缩的倍数 (带符号) .

乘积的行列式

设 $A, B$ 是 $n$ 阶行列式, 它们分别对应于线性映射 $f, g : R^{n} \to R^{n}$ 我们知道乘积 $A B$ 对应于 $f, g$ 复合的线性映射 $f \circ g : R^{n} \to R^{n}$

通过矩阵 $B$ 的分量 $(b_{ij})$ , 我们有 $= g (e_{1}) \land g (e_{2}) \land \dots \land g (e_{n}) (i \sum b_{i 1} e_{i}) \land (i \sum b_{i 2} e_{i}) \land \dots \land (i \sum b_{in} e_{i})$ 复合 $f$ 并利用 $f$ 的线性性, 我们得到 $= f (g (e_{1})) \land f (g (e_{2})) \land \dots \land f (g (e_{n})) (i \sum b_{i 1} f (e_{i})) \land (i \sum b_{i 2} f (e_{i})) \land \dots \land (i \sum b_{in} f (e_{i}))$

根据行列式的定义, 我们可以通过外积运算得到 $(i \sum b_{i 1} e_{i}) \land (i \sum b_{i 2} e_{i}) \land \dots \land (i \sum b_{in} e_{i}) = (det B) e_{1} \land e_{2} \land \dots \land e_{n}$ 把 $e_{i}$ 换做 $f (e_{i})$ , 通过同样的外积运算可以得到 $(i \sum b_{i 1} f (e_{i})) \land (i \sum b_{i 2} f (e_{i})) \land \dots \land (i \sum b_{in} f (e_{i})) = (det B) f (e_{1}) \land f (e_{2}) \land \dots \land f (e_{n})$ 因此 $= = f (g (e_{1})) \land f (g (e_{2})) \land \dots \land f (g (e_{n})) (i \sum b_{i 1} f (e_{i})) \land (i \sum b_{i 2} f (e_{i})) \land \dots \land (i \sum b_{in} f (e_{i})) (det B) f (e_{1}) \land f (e_{2}) \land \dots \land f (e_{n})$

由矩阵 $A$ 的行列式的外积定义, $f (e_{1}) \land f (e_{2}) \land \dots \land f (e_{n}) = (det A) e_{1} \land e_{2} \land \dots \land e_{n}$ 代入上式得到 $f (g (e_{1})) \land f (g (e_{2})) \land \dots \land f (g (e_{n})) = (det A) (det B) e_{1} \land e_{2} \land \dots \land e_{n}$

另一方面, 由于复合 $f \circ g$ 对应于矩阵 $A B$ , 由行列式的外积定义我们有 $f (g (e_{1})) \land f (g (e_{2})) \land \dots \land f (g (e_{n})) = det (A B) e_{1} \land e_{2} \land \dots \land e_{n}$ 对比两方面的计算, 我们得到 $det (A B) = (det A) (det B)$ .

定理 3.4.1. 设 $A, B$ 是 $n$ 阶方阵, 则 $det (A B) = (det A) (det B)$

这个定理的几何解释为: 假设

A, B

对应于线性映射

f, g : R^{n} \to R^{n}

, 故

g

将

n

维体积元伸缩

det B

倍,

f

将

n

维体积元伸缩

det A

倍. 则

f

复合

g

将

n

维体积元伸缩

(det A) (det B)

倍.

例子 3.4.2. 矩阵 $A = [1324]$ , $B = [5768]$ . 直接计算知 $det A = - 2 det B = - 2 ⟹ det A det B = 4$ 另一方面 $A B = [19432250]$ , 其行列式为 $∣ ∣ 19432250 ∣ ∣ = 19 \times 50 - 43 \times 22 = 950 - 946 = 4$

例子 3.4.3. 方阵 $A$ 称为是幂零矩阵, 如果存在一个正整数 $N$ 使得 $A^{N} = 0$ , 即足够多个 $A$ 乘在一起是零. 对于幂零矩阵一定有 $det A = 0$ 实际上由 $A^{N} = 0$ 两边取行列式, 我们得到 $det (A^{N}) = (det A)^{N} = 0 ⟹ det A = 0$

例子 3.4.4. 设 $A = (a_{ij})$ 是 $n$ 阶方阵, $λ \in R$ . 方阵 $λ A = (λ a_{ij})$ 可以通过矩阵乘积来表示 $λ A = Λ A, Λ = ⎣ ⎡ λ 0 \dots 0 0 λ \dots 0 \dots \dots \dots \dots 00 \dots λ ⎦ ⎤$ 因此 $det (λ A) = det Λ det A = λ^{n} det A$

例子 3.4.5. $n$ 阶方阵 $A$ 称为是反对称方阵, 如果 $A^{T} = - A$ . 假设 $A$ 是奇数阶反对称方阵, 则 $det A = det A^{T} = det (- A) = (- 1)^{n} det A = - det A$ 于是 $det A = 0$ . 例如 $∣ ∣ 02 - 3 - 2 01 3 - 1 0 ∣ ∣ = 0$

例子 3.4.6. 求如下方阵 (称为 $n$ 阶轮回方阵) 的行列式 $A = ⎣ ⎡ a_{0} a_{n - 1} a_{n - 2} \dots a_{1} a_{1} a_{0} a_{n - 1} \dots a_{2} a_{2} a_{1} a_{0} \dots a_{3} \dots \dots \dots \dots \dots a_{n - 1} a_{n - 2} a_{n - 3} \dots a_{0} ⎦ ⎤$

