7.1. Čech 上同调

定义 7.1.0.1. 考虑概形 $X$ 和一族平展覆盖 $\mathfrak{U}=\{U_i\to X{\}}_{i\in I}$, 考虑 $\mathcal{P}\in \mathrm{PreAb}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 定义$${\check{C}}^r(\mathfrak{U},\mathcal{P})=\prod _{(i_0,...,i_r)\in I^{r+1}}\mathcal{P}(U_{i_0}{\times }_X\cdots {\times }_X{U}_{i_r})$$和映射 $d^r:{\check{C}}^r(\mathfrak{U},\mathcal{P})\to {\check{C}}^{r+1}(\mathfrak{U},\mathcal{P})$ 为$$s=(s_{i_0,...,i_r})\mapsto {\left(\sum _{j=0}^{r+1}(-1{)}^j(s_{i_0,...,i_{j-1},i_{j+1},...,i_{r+1}}){|}_{U_{i_0,...,i_{r+1}}}\right)}_{i_0,...,i_{r+1}}.$$复形 ${\check{C}}^{\ast }(\mathfrak{U},\mathcal{P})$ 称为 Čech 复形, 其上同调$${\check{H}}^i(\mathfrak{U},\mathcal{P}):=H^i({\check{C}}^{\ast }(\mathfrak{U},\mathcal{P}))$$称为 $\mathcal{P}$ 关于覆盖 $\mathfrak{U}$ 的 Čech 上同调.

注 7.1.0.2. 不难注意到 Čech 复形可以重新写成:$${\check{C}}^{\ast }(\mathfrak{U},\mathcal{P})={\mathrm{Hom}}_{\mathrm{PreAb}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})}\left(\left(\underset{i_0\in I}{⨁}{\underline{\mathbb{Z}}}_{U_{i_0}}\leftarrow \underset{(i_0,i_1)\in I^2}{⨁}{\underline{\mathbb{Z}}}_{U_{i_0}{\times }_X{U}_{i_1}}\leftarrow \cdots \right),\mathcal{P}\right).$$而且直接 (大量) 计算会得到 $\mathrm{Hom}$ 里面的复形 ${\underline{\mathbb{Z}}}_{\mathfrak{U}}^{\ast }$ 是正合的 (参考 Tag 03AT).

例 7.1.0.3. 考虑覆盖 $\mathfrak{U}=\{Y\to X\}$ 使得 $Y\to X$ 是 Galois 覆叠 $G$. 对 $\mathcal{P}\in \mathrm{PreAb}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 假设其吧无交并映成积, 应用定理 6.2.0.3 则有 ${\check{H}}^i(\mathfrak{U},\mathcal{P})\cong H^r(G,\mathcal{P}(Y))$.

命题 7.1.0.4. 给定概形 $X$ 和平展覆盖 $\mathfrak{U}=\{U_i\to X{\}}_{i\in I}$.

(i) 对任何内射对象 $\mathcal{I}\in \mathrm{PreAb}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 对 $i>0$ 我们有 ${\check{H}}^i(\mathfrak{U},\mathcal{I})=0$;

(ii) 在 $\mathrm{PreAb}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 内 ${\check{H}}^i(\mathfrak{U},-)$ 是 ${\check{H}}^0(\mathfrak{U},-)$ 的导出函子;

(iii) 若 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 则 ${\check{H}}^0(\mathfrak{U},\mathcal{F})=\Gamma (X,\mathcal{F})$.

证明.. (ii) 运用万有 $\delta$ 函子理论即可;(iii) 就是层的条件之一;(i) 注意到$${\check{H}}^i(\mathfrak{U},\mathcal{I})=H^i({\mathrm{Hom}}_{\mathrm{PreAb}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})}({\underline{\mathbb{Z}}}_{\mathfrak{U}}^{\ast },\mathcal{I}))$$且 ${\underline{\mathbb{Z}}}_{\mathfrak{U}}^{\ast }$ 正合和 $\mathcal{I}$ 内射即可.

$\square$

定义 7.1.0.5. 考虑概形 $X$ 和一族平展覆盖 $\mathfrak{U}=\{U_i\to X{\}}_{i\in I}$. 这个覆叠的一个加细指覆盖 $\mathfrak{V}=\{V_j\to X{\}}_{j\in J}$ 满足对任意的 $V_j\to X$ 都存在分解 $V_j\to U_{\alpha (j)}\to X$. 这样会自然诱导一个 ${\alpha }^{\ast }:{\check{C}}^{\ast }(\mathfrak{U},\mathcal{P})\to {\check{C}}^{\ast }(\mathfrak{V},\mathcal{P})$ 为 $({\alpha }^{r}s{)}_{j_0,...,j_r}=s_{\alpha (j_0),...,\alpha (j_r)}{|}_{V_{j_0,...,j_r}}$. 因此诱导 $\rho (\mathfrak{V},\mathfrak{U}):{\check{H}}^i(\mathfrak{U},\mathcal{P})\to {\check{H}}^i(\mathfrak{V},\mathcal{P})$. 故而可以定义 Čech 上同调为$${\check{H}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,\mathcal{P}):=\underset{\mathfrak{U}}{\underrightarrow{\lim }}{\check{H}}^i(\mathfrak{U},\mathcal{P}).$$

命题 7.1.0.6. 给定概形 $X$.

(i) 对任何内射对象 $\mathcal{I}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 对 $i>0$ 我们有 ${\check{H}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,\mathcal{I})=0$;

(ii) 若 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 则 ${\check{H}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^0(X,\mathcal{F})=\Gamma (X,\mathcal{F})$.

证明.. (i) 注意到遗忘函子保持内射性质, 于是在 $\mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 内也满足; (ii) 由于对所有覆盖都满足, 因此余极限也满足.

$\square$