7.4. 应用 II——拟凝聚层的上同调

接下来介绍一个意料之中的结果.

引理 7.4.0.1. 设 $X=\mathrm{Spec}A$ 仿射, 取拟凝聚层 ${\mathcal{F}}^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$, 则对 $i>0$ 都有 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,{\mathcal{F}}^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})=0$.

证明.. 我们用对 $i$ 的归纳法.

先考虑 $i=1$. 取 $\xi \in H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1(X,{\mathcal{F}}^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$. 将覆盖加细可以假设 $U_i$ 仿射. 根据命题 7.2.0.4 得到其对应 ${\eta }^{\prime }\in {\check{H}}^1(\mathfrak{U},{\mathcal{F}}^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$. 设 $\mathfrak{V}=\{{\bigsqcup }_i{U}_i\to X\}$ 不难看出 ${\check{H}}^1(\mathfrak{U},{\mathcal{F}}^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})={\check{H}}^1(\mathfrak{V},{\mathcal{F}}^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$. 假设 $\mathfrak{V}=\{\mathrm{Spec}B\to \mathrm{Spec}A\}$, 则复形 ${\check{C}}^{\ast }(\mathfrak{V},{\mathcal{F}}^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 为$$B{\otimes }_{A}M\to B{\otimes }_{A}B{\otimes }_{A}M\to B{\otimes }_{A}B{\otimes }_{A}B{\otimes }_{A}M\to \cdots .$$故成立.

对于 $i>1$, 取 $\xi \in H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,{\mathcal{F}}^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$, 由推论 7.2.0.2 存在平展覆盖 $\mathfrak{U}=\{U_i\to X\}$ 使得 $\eta {|}_{U_i}=0$. 将覆盖加细可以假设 $U_i$ 仿射. 注意到 $U_{i_0}{\times }_X{U}_{i_1}{\times }_X\cdots {\times }_X{U}_{i_p}$ 皆为仿射, 考虑谱序列 7.2.0.3$$E_2^{p,q}={\check{H}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^p(X,{\underline{H}}^q(\mathcal{F}))\Rightarrow H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{p+q}(X,\mathcal{F}).$$根据归纳假设知道对 $0<q<p$ 都有 $E_2^{p,q}=0$, 我们可以看出 $\xi$ 必然来自 ${\xi }^{\prime }\in {\check{H}}^i(\mathfrak{U},{\mathcal{F}}^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$. 继续 $i=1$ 情况的证明即可.

$\square$

定理 7.4.0.2 (平展-Zariski 的拟凝聚上同调比较定理). 对概形 $X$ 和拟凝聚层 $\mathcal{F}$, 对任何 $i\ge 0$ 我们都有$$H^i(X,\mathcal{F})\cong H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,{\mathcal{F}}^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}).$$

证明.. 我们只考虑概形 $X$ 分离的情况 (一般情况可以由 Tag 03F3 和 Tag 03DW 得到). 取 Zariski 开覆盖 $\mathfrak{U}=\{U_i\to X\}$, 根据分离性,$U_{i_0}{\times }_X{U}_{i_1}{\times }_X\cdots {\times }_X{U}_{i_p}$ 皆为仿射. 则谱序列 7.2.0.3 除了第一行全是零. 故我们有$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,{\mathcal{F}}^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})={\check{H}}^i(\mathfrak{U},{\mathcal{F}}^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})={\check{H}}^i(\mathfrak{U},\mathcal{F})=H^i(X,\mathcal{F})$$即可得到结论.

$\square$

定理 7.4.0.3 (拟凝聚层). 计算拟凝聚层的平展上同调只需要计算对应小 Zariski 景内拟凝聚层的上同调.

证明.. 运用定理 4.6.0.3 和定理 7.4.0.2 即可.

$\square$

因此, 我们只需要计算不是拟凝聚层的平展上同调即可. 比如挠层, 这是我们一大目标之一.