7.2. Čech-导出谱序列

类似于 Zariski 上同调, 平展上同调也有类似的 Čech-导出的比较结论.

引理 7.2.0.1. 考虑概形 $X$ 和 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$. 考虑预层 ${\underline{H}}^i(\mathcal{F}):U\mapsto H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(U,\mathcal{F}{|}_U)$. 考虑遗忘函子 $i:\mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})\to \mathrm{PreAb}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 我们有 ${\underline{H}}^r(-)=R^{r}i(-)$. 特别的 ${\underline{H}}^i(\mathcal{F}{)}^{♯}=0$.

证明.. 考虑 $\mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})\stackrel{i}{⟶}\mathrm{PreAb}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})\stackrel{♯}{⟶}\mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 则取内射预解 $\mathcal{F}\hookrightarrow {\mathcal{I}}^{\ast }$ 我们有 ${\underline{H}}^r(\mathcal{F})=H^r(i({\mathcal{I}}^{\ast }))$. 因此 ${\underline{H}}^r(-)=R^{r}i(-)$.

$\square$

推论 7.2.0.2. 考虑概形 $X$ 和 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$. 对 $r>0$, 任取 $s\in H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^r(X,\mathcal{F})$ 都存在平展覆盖 $\{U_i\to X\}$ 使得 $s$ 在每个 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^r(U_i,\mathcal{F}{|}_{U_i})$ 内均为 $0$.

证明.. 这是引理 7.2.0.1 的直接推论.

$\square$

定理 7.2.0.3. 考虑概形 $X$ 和 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$. 考虑预层 ${\underline{H}}^i(\mathcal{F}):U\mapsto H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(U,\mathcal{F}{|}_U)$, 则有谱序列$$E_2^{p,q}={\check{H}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^p(X,{\underline{H}}^q(\mathcal{F}))\Rightarrow H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{p+q}(X,\mathcal{F}).$$

证明.. 对 $\mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})\stackrel{i}{⟶}\mathrm{PreAb}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})\stackrel{{\check{H}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^0(X,-)}{⟶}\mathrm{AbGrps}$, 因为 ${\check{H}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^0(X,-)\circ i=\Gamma (X,-)$, 引用上述引理和 Grothendieck 谱序列, 我们得到结论.

$\square$

作为应用, 我们有如下比较结果:

命题 7.2.0.4. 考虑概形 $X$ 和 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$. 对于 $r=0,1$, 我们有 ${\check{H}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^r(X,\mathcal{F})\cong H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^r(X,\mathcal{F})$.

证明.. 考虑谱序列 $E_2^{p,q}={\check{H}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^p(X,{\underline{H}}^q(\mathcal{F}))\Rightarrow H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{p+q}(X,\mathcal{F})$. 根据推论 7.2.0.2, 我们得知对 $s>0$ 有 $E_2^{0,q}=0$. 观察谱序列第二页:即可得知对于 $r=0,1$, 有 ${\check{H}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^r(X,\mathcal{F})\cong H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^r(X,\mathcal{F})$.

$\square$

注 7.2.0.5. 如果 $X$ 拟紧且对任何有限子集都包含在某个仿射开集内, 则对任何 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 和任何 $r$, 我们都有 ${\check{H}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^r(X,\mathcal{F})\cong H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^r(X,\mathcal{F})$. 参考 [20] 内的 III.2.17.