7.3. 应用 I——Mayer-Vietoris 列

我们运用 Čech 上同调可以得到和代数拓扑里类似的结论:

定理 7.3.0.1 (Mayer-Vietoris). 设概形 $X=U\cup V$ 为开集的并, 给定 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 我们有正合列:

证明.. 设覆盖为 $\mathfrak{U}=\{U\to X,V\to X\}$. 根据 Čech 上同调定义, 我们有如下正合列:另一方面, 考虑谱序列 $E_2^{p,q}={\check{H}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^p(X,{\underline{H}}^q(\mathcal{F}))\Rightarrow H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{p+q}(X,\mathcal{F})$. 注意到当 $r>1$ 时有 ${\check{H}}^r(\mathfrak{U},{\underline{H}}^s(\mathcal{F}))=0$, 运用谱序列结论 [17] 命题 2.2.4 我们有如下正合列$$0\to {\check{H}}^1(\mathfrak{U},{\underline{H}}^s(\mathcal{F}))\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{s+1}(X,\mathcal{F})\to {\check{H}}^0(\mathfrak{U},{\underline{H}}^{s+1}(\mathcal{F}))\to 0.$$综合两个正合列即可得到结论.

$\square$

注 7.3.0.2. 直接证明参考 Tag 0A50. 还有相对版本的 Mayer-Vietoris 列, 我们不再赘述, 见 Tag 0EYK.