设 $ω = e^{\frac{2 π - 1}{n}}$ 是 $n$ 次本原单位根. 记多项式 $f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n - 1} x^{n - 1}$

考虑列向量 $β_{i} = ⎣ ⎡ 1 ω^{i} ω^{2 i} ⋮ ω^{(n - 1) i} ⎦ ⎤$ . 由 $(ω^{i})^{n} = 1$ , 我们有 $⎣ ⎡ a_{0} a_{n - 1} a_{n - 2} \dots a_{1} a_{1} a_{0} a_{n - 1} \dots a_{2} a_{2} a_{1} a_{0} \dots a_{3} \dots \dots \dots \dots \dots a_{n - 1} a_{n - 2} a_{n - 3} \dots a_{0} ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ 1 ω^{i} ω^{2 i} ⋮ ω^{(n - 1) i} ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ f (ω^{i}) f (ω^{i}) ω^{i} f (ω^{i}) ω^{2 i} ⋮ f (ω^{i}) ω^{(n - 1) i} ⎦ ⎤ = f (ω^{i}) ⎣ ⎡ 1 ω^{i} ω^{2 i} ⋮ ω^{(n - 1) i} ⎦ ⎤$ 即 $A β_{i} = f (ω^{i}) β_{i}$ . 比如我们考虑第二行: $= = = a_{n - 1} + a_{0} ω^{i} + a_{1} ω^{2 i} + \dots + a_{n - 2} ω^{(n - 1) i} a_{n - 1} ω^{ni} + a_{0} ω^{i} + a_{1} ω^{2 i} + \dots + a_{n - 2} ω^{(n - 1) i} (a_{0} + a_{1} ω^{i} + \dots + a_{n - 2} ω^{(n - 2) i} + a_{n - 1} ω^{(n - 1) i}) ω^{i} f (ω^{i}) ω^{i}$

记矩阵 $B = [β_{0} β_{1} \dots β_{n - 1}]$ 则 $A B = [f (ω^{0}) β_{0} f (ω^{1}) β_{1} \dots f (ω^{n - 1}) β_{n - 1}]$ 两边取行列式, 我们得到 $det A det B = det B i = 0 \prod n - 1 f (ω^{i})$

观察到矩阵 $B = ⎣ ⎡ 1 ω^{0} ω^{0} \dots ω^{0} 1 ω ω^{2} \dots ω^{n - 1} 1 ω^{2} ω^{4} \dots ω^{2 (n - 1)} \dots \dots \dots \dots \dots 1 ω^{n - 1} ω^{2 (n - 1)} \dots ω^{(n - 1) (n - 1)} ⎦ ⎤$ 由 Vandermonde 行列式公式 $det B = 0 \leq i < j \leq n - 1 \prod (ω^{j} - ω^{i}) \neq = 0$ 因此公式 $det A det B = det B i = 0 \prod n - 1 f (ω^{i})$ 两边可以消去 $det B$ 得到轮回矩阵的行列式 $det A = i = 0 \prod n - 1 f (ω^{i})$

例子 3.4.7.

集合 ${1, 2, \dots, n}$ 到自身的一个一一映射称为一个 $n$ 元置换. 给定 $n$ 元置换 $σ$ , 我们可以把它对应到一个 $n$ 阶方阵 $A_{σ}$ , 其矩阵元 $a_{ij}$ 定义为 $a_{ij} = {10 如果 σ (i) = j 其它$ 即 $A_{σ}$ 的第 $i$ 行只有其第 $σ (i)$ 列非 $0$ 且其值是 $1$ . 例如 5 元置换

对应的矩阵为 $⎣ ⎡ 0001000001100000010001000 ⎦ ⎤$

我们可以不断通过交换两行的变换把 $A_{σ}$ 变为单位矩阵, 而每次交换行列式变号. 因此 $det A_{σ} = \pm 1$ 置换 $σ$ 称为偶置换, 如果 $det A_{σ} = 1$ ; $σ$ 称为奇置换, 如果 $det A_{σ} = - 1$ . 可以看出, $σ$ 的奇偶性与还原到单位矩阵需要经过的对换次数的奇偶性是一样的. 因此这里用行列式定义的置换奇偶性和行列式的组合定义中定义的奇偶性是等价的, 即 $sign σ = det A_{σ}$

例如置换 $σ : {1, 2, 3, 4, 5} \to {3, 5, 4, 1, 2}$

可以通过 3 个对换复合得到, 因此它是奇置换. 我们也可以通过其对应的行列式看出 $∣ ∣ 0001000001100000010001000 ∣ ∣ = - 1 ⟹ sign σ = 1$

两个置换 $σ, ρ$ 的复合 $σ \circ ρ$ 依然是一个 $n$ 元置换. 容易验证 $A_{σ \circ ρ} = A_{σ} A_{ρ}$

于是 $det A_{σ \circ ρ} = det A_{σ} det A_{ρ}$ . 因此置换复合满足 $奇置换 \times 奇置换 \to 偶置换奇置换 \times 偶置换 \to 奇置换偶置换 \times 偶置换 \to 偶置换$

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